河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学自编模拟试题（一）

2025-2026学年南阳市方城县第一高级中学高一下学期期中考试数学自编模拟试题（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 2．若单位向量，的夹角为，则（   ） A． B． C． D．1 3．已知平面向量．若，则（   ） A． B． C． D．2 4．三棱锥中，，点为中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 5．已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 6．已知符号函数，是平面内三个不同的单位向量，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的北偏西75°方向，则这时船与灯塔之间的距离是（    ） A．10km B．20km C．km D．km 8．光束是由一粒一粒运动着的粒子流组成的，这种粒子被称为光量子，简称光子．已知在某次光学实验中，实验组相关人员用感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A，B，通过数学建模与数据分析得知，在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为，设光子相对光子的位移为，则在上的投影向量的坐标表示为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．在中，角A，B，C的对边分别是，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则有两解 C．若，则为等腰三角形或直角三角形 D．若，则为钝角三角形 10．下列说法正确的是（   ） A．已知，，则的最小值为6 B．在中，若，则为钝角三角形 C．在中，若点满足，则为的垂心 D．若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 11．已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，，分别是C的左、右焦点，过点的直线与C交于A，B两点（异于C的左、右顶点），则（   ） A．C的方程为 B．的周长为8 C．的最大值为6 D．当A为C的上顶点时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若，则在上投影向量的坐标为______． 13．若___________． 14．已知的外接圆圆心为O，且，向量在向量上的投影向量为，则__________用弧度制表示 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知复数是实数. （1）求复数； （2）若复数是关于的方程的根求实数和的值. 16．已知平面向量，，． (1)求： (2)求与夹角的余弦值． 17．上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且. (1)当米时，求分隔栏的长； (2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值. 18．（1）如图在平行四边形中，，，用向量，表示，；并证明：，，三点共线． （2）若是夹角为的两个单位向量，，求，，与的夹角． 19．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，，求． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年南阳市方城县第一高级中学高一下学期期中考试数学自编模拟试题（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C B A C C AC ACD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】根据虚数单位的周期性和复数的除法可得. 【详解】因为，所以， 所以. 2．C 【分析】根据数量积公式计算求解. 【详解】因为单位向量，的夹角为，则. 故选：C. 3．A 【详解】因为，所以 ， 展开整理得， 又因为， 故，， ， 代入等式得：，解得. 4．C 【分析】由图形，题意，结合空间向量加减法可得答案. 【详解】，又为中点， 故选：C 5．B 【分析】将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 6．A 【分析】根据题目条件平面建系设出、、并判断所在象限，再用辅助角公式化简并结合所在象限求解即可. 【详解】由题意可知，且和中，一个大于0，另一个小于0， 不妨设，由函数可知． 不妨设，，，， 所以，，所以 所以， 则有， 因为，所以，所以， 所以. 故选：A. 7．C 【分析】三角形为等腰三角形，利用正弦定理求出的长，即为这时船与灯塔的距离. 【详解】由题意，可得，，则， 在中，由正统定理得． 故这时船与灯塔之间的离是km. 故选：C. 8．C 【分析】根据向量坐标的线性运算先求，再利用投影向量的定义即可求解. 【详解】由向量，可得， 所以在上的投影向量为．． 故选：C． 9．AC 【分析】根据函数在上单调性，即可判断A；根据正弦定理得到，与正弦函数的值域为相矛盾，可知不存在这样的角，即可判断B；将变形为，即或，即可判断的形状，进而判断C；由，及的范围分析得到都是锐角，即可判断D. 【详解】对于A，因为函数在上单调递减， 在中，因为，且，所以，故A正确； 对于B，若，则由正弦定理可得， 解得.因为正弦函数的值域为， 所以不存在这样的角，即无解，故B错误； 对于C，因为， 所以由正弦定理可得， 又因为， 所以可得，即， 即或. 由可得，即为等腰三角形； 由，，可得，所以为直角三角形. 综上可知，为等腰三角形或直角三角形，故C正确； 对于D，若，且， 可知，即都是锐角， 所以是锐角三角形，故D错误. 故选：AC 10．ACD 【分析】对于选项A，根据向量数量积的运算律将展开，再结合向量夹角的范围即可求其最小值； 对于选项B，根据向量数量积的定义，可判断为锐角，进而判断的形状； 对于选项C，根据向量数量积的运算律对已知条件进行变形，即可推出点的性质； 对于选项D，根据向量投影向量的定义，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，，所以， 又，所以，所以， 当，即反向共线时等号成立，故A正确； 对于B选项，由， 又，所以，即为钝角，所以为锐角， 故不能判断为钝角三角形，故B错误； 对于C选项，因为，即，所以，所以，即， 同理，由，得，即， 由，得，即， 所以为的垂心，故C正确； 对于D选项，因为，，与的夹角为， 所以在方向上的投影向量为，故D正确． 综上所述，选项ACD都正确. 11．ABD 【分析】对A，根据椭圆长轴和短轴的定义即可得到椭圆方程，对B，根据椭圆定义即可判断；对C，根据基本不等式即可判断；对D利用椭圆定义和余弦定理即可得到弦长. 【详解】对A，由题知，，即，，所以的方程为，A正确； 对B，的周长为，B正确； 对C，由题知，所以（当且仅当时取等号），C错误； 对D，当为椭圆的上顶点时，2，设，则， ，则，则， 在中，由余弦定理，得，解得， 所以，D正确． 故选：ABD．    12． 【分析】应用向量数量积的定义及投影向量的定义求在上投影向量的坐标. 【详解】设向量的夹角为，则在上投影向量为. 故答案为： 13． 【详解】令，则， 代入运算， 所以，解得， 所以. 14． 【分析】由外心满足，推出是中点，从而为直径，得，再由投影条件得， 结合直角三角形中余弦关系得，由勾股定理得，从而求出角的余弦值，再判断出角. 【详解】由题意，的外接圆圆心为，且， 所以⟹⟹， 因此是的中点，又是外接圆圆心， 故，为外接圆直径，得， 因为在上的投影向量为， 所以，则⟹， 在中，， 所以，即， 所以⟹， 在中，， 又，故 故答案为： 15．（1）；（2）. 【分析】（1）由为实数，结合复数的除法运算，化简列方程求m，写出复数； （2）由方程根的性质，得，列方程组求实数和的值. 【详解】（1）∵， ∴， 又是实数，得，解得， ∴. （2）∵是的根， ∴，即，得， ∴. 16．(1)； (2). 【分析】（1）应用向量数量积的运算律求即可； （2）由向量夹角公式及数量积的运算律求夹角余弦值. 【详解】（1）由； （2）由. 17．(1)米 (2)平方米 【分析】（1）首先求出，在中，利用余弦定理求出； （2）在中，先利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 所以的长为米； （2）因为，， 设，，则， 在中，由正弦定理得， 所有， 则 ， 当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米. 18．（1），，证明见解析； （2），. 【分析】（1）结合图形将，用向量，表示，再由向量共线定理即可得证； （2）根据平面向量数量积的运算律与向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）由题意，， 由可得， 所以， 又可得， 又共点，故，，三点共线． （2）由题意，，且，则， 由，可得， 由可得， 且， 所以，又， 因此. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解，从而得到角C. （2）由正弦定理即可求解,进而即可得. 【详解】（1）由余弦定理可得，有，有， 由余弦定理得， 因为，所以． （2）由正弦定理，有，即，有，因为，所以，从而有． 答案第10页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $