秘籍清单07 简谐运动的综合运用（含引力场、电磁场中的运用）（六大题型）（抢分秘籍）（全国通用）2026年高考物理终极冲刺讲练测

秘籍07 简谐运动的综合运用（含引力场、电磁场中的运用） 秘籍特训 【解密一】弹簧振子 【例1】 【答案】D 【详解】A．初始时，对小球受力分析，有， 解得，故A错误； B．小球在A点时速度不为0，振幅大于10cm，故B错误； CD．小球返回O点时速度最大，从静止开始向下运动到返回O点的过程，根据动能定理可得 解得，故C错误，D正确。 故选D。 【跟踪训练1】 【答案】C 【详解】小球在斜面上做简谐运动，平衡位置是合力为零的位置。 沿斜面方向平衡时，重力分力与弹簧弹力平衡 简谐运动的最大速度出现在平衡位置，对从最高点到平衡位置过程由动能定理得 代入化简得 因此最大速度 故选C。 【跟踪训练2】 【答案】D 【详解】A．由图b可知，物块乙与物块甲碰撞前的动能 物块乙与物块甲碰撞后的动能 物块乙与物块甲碰撞过程，根据动量守恒定律 联立解得，故A错误； B．由图b可知，甲与乙碰撞后乙在x2处动能最大，则甲与乙碰撞后在x2位置处速度最大，此位置为平衡位置，加速度为零，故B错误； C．由图（b）可知，x3位置的速度减小到0，说明是平衡位置下方的最大位移处，而x1处的速度不为0，说明此位置不是该简谐振动平衡位置上方的最大位移处，因此有 解得，故C错误； D．弹簧上端与物块甲相连，物块甲处于静止状态，设此时弹簧的形变量为x0，结合图a根据平衡条件可知 当甲乙一起运动到x2位置时，速度最大，根据平衡条件可得 物块乙从释放到位置x1的过程中，由动能定理可得， 联立解得，故D正确。 故选D。 【跟踪训练3】 【答案】D 【详解】A．未剪断细线时，对A、B整体由平衡条件可知，弹簧弹力F0 = (3m＋2m)g = 5mg 剪断细线的瞬间弹簧弹力不变，对A根据牛顿第二定律得：F0－3mg = 3ma 解得小球A的加速度大小为，故A错误； B．小球A的速度最大时其加速度为零，其合力为零，此时弹簧弹力与小球A的重力等大反向，故小球A运动到速度最大时弹簧不是在原长处，而是处于伸长状态，故B错误； C．剪断细线后小球A在竖直方向做简谐运动，初始位置即为小球简谐运动的最低点，由A选项的解答可知，小球A运动到最低点时，弹簧弹力方向向上，大小为5mg，由胡克定律可得此时弹簧的伸长量为；小球A在最低点时所受合力向上，大小为F0－3mg = 2mg，由简谐运动的对称性可知，小球A运动到最高点时，所受合力向下，大小亦为2mg，因小球A的重力为3mg，故此时弹簧弹力应向上，大小为mg，故此弹簧为伸长状态，其伸长量为，故C错误； D．小球在平衡位置时弹簧伸长量为，则从最高点到平衡位置，则由能量守恒 解得在平衡位置的速度，故D正确。 故选D。 【解密二】 单摆模型 【例1】 【答案】A 【详解】设细线长度为L，图2斜面倾角为，图3中两线夹角为，则图1、图2、图3单摆周期分别为，， 综上可知。 故选A。 【跟踪训练1】 【答案】C 【详解】由单摆周期公式 变形得 T2-L图像斜率 易得gA：gB=1：4 AB．星球A和星球B质量相等，由 得GM=gR2 则有，故AB错误； CD．由密度公式 有，故C正确，D错误。 故选C。 【跟踪训练2】 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设碰前小球速度为，碰后小球速度为，物块的速度为，取向左为正方向，则由动能定理有 解得 小球与物块发生弹性碰撞，碰撞过程动量守恒和机械能守恒，则， 联立解得， （2）设物块和木板第一次共速速度为，取向左为正方向，物块在木板上运动过程系统动量守恒，则 解得 设此时相对位移为，由功能关系有 解得 木板与挡板发生弹性碰撞，木板速度反向，物块和木板再次达到共速过程动量守恒，则 解得 设此时相对位移为，由功能关系有 解得 所以木板的长度 （3）取向左为正方向，小球与物块碰撞后，对木板，由牛顿第二定律有 解得 第一次共速时，对木板有， 解得， 设初始时，木板左端到挡板的距离为，以速度匀速运动用时为，则 木板与挡板碰撞后第二次共速有， 解得， 设以以速度再匀速运动，物块回到点正下方，则 碰撞后小球开始做简谐运动，则其周期 物块再次回到点正下方时，小球恰好完成次全振动，则 联立解得 【解密三】 变型“弹簧振子” 【例1】 【答案】ABC 【详解】A．设弹性绳BC段与竖直方向夹角为θ，对甲所受弹性绳弹力分析有，（保持不变） 由 解得 导轨光滑时，设碰后最大位移为，由 解得，故A正确； B．分析知甲、乙做简谐运动，由 可知平衡位置，则 由，， 联立可得，故B正确； C．由 解得 则，故C正确； D．由 可知滑块运动至最左端后会滑回，故总路程，故D错误。 故选ABC。 【跟踪训练1】 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由动能定理，有 解得 （2）由动力学分析知，当A、B速度减为零时，A、B间的弹力最大，由能量守恒有 其中 可得 （3）设A、B速度最大时弹簧压缩量为，A、B从处再下降时，受力分析，有， 可得 则A、B向下运动的过程可看成简谐运动的一部分，则 可得 【跟踪训练2】 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）根据牛顿第二定律 解得 （2）由到过程中，对任一位置受力分析可得 其中为弹性绳和竖直杆的夹角，由于 故竖直杆对小球弹力保持不变，摩擦力保持不变，满足 根据动能定理 解得 故 解得 （3）由到过程中，弹性绳的弹力竖直分量为 其中小球所处位置到点的距离，由于摩擦力保持不变，故小球由到过程为简谐运动，小球向下运动的平衡位置在点下方处 第一次向下运动，简谐运动振幅 向下运动距离 小球向上运动的平衡位置在点下方处，根据 解得 故小球第一次向上运动时，振幅 向上运动距离 小球第二次向下运动，平衡位置不变，振幅变为 故向下运动距离 当第二次向下运动到最低点时，此时 弹性绳弹力的竖直分量等于重力，故小球停止运动。小球运动的路程 【解密四】简谐运动与万有引力的综合 【例1】 【答案】A 【详解】设地球的密度为，地球的半径为，物体沿路径1运动时，当物体离地心距离为时，物体受到的万有引力大小为 其方向总是指向地心O，可知物体沿路径1以地心O为平衡位置做简谐运动，其周期为 物体沿路径1从A运动到B所用时间 该物体从A点绕地球做近地圆周运动到B点，根据万有引力提供向心力有 其中 解得 用时 故 故选A。 【跟踪训练1】 【答案】B 【详解】A．将地球看作两部分，一部分是以为球心为半径的“小球”，另一部分即剩余的球壳，球壳对点处的列车引力为，所以只需要考虑点以下的“小球”对列车的引力，根据黄金代换有 由万有引力定律得，故A错误； B．根据上面的分析可知列车在隧道中运行时受到的合力大小与偏离点的距离成正比，且方向与偏离点的方向相反，所以完全无动力运行时列车在隧道内做简谐振动，故B正确； C．列车在点时速度最大，研究列车从到的过程，因为列车所受引力与到球心的距离成正比，所以重力对列车做功根据力的平均值计算有 由动能定理得 得，故C错误； D．根据上面的分析可知列车从到的过程中受到地球的引力逐渐减小，根据牛顿第二定律可知列车做做加速度减小的加速运动，平均速度 运动时间小于 所以列车通过隧道的时间小于，故D错误。 故选B。 【跟踪训练2】 【答案】A 【详解】由题意可得，质量为m小球的重力 由于球体积为 设地球的平均密度为，地球的质量 联立解得 小球在地球内部半径为的隧道运动时受到的万有引力为 此时小球受到的万有引力提供向心力，则有 解得。 故选A。 【解密五】电场中的简谐运动 【例1】 【答案】D 【详解】A．假设正点电荷初位置在足够远的地方，其受静电力特别小(几乎为零)，加速度很小；当正点电荷在点，所受静电力为零，加速度为0；因此正点电荷从足够远的地方到点，加速度先增大后减小，题中没有说明点的具体位置，因此无法判断加速度的变化，故A错误； B．由到的过程中，静电力是吸引力做正功，电势能减小，故B错误； C．令单个负点电荷带电荷量为，正点电荷带电荷量为，，以向上为正方向建立轴，正点电荷运动到处所受的静电力，不符合简谐运动的回复力（）的形式，故C错误； D．由点到点与由点到点正点电荷的受力情况是对称的，因此运动是对称的，故时间相同，故D正确。 故选D。 【跟踪训练1】 【答案】B 【详解】CD．根据简谐运动的特点有， 其中k为比例系数，因此，故CD错误； AB．撤去电场前，在最高点时，小球的加速度大小 撤去电场后，在最高点时，小球的加速度大小 小球从最高点运动到平衡位置过程的a-x图像如图所示 由得， 结合微元累积法可知，a-x图像与横轴所包围的面积表示末速度平方与初速度平方差值的，设小球的最大速度为，由于小球在最高点时速度为零，则有 解得 故， 即，故A错误，B正确。 故选B。 【跟踪训练2】 【答案】D 【详解】A．根据图像可知，LC回路的周期为，故A错误； B．LC回路中磁场能是标量，所以磁场能的周期为，故B错误； C．根据可知周期不一定会增大。故C错误； D．1×10-6s~3×10-6s电容器电荷量先增加再减小，处于先充电再放电过程，故D正确。 故选D。 【跟踪训练3】 【答案】CD 【详解】A．由题意可知三小球构成等边三角形，弹簧处于压缩状态，故球1和3之间一定是斥力，故球3带正电，A错误； BC．球3运动至a点时，弹簧的伸长量等于，由对称性可知，球2对3的库仑力做功为0，弹簧弹力做功为0，据动能定理有 解得 球3在a点速度不为零，可见不可能在a、b间做简谐运动，B错误、C正确； D．设球3的电荷量为q，在b点有 设弹簧的弹力为F，沿斜面方向有 解得 球3运动至a点时，弹簧的弹力等大反向，则有 解得 而球3运动至ab中点时，弹簧弹力为0，在沿斜面方向有 解得，D正确。 故选CD。 【解密六】电磁感应中的简谐运动 【例1】 【答案】BC 【详解】导体棒运动时，感应电动势 自感电动势 电路总电阻极小，故 即 积分得，即（以平衡位置为原点，位移为）。 导体棒受力： 代入，平衡位置处，得 即平衡位置位移 以平衡位置为新原点，位移为，则，代入得： 即简谐运动回复力 角频率 A．导体棒从静止释放，初始位置为最大位移处，振幅，A错误。 B．简谐运动最大速度 代入、 得，B正确。 C．根据前面分析，可知最大电流 代入，得，C正确。 D．简谐运动周期，D错误。 故选BC。 【例2】 【答案】(1)，M极板带正电 (2) (3) 【详解】（1）设金属圆盘转动产生的电动势为E，则有 解得 设电容器所带的电荷量为，则有 解得 根据右手定则可知，M极板带正电。 （2）设金属棒的最大速度为，最大速度时电流为，电容器电压为，则 解得 根据 设在达到最大速度过程中通过金属棒的电量为，则 在达到最大速度过程中，由动量定理得 解得 （3）由于回路电阻为零，金属棒产生的电动势等于自感电动势，则有 可得 设金属棒匀速运动时的电流为，则有 则 则金属棒匀速运动过程中线圈储存的能量为 【跟踪训练1】 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）导体棒中无感应电流说明回路磁通量始终不变。初始磁通量 设时刻导体棒下滑位移为，则此时磁通量 由，得 导体棒不受安培力，由牛顿第二定律，得 代入，得 导体棒做匀加速运动，由匀变速直线运动位移与时间的关系，得 代入得的表达式 时刻导体棒速度 感应电动势 回路中的电流 （2）回路中无电阻，导体棒切割磁感线产生的动生电动势等于自感电动势，在极短的时间内，有 可得 并对等式两边求和，得 解得 由牛顿第二定律，可得 等式两边同时乘，得 代入，，得 对等式两边微元求和，得 导体棒第一次速度降为0时位移最大，则有 解得最大距离 摩擦力持续做功损耗能量，稳定后导体棒静止，合力为零，满足 代入化简得稳定电流 【跟踪训练2】 【答案】(1)，方向水平向右 (2) (3) 【详解】（1）设金属棒第一次达到稳定的速度为，电容器上剩余电量为 此时回路中电流为0，于是有① 另一方面在金属棒达到稳定的过程中，其牛顿运动方程为 两侧同时乘并求和，，即② 联立①②解得，方向水平向右， （2）由于导轨足够长，金属棒第一次经过时速度为 在后续运动过程中，由于金属杆、线圈、导轨都没有电阻，因此金属杆的动生电动势必然与线圈的自感电动势等大反向，即， 求和得，③，其中x为金属杆在右侧的位移。 另一方面金属杆受到的合力（向右为正）为 将③代入，得 这是一个等效劲度系数的线性恢复力，因此金属杆做平衡位置在处的简谐振动。金属棒从第一次经过到回到的时间为简谐振动周期的一半，即 （3）由于简谐运动对称性，金属棒第一次向左通过的速度仍然为。此时动生电动势与电容对外的电压方向相同，电容放电的同时金属棒减速。此时若金属棒先减速为0，则电容继续放电使金属棒向右加速；若电容先放完电，则金属棒继续减速并为电容反向充电。但金属棒最终一定会达到一个新的匀速，设向右为正，此时电容电量为。 类似①②有⑤， ，即⑥ 联立⑤⑥解得， 代入，，， 对比，有， 于是，每次金属杆从左向右通过时系统中剩余的能量都是上一次左向右通过时的。而金属杆在电感回路上返回时剩余动能不变。 金属杆第一次从左向右通过时系统中剩余的能量为 综上所述，金属杆第n次经过时，系统中剩余的总能量占电容初始储存能量的比例为 电阻上消耗的总热量占电容初始储存能量的比例为 【跟踪训练3】 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）初始时，棒ab所在处的磁感应强度大小为 对棒ab由牛顿第二定律有 解得 （2）依题意可知安培力大小，则棒ab从第一次到的过程中有，其中，， 由知在此过程中安培力对棒ab做功 解得 设棒ab运动至时的速度大小为，由动能定理有 解得 由闭合电路欧姆定律有 解得 （3）依题意，金属棒ab运动过程中在水平方向所受合力大小等于安培力大小，以轴为位移的初位置，以向右为正，有，可知棒做简谐运动，回复力系数，则棒ab做简谐运动的周期 则棒从开始振动的方程为 故棒ab从运动到所用时间，从运动到处的时间为，从处向左运动到处的时间为 由知此过程中棒ab产生的焦耳热为 由动能定理知此过程中棒ab动能变化量等于安培力做的功，为，其中，， 综上可得智能电源对外做的功为 解得 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘籍07 简谐运动的综合运用（含引力场、电磁场中的运用） 秘籍导览 【解密高考】 【秘籍特训】 【解密一】弹簧振子 【解密二】单摆模型 【解密三】变型“弹簧振子” 【解密四】简谐运动与万有引力的综合（押题型） 【解密五】电场中的简谐运动 【解密六】电磁感应中的简谐运动 解密高考 ：简谐运动作为机械振动中最简单的一种振动形式，其回复力与位移关系是其最明显的特点，所以经常与弹簧的弹力、库仑力、导棒切割磁感线时所受培力、万有引力进行综合考察。 ：近几年高考中简谐运动的综合应用考察频率非常高。2026年高考中考察的概率非常大，且出现简谐运动原模型（即弹簧振子、单摆）的机率不大，大概率与电磁学或换个装置的简谐运动，需要考生能识别出简谐运动。 秘籍特训 【解密一】弹簧振子 秘籍解读 分析简谐运动的技巧 (1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，要以位移（相对平衡位置的位移）为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 (2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。 (3)若没有给出开始时刻质点的振动方向，还须分情况讨论，以防丢解。 秘籍应用 【例1】（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图所示，质量为0.1kg的小球与劲度系数为k的轻弹簧相连，初始时小球静止在O点，弹簧的伸长量为5cm。某时刻施加竖直向下大小为2N的恒定外力将小球拉至A点后撤去外力。已知弹簧始终在弹性限度内，A、O间距离为10cm，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．弹簧的劲度系数k为0.2N/m B．小球做简谐运动的振幅为10cm C．小球运动的最大速度为4m/s D．小球运动的最大速度为2m/s 【跟踪训练1】（2026·四川广安·模拟预测）如图所示，小球用轻弹簧连接在固定的光滑斜面顶端，斜面倾角。小球在斜面上做简谐运动，振幅为A，到达最高点时，弹簧处于原长，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g，则小球的最大速度为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（2026·吉林长春·一模）如图（a），轻质弹簧下端固定在光滑斜面底端，上端与物块甲相连，甲处于静止状态。现从斜面上某位置由静止释放物块乙，运动一段距离与甲碰撞，碰撞后一起沿斜面向下运动。取乙的释放位置为坐标原点O建立一维坐标系，x轴的正方向沿斜面向下。乙的动能Ek与位置坐标x的关系如图（b）所示，图像中0~x1之间为直线，其余部分为曲线且在x=x2处切线斜率为0。甲、乙均可视为质点，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙质量之比为2:1 B．甲、乙碰撞后在x=x2位置加速度最大 C．位置坐标满足关系 D．弹簧的劲度系数 【跟踪训练3】（2026·湖南永州·二模）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为3m的小球A，质量为2m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态，弹簧劲度系数为k，弹簧原长足够长，重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是（   ） A．剪断细线后的瞬间，小球A的加速度大小为g B．小球A运动到弹簧原长处时速度最大 C．小球A运动到最高点时，弹簧的压缩量为 D．小球A的最大速度为 【解密二】 单摆模型 秘籍解读 (1)公式的适用条件：单摆的最大偏角θm很小时，单摆的运动才能近似看作简谐运动，公式T＝2π 才适用。一般要求最大偏角θm<5°。 (2)在等效单摆模型中，公式可变换为T＝2π 。 ①l′——等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆在垂直于纸面的平面内摆动，等效摆长l′＝r＋Lcosα。乙图中小球(可看作质点)在半径为R的光滑圆槽中A点的附近振动，其等效摆长为l′＝R。 ②g′——等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关。 a．在不同星球表面，若忽略星球的自转，g′＝，M为星球的质量，R为星球的半径。 b．单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g′＝g＋a和g′＝g－a，a为超重或失重时单摆系统整体竖直向上或竖直向下的加速度大小。 c．如图丙所示，空间有竖直向下的电场强度大小为E的匀强电场，小球的质量为m、所带电荷量为＋q，细线绝缘，则等效重力加速度g′＝g＋。 秘籍应用 【例1】（2026·重庆·模拟预测）图1中，用一轻质细线将一可视为质点的小球悬挂在天花板上，其摆动周期为T1；图2中，用一轻质细线将该小球挂在光滑固定的斜面上，使其紧贴斜面摆动，摆动周期为T2；图3中，用两根等长的轻质细线将该小球悬挂在水平天花板上，使其沿垂直纸面方向摆动，摆动周期为T3。若所有摆动均视为单摆运动，且所有细线长度相同，重力加速度均为g，则（　　） A．T2>T1>T3 B．T1>T3>T2 C．T1>T2>T3 D．T2>T1=T3 【跟踪训练1】（2026·云南·模拟预测）分别在星球A和星球B表面进行单摆实验，得到单摆周期的平方与摆长之间的关系图像如图所示。已知星球A和星球B质量相等，且均可视为质量均匀分布的球体，忽略星球A和星球B的自转。关于星球A和星球B的半径R、密度，下列比例关系正确的是（   ） A．RA：RB=4：1 B．RA：RB=1：2 C．A：B=1：8 D．A：B=1：4 【跟踪训练2】（2026·山东济南·模拟预测）如图所示，质量为的小球用长度为的细线悬挂于点，质量为的物块静止在质量为的木板右端，物块和木板上表面的动摩擦因数为，木板静置于光滑水平地面上，木板左侧地面上固定一个和木板等高的挡板。现将小球拉起由静止释放，小球沿圆弧运动至最低点和物块发生弹性碰撞，碰撞后小球开始做简谐运动。物块和木板达到共速后再运动一段时间，木板与挡板发生弹性碰撞，物块和木板再次达到共速时物块恰好未从木板上滑下。物块再次回到点正下方时，小球恰好完成次全振动。已知重力加速度，物块可视为质点，空气阻力忽略不计，求： (1)小球与物块发生第一次碰撞后，物块的速率； (2)木板的长度； (3)初始时，木板左端到挡板的距离。 【解密三】 变型“弹簧振子” 秘籍解读 模型建构： 此类问题主要识别物理情景中物体的运动受力是否满足力与位移成正比且方向相反。一般情况下，物体受到一个恒力与一个和位移成正比的力情况下为变型“弹簧振子”。 秘籍应用 【例1】（2026·湖南长沙·二模）如图所示，绝缘水平导轨MN上有质量分别为和的滑块甲、乙。劲度系数的轻质弹性绳左端与A点连接，右端跨过固定在导轨正上方处的轻质光滑小滑轮B与甲相连，弹性绳原长与AB段长度相等。甲不带电，乙带正电，电荷量，整个装置处于、方向水平向左的匀强电场中（图中未画出）。现乙以初速度与甲发生完全非弹性碰撞结合成一个整体。已知弹簧振子的周期，弹性绳弹性势能（为形变量），取，。下列说法正确的有（　　） A．若导轨光滑，两滑块向左运动的最大位移大小为0.6m B．若导轨光滑，从碰撞结束到两滑块第一次回到碰撞点经历的时间为0.8s C．若滑块与导轨间动摩擦因数，且，则弹性势能增量最大值为12.5J D．若滑块与导轨间动摩擦因数，且，从碰撞结束至两滑块最终停止运动，滑块运动的总路程为0.5m 【跟踪训练1】（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图所示，一粗糙竖直管道竖直固定在水平地面上，下端与外界连通，质量为m的物块A叠放在质量为3m的物块B上，B在管道中运动时所受摩擦力大小恒为2mg，管道中心的地面上竖直固定劲度系数为的轻弹簧，同时将A、B从弹簧上端高度为h处静止释放，重力加速度大小为g，轻弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），简谐运动的周期（m为振子质量，为回复力系数），不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。求A、B第一次向下运动的过程中： (1)B刚与弹簧接触时，A的速度大小； (2)当A、B间弹力最大时，弹簧的形变量； (3)A、B从速度最大到减速为零的时间。 【跟踪训练2】（2026·黑龙江大庆·二模）如图所示，一弹性轻绳（绳的弹力与其伸长量成正比）左端固定在墙上点，轻绳自然长度等于。弹性轻绳跨过固定轻杆一端的光滑定滑轮连接一个质量为的小球，小球穿过竖直固定的杆，初始时弹性轻绳在一条水平线上，小球从点由静止释放，当滑到点时速度恰好为零，已知、两点间距离为，小球与杆之间的动摩擦因数为，小球在点时弹性绳的拉力为，弹性轻绳始终处在弹性限度内，已知重力加速度为，求： (1)小球刚释放时的加速度大小； (2)已知弹性轻绳的弹性势能，其中为弹性轻绳的劲度系数、为弹性轻绳的伸长量，求小球由到克服弹性轻绳弹力所做的功和弹性轻绳的劲度系数； (3)从释放小球到最终停下来，小球运动的路程。 【解密四】简谐运动与万有引力的综合 秘籍解读 在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的球体其他部分物质的万有引力，等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G。 秘籍应用 【例1】（2026·河北保定·模拟预测）猜想是物理研究的重要手段之一、如图，某科技小组猜想从地球北极A点挖一条直线细隧道通往南极B点，从A点静止释放一物体，穿过地心到达B点，此过程用时。若该物体从A点绕地球做近地圆周运动到B点，此过程用时。已知一个质量均匀的球壳对其内部的引力为零，地球视为匀质球体，不计空气阻力，另外，质量为m0、劲度系数为k的弹簧振子的周期公式为则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练1】已知质量均匀分布的球壳对内部物体的引力为零。如图为某设计贯通地球的光滑真空列车隧道，质量为的列车从入口点由静止开始穿过隧道到达地球另一端的点，其中为地心，点到点的距离为。假设地球是半径为的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为，不考虑地球自转影响。则（　　） A．列车在点处受到的引力大小为 B．若列车完全无动力往复运行，则它在隧道内做简谐运动 C．列车的最大速度为 D．列车通过隧道的时间大于 【跟踪训练2】假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的球体，质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。在地球北极用弹簧测力测质量为m小球的重力，示数为F。若在地球内部，以地心O为圆心、为半径挖一条圆形隧道，如图所示。现使该小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。则其在隧道中做匀速圆周运动的周期为（　　） A． B． C． D． 【解密五】电场中的简谐运动 秘籍解读 模型分析： 电场中的简谐运动主要需要熟悉等量同种电荷连线中垂线上电导场线分布、异种电荷连线上的电场线分布、匀强电场加弹簧模型。 秘籍应用 【例1】（2026·河南·二模）如图所示，、两点固定有两个带相等电荷量的负点电荷，、是连线中垂线上的两点。为、的交点，。将一带正电的点电荷在点由静止释放，只考虑静电力作用，关于该点电荷的运动，下列说法正确的是（　　） A．由到的过程中，加速度逐渐减小 B．由到的过程中，电势能逐渐增大 C．该点电荷的运动为简谐运动 D．由到的运动时间等于由到的运动时间 【跟踪训练1】（2026·河北名校·模拟预测）如图所示，带正电的小球处在竖直向下的匀强电场中做简谐运动，小球运动到最高点时弹簧刚好处于原长，小球做简谐运动的最大速度为v1、振幅为A1，当小球运动到最高点时迅速撤去电场，此后小球振动过程中的最大速度为v2、振幅为A2，则下列判断正确的是（　　） A．v1=v2 B．v1>v2 C．A1<A2 D．A1=A2 【跟踪训练2】（2026·江西·模拟预测）射频识别（RFID）技术被广泛应用于物流溯源、门禁打卡等场景，其读卡器的信号发射核心为LC振荡电路，通过产生特定频率的高频电磁波触发电子标签响应。某RFID读卡器的LC振荡电路无能量损耗，电容器极板带电量q随时间t的变化规律如图所示，已知线圈自感系数为L、电容为C，则下列说法正确的是（　　） A．LC回路的振荡周期为4s B．LC回路中磁场能的变化周期为 C．减小电容C且增大线圈自感系数L，则LC回路的振荡周期一定会减小 D．1×10-6s~3×10-6s电容器处于先充电再放电过程 【跟踪训练3】（多选）（2026·陕西商洛·一模）如图所示，带电荷量为的球1固定在倾角为30°绝缘光滑斜面上的a点，其正上方L处固定一带电荷量为－Q的球2，斜面上距a点L处的b点有质量为m的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为；现迅速移走球1，球3沿斜面向下运动．球的大小不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．球3可能带负电 B．球3在a、b间做简谐运动 C．球3运动到a点时的速度大小为 D．球3在a点的加速度大小是在ab中点的4倍 【解密六】电磁感应中的简谐运动 秘籍解读 模型分析：电磁感应中的简谐运动主要集中在最近较热题型--含感切割模型，注意此模型一定为回路中不能有电阻存在。利用微元积分的方法进行处理分析。 秘籍应用 【例1】（多选）（2026·江西南昌·一模）如图所示，倾角为、间距为的光滑导轨的上端连接一自感系数为的线圈，空间存在垂直于导轨平面向上、磁感应强度大小为的匀强磁场，现将一根质量为的导体棒从导轨上某处由静止释放，由于电路中的总电阻极小，此后导体棒在导轨上做简谐运动，导体棒的最大速度与周期和振幅的关系为，重力加速度大小为，下列说法正确的是（    ） A．导体棒简谐运动的振幅为 B．导体棒的最大速度为 C．回路中的最大电流为 D．导体棒简谐运动的周期为 【例2】（2026·江苏·二模）如图所示，半径r=0.5m的水平金属圆盘绕过中心O的竖直轴以的角速度逆时针匀速转动。圆盘边缘通过电刷与导轨的A1点相连，中心O与单刀双掷开关S的接线柱1相连。水平固定平行导轨A1A2段和B1B2段为粗糙导轨，A2A3段和B2B3段为光滑导轨，且A1A2段与A2A3段在A2处绝缘，B1B2段与B2B3段在B2处绝缘。垂直导轨放置的金属棒PQ与粗糙段导轨之间的动摩擦因数为μ=0.5。在导轨的左端连接自感系数为L=0.1H的线圈。圆盘和水平导轨均处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小均为B=1.0T。已知金属棒PQ质量m=0.1kg，导轨的宽度d=1.0m，电阻R=5.0Ω，电容器的电容C=0.06F。不计金属棒PQ、导轨和自感线圈的电阻，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求电容器所带的电荷量；并判断哪个极板带正电？（选“M极板”或“N极板”） (2)将开关从1打到2，金属棒PQ由静止开始运动，从开始到最大速度经历的时间t=0.4s，求金属棒的最大速度； (3)若金属棒经过A2B2时的速度为v0=2.0m/s，此时立即加一外力，使金属棒做匀速运动，求金属棒匀速运动x0=1.0m过程中线圈储存的能量。 【跟踪训练1】（2026·山东日照·一模）如图所示，倾角为θ、宽度为d的足够长平行金属导轨，顶端通过开关与阻值为R的电阻相连，自感系数为L的理想线圈通过开关与电阻并联，整个空间充满垂直于导轨所在平面向下的匀强磁场，时刻的磁感应强度大小为。一质量为m，长为d的导体棒置于导轨上，与导轨间的动摩擦因数为。导轨与导体棒始终垂直且接触良好，忽略导轨与导体棒的电阻，不考虑电磁辐射，重力加速度为g。 (1)时，仅闭合，将导体棒从距离顶端d处由静止释放，棒中无感应电流，时刻在外力作用下突然静止，求磁场感应强度B随时间t变化的函数表达式和静止瞬间回路中的电流大小； (2)时，仅闭合，将导体棒从距离顶端d处由静止释放，磁感应强度保持不变，求导体棒下滑的最大距离和稳定时回路中的电流大小。 【跟踪训练2】（2026·四川成都·二模）如图所示，在水平面内有间距为d的两根导轨平行放置。每根导轨由两段光滑的直金属杆组成，连接点，分别由一小段绝缘材料平滑连接。在整个导轨区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。在靠近处静止放置一根金属棒，，之间连接有电感为L的线圈，，之间连接有电容值为C的电容和阻值为R的电阻。电容带有初始电量，靠近的极板带正电。除电阻R，所有的导轨、金属棒和元件的电阻均忽略不计。导轨连接处的绝缘材料不会对金属棒的运动产生干扰。，左右两边的导轨均足够长。现闭合开关S，金属棒开始运动。已知金属棒质量为m（线圈中产生的自感电动势大小为，简谐振动的周期为）。 (1)求金属棒第一次在区域达到稳定状态的速度； (2)求金属棒第一次经过到下一次经过经历的时间； (3)若有，求金属杆第n次经过时，电阻上消耗的总热量占电容初始储存能量的比例，用k表示。 【跟踪训练3】（2026·河北·一模）如图所示，间距L=0.2m的两光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间存在方向垂直平面的磁场，取垂直平面向下为磁场正方向，磁感应强度随x坐标的变化关系为B=5x（T）。导轨右端通过导线连接开关S和智能电源，智能电源内阻不计，可实时改变输出电压，保证回路中电流I=2A，方向如图所示。质量m=0.16kg、电阻R=0.5Ω的金属棒ab垂直导轨放置于x=0.6m处。闭合开关S，棒ab从静止开始运动。已知棒ab运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，不计空气阻力及摩擦阻力，简谐运动的周期，m为振子的质量，k为回复力系数，π取3）。 (1)求开关S闭合瞬间，棒ab的加速度大小； (2)棒ab第一次运动到x=0.2m的过程，求安培力对棒ab做的功和棒运动到x=0.2m处时智能电源提供的电压； (3)求棒ab从x=0.3m直接运动到处的过程中智能电源对外做的功。 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘籍07 简谐运动的综合运用（含引力场、电磁场中的运用） 秘籍导览 【解密高考】 【秘籍特训】 【解密一】弹簧振子 【解密二】单摆模型 【解密三】变型“弹簧振子” 【解密四】简谐运动与万有引力的综合（押题型） 【解密五】电场中的简谐运动 【解密六】电磁感应中的简谐运动 解密高考 ：简谐运动作为机械振动中最简单的一种振动形式，其回复力与位移关系是其最明显的特点，所以经常与弹簧的弹力、库仑力、导棒切割磁感线时所受培力、万有引力进行综合考察。 ：近几年高考中简谐运动的综合应用考察频率非常高。2026年高考中考察的概率非常大，且出现简谐运动原模型（即弹簧振子、单摆）的机率不大，大概率与电磁学或换个装置的简谐运动，需要考生能识别出简谐运动。 秘籍特训 【解密一】弹簧振子 秘籍解读 分析简谐运动的技巧 (1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，要以位移（相对平衡位置的位移）为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 (2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。 (3)若没有给出开始时刻质点的振动方向，还须分情况讨论，以防丢解。 秘籍应用 【例1】（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图所示，质量为0.1kg的小球与劲度系数为k的轻弹簧相连，初始时小球静止在O点，弹簧的伸长量为5cm。某时刻施加竖直向下大小为2N的恒定外力将小球拉至A点后撤去外力。已知弹簧始终在弹性限度内，A、O间距离为10cm，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．弹簧的劲度系数k为0.2N/m B．小球做简谐运动的振幅为10cm C．小球运动的最大速度为4m/s D．小球运动的最大速度为2m/s 【答案】D 【详解】A．初始时，对小球受力分析，有， 解得，故A错误； B．小球在A点时速度不为0，振幅大于10cm，故B错误； CD．小球返回O点时速度最大，从静止开始向下运动到返回O点的过程，根据动能定理可得 解得，故C错误，D正确。 故选D。 【跟踪训练1】（2026·四川广安·模拟预测）如图所示，小球用轻弹簧连接在固定的光滑斜面顶端，斜面倾角。小球在斜面上做简谐运动，振幅为A，到达最高点时，弹簧处于原长，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g，则小球的最大速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】小球在斜面上做简谐运动，平衡位置是合力为零的位置。 沿斜面方向平衡时，重力分力与弹簧弹力平衡 简谐运动的最大速度出现在平衡位置，对从最高点到平衡位置过程由动能定理得 代入化简得 因此最大速度 故选C。 【跟踪训练2】（2026·吉林长春·一模）如图（a），轻质弹簧下端固定在光滑斜面底端，上端与物块甲相连，甲处于静止状态。现从斜面上某位置由静止释放物块乙，运动一段距离与甲碰撞，碰撞后一起沿斜面向下运动。取乙的释放位置为坐标原点O建立一维坐标系，x轴的正方向沿斜面向下。乙的动能Ek与位置坐标x的关系如图（b）所示，图像中0~x1之间为直线，其余部分为曲线且在x=x2处切线斜率为0。甲、乙均可视为质点，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙质量之比为2:1 B．甲、乙碰撞后在x=x2位置加速度最大 C．位置坐标满足关系 D．弹簧的劲度系数 【答案】D 【详解】A．由图b可知，物块乙与物块甲碰撞前的动能 物块乙与物块甲碰撞后的动能 物块乙与物块甲碰撞过程，根据动量守恒定律 联立解得，故A错误； B．由图b可知，甲与乙碰撞后乙在x2处动能最大，则甲与乙碰撞后在x2位置处速度最大，此位置为平衡位置，加速度为零，故B错误； C．由图（b）可知，x3位置的速度减小到0，说明是平衡位置下方的最大位移处，而x1处的速度不为0，说明此位置不是该简谐振动平衡位置上方的最大位移处，因此有 解得，故C错误； D．弹簧上端与物块甲相连，物块甲处于静止状态，设此时弹簧的形变量为x0，结合图a根据平衡条件可知 当甲乙一起运动到x2位置时，速度最大，根据平衡条件可得 物块乙从释放到位置x1的过程中，由动能定理可得， 联立解得，故D正确。 故选D。 【跟踪训练3】（2026·湖南永州·二模）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为3m的小球A，质量为2m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态，弹簧劲度系数为k，弹簧原长足够长，重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是（   ） A．剪断细线后的瞬间，小球A的加速度大小为g B．小球A运动到弹簧原长处时速度最大 C．小球A运动到最高点时，弹簧的压缩量为 D．小球A的最大速度为 【答案】D 【详解】A．未剪断细线时，对A、B整体由平衡条件可知，弹簧弹力F0 = (3m＋2m)g = 5mg 剪断细线的瞬间弹簧弹力不变，对A根据牛顿第二定律得：F0－3mg = 3ma 解得小球A的加速度大小为，故A错误； B．小球A的速度最大时其加速度为零，其合力为零，此时弹簧弹力与小球A的重力等大反向，故小球A运动到速度最大时弹簧不是在原长处，而是处于伸长状态，故B错误； C．剪断细线后小球A在竖直方向做简谐运动，初始位置即为小球简谐运动的最低点，由A选项的解答可知，小球A运动到最低点时，弹簧弹力方向向上，大小为5mg，由胡克定律可得此时弹簧的伸长量为；小球A在最低点时所受合力向上，大小为F0－3mg = 2mg，由简谐运动的对称性可知，小球A运动到最高点时，所受合力向下，大小亦为2mg，因小球A的重力为3mg，故此时弹簧弹力应向上，大小为mg，故此弹簧为伸长状态，其伸长量为，故C错误； D．小球在平衡位置时弹簧伸长量为，则从最高点到平衡位置，则由能量守恒 解得在平衡位置的速度，故D正确。 故选D。 【解密二】 单摆模型 秘籍解读 (1)公式的适用条件：单摆的最大偏角θm很小时，单摆的运动才能近似看作简谐运动，公式T＝2π 才适用。一般要求最大偏角θm<5°。 (2)在等效单摆模型中，公式可变换为T＝2π 。 ①l′——等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆在垂直于纸面的平面内摆动，等效摆长l′＝r＋Lcosα。乙图中小球(可看作质点)在半径为R的光滑圆槽中A点的附近振动，其等效摆长为l′＝R。 ②g′——等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关。 a．在不同星球表面，若忽略星球的自转，g′＝，M为星球的质量，R为星球的半径。 b．单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g′＝g＋a和g′＝g－a，a为超重或失重时单摆系统整体竖直向上或竖直向下的加速度大小。 c．如图丙所示，空间有竖直向下的电场强度大小为E的匀强电场，小球的质量为m、所带电荷量为＋q，细线绝缘，则等效重力加速度g′＝g＋。 秘籍应用 【例1】（2026·重庆·模拟预测）图1中，用一轻质细线将一可视为质点的小球悬挂在天花板上，其摆动周期为T1；图2中，用一轻质细线将该小球挂在光滑固定的斜面上，使其紧贴斜面摆动，摆动周期为T2；图3中，用两根等长的轻质细线将该小球悬挂在水平天花板上，使其沿垂直纸面方向摆动，摆动周期为T3。若所有摆动均视为单摆运动，且所有细线长度相同，重力加速度均为g，则（　　） A．T2>T1>T3 B．T1>T3>T2 C．T1>T2>T3 D．T2>T1=T3 【答案】A 【详解】设细线长度为L，图2斜面倾角为，图3中两线夹角为，则图1、图2、图3单摆周期分别为，， 综上可知。 故选A。 【跟踪训练1】（2026·云南·模拟预测）分别在星球A和星球B表面进行单摆实验，得到单摆周期的平方与摆长之间的关系图像如图所示。已知星球A和星球B质量相等，且均可视为质量均匀分布的球体，忽略星球A和星球B的自转。关于星球A和星球B的半径R、密度，下列比例关系正确的是（   ） A．RA：RB=4：1 B．RA：RB=1：2 C．A：B=1：8 D．A：B=1：4 【答案】C 【详解】由单摆周期公式 变形得 T2-L图像斜率 易得gA：gB=1：4 AB．星球A和星球B质量相等，由 得GM=gR2 则有，故AB错误； CD．由密度公式 有，故C正确，D错误。 故选C。 【跟踪训练2】（2026·山东济南·模拟预测）如图所示，质量为的小球用长度为的细线悬挂于点，质量为的物块静止在质量为的木板右端，物块和木板上表面的动摩擦因数为，木板静置于光滑水平地面上，木板左侧地面上固定一个和木板等高的挡板。现将小球拉起由静止释放，小球沿圆弧运动至最低点和物块发生弹性碰撞，碰撞后小球开始做简谐运动。物块和木板达到共速后再运动一段时间，木板与挡板发生弹性碰撞，物块和木板再次达到共速时物块恰好未从木板上滑下。物块再次回到点正下方时，小球恰好完成次全振动。已知重力加速度，物块可视为质点，空气阻力忽略不计，求： (1)小球与物块发生第一次碰撞后，物块的速率； (2)木板的长度； (3)初始时，木板左端到挡板的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设碰前小球速度为，碰后小球速度为，物块的速度为，取向左为正方向，则由动能定理有 解得 小球与物块发生弹性碰撞，碰撞过程动量守恒和机械能守恒，则， 联立解得， （2）设物块和木板第一次共速速度为，取向左为正方向，物块在木板上运动过程系统动量守恒，则 解得 设此时相对位移为，由功能关系有 解得 木板与挡板发生弹性碰撞，木板速度反向，物块和木板再次达到共速过程动量守恒，则 解得 设此时相对位移为，由功能关系有 解得 所以木板的长度 （3）取向左为正方向，小球与物块碰撞后，对木板，由牛顿第二定律有 解得 第一次共速时，对木板有， 解得， 设初始时，木板左端到挡板的距离为，以速度匀速运动用时为，则 木板与挡板碰撞后第二次共速有， 解得， 设以以速度再匀速运动，物块回到点正下方，则 碰撞后小球开始做简谐运动，则其周期 物块再次回到点正下方时，小球恰好完成次全振动，则 联立解得 【解密三】 变型“弹簧振子” 秘籍解读 模型建构： 此类问题主要识别物理情景中物体的运动受力是否满足力与位移成正比且方向相反。一般情况下，物体受到一个恒力与一个和位移成正比的力情况下为变型“弹簧振子”。 秘籍应用 【例1】（2026·湖南长沙·二模）如图所示，绝缘水平导轨MN上有质量分别为和的滑块甲、乙。劲度系数的轻质弹性绳左端与A点连接，右端跨过固定在导轨正上方处的轻质光滑小滑轮B与甲相连，弹性绳原长与AB段长度相等。甲不带电，乙带正电，电荷量，整个装置处于、方向水平向左的匀强电场中（图中未画出）。现乙以初速度与甲发生完全非弹性碰撞结合成一个整体。已知弹簧振子的周期，弹性绳弹性势能（为形变量），取，。下列说法正确的有（　　） A．若导轨光滑，两滑块向左运动的最大位移大小为0.6m B．若导轨光滑，从碰撞结束到两滑块第一次回到碰撞点经历的时间为0.8s C．若滑块与导轨间动摩擦因数，且，则弹性势能增量最大值为12.5J D．若滑块与导轨间动摩擦因数，且，从碰撞结束至两滑块最终停止运动，滑块运动的总路程为0.5m 【答案】ABC 【详解】A．设弹性绳BC段与竖直方向夹角为θ，对甲所受弹性绳弹力分析有，（保持不变） 由 解得 导轨光滑时，设碰后最大位移为，由 解得，故A正确； B．分析知甲、乙做简谐运动，由 可知平衡位置，则 由，， 联立可得，故B正确； C．由 解得 则，故C正确； D．由 可知滑块运动至最左端后会滑回，故总路程，故D错误。 故选ABC。 【跟踪训练1】（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图所示，一粗糙竖直管道竖直固定在水平地面上，下端与外界连通，质量为m的物块A叠放在质量为3m的物块B上，B在管道中运动时所受摩擦力大小恒为2mg，管道中心的地面上竖直固定劲度系数为的轻弹簧，同时将A、B从弹簧上端高度为h处静止释放，重力加速度大小为g，轻弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），简谐运动的周期（m为振子质量，为回复力系数），不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。求A、B第一次向下运动的过程中： (1)B刚与弹簧接触时，A的速度大小； (2)当A、B间弹力最大时，弹簧的形变量； (3)A、B从速度最大到减速为零的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由动能定理，有 解得 （2）由动力学分析知，当A、B速度减为零时，A、B间的弹力最大，由能量守恒有 其中 可得 （3）设A、B速度最大时弹簧压缩量为，A、B从处再下降时，受力分析，有， 可得 则A、B向下运动的过程可看成简谐运动的一部分，则 可得 【跟踪训练2】（2026·黑龙江大庆·二模）如图所示，一弹性轻绳（绳的弹力与其伸长量成正比）左端固定在墙上点，轻绳自然长度等于。弹性轻绳跨过固定轻杆一端的光滑定滑轮连接一个质量为的小球，小球穿过竖直固定的杆，初始时弹性轻绳在一条水平线上，小球从点由静止释放，当滑到点时速度恰好为零，已知、两点间距离为，小球与杆之间的动摩擦因数为，小球在点时弹性绳的拉力为，弹性轻绳始终处在弹性限度内，已知重力加速度为，求： (1)小球刚释放时的加速度大小； (2)已知弹性轻绳的弹性势能，其中为弹性轻绳的劲度系数、为弹性轻绳的伸长量，求小球由到克服弹性轻绳弹力所做的功和弹性轻绳的劲度系数； (3)从释放小球到最终停下来，小球运动的路程。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）根据牛顿第二定律 解得 （2）由到过程中，对任一位置受力分析可得 其中为弹性绳和竖直杆的夹角，由于 故竖直杆对小球弹力保持不变，摩擦力保持不变，满足 根据动能定理 解得 故 解得 （3）由到过程中，弹性绳的弹力竖直分量为 其中小球所处位置到点的距离，由于摩擦力保持不变，故小球由到过程为简谐运动，小球向下运动的平衡位置在点下方处 第一次向下运动，简谐运动振幅 向下运动距离 小球向上运动的平衡位置在点下方处，根据 解得 故小球第一次向上运动时，振幅 向上运动距离 小球第二次向下运动，平衡位置不变，振幅变为 故向下运动距离 当第二次向下运动到最低点时，此时 弹性绳弹力的竖直分量等于重力，故小球停止运动。小球运动的路程 【解密四】简谐运动与万有引力的综合 秘籍解读 在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的球体其他部分物质的万有引力，等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G。 秘籍应用 【例1】（2026·河北保定·模拟预测）猜想是物理研究的重要手段之一、如图，某科技小组猜想从地球北极A点挖一条直线细隧道通往南极B点，从A点静止释放一物体，穿过地心到达B点，此过程用时。若该物体从A点绕地球做近地圆周运动到B点，此过程用时。已知一个质量均匀的球壳对其内部的引力为零，地球视为匀质球体，不计空气阻力，另外，质量为m0、劲度系数为k的弹簧振子的周期公式为则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】设地球的密度为，地球的半径为，物体沿路径1运动时，当物体离地心距离为时，物体受到的万有引力大小为 其方向总是指向地心O，可知物体沿路径1以地心O为平衡位置做简谐运动，其周期为 物体沿路径1从A运动到B所用时间 该物体从A点绕地球做近地圆周运动到B点，根据万有引力提供向心力有 其中 解得 用时 故 故选A。 【跟踪训练1】已知质量均匀分布的球壳对内部物体的引力为零。如图为某设计贯通地球的光滑真空列车隧道，质量为的列车从入口点由静止开始穿过隧道到达地球另一端的点，其中为地心，点到点的距离为。假设地球是半径为的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为，不考虑地球自转影响。则（　　） A．列车在点处受到的引力大小为 B．若列车完全无动力往复运行，则它在隧道内做简谐运动 C．列车的最大速度为 D．列车通过隧道的时间大于 【答案】B 【详解】A．将地球看作两部分，一部分是以为球心为半径的“小球”，另一部分即剩余的球壳，球壳对点处的列车引力为，所以只需要考虑点以下的“小球”对列车的引力，根据黄金代换有 由万有引力定律得，故A错误； B．根据上面的分析可知列车在隧道中运行时受到的合力大小与偏离点的距离成正比，且方向与偏离点的方向相反，所以完全无动力运行时列车在隧道内做简谐振动，故B正确； C．列车在点时速度最大，研究列车从到的过程，因为列车所受引力与到球心的距离成正比，所以重力对列车做功根据力的平均值计算有 由动能定理得 得，故C错误； D．根据上面的分析可知列车从到的过程中受到地球的引力逐渐减小，根据牛顿第二定律可知列车做做加速度减小的加速运动，平均速度 运动时间小于 所以列车通过隧道的时间小于，故D错误。 故选B。 【跟踪训练2】假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的球体，质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。在地球北极用弹簧测力测质量为m小球的重力，示数为F。若在地球内部，以地心O为圆心、为半径挖一条圆形隧道，如图所示。现使该小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。则其在隧道中做匀速圆周运动的周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，质量为m小球的重力 由于球体积为 设地球的平均密度为，地球的质量 联立解得 小球在地球内部半径为的隧道运动时受到的万有引力为 此时小球受到的万有引力提供向心力，则有 解得。 故选A。 【解密五】电场中的简谐运动 秘籍解读 模型分析： 电场中的简谐运动主要需要熟悉等量同种电荷连线中垂线上电导场线分布、异种电荷连线上的电场线分布、匀强电场加弹簧模型。 秘籍应用 【例1】（2026·河南·二模）如图所示，、两点固定有两个带相等电荷量的负点电荷，、是连线中垂线上的两点。为、的交点，。将一带正电的点电荷在点由静止释放，只考虑静电力作用，关于该点电荷的运动，下列说法正确的是（　　） A．由到的过程中，加速度逐渐减小 B．由到的过程中，电势能逐渐增大 C．该点电荷的运动为简谐运动 D．由到的运动时间等于由到的运动时间 【答案】D 【详解】A．假设正点电荷初位置在足够远的地方，其受静电力特别小(几乎为零)，加速度很小；当正点电荷在点，所受静电力为零，加速度为0；因此正点电荷从足够远的地方到点，加速度先增大后减小，题中没有说明点的具体位置，因此无法判断加速度的变化，故A错误； B．由到的过程中，静电力是吸引力做正功，电势能减小，故B错误； C．令单个负点电荷带电荷量为，正点电荷带电荷量为，，以向上为正方向建立轴，正点电荷运动到处所受的静电力，不符合简谐运动的回复力（）的形式，故C错误； D．由点到点与由点到点正点电荷的受力情况是对称的，因此运动是对称的，故时间相同，故D正确。 故选D。 【跟踪训练1】（2026·河北名校·模拟预测）如图所示，带正电的小球处在竖直向下的匀强电场中做简谐运动，小球运动到最高点时弹簧刚好处于原长，小球做简谐运动的最大速度为v1、振幅为A1，当小球运动到最高点时迅速撤去电场，此后小球振动过程中的最大速度为v2、振幅为A2，则下列判断正确的是（　　） A．v1=v2 B．v1>v2 C．A1<A2 D．A1=A2 【答案】B 【详解】CD．根据简谐运动的特点有， 其中k为比例系数，因此，故CD错误； AB．撤去电场前，在最高点时，小球的加速度大小 撤去电场后，在最高点时，小球的加速度大小 小球从最高点运动到平衡位置过程的a-x图像如图所示 由得， 结合微元累积法可知，a-x图像与横轴所包围的面积表示末速度平方与初速度平方差值的，设小球的最大速度为，由于小球在最高点时速度为零，则有 解得 故， 即，故A错误，B正确。 故选B。 【跟踪训练2】（2026·江西·模拟预测）射频识别（RFID）技术被广泛应用于物流溯源、门禁打卡等场景，其读卡器的信号发射核心为LC振荡电路，通过产生特定频率的高频电磁波触发电子标签响应。某RFID读卡器的LC振荡电路无能量损耗，电容器极板带电量q随时间t的变化规律如图所示，已知线圈自感系数为L、电容为C，则下列说法正确的是（　　） A．LC回路的振荡周期为4s B．LC回路中磁场能的变化周期为 C．减小电容C且增大线圈自感系数L，则LC回路的振荡周期一定会减小 D．1×10-6s~3×10-6s电容器处于先充电再放电过程 【答案】D 【详解】A．根据图像可知，LC回路的周期为，故A错误； B．LC回路中磁场能是标量，所以磁场能的周期为，故B错误； C．根据可知周期不一定会增大。故C错误； D．1×10-6s~3×10-6s电容器电荷量先增加再减小，处于先充电再放电过程，故D正确。 故选D。 【跟踪训练3】（多选）（2026·陕西商洛·一模）如图所示，带电荷量为的球1固定在倾角为30°绝缘光滑斜面上的a点，其正上方L处固定一带电荷量为－Q的球2，斜面上距a点L处的b点有质量为m的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为；现迅速移走球1，球3沿斜面向下运动．球的大小不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．球3可能带负电 B．球3在a、b间做简谐运动 C．球3运动到a点时的速度大小为 D．球3在a点的加速度大小是在ab中点的4倍 【答案】CD 【详解】A．由题意可知三小球构成等边三角形，弹簧处于压缩状态，故球1和3之间一定是斥力，故球3带正电，A错误； BC．球3运动至a点时，弹簧的伸长量等于，由对称性可知，球2对3的库仑力做功为0，弹簧弹力做功为0，据动能定理有 解得 球3在a点速度不为零，可见不可能在a、b间做简谐运动，B错误、C正确； D．设球3的电荷量为q，在b点有 设弹簧的弹力为F，沿斜面方向有 解得 球3运动至a点时，弹簧的弹力等大反向，则有 解得 而球3运动至ab中点时，弹簧弹力为0，在沿斜面方向有 解得，D正确。 故选CD。 【解密六】电磁感应中的简谐运动 秘籍解读 模型分析：电磁感应中的简谐运动主要集中在最近较热题型--含感切割模型，注意此模型一定为回路中不能有电阻存在。利用微元积分的方法进行处理分析。 秘籍应用 【例1】（多选）（2026·江西南昌·一模）如图所示，倾角为、间距为的光滑导轨的上端连接一自感系数为的线圈，空间存在垂直于导轨平面向上、磁感应强度大小为的匀强磁场，现将一根质量为的导体棒从导轨上某处由静止释放，由于电路中的总电阻极小，此后导体棒在导轨上做简谐运动，导体棒的最大速度与周期和振幅的关系为，重力加速度大小为，下列说法正确的是（    ） A．导体棒简谐运动的振幅为 B．导体棒的最大速度为 C．回路中的最大电流为 D．导体棒简谐运动的周期为 【答案】BC 【详解】导体棒运动时，感应电动势 自感电动势 电路总电阻极小，故 即 积分得，即（以平衡位置为原点，位移为）。 导体棒受力： 代入，平衡位置处，得 即平衡位置位移 以平衡位置为新原点，位移为，则，代入得： 即简谐运动回复力 角频率 A．导体棒从静止释放，初始位置为最大位移处，振幅，A错误。 B．简谐运动最大速度 代入、 得，B正确。 C．根据前面分析，可知最大电流 代入，得，C正确。 D．简谐运动周期，D错误。 故选BC。 【例2】（2026·江苏·二模）如图所示，半径r=0.5m的水平金属圆盘绕过中心O的竖直轴以的角速度逆时针匀速转动。圆盘边缘通过电刷与导轨的A1点相连，中心O与单刀双掷开关S的接线柱1相连。水平固定平行导轨A1A2段和B1B2段为粗糙导轨，A2A3段和B2B3段为光滑导轨，且A1A2段与A2A3段在A2处绝缘，B1B2段与B2B3段在B2处绝缘。垂直导轨放置的金属棒PQ与粗糙段导轨之间的动摩擦因数为μ=0.5。在导轨的左端连接自感系数为L=0.1H的线圈。圆盘和水平导轨均处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小均为B=1.0T。已知金属棒PQ质量m=0.1kg，导轨的宽度d=1.0m，电阻R=5.0Ω，电容器的电容C=0.06F。不计金属棒PQ、导轨和自感线圈的电阻，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求电容器所带的电荷量；并判断哪个极板带正电？（选“M极板”或“N极板”） (2)将开关从1打到2，金属棒PQ由静止开始运动，从开始到最大速度经历的时间t=0.4s，求金属棒的最大速度； (3)若金属棒经过A2B2时的速度为v0=2.0m/s，此时立即加一外力，使金属棒做匀速运动，求金属棒匀速运动x0=1.0m过程中线圈储存的能量。 【答案】(1)，M极板带正电 (2) (3) 【详解】（1）设金属圆盘转动产生的电动势为E，则有 解得 设电容器所带的电荷量为，则有 解得 根据右手定则可知，M极板带正电。 （2）设金属棒的最大速度为，最大速度时电流为，电容器电压为，则 解得 根据 设在达到最大速度过程中通过金属棒的电量为，则 在达到最大速度过程中，由动量定理得 解得 （3）由于回路电阻为零，金属棒产生的电动势等于自感电动势，则有 可得 设金属棒匀速运动时的电流为，则有 则 则金属棒匀速运动过程中线圈储存的能量为 【跟踪训练1】（2026·山东日照·一模）如图所示，倾角为θ、宽度为d的足够长平行金属导轨，顶端通过开关与阻值为R的电阻相连，自感系数为L的理想线圈通过开关与电阻并联，整个空间充满垂直于导轨所在平面向下的匀强磁场，时刻的磁感应强度大小为。一质量为m，长为d的导体棒置于导轨上，与导轨间的动摩擦因数为。导轨与导体棒始终垂直且接触良好，忽略导轨与导体棒的电阻，不考虑电磁辐射，重力加速度为g。 (1)时，仅闭合，将导体棒从距离顶端d处由静止释放，棒中无感应电流，时刻在外力作用下突然静止，求磁场感应强度B随时间t变化的函数表达式和静止瞬间回路中的电流大小； (2)时，仅闭合，将导体棒从距离顶端d处由静止释放，磁感应强度保持不变，求导体棒下滑的最大距离和稳定时回路中的电流大小。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）导体棒中无感应电流说明回路磁通量始终不变。初始磁通量 设时刻导体棒下滑位移为，则此时磁通量 由，得 导体棒不受安培力，由牛顿第二定律，得 代入，得 导体棒做匀加速运动，由匀变速直线运动位移与时间的关系，得 代入得的表达式 时刻导体棒速度 感应电动势 回路中的电流 （2）回路中无电阻，导体棒切割磁感线产生的动生电动势等于自感电动势，在极短的时间内，有 可得 并对等式两边求和，得 解得 由牛顿第二定律，可得 等式两边同时乘，得 代入，，得 对等式两边微元求和，得 导体棒第一次速度降为0时位移最大，则有 解得最大距离 摩擦力持续做功损耗能量，稳定后导体棒静止，合力为零，满足 代入化简得稳定电流 【跟踪训练2】（2026·四川成都·二模）如图所示，在水平面内有间距为d的两根导轨平行放置。每根导轨由两段光滑的直金属杆组成，连接点，分别由一小段绝缘材料平滑连接。在整个导轨区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。在靠近处静止放置一根金属棒，，之间连接有电感为L的线圈，，之间连接有电容值为C的电容和阻值为R的电阻。电容带有初始电量，靠近的极板带正电。除电阻R，所有的导轨、金属棒和元件的电阻均忽略不计。导轨连接处的绝缘材料不会对金属棒的运动产生干扰。，左右两边的导轨均足够长。现闭合开关S，金属棒开始运动。已知金属棒质量为m（线圈中产生的自感电动势大小为，简谐振动的周期为）。 (1)求金属棒第一次在区域达到稳定状态的速度； (2)求金属棒第一次经过到下一次经过经历的时间； (3)若有，求金属杆第n次经过时，电阻上消耗的总热量占电容初始储存能量的比例，用k表示。 【答案】(1)，方向水平向右 (2) (3) 【详解】（1）设金属棒第一次达到稳定的速度为，电容器上剩余电量为 此时回路中电流为0，于是有① 另一方面在金属棒达到稳定的过程中，其牛顿运动方程为 两侧同时乘并求和，，即② 联立①②解得，方向水平向右， （2）由于导轨足够长，金属棒第一次经过时速度为 在后续运动过程中，由于金属杆、线圈、导轨都没有电阻，因此金属杆的动生电动势必然与线圈的自感电动势等大反向，即， 求和得，③，其中x为金属杆在右侧的位移。 另一方面金属杆受到的合力（向右为正）为 将③代入，得 这是一个等效劲度系数的线性恢复力，因此金属杆做平衡位置在处的简谐振动。金属棒从第一次经过到回到的时间为简谐振动周期的一半，即 （3）由于简谐运动对称性，金属棒第一次向左通过的速度仍然为。此时动生电动势与电容对外的电压方向相同，电容放电的同时金属棒减速。此时若金属棒先减速为0，则电容继续放电使金属棒向右加速；若电容先放完电，则金属棒继续减速并为电容反向充电。但金属棒最终一定会达到一个新的匀速，设向右为正，此时电容电量为。 类似①②有⑤， ，即⑥ 联立⑤⑥解得， 代入，，， 对比，有， 于是，每次金属杆从左向右通过时系统中剩余的能量都是上一次左向右通过时的。而金属杆在电感回路上返回时剩余动能不变。 金属杆第一次从左向右通过时系统中剩余的能量为 综上所述，金属杆第n次经过时，系统中剩余的总能量占电容初始储存能量的比例为 电阻上消耗的总热量占电容初始储存能量的比例为 【跟踪训练3】（2026·河北·一模）如图所示，间距L=0.2m的两光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间存在方向垂直平面的磁场，取垂直平面向下为磁场正方向，磁感应强度随x坐标的变化关系为B=5x（T）。导轨右端通过导线连接开关S和智能电源，智能电源内阻不计，可实时改变输出电压，保证回路中电流I=2A，方向如图所示。质量m=0.16kg、电阻R=0.5Ω的金属棒ab垂直导轨放置于x=0.6m处。闭合开关S，棒ab从静止开始运动。已知棒ab运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，不计空气阻力及摩擦阻力，简谐运动的周期，m为振子的质量，k为回复力系数，π取3）。 (1)求开关S闭合瞬间，棒ab的加速度大小； (2)棒ab第一次运动到x=0.2m的过程，求安培力对棒ab做的功和棒运动到x=0.2m处时智能电源提供的电压； (3)求棒ab从x=0.3m直接运动到处的过程中智能电源对外做的功。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）初始时，棒ab所在处的磁感应强度大小为 对棒ab由牛顿第二定律有 解得 （2）依题意可知安培力大小，则棒ab从第一次到的过程中有，其中，， 由知在此过程中安培力对棒ab做功 解得 设棒ab运动至时的速度大小为，由动能定理有 解得 由闭合电路欧姆定律有 解得 （3）依题意，金属棒ab运动过程中在水平方向所受合力大小等于安培力大小，以轴为位移的初位置，以向右为正，有，可知棒做简谐运动，回复力系数，则棒ab做简谐运动的周期 则棒从开始振动的方程为 故棒ab从运动到所用时间，从运动到处的时间为，从处向左运动到处的时间为 由知此过程中棒ab产生的焦耳热为 由动能定理知此过程中棒ab动能变化量等于安培力做的功，为，其中，， 综上可得智能电源对外做的功为 解得 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $