精品解析：江西省南昌市第二中学2025-2026学年高一下学期数学月考（一）

南昌二中2025-2026学年度下学期高一数学月考（一） 命题人：刘三红 审题人：曹玉璋 一、单选题 1. 化简的结果是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦二倍角公式化简变形即可得到答案. 【详解】， 因为，所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查了正弦二倍角公式，熟练掌握公式变形是解决此类问题的关键，属于简单题. 2. 如图所示，中，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，再根据向量线性运算求解即可． 【详解】从题图上可看出， ，而． 故选：C． 3. 为得到函数的图象，只需将函数图象上（ ） A. 各点的横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位 B. 各点的横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位 C. 各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位 D. 各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的变换规则一一判断即可. 【详解】对于A：将各点的横坐标缩短为原来的倍得到， 再向左平移个单位得到，故A错误； 对于B：将各点的横坐标缩短为原来的倍得到， 再向左平移个单位得到，故B正确； 对于C：将各点的横坐标伸长为原来的2倍得到， 再向左平移个单位得到，故C错误； 对于D：将各点的横坐标伸长为原来的2倍得到， 再向左平移个单位得到，故D错误. 故选：B 4. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用和差角而二倍角公式求解. 【详解】由已知可得， 所以． 故选：B． 5. 函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题． 6. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易得函数与的最小正周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案. 【详解】对函数，令，解得， 所以函数的对称中心为. 因为函数与的相邻对称中心的距离都是半个最小正周期，且与图象的对称中心完全一致， 所以函数与的最小正周期相等， 又的最小正周期，所以，得， 故， 令，则，即的对称中心为， 所以，得， 又，所以. 7. 已知方程的两根为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题设及韦达定理可得，然后由二倍角正切公式可得答案. 【详解】由题可得，则，且. 又，则，所以. 则. 8. 对于任意实数，要使函数在区间上的值出现的次数不小于4次，又不多于8次，则可以取（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由一个周期内有两个解可知，，据此可得答案. 【详解】由题可知，，则， 所以，，即，又，所以，解得，， 结合，可知k可取2，3. 故选：B. 二、多选题 9. （多选）下列叙述中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与的方向相同或相反 C. 若，，则 D. 对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A，因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误； 对于B，由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误； 对于D，对任一非零向量，表示与同向的单位向量，故D正确． 故选：ABC． 10. 若角的终边经过点，定义角的函数为：，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 当时， 【答案】AB 【解析】 【分析】首先利用三角函数的定义，建立坐标与角的关系，化简函数表达式，然后判断选项即可. 【详解】令坐标原点为，设，，则，所以. 化简函数，. 最后判断选项： A：，正确； B：，正确； C：，函数为奇函数，错误； D：，，错误. 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，在区间上单调 B. 若关于直线轴对称，则 C. 若，且为的一个对称中心，则 D. 若，在区间上的最大值与最小值的差的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由辅助角公式结合正弦函数的单调性可判断其正误；对于B，利用特值法先求出，再验证后可判断B的正误；对于C，根据对称中心的性质求出，从而求并判断C的正误，对于D，利用正弦函数的性质结合辅助角可判断何时最值之差最大，求出最值后可判断D的正误. 【详解】对于A：当时，， 因为，所以， 因为函数在上不单调， 所以函数在区间上不单调.故A错误； 对于B：若关于直线轴对称，故， 所以，故，此时， 而，故确为对称轴，故B正确. 对于C：时，为的一个对称中心， 所以，故， 所以，故C正确； 对D：当时，， 其中，，且， 当时，， 由正弦函数的图像得，在同一单调区间上时最大值与最小值的差才可能最大， 即求与的差的绝对值何时最大， 令 ， 当即，时 ，.故D正确. 三、填空题 12. 已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据两个向量方向相同可直接构造方程组求得结果. 【详解】与方向相同， 存在正实数，使得， 又向量不共线，，解得：（舍去）或，的值为. 故答案为：. 13. 函数的值域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简，再根据余弦函数和二次函数的性质求解即可. 【详解】 ， 因为，， 令，， 所以，对称轴为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 所以函数的值域是. 故答案为：. 14. 已知，．则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将化成关于的二次函数形式后，由题意可得，，则可得位于第一象限，结合三角恒等变换可得对称轴在区间内，即可得其，解出后与位于第一象限取交集即可得. 【详解】令 ， 则，， 故，则，， 对称轴为 ， 令，则， 故， 又，故使得最小的在区间内， 故对， 有， 即有，则， 即，又， 取交集可得. 四、解答题 15. 已知函数． （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）根据“五点作图法”完善下列表格，并在给出的坐标系中作出函数在的图象； 0 6 （3）当时，，求实数的取值范围． 【答案】（1），的递增区间为 （2）表格见解析，函数图像见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的周期性求解最小正周期，根据正弦函数的单调性求解单调递增区间. （2）完善表格，描点连线即可利用“五点作图法”画图. （3）由已知可得，结合（2）的图象即可求的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以． 令，解得， 所以的递增区间为； 【小问2详解】 因为，当时，， 列表如下： 0 1 4 6 1 2 0 0 1 作图如下： 【小问3详解】 因为，所以， 又，由（2）的图象，且，可知， 所以的取值范围是． 16. 在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，且两点关于轴对称. （1）若点的纵坐标为，求的值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先利用任意角的三角函数的定义求出再利用诱导公式化简，代值计算可得. (2)根据的范围求出，进而得到，再根据角的范围求最小值. 【小问1详解】 因为点的纵坐标为， 所以.又. 因为， 所以 【小问2详解】 因为，所以.所以. 所以. 所以当时，取最小值为. 17. 已知，且， （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对题干所给的三角函数等式平方，计算出的值，最后再据此求出的值即可； （2）对的分子分母同时展开，并进一步化简为含的表达式，结合（1）求出的值，和一并代入即可求解． 【小问1详解】 ，两边同时平方得， 解得，又，所以， 由，得． 【小问2详解】 由题意，， 由（1）及题意可知，解得，， 所以，又，所以， 即． 18. 已知函数的部分图象如图所示，其中点. （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由周期求，将点代入求，即可得解析式； （2）由正弦函数的单调性列不等式求解即可； （3）由对称性得到，结合诱导公式，二倍角公式求即可. 【小问1详解】 因为在函数图象上且纵坐标互为相反数， 结合图象可知，所以，根据，解得. 将代入，得，即， 因为，所以，所以函数解析式为； 【小问2详解】 令，，得，， 所以的单调递增区间为； 【小问3详解】 ， 即在上有两个不相等的实数根， 当时，，设， 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以， ，即 那么， 因为，所以， 所以， 所以. 19. 已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T. （1）判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？ （2）已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围； （3）是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论. 【答案】（1）是，理由见解析； （2）当时，，且； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用P级递减周期函数定义，计算验证作答. （2）根据给定条件，利用P级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作答. （3）假定存在符合题意的k值，利用P级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答. 【小问1详解】 依题意，函数定义域是R， ， 即，成立， 所以函数是R上的周期为1的2级递减周期函数. 【小问2详解】 因，是上的P级周期函数，则，即， 而当时，，当时，，， 当时，，则， 当时，，则， …… 当时，，则， 并且有：当时，，当时，，当时，，……， 当时，， 因是上的严格增函数，则有，解得， 所以当时，，且. 【小问3详解】 假定存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数， 即，恒有成立，则，恒有成立， 即，恒有成立，当时，，则，， 于是得，，要使恒成立，则有， 当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解， 此时恒成立，则，即， 当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解， 所以存在，符合题意，其中满足. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2025-2026学年度下学期高一数学月考（一） 命题人：刘三红 审题人：曹玉璋 一、单选题 1. 化简的结果是 A. B. C. D. 2. 如图所示，中，等于（ ） A. B. C. D. 3. 为得到函数的图象，只需将函数图象上（ ） A. 各点的横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位 B. 各点的横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位 C. 各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位 D. 各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位 4. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为 A. B. C. D. 6. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知方程的两根为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 8. 对于任意实数，要使函数在区间上的值出现的次数不小于4次，又不多于8次，则可以取（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 2 二、多选题 9. （多选）下列叙述中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与的方向相同或相反 C. 若，，则 D. 对任一非零向量，是一个单位向量 10. 若角的终边经过点，定义角的函数为：，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 当时， 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，在区间上单调 B. 若关于直线轴对称，则 C. 若，且为的一个对称中心，则 D. 若，在区间上的最大值与最小值的差的最大值是 三、填空题 12. 已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为_____. 13. 函数的值域是___________. 14. 已知，．则的取值范围是______． 四、解答题 15. 已知函数． （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）根据“五点作图法”完善下列表格，并在给出的坐标系中作出函数在的图象； 0 6 （3）当时，，求实数的取值范围． 16. 在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，且两点关于轴对称. （1）若点的纵坐标为，求的值； （2）若，求的最小值. 17. 已知，且， （1）求的值； （2）若，求的值． 18. 已知函数的部分图象如图所示，其中点. （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的值. 19. 已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T. （1）判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？ （2）已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围； （3）是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $