1.1 第1课时 多边形的内角（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦多边形的定义、正多边形概念及内角和公式，通过生活中线段围成图形的情境导入，从三角形内角和过渡到多边形，以分割法为支架引导学生推导(n-2)×180°公式，构建知识脉络。 其亮点在于用生活实例培养数学眼光，通过分割法与表格归纳发展数学思维（推理、转化），例题（如剪角问题、对角互补证明）强化数学语言（模型应用）。助力学生提升抽象能力与应用意识，教师可依托结构化内容实施探究教学。

1.1 多边形 第1章 四边形 第1课时 多边形的内角 ÷ 八年级下册数学（湘教版） 1.了解并掌握多边形及有关概念； 2.对角线条数与多边形的边数的关系；（重点） 3.理解正多边形及其有关概念；（重点） 4.会用分割法探索多边形的内角和计算公式.（难点） 学习目标 在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到一些由线段围成的图形吗？ 情境导入 我们可以发现，这些多边形都在一个平面内，且均由几条 (不少于三条) 线段首尾顺次相接而成. 问题1：从这些由线段围成的图形里有什么特点？ 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形. 多边形的定义及相关概念 1 本书所介绍的多边形都是指凸多边形， 即多边形总在任何一条边所在直线的同一旁. 探究新知 思考：为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？ 这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内. 多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序. (4) 相邻两边组成的角叫作多边形的_______，简称多边形的_____. (3) 连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的_______. (2) 相邻两条边的公共端点叫作多边形的_____. 问题2：根据图形，各组成部分的名称有哪些？ A B C D E (1) 组成多边形的各条线段叫作多边形的____. 边 边 顶点 顶点 对角线 对角线 内角 角 内角 如: 线段AB 如: 点E 如: 线段BD 如: ∠A (5) 多边形根据边数可以分为_______，_______， ______······ 三角形 四边形 五边形 A B C D E A B C D A B C 表示: 三角形ABC 四边形ABCD 五边形ABCDE (6) 定义：像正方形这样，各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形. 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？ (四条边都相等) (四个角都相等) 答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等； 第二个图形不符合各边都相等. 判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角都相等，两个条件必须同时具备. 注意 例1 六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明． 解：∵六边形截去一个角的边数有增加 1、减少 1、不变三种情况，∴新多边形的边数有 7，5，6 三种情况， 如图所示. 总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条. 典例精析 问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？ 问题1 三角形的内角和是多少度？ 三角形内角和是 180°. 都是 360°. 问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？ 多边形的内角和 2 猜想：四边形 ABCD 的内角和是 360°. 问题4 你能用以前学过的知识证明一下你的结论吗？ 方法1：如图，连接 AC， 所以四边形被分为两个三角形， 所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×2 = 360°. A B C D 猜想与证明 方法2：如图，在 BC 边上任取一点 E，连接 AE，DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形 ABCD 的内角和为 A B C D E 结论： 四边形的内角和为360°. 总结：这方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，再用已学的三角形内角和定理求解 180°×3 - (∠AEB+∠AED+∠CED) = 180°×3 - 180° = 360°. 问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法 求五边形和六边形内角和吗? A C D E B A B C D E F 内角和为 180°×3 = 540°. 内角和为 180°×4 = 720°. n 边形 六边形 五边形 四边形 三角形 多边形内角和 分割出的三角形个数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 图形 边数 ··· 0 n - 3 1 2 3 1 2 3 4 n - 2 ( n -2 )·180° 1×180°=180° 2×180°=360° 3×180°=540° 4×180°=720° ··· ··· ··· ··· 由特殊到一般 证一证 如图，n 边形 A1A2···An 有 n 个顶点 A1，A2，A3，···，An. 由于与任一顶点 (如点 A1 ) 不相邻的顶点均有 (n－3) 个， 于是 n 边形 A1A2···An 被分成了 (n－2) 个三角形， A1 A2 A3 A4 A5 An 因而从某一顶点出发有 (n－3) 条对角线， 因此， n 边形的内角和等于这 (n－2) 个三角形的内角和，即 (n－2)·180°. 从 n (n≥3) 边形的一个顶点可以作出 (n - 3) 条对角线. 将多边形分成 (n - 2) 个三角形. n (n≥3) 边形共有对角线 条. 归纳总结 n 边形的内角和等于 (n - 2) ×180°. 多边形的内角和公式： www.czsx.com.cn 想一想：还可以用其他方法求 n 边形的内角和吗？ 如图，在 n 边 A1A2···An 内任取一点 O，连接 OA1，OA2，···，OAn，则 n 边形 A1A2···An 被分成了 n 个三角形. 因此，n 边形的内角和为 n×180°－360°＝(n－2)×180°. O 360° A1 A2 A3 A4 A5 An A6 A7 由于 n 个三角形的内角和为n·180°，且这 n 个三角形有一个共同顶点 O，以 O 为顶点的内角构成了一个周角. 正多边 形边数 内角 3 4 5 6 8 n 60° 90° 120° 完成下面的表格： 108° 135° 练一练 例2 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由. 解： 如图，在四边形 ABCD 中，∠A +∠C = 180°. ∠A +∠B +∠C +∠D = 360°， 因为 ∠B +∠D = 360° - (∠A +∠C ) = 360° - 180° = 180°. 所以 A B C D 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补. 【变式题】如图，在四边形 ABCD 中，∠A 与∠C 互补，BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC，若 BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形． 证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补， ∴∠ABC +∠ADC = 180°． ∵BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC， ∴∠CDF +∠EBF = 90°． ∵BE∥DF，∴∠EBF = ∠CFD， ∴∠CDF +∠CFD = 90°． 故△DCF 为直角三角形． 运用了整体思想 例3 (1) 十边形的内角和是多少度？ (2) 一个多边形的内角和等于 1 980°，它是几边形？ 解：(1) 十边形的内角和是 (10－2)×180°＝1440°. (2) 设这个多边形的边数为 n，则 (n－2)×180°＝1980°， 解得 n＝13. 所以这是一个十三边形. 例4 如图，在五边形 ABCDE 中，∠C = 100°，∠D = 75°，∠E = 135°，AP 平分∠EAB，BP 平分∠ABC，求∠P 的度数． 分析：根据五边形的内角和等 于 540°，由∠C，∠D，∠E 的度数可求出∠EAB +∠ABC 的度数，再根据角平分线的定 义可得∠PAB 与∠PBA 的角度和，进而求得∠P 的度数． 可运用整体思想求解 解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E = 540°， ∠C = 100°，∠D = 75°，∠E = 135°， ∴∠EAB+∠ABC = 540°-100°-75°-135° = 230°. ∵AP 平分∠EAB， ∴∠PAB ＝ ∠EAB. 同理可得∠ABP ＝ ∠ABC. ∵∠P+∠PAB+∠PBA = 180°， ∴∠P = 180°-∠PAB-∠PBA = 180°− (∠EAB+∠ABC) = 180°− ×230° = 65°． 多边形的内角 定义 前提条件是在一个平面内 正多 边形 定义既是判定也是性质 内角和计算公式 (n-2)×180°(n≥3) 课堂小结 1. 九边形的对角线有（ ） A. 25 条 B. 31 条 C. 27 条 D. 30 条 C 2. 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引 10 条对角线，则这是 边形. 十三 3. 过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成 个三角形. 六 课堂练习 4. 一个多边形的内角和不可能是 ( ) A.1800° B.540° C.720° D.810° D 5. 一个多边形从一个顶点可引对角线 3 条，这个多边形内角和等于 ( ) A. 360° B. 540° C. 720° D. 900° C 6. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和. 解：∵1800÷180 ＝ 10， ∴原多边形边数为10＋2 ＝ 12. ∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减 1，可能不变，也可能加 1， ∴新多边形的边数可能是 11，12，13. ∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°. 能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 的度数. 解：如图， ∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝ ∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝ 五边形的内角和 ＝ 540°. 8 9 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $