精品解析：北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题

门头沟区2026年高三年级综合练习 数学 2026.3 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解绝对值不等式，再根据集合的交集的定义可得. 【详解】由,解得或 ,所以或, 而，所以 2. 在复平面内，复数满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，故， 所以. 3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，因为，所以不是奇函数，即A错误； 对于 B，易知的定义为，定义域关于原点对称， 且满足，因此该函数为奇函数， 又，因此函数在上单调递减，即B正确； 对于C，由正切函数定义可知不在定义域内，因此C错误； 对于D，易知的定义域为，则, 令可得，当时，，当时，， 因此可得函数在上单调递减，在上单调递增， 因此在上不是单调递减的，即D错误. 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则 （ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题知，双曲线焦点位于x轴上，故， 渐近线方程为， 而已知双曲线的一条渐近线方程为， 故，解得. 5. 已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 31 B. 15 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 由等比数列性质可得，即，解得； 又，可得； 所以. 6. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由题知，，等价于，即原条件可化简为， 对正数，由基本不等式得，若，则，因此，充分性成立； 取满足，但，即不满足，因此必要性不成立. 综上，是的充分而不必要条件. 7. 某家用方形分装漏斗的主体结构可抽象成一个上大下小的正四棱台，若，，且侧面与上底面 的夹角为 ，若不考虑材料厚度、接缝及裁剪损耗，制作该漏斗的侧面所需材料的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别取 、 、、的中点 、 、 、 ，连接 、 、、，根据正棱台的性质求出，即可求出. 【详解】如图，分别取 、 、、的中点 、 、 、 ， 连接 、 、、， 因为是正四棱台，所以、 ， 又侧面与上底面 的夹角为 ，所以， 又，，所以、， 所以， 所以， 所以制作该漏斗的侧面所需材料的面积为. 8. 农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用（，k为正常数）描述，其中C为喷施农药t天后，果蔬表面的农药残留量（单位：mg/kg），某品种有机磷农药的降解速率常数，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为8mg/kg，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（ ） A. 3天 B. 6天 C. 9天 D. 12天 【答案】C 【解析】 【分析】根据国家食品安全标准规定得出不等式，再由函数单调性解不等式即可求得结果. 【详解】设该蔬菜的最短安全采收间隔期为 天, 依题意可得,其中，， 所以可得，即，解得； 因此该蔬菜的最短安全采收间隔期为9天. 9. 设函数，若点为函数图象的一个对称中心，且在上的最大值为2，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先化简函数，根据点为函数图象的一个对称中心求出，再根据在上的最大值为2结合三角函数最值求出，两者结合即可推出的最小值. 【详解】， 点是的对称中心，因此，代入得 ， 即，整理得； 当时，， 而根据解析式可知最大值为 ， 说明区间必须包含，因此 ， 解得； 结合且， 时，，不满足； 时，，满足条件. 因此的最小值为 . 10. 无穷数列满足如下条件①；②；③．则下列说法正确的是（ ） A. 若，则满足条件的单调数列有且只有2个 B. 对于任意给定的，满足条件的单调数列有且只有1个 C. 存在使得满足条件的数列有且只有1个 D. 存在无数个使得满足条件的数列有且只有1个，且此时数列一定是单调数列 【答案】D 【解析】 【分析】先利用诱导公式得到的递推关系式，再结合函数图象，利用需满足的条件对具体的进行分类分析即可. 【详解】根据诱导公式可得， 因此有或， 即（关系1）或（关系2），， 对于关系1，结合条件②，可化为； 对于关系2，由可得③， 代入条件②得，解得， 则由③可得，； 设，， 可知在正弦函数图象上，且在余弦函数图象上， 由①可知直线垂直于 轴， 再由条件②，可依次取点，得到点列； 对于A选项，由，即， 在平面直角坐标系中作出正、余弦函数图象， ，故由条件②，可得， 由， 可得，或（舍去），； 结合条件②，如图所示，依次可绘出点列， 由此结合周期性可知，即满足条件的单调数列有且只有1个， 故A项错误； 对于B选项，给定， 构造一：利用关系1：构造数列， 则数列通项为，即可得到一个递增的数列； 构造二：先由关系构造， 再利用关系1：构造数列，则， 即也可得到一个递增的数列，故满足条件的单调数列不只一个， 故B项错误； 对于C选项，给定， 由，其中， 构造数列： 验证可知，满足条件①；②；③． 由条件，正整数列的无界性则可构造无数个满足条件的数列， 故存在无数个满足条件的数列满足题意，C错误； 对于D选项， ()当时，结合A选项与正余函数周期性分析， 可得数列满足，即满足条件的数列有且只有1个，且单调递增； ()当时，由，结合条件②； 可得，或，. 当时，此时可得， 这与条件③矛盾m，故，，依次绘点如下图： 再由周期性可知数列满足，故数列单调递增； ()当时，由，结合条件②； 可得，由，结合条件②； 可得，或（舍去，不能与相同），依次绘点如下图： 再由周期性可知数列满足，故数列单调递增； ()当时，同理可得，依次绘点如下图： 再由周期性可知数列满足，故数列单调递增； ()当时，由，结合条件②； 可得，由，结合条件②； 可得， ，依次绘点如下图： 再由周期性可知数列满足，故数列单调递增； ()当时，由，结合条件②； 可得，由，结合条件②； 可得， ，依次绘点如下图： 再由周期性可知数列满足，故数列单调递增； ()当及时，同理可分别绘点如下图： 再由周期性可知数列满足，故数列单调递增； 综上可知，当时， 均可得数列唯一确定且满足， 即存在无数个，使得满足条件的数列有且只有1个，且单调递增； ()当时， 当且时， 构造一：利用关系1：构造数列，则； 构造二：利用关系2：，（ 且）构造，以后各项利用关系1构造可得数列， 构造，， 由，则，故，与构造一为不同数列； 即此时满足条件的数列不只 1个； 当且时， 构造一：利用关系利用关系1：构造数列，则； 构造二：利用关系1可构造，则，且，则后续构造同上，利用关系2：（且）构造，以后各项利用关系1构造可得数列， 故此时满足条件的数列也不只 1个； 综上所述，存在无数个使得满足条件的数列有且只有1个，且此时数列一定是单调数列，故D正确. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 的展开式中的系数为，那么实数________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二项式的展开式的通项公式计算可得结果. 【详解】由，所以通项公式，， 令，解得，所以的系数为，. 12. 已知抛物线的焦点 到其准线的距离为 ，点 在 上，若，则点 的横坐标为________． 【答案】6 【解析】 【详解】由题知抛物线的焦点F到其准线的距离为2，故， 而点 在 上，，根据抛物线定义可知 到准线的距离，解得. 13. 在平面直角坐标系xOy中，角 与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则 的一个取值为________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】因为角 与角均以为始边，它们的终边关于 轴对称，故， 所以，即， 故或，故或. 则 的一个取值为（其他满足条件的均可）. 14. 在平面直角坐标系xOy中，，直线与x轴和y轴分别交于点 ， ，则的最大值为________；的取值范围是________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】先求出两点的坐标，再表示出和的坐标，先求出，再求出向量的模，再利用三角函数恒等变换公式化简求解其最大值，最后应用数量积公式计算结合正弦函数值域计算求解. 【详解】设， 由题意知，直线分别与轴､ 轴交于点，则， 所以，； 因为， 则 ， 当时，取得最大值，且最大值为 ， 因为，的取值范围是. 15. 对于定义域为的函数，令，给出下列四个结论： ①若对于，恒成立，则恒成立； ②若对于，恒成立，则恒成立； ③若是周期函数，则是周期函数； ④若偶函数的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据函数值域判断①；根据已知条件结合函数性质举反例判断②③，根据已知条件和函数的对称性判断④. 【详解】对于①，故对于，因为， 要使恒成立，即且恒成立， 那么恒成立，所以①正确； 对于②，对于，恒成立，即恒成立， 等价于且恒成立， 当 时，，但当 时，不一定大于 ， 例如，此时满足， 但不恒大于 ，所以②错误； 对于③，例如是周期函数， 对于函数， 由可知是偶函数， 故画出它的图象取 轴右边部分，再将其右边部分关于 轴对称，即可得到图象， 可知不是周期函数（因为不是周期函数）， 所以③错误； 对于④，由为偶函数，得， 由函数的图象关于直线对称得， 从而， 所以， 即的图象关于直线对称，所以④正确. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 如图，四边形 为正方形，平面平面 ，，，，， 为 的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）设 的中点为 ，连接， 在中， 为 的中点， 所以且， 因为且， 所以且 ， 所以四边形 是平行四边形， 所以， 因为 平面，平面， 所以 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）设 的中点为 ，证得，根据线面平行判定定理证明即可； （2）由面面垂直的性质可得平面 ，建立空间直角坐标系，根据线面角向量法计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面 ，平面平面 ， ，， 所以 ，平面 ， 因为四边形 为正方形，所以 两两互相垂直， 以 为坐标原点， 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ，， ，，， 设平面的一个法向量为 ， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为 ， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值. 17. 在 中，，． （1）求， （2）再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③： 的面积为 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选条件②或③， 存在，周长为. 【解析】 【分析】（1）根据所给的边结合正弦定理，二倍角公式可得； （2）选条件①直接由余弦定理判断三角形不存在；选条件②先同角三角函数关系式可得A，B的正弦值，再由正弦定理和余弦定理求解可得；选条件③：先由面积公式可得，再结合余弦定理可得三角形的周长. 【小问1详解】 因为，，所以， 由正弦定理得，而三角形中有， 所以，再由二倍角公式得，且， 所以. 【小问2详解】 若选条件①：. 因为，由（1）可知，所以由余弦定理可得：， 即，得，， 方程无解，所以a边不存在，故 不存在. 若选条件②：. 因为，由（1）可知，所以. 同理，得， 所以在 中由正弦定理，得， 再由余弦定理，得， 即，解得或（舍去）. 所以三角形的周长. 若选条件③： 的面积为. 因为，由（1）可知，所以, 由三角形面积公式，得. 再由余弦定理，得，即. 所以，所以. 所以三角形的周长. 18. 某公司对其销售的A、B两种型号扫地机器人向消费者进行满意度调查，从购买这两种型号扫地机器人的消费者中各随机抽取12人进行评分调查（满分100分，该公司规定评分不低于80分为满意），评分结果如下： 数据Ⅰ（A型号）：75，81，85，74，83，77，86，85，92，70，86，90； 数据Ⅱ（B型号）：71，76，81，68，72，87，86，85，73，84，70，92． 假设所有消费者的评分结果相互独立，用频率估计概率． （1）从参与A型号扫地机器人评分调查的12名消费者中随机抽取2人，求至少1人满意的概率 ； （2）从购买A型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，购买B型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，设X为被抽到的2人中满意的人数，求X的分布列和数学期望； （3）假设购买A型号和B型号扫地机器人的消费者人数相同，公司从所有购买A、B两种型号扫地机器人的消费者中随机抽取1人，开展满意度跟进回访，若已知抽到的消费者对其购买的扫地机器人不满意，设其购买的是A型号的概率估计值为，其购买的是B型号的概率估计值为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） 0 1 2 ， （3） 【解析】 【分析】（1）根据组合数先计算抽取两人都不满意的概率，再利用对立事件求概率； （2）由题可知的可能取值为0，1，2，再分别求出对应概率，列出分布列并计算期望即可； （3）利用样本估计总体即可比较与的大小． 【小问1详解】 在数据I（ 型号）中，评分不低于80分的有81，85，83，86，85，92，86，90，共8人； 评分低于80分的有75，74，77，70，共4人， 从12名消费者中随机抽取2人，两人都不满意的概率为， 因为“至少1人满意”与“两人都不满意”是对立事件， 所以至少1人满意的概率； 【小问2详解】 由（1）可知，购买 型号扫地机器人的消费者满意的概率， 则不满意的概率为， 在数据II（ 型号）中，评分不低于80分的有81，87，86，85，84，92，共6人， 所以购买 型号扫地机器人的消费者满意的概率，则不满意的概率为， 的可能取值为0，1，2， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 ； 【小问3详解】 由题可知抽取样本中，A型号不满意的有4人， B型号不满意的有6人， 则的估计值为，的估计值为， 故． 19. 已知椭圆的离心率为，以椭圆E的短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为8． （1）求椭圆E的方程； （2）设O为坐标原点，过点（）且不与y轴平行的直线l与椭圆E交于不同的两点A、B，点B关于x轴的对称点为C，直线AC与x轴交于点D，设和的面积分别为，，当时，求t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用题设条件列出方程，求出，即得椭圆的方程； （2）先设出直线 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两点坐标的关系，再求出直线的方程，进而得到 的坐标，最后计算​，通过进而求出 的值. 【小问1详解】 已知椭圆，离心率， 以短轴端点和焦点为顶点的四边形是菱形，边长均为， 周长为，得，因此​， 由椭圆关系，故椭圆 的方程为 . 【小问2详解】 设直线的方程为，，，则， 联立直线与椭圆方程： ，整理得， 由韦达定理得： ， 根据两点式得直线的方程为，令 ，得 ， 将代入 点横坐标， 化简得 即， ， ， 由题知，故， 化简得，又，所以，解得. 20. 已知函数，其中 ． （1）当 时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若函数有2个不同的零点，且，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）时，单调递减区间为，无增区间； 时，单调递减区间为，单调递增区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义求切线即可； （2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （3）易知一个零点是，结合与（2）所求的单调性，讨论，与即可求出的范围. 【小问1详解】 当 时，，，切点为， ，切线斜率，因此切线方程为 . 【小问2详解】 ， 当时，，故恒成立，因此 在R上单调递减，无单调递增区间； 当时，令，得，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上所述，时，单调递减区间为，无增区间； 时，单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 由（2）可知当时单调递减，仅1个零点，不符合题意，故； 当时，由（2）知最小值为， 令，，令，解得 ， 所以当，，单调递增； 当，，单调递减， 所以，故， 故，要保证存在两个根，则且，即. 注意到对任意，，即 恒为的一个零点， 因此有两个不同零点且等价于存在另一个零点，且， 当时，根据单调性可知，极小值点，且，解得； 当时，根据单调性可知，极小值点，且，解得， 综上的取值范围是. 21. 设A是n行n列的数表，且，表示数表第i行第j列的数，且，，．例如是3行3列的数表，其中．若数表A满足条件①，；②每行中的数两两不同，每列中的数两两不同．则称数表A具有性质P． （1）当时，写出一个具有性质P的数表A； （2）设数表A，B具有性质P，若A，B满足：若，则，则称A和B正交． （ⅰ）当时，写出一组正交的数表A，B； （ⅱ）当时，设均具有性质P，且两两正交，求m的最大值． 【答案】（1） （2）（i） （ii）4. 【解析】 【分析】（1）根据性质P的定义写出数表即可； （i）根据性质P的定义写出数表即可； （ii）分析得只能是2,3,4,5，再通过假设，从而有，则得到其最大值. 【小问1详解】 根据性质P的定义写出如下满足题意的数表： 【小问2详解】 （i）根据性质P的定义写出如下满足题意的数表： （ii）考虑第二行第一个数， 因为，所以只能是2,3,4,5， 若，则对于的第二行第一列至少存在两个数表使得它们的第二行第一列数字相同， 不妨设，则必有， 与若则矛盾． 所以． 构造： 所以 的最大值是 4 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 门头沟区2026年高三年级综合练习 数学 2026.3 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则 （ ） A. B. 3 C. D. 5. 已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 31 B. 15 C. D. 6. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 某家用方形分装漏斗的主体结构可抽象成一个上大下小的正四棱台，若，，且侧面与上底面 的夹角为 ，若不考虑材料厚度、接缝及裁剪损耗，制作该漏斗的侧面所需材料的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用（，k为正常数）描述，其中C为喷施农药t天后，果蔬表面的农药残留量（单位：mg/kg），某品种有机磷农药的降解速率常数，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为8mg/kg，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（ ） A. 3天 B. 6天 C. 9天 D. 12天 9. 设函数，若点为函数图象的一个对称中心，且在上的最大值为2，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 10 10. 无穷数列满足如下条件①；②；③．则下列说法正确的是（ ） A. 若，则满足条件的单调数列有且只有2个 B. 对于任意给定的，满足条件的单调数列有且只有1个 C. 存在使得满足条件的数列有且只有1个 D. 存在无数个使得满足条件的数列有且只有1个，且此时数列一定是单调数列 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 的展开式中的系数为，那么实数________． 12. 已知抛物线的焦点 到其准线的距离为 ，点 在 上，若，则点 的横坐标为________． 13. 在平面直角坐标系xOy中，角 与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则 的一个取值为________． 14. 在平面直角坐标系xOy中，，直线与x轴和y轴分别交于点 ， ，则的最大值为________；的取值范围是________． 15. 对于定义域为的函数，令，给出下列四个结论： ①若对于，恒成立，则恒成立； ②若对于，恒成立，则恒成立； ③若是周期函数，则是周期函数； ④若偶函数的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 如图，四边形 为正方形，平面平面 ，，，，， 为 的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在 中，，． （1）求， （2）再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③： 的面积为 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 某公司对其销售的A、B两种型号扫地机器人向消费者进行满意度调查，从购买这两种型号扫地机器人的消费者中各随机抽取12人进行评分调查（满分100分，该公司规定评分不低于80分为满意），评分结果如下： 数据Ⅰ（A型号）：75，81，85，74，83，77，86，85，92，70，86，90； 数据Ⅱ（B型号）：71，76，81，68，72，87，86，85，73，84，70，92． 假设所有消费者的评分结果相互独立，用频率估计概率． （1）从参与A型号扫地机器人评分调查的12名消费者中随机抽取2人，求至少1人满意的概率 ； （2）从购买A型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，购买B型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，设X为被抽到的2人中满意的人数，求X的分布列和数学期望； （3）假设购买A型号和B型号扫地机器人的消费者人数相同，公司从所有购买A、B两种型号扫地机器人的消费者中随机抽取1人，开展满意度跟进回访，若已知抽到的消费者对其购买的扫地机器人不满意，设其购买的是A型号的概率估计值为，其购买的是B型号的概率估计值为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的离心率为，以椭圆E的短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为8． （1）求椭圆E的方程； （2）设O为坐标原点，过点（）且不与y轴平行的直线l与椭圆E交于不同的两点A、B，点B关于x轴的对称点为C，直线AC与x轴交于点D，设和的面积分别为，，当时，求t的值． 20. 已知函数，其中 ． （1）当 时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若函数有2个不同的零点，且，求a的取值范围． 21. 设A是n行n列的数表，且，表示数表第i行第j列的数，且，，．例如是3行3列的数表，其中．若数表A满足条件①，；②每行中的数两两不同，每列中的数两两不同．则称数表A具有性质P． （1）当时，写出一个具有性质P的数表A； （2）设数表A，B具有性质P，若A，B满足：若，则，则称A和B正交． （ⅰ）当时，写出一组正交的数表A，B； （ⅱ）当时，设均具有性质P，且两两正交，求m的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $