精品解析：四川自贡市荣县中学校2026年上期第1学月九年级数学巩固练习

2026年上期第1学月九年级数学巩固练习 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分） 1. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形周长的比是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，，则的值为（ ） A. 5 B. 2.5 C. 15 D. 10 6. 如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图所示，直径为3的经过点和点、是轴右侧优弧上一点，则为（     ） A. B. C. D. 9. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的格点上，相交于点E，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图，在矩形中，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以为边，在的右侧作等边，连接，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 已知反比例函数的图象分布在第一、第三象限，则k的取值范围是_______． 12. 在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为 ，把缩小，则点的对应点的坐标是_______． 13. 小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处竖立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为________ 米. 14. 图中的两个四边形相似，则______，______． 15. 如图，在中，，，P为边上的一个动点（不与A、C重合），连接，则的最小值是______． 三、解答题（共9个题．共90分） 16. 计算： 17. 在ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，，AD=1，求BC的长． 18. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，． （1）以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为； （2）以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出． 19. 课本中有一道作业题，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，交于点． （1）加工成的正方形零件的边长为多少？ （2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，作的中线； （2）在图②中，在上找一点，使； （3）在图③中，在上找一点，连接，使． 21. 如图，直线与双曲线交于两点． （1）求m和直线的表达式； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 22. 如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC． （1）求证：∠BAC=∠CBP； （2）求证：PB2=PC•PA； （3）当AC=6，CP=3时，求sin∠PAB的值． 23. 某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： （1）探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器90°刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点共线（如图②），此目标的仰角．请说明两个角相等的理由． （2）实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为1.5米；求树高．（，结果精确到0.1米） （3）拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距离地面高度（如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 （在同一直线上），分别测得点的仰角，再测得间的距离，点 到地面的距离均为1.5米；求（用表示）． 24. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，在对称轴上是否存在点，使是以直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上期第1学月九年级数学巩固练习 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分） 1. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图）．主视图是从正面看到的视图，据此即可得出答案． 【详解】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其主视图为 故选：． 2. 如图，在中，，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°， 则． 故选：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将各点横坐标代入函数解析式求出对应纵坐标，即可比较大小． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标分别代入解析式，得： ， ， ， ∵， ∴，故D正确． 4. 若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形周长的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握其性质的运用是关键． 根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形周长的比是， 故选：C ． 5. 如图，，若，，则的值为（ ） A. 5 B. 2.5 C. 15 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理的应用是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 6. 如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义求解即可，要注意图象所在的象限． 【详解】解：由反比例函数的比例系数的几何意义可知， ， ∴， ∵函数图象在第二象限， ∴， ∴． 7. 已知，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 8. 如图所示，直径为3的经过点和点、是轴右侧优弧上一点，则为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由同弧所对的圆周角相等，得出，在中求即可． 【详解】解：连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 9. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的格点上，相交于点E，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先证明，然后得到与与的比值相等．中，等于与的比值． 【详解】解：对图形进行相应的点标注，连接交于P． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以为边，在的右侧作等边，连接，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为边，在右侧作等边，连接并延长交于点，证明，在中，，求出，过点作的延长线于点，则是的最小值，根据即可得到答案． 【详解】解：如图，以为边，在右侧作等边，连接并延长交于点， ，是等边三角形， ， ， ， ， ∴点Q在与垂直的射线上运动， 在中，， ， ， 过点作的延长线于点，则是的最小值， 在中， ， ，即的最小值为． 二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 已知反比例函数的图象分布在第一、第三象限，则k的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像与性质，反比例函数图象分布在第一、三象限时，比例系数大于0，据此列出一元一次不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第一、第三象限， ∴， 解得：． 12. 在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为 ，把缩小，则点的对应点的坐标是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据以原点为位似中心的位似图形的坐标特征，对应点的坐标为原点的横纵坐标分别乘以相似比或相似比的相反数，计算即可得到结果． 【详解】解：∵，以原点为位似中心，相似比为，把缩小， 点的对应点的坐标为点的横纵坐标同时乘以或， 计算得：，，可得对应点坐标为， ，，可得对应点坐标为， 综上，点的对应点的坐标是或． 13. 小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处竖立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为________ 米. 【答案】10 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解． 【详解】∵=，即=，∴楼高=10米． 故答案为10． 【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 14. 图中的两个四边形相似，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，多边形内角和定理，由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以，，则，，然后通过多边形内角和定理求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等， 所以，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 15. 如图，在中，，，P为边上的一个动点（不与A、C重合），连接，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，以为斜边向外作等腰直角三角形，得到，进而得到，推出当D、P、B在同一直线上时，取得最小值，解，求出的值即可． 【详解】解：如图，以为斜边向外作等腰直角三角形， ， ， 当D、P、B在同一直线上时，取得最小值． 在中，，，， ， ， ∴的最小值是 故答案为： 三、解答题（共9个题．共90分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 在ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，，AD=1，求BC的长． 【答案】 【解析】 【分析】先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD= ，然后根据BC=BD+DC即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴DC=1 ∵，即， ∴AB=3 在中，， ∴ ∴BC=BD+DC=． 【点睛】本题考查了三角函数正切和正弦的应用，做题的关键是求出BD和DC的长． 18. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，． （1）以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为； （2）以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出． 【答案】（1） 如图所示． （2）如图所示． 【解析】 【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出的对应点，然后顺次连接即可； （2）直接利用旋转的性质得出对应点，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 课本中有一道作业题，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，交于点． （1）加工成的正方形零件的边长为多少？ （2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设正方形的边长为，则，，通过证明，得到，求解即可得出答案； （2）设，用含的代数式表示出的长度，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答即可． 【小问1详解】 解：设正方形的边长为，则， ， ， ， ，即， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是； 【小问2详解】 解：设，矩形的面积为， ， ， ，即， 解得：， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，且S的最大值为， 即当时，这个矩形面积有最大值，且最大值为． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，作的中线； （2）在图②中，在上找一点，使； （3）在图③中，在上找一点，连接，使． 【答案】（1） 如图，为所作中线； （2）如图，点即为所求； （3） 如图，点即为所求； 【解析】 【分析】（1）构造矩形，根据矩形的对角线相等且平分得到中点； （2）根据相似三角形的性质作图即可； （3）先向右平移1个单位，得到短的直角边与长直角边比是，延长即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，直线与双曲线交于两点． （1）求m和直线的表达式； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）； （2） （3）16 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与反比例的交点与不等式的解集的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． （1）已知双曲线过点，将点的坐标代入双曲线方程，即可求出的值，先将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再将点和的坐标代入直线方程，联立方程组求解和的值，进而得到直线的表达式． （2）根据函数图象，找出直线在双曲线上方时的取值范围，即为不等式的解集． （3）可先求出直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式，将的面积转化为与的面积之和进行计算． 【小问1详解】 解：点在双曲线上， ， 又在双曲线上， ，解得． 由题意得：，解得， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 所以不等式可化为， 根据函数图象，直线在双曲线上方时，的取值范围是， 所以不等式的解集为． 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴交于点， 当时．， ， ， ． 22. 如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC． （1）求证：∠BAC=∠CBP； （2）求证：PB2=PC•PA； （3）当AC=6，CP=3时，求sin∠PAB的值． 【答案】 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，∴∠ACB=∠ABP=90°，∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠CBP=90°，∴∠BAC=∠CBP； （2）证明：∵∠PCB=∠ABP=90°，∠P=∠P，∴△ABP∽△BCP，∴，∴PB2=PC•PA； （3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据已知条件得到∠ACB=∠ABP=90°，根据余角的性质即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； （3）根据三角函数的定义即可得到结论． 试题解析：（1）略 （2）略 （3）∵PB2=PC•PA，AC=6，CP=3，∴PB2=9×3=27，∴PB=，∴sin∠PAB==． 23. 某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： （1）探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器90°刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点共线（如图②），此目标的仰角．请说明两个角相等的理由． （2）实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为1.5米；求树高．（，结果精确到0.1米） （3）拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距离地面高度（如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 （在同一直线上），分别测得点的仰角，再测得间的距离，点 到地面的距离均为1.5米；求（用表示）． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ ∴ （2）10.2米 （3）米 【解析】 【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果； （2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出PH的长，注意最后的结果； （3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含、m的式子表示出PH． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得：KH=OQ=5米，OK=QH=1.5米，， 在Rt△POQ中 tan∠POQ= ∴ ∴（米） 故答案为：10.2米． 【小问3详解】 由题意得：， 由图得： ， ∴ ∴ ∴ ∴米 故答案为：米 【点睛】本题考查解直角三角形中的仰角、俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，在对称轴上是否存在点，使是以直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，，，再分当时，当当时，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可； （3）过点A作轴交直线于点E，过P作轴交直线于点F，由， 可得，，设，则，再建立关于t的二次函数即可； 【小问1详解】 解：解：∵抛物线过、，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴，，， 当时，则， ∴， 解得：， ∴； 当时，则 ， 解得， ∴； 综上所述：或； 【小问3详解】 解：如图，过点A作轴交直线于点E，过P作轴交直线于点F， ∴， ∴， ∴ ， 设直线的解析式为， ∴， 解得 ， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时， 有最大值， ∴此时的坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，涉及待定系数法确定函数关系式、勾股定理、相似三角形的判定和性质、二次函数最值，解题的关键是熟悉二次函数的性质以及分类讨论思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $