高一物理下学期期中考前必备清单（鲁科版）（抛体运动、圆周运动、万有引力定律及航天）

考点清单 抛体运动、圆周运动、万有引力定律及航天 本清单核心主线：【思维脉络】→【考点清单】→【解题方法】 【思维脉络】 【考点清单】 【01】曲线运动 1. 定义：物体运动轨迹是曲线的运动。 2. 条件：物体所受合外力（F）或加速度（a）的方向与其瞬时速度（v）的方向不在同一直线上。 3. 处理思想：运动的合成与分解。将复杂的曲线运动分解为两个（或多个）较简单的直线运动（通常是正交分解），再运用直线运动规律求解。 4.运动特征： （1）变速运动：速度方向时刻改变（必然），速度大小可能改变（如平抛运动）也可能不变（如匀速圆周运动）。 【注意】曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。 （2）加速度存在：曲线运动一定是变速运动，一定存在加速度，但加速度不一定变化。加速度方向总指向轨迹曲线的“凹侧”。 （3）瞬时性：某点的速度方向沿该点的切线方向。 注意：速度大小的增减判断 ①当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大； ②当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小； ③当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。 5.轨迹：曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间,而且向合力的一侧弯曲,或者说合力的方向总指向曲线的凹侧.轨迹只能平滑变化,不会出现折线.若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向，如平抛运动的轨迹向下弯曲，圆周运动的轨迹总向圆心弯曲等。 注意：运动类型的判断： F(a)与v的方向 轨迹特点 加速度特点 运动性质 F(a)＝0 直线 a＝0 匀速直线运动 共线 a恒定 匀变速直线运动 a不恒定 非匀变速直线运动 不共线 曲线 a恒定 匀变速曲线运动 a不恒定 非匀变速曲线运动 【02】运动的合成与分解 1.定义：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。 2.合成与分解法则：平行四边形法则 3.合运动与分运动的关系：等时性，矢量性，等效性，独立性。 两个互成角度的分运动 合运动 两个匀速直线运动 匀速直线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果与共线，为匀变速直线运动 如果与不共线，为匀变速曲线运动 一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 如果与共线，为匀变速直线运动 如果与不共线，为匀变速曲线运动 【03】小船渡河模型 1. 核心思想:运动分解 合运动：船的运动方向也就是船的实际运动方向，一般情况下与船头指向不一致。 分运动1：船在静水中的划行运动（方向由船头指向决定，速度v船）。 分运动2：随水流漂移的运动（方向沿河岸，速度v水） 2. 运动分解的基本方法:按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向进行分解。 模型解读 分运动1 分运动2 合运动 运动 船相对于静水的划行运动 船随水漂流的运动 船的实际运动 速度本质 发动机给船的速度 水流给船的速度 船相对于岸的速度 速度方向 沿船头指向 沿水流方向 合速度方向,轨迹(切线)方向 渡河时间 ①渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,与水流速度无关 ②渡河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最短 (d为河宽) 渡河位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d 若v船<v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，且 【04】关联速度模型 1.关联体：指两个或多个通过不可伸长的绳（或杆） 或 直接接触 等方式连接在一起的物体。 关键特征：连接体之间存在运动约束关系（如绳长不变、接触点速度协调），导致它们的运动相互关联、相互制约。 2.核心处理思想： 沿约束方向（沿绳/杆方向或接触面法线方向）的分运动：体现约束（绳不可伸长→沿绳速度分量相等；接触面无相对法向运动→法向速度分量相等）。 垂直约束方向的分运动：通常是允许相对运动的方向。 3.常见的速度分解模型 情景图示 定量结论 v＝v物cos θ v物′＝v∥＝v物cos θ v∥＝v∥′ 即v物cos θ＝v物′cos α v∥＝v∥′ 即v物cos α＝v物′cos β 【05】平抛运动 1. 定义：物体以一定初速度v0水平抛出，仅受重力作用的曲线运动，轨迹为抛物线。 2. 运动性质：匀变速曲线运动，加速度恒为重力加速度g（大小方向不变）。 独立性：水平方向匀速直线运动，竖直方向自由落体运动，两分运动互不影响。 3. 产生条件 （1）初速度v0=0，方向水平； （2）只受重力（忽略空气阻力）。 4. 核心处理思想： 水平方向：匀速直线运动，vx=v0，x=v0t； 竖直方向：自由落体运动，vy=gt，y=gt2/2。 【06】平抛运动的规律和应用 1. 核心思想： （1）水平方向：匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t。 （2）竖直方向：自由落体运动，速度：vy=gt，位移：y＝gt2。 （3）合运动规律： 合速度：即，v与水平方向夹角为 合位移：即，S与水平方向夹角为 （4）角度关系：速度偏角 α与位移偏角 θ：tanα=2tanθ=2y/x （5）轨迹方程：y=（gx2）/（2v02）（抛物线） （6）时间与高度：飞行时间t＝（仅由高度h决定） （7）水平射程：x＝v0t＝v0（由初速度v0和下落高度h共同决定） 【07】类平抛运动的分析与处理 1. 定义：物体受恒定的合外力作用，且初速度方向与合外力方向垂直的运动。 2. 本质：匀变速曲线运动，加速度恒定（大小方向不变）。 3. 与平抛的区别： 平抛：加速度为重力加速度g，方向竖直向下； 类平抛：加速度a为任意恒力（如电场力、斜面重力分量等）产生的加速度，方向不一定是竖直。 注意：类平抛运动关键分析方法 （1）识别条件： 初速度 v0=0 且与合外力方向垂直； 合外力恒定（加速度a恒定）。 （2）建立坐标系： 以v0方向为x轴，合外力方向为y轴（确保加速度仅在y 方向）。 （3）分解加速度： 若加速度方向与初速度不严格垂直（如斜面上的类平抛），需将加速度正交分解： ax（影响x 方向速度变化）；ay（主导类抛体特征） 【08】斜抛运动 1.定义：物体以初速度v0斜向上方（与水平成θ角）抛出，仅受重力作用的曲线运动，轨迹为抛物线。 2.运动分解（核心思想） 水平方向：匀速直线运动，速度：vx=v0cosθ，位移：x=v0cosθt 竖直方向：竖直上抛运动，速度：vy=v0sinθ−gt，位移：y=v0sinθt−gt2/2 3.关键物理量 物理量 公式 飞行时间 T=2v0sinθ/g（落回同一水平面） 最大高度 H=(v0sinθ)2/2g 水平射程 X=v02sin2θ/g（对称抛射） 注意：重要结论 射程最大条件：当 θ=45∘时，Xmax=v02/g。 对称性： 上升时间=下降时间=v0sinθ/g； 同一高度速度大小相等，方向对称（水平速度相同，竖直速度等大反向）。 4. 应用场景 抛体问题：投掷铅球、投篮、炮弹轨迹； 斜面斜抛：分解为沿斜面和垂直斜面方向（需调整坐标系）； 非对称抛体：落点高于/低于抛出点时，利用竖直位移方程 y=v0sinθ t−gt2/2求时间。 核心要点： 水平匀速+竖直匀变速（加速度−g）； 抓对称性、最值条件（θ=45∘θ=45∘ 射程最大）； 斜面问题通过旋转坐标系转化为类平抛处理。 1.飞行时间:由知,飞行时间取决于下落高度h,与初速度v0无关。 2.水平射程: ,即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定,与其他因素无关。 3.落地速度: ,以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角,有,所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关。 4.速度改变量:物体在任意相等时间内的速度改变量相同,方向恒为竖直向下。 5.平抛运动的两个重要结论 ①做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置)处，有。 推导： ②做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点， 如图所示，即。 推导： 【09】圆周运动 1. 匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动就叫做匀速周圆运动。 2. 运动性质：匀速圆周运动是变速运动，因为线速度方向时刻在变化，向心加速度方向时刻沿半径指向圆心，时刻变化。 3. 特征：匀速圆周运动中，角速度、周期、转速、速率、动能都是恒定不变的；而线速度、加速度、合外力是不断变化的。 注意：匀速圆周运动与变速圆周运动的区别与联系 匀速圆周运动 变速圆周运动 运动 特点 线速度的大小不变，角速度、周期和频率都不变，向心加速度的大小不变 线速度的大小、方向都变，角速度变，向心加速度的大小、方向都变，周期可能变也可能不变 图示 受力 特点 所受到的合力为向心力，大小不变，方向变，其方向时刻指向圆心 所受到的合力不总指向圆心，合力产生两个效果： ①沿半径方向的分力Fn，即向心力，它改变速度的方向； ②沿切线方向的分力Ft，它改变速度的大小 运动 性质 非匀变速曲线运动(加速度大小不变，方向变化) 非匀变速曲线运动(加速度大小、方向都变化) 【10】向心力与向心加速度 1. 向心力： （1）定义：质点做圆周运动时，受到的总是沿着半径方向指向圆心的合力，是效果力。 （2）作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。 （3）大小：=== 注意：向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，可以由几个力的合力或某一个力的分力提供；在匀速圆周运动中合力提供向心力；变速圆周运动中的合外力并不指向圆心，这时合外力可以分解为互相垂直的两个力：跟圆周相切的分力Fr和指向圆心方向的分力Fn，Fn产生了向心加速度，与速度垂直，改变了速度方向，Fr产生切向加速度，切向加速度与物体的速度方向在一条直线上，它改变了速度的大小。 2．向心加速度 （1）物理意义：描述线速度方向变化快慢的物理量。 （2）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化。 （3）大小：=== 【11】线速度、角速度等基本量的关系 物理量 公式 单位 标矢性 物理意义 线速度 m/s 矢量 描述物体位置变化的快慢和方向 角速度 rad/s 矢量 描述物体转动的快慢和方向 周期 s 标量 描述物体转动一周所用的时间 频率 Hz 标量 描述物体在单位时间内的振动次数 转速 r/s 标量 描述物体在单位时间内的运动圈数 向心加速度 m/s² 矢量 方向始终指向圆心，描述线速度变化的快慢和方向 向心力 N 矢量 方向始终指向圆心，由重力、弹力、摩擦力等合力或分力提供的效果力 ，， 【12】几种传动装置 几种常见的传动装置 类型 模型 模型核心 应用规律 皮带传动 皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等(方向不同)，即vA＝vB。 角速度与半径成反比： ， 周期与半径成正比： 摩擦传动 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等(方向不同)，即vA＝vB。 角速度与半径成反比与齿轮齿数成反比∶ ， 周期与半径成正比，与齿轮齿 数成正比： 齿轮传动 同轴 传动 绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比 线速度与半径成正比： 【13】水平面内的圆周运动 1. 物体间恰好不发生相对滑动 的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 如果只是摩擦力提供向心力，则有F＝m，静摩擦力的方向一定指向圆心； 汽车转弯时，只由摩擦力提供向心力Ffm＝m。 2. 水平转盘上运动物体模型 （1）如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。 （2）如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。 【14】斜面上的圆周运动 1. 模型解读：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 2. 分析方法 物体在斜面上做圆周运动时，确定约束类型（凹槽/绳牵引）→正交分解（沿斜面和垂直斜面）→列法向方程→求临界参数。如下图所示，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，物体运动到斜面任意位置时由斜面内指向圆心方向的合力提供向心力。 【15】圆锥摆模型 1. 圆锥摆模型规律总结 (1)圆锥摆的周期 如图摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ。 受力分析，由牛顿第二定律得：mgtanθ＝mr r＝Lsinθ 解得T＝2π＝2π。 (2)结论 ①摆高h＝Lcosθ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大。 ②摆线拉力F＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力F越大。 ③摆球的加速度a＝gtanθ。 2. 圆锥摆的两种变形 变形1：具有相同锥度角的圆锥摆（摆长不同），如图甲所示。 由a＝gtanθ知A、B的向心加速度大小相等。由a＝ω2r知ωA<ωB，由a＝知vA>vB。 变形2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。 由T＝2π知摆高h相同，则TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr知vA>vB，由a＝ω2r知aA>aB。 注意：解决圆锥摆临界问题的技巧 圆锥摆的临界问题，主要就是与弹力有关的临界问题。 (1)绳子松弛或断开的临界条件是：①绳恰好拉直且没有弹力；②绳上的拉力恰好达最大值。 (2)接触或脱离的临界条件是物体与物体间的弹力恰好为零。 (3)对于火车转弯、半圆形碗内的水平圆周运动有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；②发生相对滑动。 【16】汽车、火车转弯模型 水平路面车辆转弯、火车转弯模型规律总结 模型名称 模型分析 水平路面车辆转弯模型 自行车、汽车等车辆在水平路面上转弯时，重力与支持力平衡，转弯所需的向心力只能由地面对车辆的侧向静摩擦力来提供,可知最大安全转弯速度 。 火车转弯模型 ①火车在倾斜轨道上转弯，若以设计时速v0转弯，重力与铁轨支持力恰好提供所需向心力，如图所示，可得：,得。因为hL,θ角很小，所以,则;若火车经过弯道时的速度,外轨将受到挤压；若火车经过弯道时的速度,内轨将受到挤压。 【17】汽车过拱形桥模型 拱形桥和凹形桥模型特点 概述 如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态 概述 如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．若v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动 1. 圆周运动常见的临界状态 （1）与绳或杆的弹力有关弹力恰好为0； （2）与静摩擦力有关，静摩擦力达到最大值； （3）绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 2. 三类情况分析 （1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力。 （2）绳子被拉断：绳上拉力恰好为最大承受力等。 （3）与支持面或杆的弹力有关的临界问题：要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度（或线速度）等。 注意：临界条件的确定：当绳子的拉力达到最大值时，或者物体所受的静摩擦力达到最大静摩擦力时，就会出现临界情况。比如，在圆锥摆中，如果角速度逐渐增大，当绳子拉力达到其所能承受的最大值时，就达到了临界状态。此时，需要根据牛顿第二定律和向心力公式列出方程，结合临界条件来求解相关物理量。在临界状态下，对物体的受力情况和运动状态的分析不准确，导致无法正确列出方程求解。在临界状态下，物体的受力情况可能会发生变化。 【18】开普勒三大定律 定 律 内 容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。 ,是一个与行星无关的常量 注意：开普勒行星运动定律的深入理解 （1）行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理 （2）由开普勒第二定律可得，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 （3）当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律。 （4）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体质量有关。 【19】万有引力定律 1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 2. 表达式：F＝G 其中G叫做引力常量，。牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G。英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值。R为两质点间的距离 在天体之间的大尺度的问题的研究中，都适用万有引力定律，且把天体间的运动近似的看成匀速圆周运动。 注意：适用条件 ①适用于质点间的相互作用； ②两个质量分布均匀的球体可视为质点或者一个均匀球体与球外一个质点，r是两球心间的距离或者球心到质点间的距离； ③两个物体间的距离远远大于物体本身的大小，r为两物体质心间的距离。 【20】万有引力定律的理解 宏观性 质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，由于粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计。 普适性 万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一。 相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。 在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零； 在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M′）对其的万有引力，即F＝G。 【21】万有引力和重力的关系 如下图所示，在地表上某处，物体所受的万有引力为F=。 由于地球一直在自转，因此物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为F向=mRcosω2，方向垂直于地轴指向地轴，这个力由物体所受到的万有引力的一个分力提供，根据力的分解可得万有引力的另一个分力就是重力mg。 根据以上的分析可得：地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R； (2)在两极上：G＝mg0； (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 注意：式中R为物体到地球转轴的距离。越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即。 忽略地球自转影响，在地球表面附近，物体所受重力近似等于地球对它的吸引力，即mg＝G，化简可得GM＝gR2，该式称为黄金代换式，适用于自转可忽略的其他星球。 【22】三大宇宙速度 （1） 第一宇宙速度:7.9km/s，它是卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度。 【技巧点拨】第一宇宙速度推导 ①方法一： 由 ②方法二：由 【技巧点拨】第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝5 078 s≈85 min。 （2）第二宇宙速度（脱离速度）:11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度. （3）第三宇宙速度（逃逸速度）:16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度. 注意：对第一宇宙速度的理解 1.第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星贴近地面运行的速度，即人造地球卫星的最大运行速度。 2.当卫星的发射速度v满足7.9 km/s<v<11.2 km/s时，卫星绕地球运行的轨道是椭圆，地球位于椭圆的一个焦点上。 宇宙速度 数值(km/s) 意义 第一宇宙速度(环绕速度) 7.9 是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度。 第二宇宙速度(脱离速度) 11.2 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 第三宇宙速度(逃逸速度) 16.7 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 【23】天上人间——不同高度处的重力加速度 1. 天上：星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′。 ，得。 所以，式中g为地球表面附近重力加速度。 2. 地下：在天体内部距离中心r处（r＜R）加速度为g（r）。 引力仅由半径r以内的天体质量Mr提供： 【24】万有引力的成就——天体质量和密度的求解 1. 自力更生法：求解地球（中心天体）质量 解决思路：若不考虑地球（中心天体）自转的影响，地球表面的物体的重力等于地球（中心天体）对物体的引力。 解决方法：mg＝G。 得到的结论：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球（中心天体）的质量。 知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。 2. 环绕天体法：计算天体的质量 解决思路：质量为m的行星绕太阳（中心天体）做匀速圆周运动时，行星与太阳（中心天体）间的万有引力充当向心力。 解决方法：＝mr。 得到的结论：m太＝，只要知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳（中心天体）的质量。 注意：归纳总结 类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质 量 的 计 算 利用运 行天体 r、T G＝mr m中＝ 只能得到中心天体的质量 r、v G＝m m中＝ v、T G＝m，G＝mr m中＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ m中＝ 密 度 的 计 算 利用运 行天体 r、T、R G＝mr m中＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时，ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝，m中＝ρ·πR3 ρ＝ 【25】卫星的发射、变轨和对接 1. 卫星发射速度和宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v发<11.2 km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星绕太阳做椭圆运动。 (4)v发≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 2．变轨原理 当卫星由于某种原因速度逐渐改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运动。 (1)当卫星的速度逐渐增加时，G<m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝可知其运行速度比原轨道时减小。 (2)当卫星的速度逐渐减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝可知其运行速度比原轨道时增大。 3．变轨过程分析 由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道，如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成： (1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ； (2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ； (3)在Q点再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ，最后以速率v4绕地球做匀速圆周运动。 4．卫星的对接问题 (1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接. (2)同一轨道飞船与空间站对接 如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度. 注意：航天器变轨问题的三点注意事项 (1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度由v＝判断。 (2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。 (3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。 【26】赤道上的物体与近地卫星、同步卫星的比较 如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。 比较内容 赤道表面的物体 近地卫星 同步卫星 向心力来源 万有引力的分力 万有引力 向心力方向 指向地心 重力与万有引力的关系 重力略小于万有引力 重力等于万有引力 线速度 v1＝ω1R v2＝ v3＝ω3(R＋h)＝ v1＜v3＜v2(v2为第一宇宙速度) 角速度 ω1＝ω自 ω2＝ ω3＝ω自＝ ω1＝ω3＜ω2 向心加速度 a1＝ωR a2＝ωR＝ a3＝ω(R＋h)＝ a1＜a3＜a2 注意：各运行参量比较的两条思路 (1)绕地球运行的不同高度的卫星各运行参量大小的比较，可应用：＝m＝mω2r＝m·r＝ma，选取适当的关系式进行比较。 (2)赤道上的物体的运行参量与其他卫星运行参量大小的比较，可先将赤道上的物体与同步卫星的运行参量进行比较，再结合(1)中结果得出最终结论。 【27】科技前沿——航天 1. 引力波探测 LISA空间引力波天文台（2030s发射）将构成边长250万公里的三角卫星阵，通过激光精密测量卫星间距的皮米级变化，捕捉黑洞并合等事件激发的时空涟漪。其核心技术依赖广义相对论对引力的几何化描述，需精确计算天体运动引起的引力扰动。 2. 深空引力导航 无人探测器（如旅行者号）在飞越行星时，利用引力弹弓效应加速，节省燃料并扩展探测范围。近年更通过分析探测器轨道受天体引力影响的微小偏移，反推行星内部结构（如朱诺号测绘木星重力场，揭示其流体核）。 3. 小行星防御与资源开发 OSIRIS-REx（贝努小行星采样）任务中，航天器需克服微重力（仅地球重力十亿分之一）精准着陆，依赖对小行星不规则引力场的高精度建模。未来小行星采矿亦需此类模型稳定作业平台。 4. 地球重力场监测 GRACE-FO卫星双星通过微波测距实时感知两地间距离的亚微米级变化，反演全球水储量迁移（如冰川融化、地下水流失），其基础是地球非均匀质量分布引起的引力异常。 1．万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解 ①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． ②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力． (2)两个推论： 推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0. 推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G. 2. 万有引力定律的应用 （1）基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即得： （2）应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算 拓展：星球“瓦解”问题及黑洞 （1）星球的瓦解问题 当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝.当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行。 （2）黑洞 黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞。 注意：分析人造卫星运动的两条思路 (1)万有引力提供向心力即G＝ma。 (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。 【解题方法】 一、逆向思维法 1.“鲤鱼跳龙门”常用作比喻逆袭成功，突破困境，实现梦想。如图所示为鲤鱼在空中运动的轨迹，鲤鱼以一定的速度从点跃出水面，轨迹最高点为点，点为轨迹上一点，与水面夹角为，垂直于，不计空气阻力，鲤鱼视为质点，鲤鱼从点运动到点与从点运动到点的时间之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】斜上抛的最高点为点，由逆向思维法可知点做平抛运动到点，其位移偏向角为，有 可得鲤鱼从点运动到点的时间为 点做平抛运动到点，因垂直于，则与竖直方向的夹角为，有 可得从点运动到点的时间 则鲤鱼从点运动到点与从点运动到点的时间之比为，故选A。 2.毽球是由中国传统踢毽子发展而来的竞技体育项目，最早可追溯至汉代民间“蹴毛丸”活动。毽球比赛在场地中央设网，运动员仅能用头、脚及身体触球完成进攻与防守，通过将毽球击入对方场区得分。已知球网网高1.5m，某同学在球网前1.2m、距离地面0.6m处，将毽球击出。不计空气阻力，毽球可视为质点，重力加速度大小为，则该同学将毽球踢回对方场区的最小初速率为（　　） A． B．2 C．2 D．5m/s 【答案】C 【详解】毽球做斜抛运动，将初速度分解为水平方向和竖直方向，初速度 水平方向 竖直方向 要使毽球踢回对方场区，临界情况是刚好擦网而过，即， 联立得 整理可得 则 根据基本不等式可知 解得 故选C。 二、临界状态的假设法 3.在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨．如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则（　　） A．该弯道的半径r＝ B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小也随之改变 C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压 【答案】D 【详解】A．火车拐弯时不侧向挤压轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得 解得 故A错误； B．根据牛顿第二定律得 解得 可知火车规定的行驶速度大小与质量无关，故B错误； CD．当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时外轨对火车轮缘有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误，D正确。 故选D。 4.如图所示，某同学自制了一个水流星，用轻绳在水杯的开口处打孔固定，并在水杯中倒入一定量的水。现用手拉住轻绳端点，使水杯以为圆心在竖直平面内做匀速圆周运动，发现水始终没有流出水杯。已知轻绳端点到水面的距离为，水的深度为，重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．保持轻绳长度不变，减小转动的角速度，水一定会流出 B．保持转动的角速度不变，增加绳子的长度，则水有可能会流出 C．保持转动的角速度不变，向杯中加水，则水有可能会流出 D．要使得全程水不流出水杯，则水杯通过最高点时的角速度的最小值为 【答案】C 【分析】本题考查竖直平面内圆周运动最高点向心力临界条件的分析，对于绳模型，临界条件是最高点处重力单独提供向心力。 【详解】水在最高点做圆周运动时，重力和杯子对水的支持力的合力提供向心力，有 水刚好不流出的临界条件是重力单独提供向心力，即 则临界角速度为 A．绳长不变，减小角速度，只要角速度仍然大于临界角速度，水就不会流出，因此选项A错误； B．由，绳长增大，杯子对水的支持力变大，水更不容易流出，因此选项B错误； C．保持角速度不变，向杯中加水，水面上升,O到水面的距离L减小，考察最靠近杯口的水，其新的临界角速度变大，因此如果当前角速度正好处于旧的临界角速度，加水后重力大于向心力，水会流出，选项C正确； D．要使全程水不流出，考察最靠近杯口的水，其临界角速度是，选项D错误。 故选C。 5.如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ=30°。一条长为L的绳（质量不计），一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球（可看作质点），小球以角速度ω绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。求： (1)当时，绳对小球的拉力大小； (2)当时，绳对小球的拉力大小。 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设小球角速度为时恰好与锥面无作用力，小球所受重力与绳拉力的合力提供向心力，即 解得 因 故小球已脱离锥面，设此时绳子与轴线的夹角为，绳子拉力水平分力提供小球做圆周运动的向心力，即 解得 （2）由于此时小球角速度 故小球未脱离锥面，与锥面间有弹力，水平方向由牛顿第二定律得 竖直方向由力的平衡关系得 联立以上两式可得 三、割补法 6.如图所示，两个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环的圆心。环的质量分布均匀，且其粗细忽略不计。若甲图中环对球的万有引力大小为F，则乙图中环对球的万有引力大小为（　　） A．F B． C． D． 【答案】B 【详解】利用分割法将甲环分成三个圆环，则关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力必为0，根据题意得剩余圆环对球的万有引力大小为F。再利用分割法将乙环分成两个圆环，则每个圆环对球的万有引力大小均为F，由数学知识易得二者的合力为，故A、C、D错误，B正确； 故选B。 7.有一质量为M，半径为R，密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为的球体，如图所示，然后又在挖空部分填满另外一种密度为原来3倍的物质，如图所示。则填充后的实心球体对m的万有引力为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由万有引力公式得，没挖空前，球体对质点m的万有引力为 根据 可知，挖去部分的质量是球体质量的，则挖去部分对质点m的引力为 则剩下部分对m的万有引力为 若挖去的小球中填满原来球的密度的3倍的物质，该物质的质量为，则该物质对质点m的万有引力 所以则填充后的实心球体对m的万有引力为 故选B。 四、类比法 8.如图，、、 三个物体用轻绳经过滑轮连接，物体、的速度向下，大小均为，则物体的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将速度分解为沿绳子方向和垂直与绳子方向，根据平行四边形定则，则有 则 故选D。 9.玻璃生产线的最后有一台切割机，能将一定宽度但很长的原始玻璃板按需要的长度切成矩形假设送入切割机的原始玻璃板的宽度是L=2m，它沿切割机的轨道与玻璃板的两侧边平行以v1=0.15m/s的速度水平向右匀速移动；已知割刀相对玻璃的切割速度v2=0.2m/s，为了确保割下的玻璃板是矩形，则相对地面参考系（　　） A．割刀运动的轨迹是一段直线 B．割刀完成一次切割的时间为10s C．割刀运动的实际速度为0.05m/s D．割刀完成一次切割的时间内，玻璃板的位移是1.5m 【答案】ABD 【详解】为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，割刀相对玻璃的运动速度应垂直玻璃．割刀实际参与两个分运动，即沿玻璃的运动和垂直玻璃方向的运动．两个分运动都是匀速直线运动，则合运动为匀速直线运动．故A正确．对于垂直玻璃方向的运动，运动时间t==10s．故B正确．割刀运动的实际速度．故C错误．10s内玻璃在水平方向的运动位移x=v1t=1.5m．故D正确．故选ABD。 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点清单 抛体运动、圆周运动、万有引力定律及航天 本清单核心主线：【思维脉络】→【考点清单】→【解题方法】 【思维脉络】 【考点清单】 【01】曲线运动 1. 定义：物体运动 的运动。 2. 条件：物体所受合外力（F）或加速度（a）的方向与其瞬时速度（v）的方向 上。 3. 处理思想： 。将复杂的曲线运动分解为两个（或多个）较简单的直线运动（通常是正交分解），再运用直线运动规律求解。 4.运动特征： （1）变速运动：速度 （必然），速度大小可能改变（如平抛运动）也可能不变（如匀速圆周运动）。 【注意】曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。 （2）加速度存在：曲线运动一定是 运动，一定存在加速度，但 。加速度方向总指向轨迹曲线的“凹侧”。 （3）瞬时性：某点的速度方向沿该点的 方向。 注意：速度大小的增减判断 ①当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大； ②当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小； ③当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。 5.轨迹：曲线运动的 ,而且向合力的一侧弯曲,或者说合力的方向总指向曲线的凹侧.轨迹只能平滑变化,不会出现折线.若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向，如平抛运动的轨迹向下弯曲，圆周运动的轨迹总向圆心弯曲等。 注意：运动类型的判断： F(a)与v的方向 轨迹特点 加速度特点 运动性质 F(a)＝0 直线 a＝0 匀速直线运动 共线 a恒定 匀变速直线运动 a不恒定 非匀变速直线运动 不共线 曲线 a恒定 匀变速曲线运动 a不恒定 非匀变速曲线运动 【02】运动的合成与分解 1.定义：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是 ，参与的几个运动就是 。 2.合成与分解法则： 3.合运动与分运动的关系： ， ， ， 。 两个互成角度的分运动 合运动 两个匀速直线运动 匀速直线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果与共线，为匀变速直线运动 如果与不共线，为匀变速曲线运动 一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 如果与共线，为匀变速直线运动 如果与不共线，为匀变速曲线运动 【03】小船渡河模型 1. 核心思想:运动分解 合运动：船的运动方向也就是船的 ，一般情况下与船头指向不一致。 分运动1：船在 中的划行运动（方向由船头指向决定，速度v船）。 分运动2：随水流漂移的运动（方向沿河岸，速度v水） 2. 运动分解的基本方法:按 分解，一般用 沿水流方向和船头指向进行分解。 模型解读 分运动1 分运动2 合运动 运动 船相对于静水的划行运动 船随水漂流的运动 船的实际运动 速度本质 发动机给船的速度 水流给船的速度 船相对于岸的速度 速度方向 沿船头指向 沿水流方向 合速度方向,轨迹(切线)方向 渡河时间 ①渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,与水流速度无关 ②渡河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最短 (d为河宽) 渡河位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d 若v船<v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，且 【04】关联速度模型 1.关联体：指两个或多个通过 或 等方式连接在一起的物体。 关键特征：连接体之间 （如绳长不变、接触点速度协调），导致它们的运动相互关联、相互制约。 2.核心处理思想： 沿约束方向（沿绳/杆方向或接触面法线方向）的分运动：体现约束（绳不可伸长→沿绳速度分量相等；接触面无相对法向运动→法向速度分量相等）。 垂直约束方向的分运动：通常是允许相对运动的方向。 3.常见的速度分解模型 情景图示 定量结论 v＝v物cos θ v物′＝v∥＝v物cos θ v∥＝v∥′ 即v物cos θ＝v物′cos α v∥＝v∥′ 即v物cos α＝v物′cos β 【05】平抛运动 1. 定义：物体以一定初速度v0 抛出，仅受 作用的曲线运动，轨迹为 。 2. 运动性质：匀变速曲线运动，加速度恒为重力加速度g（大小方向不变）。 独立性：水平方向匀速直线运动，竖直方向自由落体运动，两分运动互不影响。 3. 产生条件 （1）初速度v0=0，方向水平； （2）只受重力（忽略空气阻力）。 4. 核心处理思想： 水平方向：匀速直线运动， ； 竖直方向：自由落体运动， 。 【06】平抛运动的规律和应用 1. 核心思想： （1）水平方向：匀速直线运动，速度： ，位移： 。 （2）竖直方向：自由落体运动，速度： ，位移： 。 （3）合运动规律： 合速度：即，v与水平方向夹角为 合位移：即，S与水平方向夹角为 （4）角度关系：速度偏角 α与位移偏角 θ： （5）轨迹方程： （抛物线） （6）时间与高度：飞行时间 （仅由高度h决定） （7）水平射程： 由初速度v0和下落高度h共同决定） 【07】类平抛运动的分析与处理 1. 定义：物体受 作用，且初速度方向与合外力方向 的运动。 2. 本质：匀变速曲线运动，加速度恒定（大小方向不变）。 3. 与平抛的区别： 平抛：加速度为重力加速度g，方向竖直向下； 类平抛：加速度a为任意恒力（如电场力、斜面重力分量等）产生的加速度，方向不一定是竖直。 注意：类平抛运动关键分析方法 （1）识别条件： 初速度 v0=0 且与合外力方向垂直； 合外力恒定（加速度a恒定）。 （2）建立坐标系： 以v0方向为x轴，合外力方向为y轴（确保加速度仅在y 方向）。 （3）分解加速度： 若加速度方向与初速度不严格垂直（如斜面上的类平抛），需将加速度正交分解： ax（影响x 方向速度变化）；ay（主导类抛体特征） 【08】斜抛运动 1.定义：物体以初速度v0 （与水平成θ角）抛出， 作用的曲线运动，轨迹为抛物线。 2.运动分解（核心思想） 水平方向：匀速直线运动，速度： ，位移： 。 竖直方向：竖直上抛运动，速度： ，位移： 。 3.关键物理量 物理量 公式 飞行时间 T=2v0sinθ/g（落回同一水平面） 最大高度 H=(v0sinθ)2/2g 水平射程 X=v02sin2θ/g（对称抛射） 注意：重要结论 射程最大条件：当 θ=45∘时，Xmax=v02/g。 对称性： 上升时间=下降时间=v0sinθ/g； 同一高度速度大小相等，方向对称（水平速度相同，竖直速度等大反向）。 4. 应用场景 抛体问题：投掷铅球、投篮、炮弹轨迹； 斜面斜抛：分解为沿斜面和垂直斜面方向（需调整坐标系）； 非对称抛体：落点高于/低于抛出点时，利用竖直位移方程y=v0sinθ t−gt2/2求时间。 核心要点： 水平匀速+竖直匀变速（加速度−g）； 抓对称性、最值条件（θ=45∘θ=45∘ 射程最大）； 斜面问题通过旋转坐标系转化为类平抛处理。 1.飞行时间:由知, 取决于 ,与初速度v0无关 2.水平射程: ,即 由 共同决定,与其他因素无关. 3.落地速度: ,以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角,有,所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关. 4.速度改变量:物体在任意相等时间内的速度改变量相同,方向恒为竖直向下. 5.平抛运动的两个重要结论 ①做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置)处，有。 推导： ②做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点， 如图所示，即。 推导： 【09】圆周运动 1. 匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的 相等，这种运动就叫做匀速周圆运动。 2. 运动性质：匀速圆周运动是 运动，因为线速度方向时刻在变化，向心加速度方向时刻沿半径指向圆心，时刻变化。 3. 特征：匀速圆周运动中，角速度、周期、转速、速率、动能都是恒定不变的；而 、 、 是不断变化的。 注意：匀速圆周运动与变速圆周运动的区别与联系 匀速圆周运动 变速圆周运动 运动 特点 线速度的大小不变，角速度、周期和频率都不变，向心加速度的大小不变 线速度的大小、方向都变，角速度变，向心加速度的大小、方向都变，周期可能变也可能不变 图示 受力 特点 所受到的合力为向心力，大小不变，方向变，其方向时刻指向圆心 所受到的合力不总指向圆心，合力产生两个效果： ①沿半径方向的分力Fn，即向心力，它改变速度的方向； ②沿切线方向的分力Ft，它改变速度的大小 运动 性质 非匀变速曲线运动(加速度大小不变，方向变化) 非匀变速曲线运动(加速度大小、方向都变化) 【10】向心力与向心加速度 1. 向心力： （1）定义：质点做圆周运动时，受到的总是沿着半径方向指向圆心的合力，是 。 （2）作用效果：产生向心加速度， 。 （3）大小：=== 注意：向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，可以由几个力的合力或某一个力的分力提供；在匀速圆周运动中合力提供向心力；变速圆周运动中的合外力并不指向圆心，这时合外力可以分解为互相垂直的两个力：跟圆周相切的分力Fr和指向圆心方向的分力Fn，Fn产生了向心加速度，与速度垂直，改变了速度方向，Fr产生切向加速度，切向加速度与物体的速度方向在一条直线上，它改变了速度的大小。 2．向心加速度 （1）物理意义：描述线速度 变化快慢的物理量。 （2）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化。 （3）大小：=== 【11】线速度、角速度等基本量的关系 物理量 公式 单位 标矢性 物理意义 线速度 m/s 矢量 描述物体 的快慢和方向 角速度 rad/s 矢量 描述物体 的快慢和方向 周期 s 标量 描述物体 所用的时间 频率 Hz 标量 描述物体在单位时间内的振动次数 转速 r/s 标量 描述物体在单位时间内的运动圈数 向心加速度 m/s² 矢量 方向始终指向 ，描述线速度变化的快慢和方向 向心力 N 矢量 方向始终指向圆心，由重力、弹力、摩擦力等合力或分力提供的效果力 ，， 【12】几种传动装置 几种常见的传动装置 类型 模型 模型核心 应用规律 皮带传动 皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等(方向不同)，即 角速度与半径成反比： ， 周期与半径成正比： 摩擦传动 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等(方向不同)，即 角速度与半径成反比与齿轮齿数成反比∶ ， 周期与半径成正比，与齿轮齿 数成正比： 齿轮传动 同轴 传动 绕同一转轴转动的物体，角速度相同， ，由v＝ωr知v与r成正比 线速度与半径成正比： 【13】水平面内的圆周运动 1. 物体间恰好不发生相对滑动 的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 如果只是摩擦力提供向心力，则有F＝m，静摩擦力的方向一定指向圆心； 汽车转弯时，只由摩擦力提供向心力Ffm＝m。 2. 水平转盘上运动物体模型 （1）如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。 （2）如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。 【14】斜面上的圆周运动 1. 模型解读：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的 不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 2. 分析方法 物体在斜面上做圆周运动时，确定约束类型（凹槽/绳牵引）→正交分解（沿斜面和垂直斜面）→列法向方程→求临界参数。如下图所示，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，物体运动到斜面任意位置时由斜面内指向圆心方向的合力提供向心力。 【15】圆锥摆模型 1. 圆锥摆模型规律总结 (1)圆锥摆的周期 如图摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ。 受力分析，由牛顿第二定律得：mgtanθ＝mr r＝Lsinθ 解得T＝2π＝2π。 (2)结论 ①摆高h＝Lcosθ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大。 ②摆线拉力F＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力F越大。 ③摆球的加速度a＝gtanθ。 2. 圆锥摆的两种变形 变形1：具有相同锥度角的圆锥摆（摆长不同），如图甲所示。 由a＝gtanθ知A、B的向心加速度大小相等。由a＝ω2r知ωA<ωB，由a＝知vA>vB。 变形2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。 由T＝2π知摆高h相同，则TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr知vA>vB，由a＝ω2r知aA>aB。 注意：解决圆锥摆临界问题的技巧 圆锥摆的临界问题，主要就是与弹力有关的临界问题。 (1)绳子松弛或断开的临界条件是：①绳恰好拉直且没有弹力；②绳上的拉力恰好达最大值。 (2)接触或脱离的临界条件是物体与物体间的弹力恰好为零。 (3)对于火车转弯、半圆形碗内的水平圆周运动有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；②发生相对滑动。 【16】汽车、火车转弯模型 水平路面车辆转弯、火车转弯模型规律总结 模型名称 模型分析 水平路面车辆转弯模型 自行车、汽车等车辆在水平路面上转弯时，重力与支持力平衡，转弯所需的向心力只能由地面对车辆的侧向静摩擦力来提供,可知最大安全转弯速度 。 火车转弯模型 ①火车在倾斜轨道上转弯，若以设计时速v0转弯，重力与铁轨支持力恰好提供所需向心力，如图所示，可得：,得。因为hL,θ角很小，所以,则;若火车经过弯道时的速度,外轨将受到挤压；若火车经过弯道时的速度,内轨将受到挤压。 【17】汽车过拱形桥模型 拱形桥和凹形桥模型特点 概述 如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态 概述 如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．若v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动 1. 圆周运动常见的临界状态 （1）与绳或杆的弹力有关弹力恰好为0； （2）与静摩擦力有关，静摩擦力达到最大值； （3）绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 2. 三类情况分析 （1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力。 （2）绳子被拉断：绳上拉力恰好为最大承受力等。 （3）与支持面或杆的弹力有关的临界问题：要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度（或线速度）等。 注意：临界条件的确定：当绳子的拉力达到最大值时，或者物体所受的静摩擦力达到最大静摩擦力时，就会出现临界情况。比如，在圆锥摆中，如果角速度逐渐增大，当绳子拉力达到其所能承受的最大值时，就达到了临界状态。此时，需要根据牛顿第二定律和向心力公式列出方程，结合临界条件来求解相关物理量。在临界状态下，对物体的受力情况和运动状态的分析不准确，导致无法正确列出方程求解。在临界状态下，物体的受力情况可能会发生变化。 【18】开普勒三大定律 定 律 内 容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是 ,太阳处在的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的 相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的 跟它的公转 的比值都 。 ,是一个与行星无关的常量 注意：开普勒行星运动定律的深入理解 （1）行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理 （2）由开普勒第二定律可得，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 （3）当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律。 （4）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体质量有关。 【19】万有引力定律 1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成 ，与它们之间距离r的二次方成 。 2. 表达式： 其中G叫做引力常量，。牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G。英国物理学家 通过实验推算出引力常量G的值。R为两质点间的距离 在天体之间的大尺度的问题的研究中，都适用万有引力定律，且把天体间的运动近似的看成匀速圆周运动。 注意：适用条件 ①适用于质点间的相互作用； ②两个质量分布均匀的球体可视为质点或者一个均匀球体与球外一个质点，r是两球心间的距离或者球心到质点间的距离； ③两个物体间的距离远远大于物体本身的大小，r为两物体质心间的距离。 【20】万有引力定律的理解 宏观性 质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，由于粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计。 普适性 万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的 之一。 相互性 两个物体相互作用的引力是一对 ，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。 在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零； 在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M′）对其的万有引力，即F＝G。 【21】万有引力和重力的关系 如下图所示，在地表上某处，物体所受的万有引力为F=。 由于地球一直在 ，因此物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为F向=mRcosω2，方向垂直于地轴指向地轴，这个力由物体所受到的万有引力的一个 提供，根据力的分解可得万有引力的另一个分力就是重力mg。 根据以上的分析可得：地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R； (2)在两极上：G＝mg0； (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 注意：式中R为物体到地球转轴的距离。越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即。 忽略地球自转影响，在地球表面附近，物体所受重力近似等于地球对它的吸引力，即mg＝G，化简可得GM＝gR2，该式称为黄金代换式，适用于自转可忽略的其他星球。 【22】三大宇宙速度 （1） 第一宇宙速度:7.9km/s，它是卫星的 ，也是地球卫星的 。 【技巧点拨】第一宇宙速度推导 ①方法一： 由 ②方法二：由 【技巧点拨】第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝5 078 s≈85 min。 （2）第二宇宙速度（脱离速度）:11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度. （3）第三宇宙速度（逃逸速度）:16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度. 注意：对第一宇宙速度的理解 1.第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星贴近地面运行的速度，即人造地球卫星的最大运行速度。 2.当卫星的发射速度v满足7.9 km/s<v<11.2 km/s时，卫星绕地球运行的轨道是椭圆，地球位于椭圆的一个焦点上。 宇宙速度 数值(km/s) 意义 第一宇宙速度(环绕速度) 7.9 是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度。 第二宇宙速度(脱离速度) 11.2 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 第三宇宙速度(逃逸速度) 16.7 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 【23】天上人间——不同高度处的重力加速度 1. 天上：星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′。 ，得。 所以，式中g为地球表面附近重力加速度。 2. 地下：在天体内部距离中心r处（r＜R）加速度为g（r）。 引力仅由半径r以内的天体质量Mr提供： 【24】万有引力的成就——天体质量和密度的求解 1. 自力更生法：求解地球（中心天体）质量 解决思路：若不考虑地球（中心天体）自转的影响，地球表面的物体的重力等于地球（中心天体）对物体的引力。 解决方法：mg＝G。 得到的结论：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球（中心天体）的质量。 知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。 2. 环绕天体法：计算天体的质量 解决思路：质量为m的行星绕太阳（中心天体）做匀速圆周运动时，行星与太阳（中心天体）间的万有引力充当向心力。 解决方法：＝mr。 得到的结论：m太＝，只要知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳（中心天体）的质量。 注意：归纳总结 类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质 量 的 计 算 利用运 行天体 r、T G＝mr m中＝ 只能得到中心天体的质量 r、v G＝m m中＝ v、T G＝m，G＝mr m中＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ m中＝ 密 度 的 计 算 利用运 行天体 r、T、R G＝mr m中＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时，ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝，m中＝ρ·πR3 ρ＝ 【25】卫星的发射、变轨和对接 1. 卫星发射速度和宇宙速度与运动轨迹的关系 (1) 时，卫星绕 做匀速圆周运动。 (2) 时，卫星 运动的轨迹为 。 (3) 时，卫星绕 做椭圆运动。 (4) 时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 2．变轨原理 当卫星由于某种原因速度逐渐改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运动。 (1)当卫星的速度逐渐增加时，G<m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做 ，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝可知其运行速度比原轨道时减小。 (2)当卫星的速度逐渐减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做 ，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝可知其运行速度比原轨道时增大。 3．变轨过程分析 由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道，如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成： (1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ； (2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ； (3)在Q点再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ，最后以速率v4绕地球做匀速圆周运动。 4．卫星的对接问题 (1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接. (2)同一轨道飞船与空间站对接 如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度. 注意：航天器变轨问题的三点注意事项 (1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度由v＝判断。 (2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。 (3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。 【26】赤道上的物体与近地卫星、同步卫星的比较 如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。 比较内容 赤道表面的物体 近地卫星 同步卫星 向心力来源 万有引力的分力 万有引力 向心力方向 指向地心 重力与万有引力的关系 重力略小于万有引力 重力等于万有引力 线速度 v1＝ω1R v2＝ v3＝ω3(R＋h)＝ v1＜v3＜v2(v2为第一宇宙速度) 角速度 ω1＝ω自 ω2＝ ω3＝ω自＝ ω1＝ω3＜ω2 向心加速度 a1＝ωR a2＝ωR＝ a3＝ω(R＋h)＝ a1＜a3＜a2 注意：各运行参量比较的两条思路 (1)绕地球运行的不同高度的卫星各运行参量大小的比较，可应用：＝m＝mω2r＝m·r＝ma，选取适当的关系式进行比较。 (2)赤道上的物体的运行参量与其他卫星运行参量大小的比较，可先将赤道上的物体与同步卫星的运行参量进行比较，再结合(1)中结果得出最终结论。 【27】科技前沿——航天 1. 引力波探测 LISA空间引力波天文台（2030s发射）将构成边长250万公里的三角卫星阵，通过激光精密测量卫星间距的皮米级变化，捕捉黑洞并合等事件激发的时空涟漪。其核心技术依赖广义相对论对引力的几何化描述，需精确计算天体运动引起的引力扰动。 2. 深空引力导航 无人探测器（如旅行者号）在飞越行星时，利用引力弹弓效应加速，节省燃料并扩展探测范围。近年更通过分析探测器轨道受天体引力影响的微小偏移，反推行星内部结构（如朱诺号测绘木星重力场，揭示其流体核）。 3. 小行星防御与资源开发 OSIRIS-REx（贝努小行星采样）任务中，航天器需克服微重力（仅地球重力十亿分之一）精准着陆，依赖对小行星不规则引力场的高精度建模。未来小行星采矿亦需此类模型稳定作业平台。 4. 地球重力场监测 GRACE-FO卫星双星通过微波测距实时感知两地间距离的亚微米级变化，反演全球水储量迁移（如冰川融化、地下水流失），其基础是地球非均匀质量分布引起的引力异常。 1．万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解 ①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． ②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力． (2)两个推论： 推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0. 推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G. 2. 万有引力定律的应用 （1）基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即得： （2）应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算 拓展：星球“瓦解”问题及黑洞 （1）星球的瓦解问题 当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝.当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行。 （2）黑洞 黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞。 注意：分析人造卫星运动的两条思路 (1)万有引力提供向心力即G＝ma。 (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。 【解题方法】 一、逆向思维法 1.“鲤鱼跳龙门”常用作比喻逆袭成功，突破困境，实现梦想。如图所示为鲤鱼在空中运动的轨迹，鲤鱼以一定的速度从点跃出水面，轨迹最高点为点，点为轨迹上一点，与水面夹角为，垂直于，不计空气阻力，鲤鱼视为质点，鲤鱼从点运动到点与从点运动到点的时间之比为（　　） A． B． C． D． 2.毽球是由中国传统踢毽子发展而来的竞技体育项目，最早可追溯至汉代民间“蹴毛丸”活动。毽球比赛在场地中央设网，运动员仅能用头、脚及身体触球完成进攻与防守，通过将毽球击入对方场区得分。已知球网网高1.5m，某同学在球网前1.2m、距离地面0.6m处，将毽球击出。不计空气阻力，毽球可视为质点，重力加速度大小为，则该同学将毽球踢回对方场区的最小初速率为（　　） A． B．2 C．2 D．5m/s 二、临界状态的假设法 3.在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨．如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则（　　） A．该弯道的半径r＝ B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小也随之改变 C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压 4.如图所示，某同学自制了一个水流星，用轻绳在水杯的开口处打孔固定，并在水杯中倒入一定量的水。现用手拉住轻绳端点，使水杯以为圆心在竖直平面内做匀速圆周运动，发现水始终没有流出水杯。已知轻绳端点到水面的距离为，水的深度为，重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．保持轻绳长度不变，减小转动的角速度，水一定会流出 B．保持转动的角速度不变，增加绳子的长度，则水有可能会流出 C．保持转动的角速度不变，向杯中加水，则水有可能会流出 D．要使得全程水不流出水杯，则水杯通过最高点时的角速度的最小值为 5.如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ=30°。一条长为L的绳（质量不计），一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球（可看作质点），小球以角速度ω绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。求： (1)当时，绳对小球的拉力大小； (2)当时，绳对小球的拉力大小。 三、割补法 6.如图所示，两个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环的圆心。环的质量分布均匀，且其粗细忽略不计。若甲图中环对球的万有引力大小为F，则乙图中环对球的万有引力大小为（　　） A．F B． C． D． 7.有一质量为M，半径为R，密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为的球体，如图所示，然后又在挖空部分填满另外一种密度为原来3倍的物质，如图所示。则填充后的实心球体对m的万有引力为（　　） A． B． C． D． 四、类比法 8.如图，、、 三个物体用轻绳经过滑轮连接，物体、的速度向下，大小均为，则物体的速度大小为（　　） A． B． C． D． 9.玻璃生产线的最后有一台切割机，能将一定宽度但很长的原始玻璃板按需要的长度切成矩形假设送入切割机的原始玻璃板的宽度是L=2m，它沿切割机的轨道与玻璃板的两侧边平行以v1=0.15m/s的速度水平向右匀速移动；已知割刀相对玻璃的切割速度v2=0.2m/s，为了确保割下的玻璃板是矩形，则相对地面参考系（　　） A．割刀运动的轨迹是一段直线 B．割刀完成一次切割的时间为10s C．割刀运动的实际速度为0.05m/s D．割刀完成一次切割的时间内，玻璃板的位移是1.5m 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $