精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗第一中学2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题

达旗一中高二年级2025-2026学年第二学期 第二次评估诊断数学试题 一、单选题（共40分） 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 则，解得． 2. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】直线与直线垂直， 则，解得或3， 故“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得，则. 4. 在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 48种 D. 54种 【答案】B 【解析】 【详解】将甲、乙视为1个人，即相当于将4名同学安排到3个项目的方案，有种． 5. 设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调减区间，即可求解． 【详解】的定义域为， 由，解得． 由题意知， 解得． 故选：A 6. 把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（    ） A. 10种 B. 种 C. 种 D. 45种 【答案】B 【解析】 【分析】采用隔板法求解. 【详解】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球， 问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有种. 故选：B. 7. 已知点为双曲线的右焦点，点为左顶点，点在双曲线的右支上，若，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，，设双曲线的左焦点为，连接，则，在中，由余弦定理化简可得，即可求解． 【详解】因为，，，所以， 设双曲线的左焦点为，连接，则， 所以在中，，由余弦定理得， ， 整理得，即，得． 8. 已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图象后可得、、的关系，再求出的范围后可用表示出，即可得的取值范围. 【详解】作出图象如下： 由，且，则， 即有，，且，则， 故， 则. 二、多选题（共18分） 9. （多选）已知等比数列的公比为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等比数列通项  各选项转化为关于的表达式，再借助基本不等式和完全平方公式判断恒成立性，从而确定正确选项. 【详解】对于A，，， 当时，当且仅当时等号成立， 当时，当且仅当时等号成立， 因为不恒成立，故A错误； 对于B，，，因为，所以， ，当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， 与矛盾，故D错误. 10. 已知在的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则下列说法正确的有（ ） A. B. 只有第3项的二项式系数最大 C. 的系数为 D. 各项系数之和为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式系数和得，结合二项式系数的性质及展开式通项公式判断A、B、C，最后应用赋值法求各项系数之和判断D. 【详解】由题设，可得，A对； 展开式共有7项，故只有第4项的二项式系数最大，B错误； 展开式通项为，， 令，可得，则的系数为，C对； 令，则，D错. 故选：AC 11. 已知三次函数的图象如图，则正确的是（ ） A. B. C. 的解集为 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，结合图象与导数运算及性质可得，；求出与即可得A；利用导数定义可得B；表示出后，利用高次不等式解法可得C；利用求导法则计算可得D. 【详解】因为函数为三次函数，可设，， 由图可知：，， 即，即， 则，则， 由图可得，则， 即，， 由图可得当时，，则， 对A：，，由，故，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，由， 故，解得，故C正确； 对D：，则， 则，则， 即有，则， 故，故D错误. 三、填空题（共15分） 12. 设，则______（用数字作答）． 【答案】60 【解析】 【分析】根据二项式定理及通项公式求解即可. 【详解】二项式通项公式为. 是的系数，令，则， 所以. 13. 已知函数，则关于t的不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】先用奇偶性定义证明为奇函数，然后利用奇偶性与单调性定义解不等式即可. 【详解】，得， 故为定义在上的奇函数. 所以可写为， 即，根据奇函数易得. 函数的导数为， 而，所以， 故函数在上单调递增，故不等式的解集等价于的解集，解得. 14. 直线与圆交于，两点，若是，的等差中项，则的最小值为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】由等差中项的条件确定直线过定点，且定点在圆内，所以时，的值最小. 【详解】由题意得，即，直线， 整理得，令，解得，故直线过定点， 设圆的圆心为，半径， 且圆心到的距离， 定点在圆内，所以当时，的值最小， 即. 四、解答题（共77分） 15. 已知等差数列和等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)求和：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由，=6，可得d的值，可得等差数列的通项公式； (2) 由（1）中结论，可得=16，可得=4，可得是以1为首项，以=4为公比的等比数列，可得的值. 【详解】解：由题意可知:，=1+d+1+3d=6,解得：d=1， 所以的通项公式：=. (2)由（1）中结论，可得=16， ==16， =4， 是以1为首项，以=4为公比的等比数列，通项公式为：=， ==. 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列及数列的求和，灵活运用数列的性质是解题的关键. 16. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若有两个极值点；求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义和点斜式方程求解； （2）求导，根据有两个极值点得到对应方程有两个根，根据根的判别式和韦达定理建立不等式，求出取值范围； 【小问1详解】 若，则， 所以， 切线方程为， 即． 【小问2详解】 ． 设为的两个极值点， 则是方程的两个实数根， 即方程的两个正实数根． 所以，解得， 即的取值范围是． 17. 如图，四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，，M是AD的中点. （1）证明：平面平面. （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用向量法求平面夹角. 【小问1详解】 由题可得，，， 所以在中由余弦定理得， 所以，所以， 因为，M为AD的中点，所以. 又，，故， 所以， 又平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，故可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由得，，，， 所以，，，. 设平面的一个法向量. 易得，即，取，可得， 设平面的一个法向量， 易得，即，取，可得， 易得， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）若恒成立，求的取值范围； （3）当时，求证： 【答案】（1）当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分和，讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. （2）结合（1）的结论，求函数的最大值，由最大值不大于0可求的取值范围. （3）由（2）可知，再设，分析函数的最值，可得，进而可得结论. 【小问1详解】 由题意得，函数的定义域为， 当时，，所以在上单调递增， 当时，令，解得单调递增， 令，解得单调递减， 所以，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，，不合题意，舍去， 当时，，不合题意，舍去， 当时，由（1）知的最大值为， 由已知解得. 所以. 【小问3详解】 由（2）可得，当时，， 所以（当且仅当取等号）. 设，则， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增，且. 所以（当且仅当取等号）. （）， . 19. 已知椭圆的短轴长是，左焦点为. （1）求的方程. （2）已知轴上的两点（在轴上方）和满足. （i）求的面积的最小值. （ii）当的外接圆与在第一象限有公共点时，直线与轴交于点.探究是否为定值.若是，求出该定值.若不是，请说明理由. 【答案】（1）； （2）（i）1；（ii）是定值，3. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆方程. （2）（i）利用给定数量积探求点纵坐标的关系，再求出三角形面积的函数关系，利用基本不等式求出最小值；（ii）由（i）的信息，利用向量垂直的坐标表示及点在椭圆上计算得解. 【小问1详解】 由椭圆的短轴长是，左焦点为，得，， 解得，，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）设，则， 由，得，即， 的面积，当且仅当时取等号， 所以当的坐标为时，的面积最小，最小值是1. （ii）设，由（i）知，， 由在的外接圆上，得，而， 则，整理得，而， 因此，即，则，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达旗一中高二年级2025-2026学年第二学期 第二次评估诊断数学试题 一、单选题（共40分） 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 4. 在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 48种 D. 54种 5. 设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（    ） A. 10种 B. 种 C. 种 D. 45种 7. 已知点为双曲线的右焦点，点为左顶点，点在双曲线的右支上，若，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. （多选）已知等比数列的公比为，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知在的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则下列说法正确的有（ ） A. B. 只有第3项的二项式系数最大 C. 的系数为 D. 各项系数之和为 11. 已知三次函数的图象如图，则正确的是（ ） A. B. C. 的解集为 D. 若，则 三、填空题（共15分） 12. 设，则______（用数字作答）． 13. 已知函数，则关于t的不等式的解集为______. 14. 直线与圆交于，两点，若是，的等差中项，则的最小值为____________． 四、解答题（共77分） 15. 已知等差数列和等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)求和：． 16. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若有两个极值点；求实数的取值范围. 17. 如图，四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，，M是AD的中点. （1）证明：平面平面. （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）若恒成立，求的取值范围； （3）当时，求证： 19. 已知椭圆的短轴长是，左焦点为. （1）求的方程. （2）已知轴上的两点（在轴上方）和满足. （i）求的面积的最小值. （ii）当的外接圆与在第一象限有公共点时，直线与轴交于点.探究是否为定值.若是，求出该定值.若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $