第15章分式单元综合测试卷2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

第15章分式单元综合测试卷 一、单选题（本大题共10小题.每小题3分.共计30分） 1.在1、、X、3迎3 2xx4元、x+y 中分式的个数有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.把分式2x 中的x、y都扩大4倍，则分式的值() xtv A,不变 B.扩大4倍 C.扩大8倍 D.缩小为原来的} 3#第：(--31的结果为) A.2 B.4 D.3 4.计算0+La+1 的结果是() a2-a'a2-2a+1 A. a a-1 C.a-1 a D.1-a a 5.下列说法正确的是() A.当x=-2时，分式x+2无意义 B.分式与的最简公分母是2xy 1 2x C.当分式m-16值为0时，m=41 ，的值总为正数 m+4 D.无论x为何值，+ 6.下面是小亮的作业，他一共做对了() 填空： ①a÷a3=a4. ②一张纸的厚度为4×105m,100张纸的厚度为4×10-2m. @+2号 ④已知长方形的面积为6a2+18ab,长为3a,则宽为2a+6b, A.0道题 B.1道题 C.2道题 D.3道题 7.若x-4r+1=0,则x2+三的值为() A.14 B.12 C.10 D.8 8关于的分式方程5+有增根，则m附雅为人) x-1 A.1 B.3 C.4 D.0 试卷第1页，共3页 2x2-4x+2 9,能使分式：-的值为整数的整数的值有—个（） A.5 B.4 C.3 D.2 10.某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不 同，三次购买的单价也不一样.第一次花费380元，第二次花费360元，第三次花费480元， 第二次购买的单价比第一次少1元，第三次购买的单价比第一次多2元.若第二次和第三次 购天的数宝相同。现到列出方程智智·则下列瓷法不正预的是() A,方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B.第一次购买节能灯的单价是10元 C.第二次购买节能灯的数量比第一次多了2个 D.如果设第二次购买的数量为y个，可列方程 360_480-2 二、填空题（本大题共6小题.每小题4分.共计24分） 1.分式。6和的最简公分母是 2计。 13.已知+5=3，则206+2b邮 的值是 a-2ab+b 14.分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”.古埃及人在分数计算时总是将一 个分数拆分成几个单位分数之和，如： 手片5号-+六格品标分度尊个不阳弹分 数相加的形式为：对于任意正整数k,将，2拆分成两个不同单位分数相加的形式 2k+1 为 15.对于代数式m,n,定义运算“※：m※n=m+n-4( (mn≠0)，若 mn x-4+x+2′则20261-B= (c-4※x+2)=A+B 16.若数a使得关于x的分式方程4-3=5有正数解，且使得关于y的不等式组 x-11-x 2y-a2y-1 1 )y+a<3有解，那么符合条件的所有整数a的和为一 三、解答题（本大题共7小题.每题8分.共计56分） 17.计算、化简 试卷第1页，共3页 第：6+2--{日+1 (2)化简： m。-1÷m2-4m+4 m+2 m2-4 18.计算： (1)9xy2÷ 2x39 2g2-1 a+2a2-4a+4 a2-4a2-2a+1 a+1 19.通分： 35 (02y'3 2 1 1 20.先化简，再求值： (+2号 x+1 2 21.已知关于x的方程2+1-x+a x+1x-1x2-1 (1)若a=4,求该方程的解： (2)若该方程无解，求实数a的值. 22.[核心素养]阅读下面的解题过程： 子求的值 已知，x。1 x4+1 解：由x=1 2+14’得x≠0， 11 六x+4,即， x2 1 11 x+1 -2 4-24】 请你借鉴上面的方法解答下面的问题： (①)已知x2+1=5x,则x+的值为 1 一，+京的值为一 ②已如x2,求 。一的值； x4+x2+1 已知1，求的值 x8-3x4+1 试卷第1页，共3页 23.河南历史文化底蕴深厚，某文创商场计划购进一批以“牡丹花贴”和“汴绣书签”为代表的 特色文创产品，已知一个“牡丹花贴”的进价与一个“汴绣书签”的进价的和为40元，用1200 元购进“牡丹花贴”的个数与用2000元购进“汴绣书签”的个数相同. (1)“牡丹花贴”和汴绣书签”每个的进价分别是多少元？ (2)商场计划购进“牡丹花贴”和汴绣书签”共50个，其中“牡丹花贴”的个数不多于24个.若 商场决定此次进货的总资金不超过1050元，求商场共有几种进货方案： (3)在（2)的条件下，若每个“牡丹花贴”的售价为40元，每个“汴绣书签”的售价为55元， 商场为迎接“中原文化旅游节”，推出“买一赠一”惠民活动：顾客从这两种文创产品中任购一 个，就可以从这两种产品中任选一个作为赠品，若这批产品在活动期间全部售出后恰好获利 235元，求商场的进货方案. 试卷第1页，共3页 第15章分式单元综合测试卷 一、单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．在、、、、中分式的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：在、、、、中分式有、、，共个． 2．把分式中的x、y都扩大4倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大4倍 C．扩大8倍 D．缩小为原来的 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，将扩大后的x、y代入原分式，根据分式的基本性质化简，再和原分式对比即可得到结果． 【详解】解：将、都扩大为原来的倍后，变为，变为，代入原分式得， 新分式为， ∴新分式的值和原分式的值相等，即分式的值不变． 故选：A． 3．计算：的结果为（   ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、有理数乘方、负整数次幂、零次幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先运用有理数乘方、负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故选A． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除运算，提公因式与完全平方公式的运算，将分式的除法变为分式的乘法是解题的关键．先根据提公因式与完全平方公式计算，再将除法变为乘法约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 5．下列说法正确的是（    ） A．当时，分式无意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】本题考查分式的相关基础概念，包括分式有无意义的条件、最简公分母的确定、分式值为0的条件以及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式的基本性质． 【详解】解：A，∵分式无意义的条件是分母，当时，分母，分式有意义， ∴A错误； B，∵最简公分母取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积， ∴分式与的最简公分母是，不是， ∴B错误； C，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即， ∴，不是， ∴C错误； D，∵对任意都有， ∴，分子， ∴恒成立， ∴D正确． 6．下面是小亮的作业，他一共做对了（　　） 填空： ①． ②一张纸的厚度为，100张纸的厚度为． ③． ④已知长方形的面积为，长为，则宽为． A．0道题 B．1道题 C．2道题 D．3道题 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，负整数指数幂，零指数幂，多项式的除法．逐一检查每道题，第一题指数运算错误，第二题科学记数法计算错误，第三题和第四题正确． 【详解】解：∵① ，∴错误； ∵② ，∴错误； ∵③ ，，，∴正确； ∵④ 宽 = ，∴正确； ∴共做对2道题． 故选：C． 7．若，则的值为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值．先对已知方程变形得到的值，再利用完全平方公式的恒等变换计算所求式子的值． 【详解】解：∵，且（若，代入方程左边得，矛盾）， ∴方程两边同时除以，得， ∴， ∵， ∴ 将代入，得． 故选：A． 8．关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．1 B．3 C．4 D．0 【答案】B 【分析】分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解. 【详解】解：增根是使分母为0的根，即． 去分母，得， 代入，得． 故选：B． 9．能使分式的值为整数的整数的值有_____个（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式化简与整数解的问题．首先对分式进行因式分解并化简，得到一个更简单的表达式，然后根据整数条件分析分母可能的取值情况，从而确定满足条件的整数的个数．需要注意原分式在时无定义，需排除该情况． 【详解】解：整理得： （）. 设 （ 为整数）， 则 ， ∵ 为整数，∴ 为整数，故 为整数， ∴ 为 2 的约数，即 . 当 时，，; 当 时，，; 当 时，，; 当 时，，. 所有 均满足 ， ∴ 整数 的值有 4 个. 10．某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 【答案】D 【分析】根据总价，单价，数量的关系，逐一验证各选项即可得出结果． 【详解】解：∵方程中，是第二次购买的总价，是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同， 故第二次购买的单价为，第三次购买的单价为， ∵第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元， ∴表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意； ， ， ， ， 解得， ∴ 第一次购买节能灯的单价是元，故B选项说法正确，不符合题意； 故第二次购买单价为元， ∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，个， ∴ 第二次购买数量比第一次多个，故C选项说法正确，不符合题意； 若设第二次购买数量为个， ∵ 第二次和第三次购买数量相同， ∴ 第三次购买数量也为个， 故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为， ∵第三次单价比第一次单价多元， 故， 整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意． 二、填空题(本大题共6小题.每小题4分.共计24分) 11．分式和的最简公分母是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母即可． 【详解】解：分母和的系数的最小公倍数是6，字母a的最高次幂是，字母b的最高次幂是，因此最简公分母是． 故答案为：． 12．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查分式的除法运算，需将除法转化为乘法，并通过因式分解约分简化表达式． 【详解】解：原式， ， ， ， 故答案为：． 13．已知，则的值是_________． 【答案】 【分析】将已知通分可推导得到，将该式整体代入所求分式，化简后即可得到结果． 【详解】解：由，通分可得， ， ． 14．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______；对于任意正整数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______． 【答案】 【分析】本题考查分式的规律性问题．通过观察给定例子=+和=+，发现对于分母为奇数的分数，可拆分为两个单位分数之和，其中第一个分母为，第二个分母为．将此法应用于和一般形式即可求解． 【详解】解：对于，分母，则第一个单位分数的分母为，第二个单位分数的分母为 ，故 ． 对于任意正整数，设分母 ，则第一个单位分数的分母为 ，第二个单位分数的分母为，故 ． 故答案为：，． 15．对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的运算，分式的混合运算．先通分合并，然后根据对应系数相等求出A，B的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ， ∴，解得， ∴． 故答案为：． 16．若数a使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和为____． 【答案】0 【分析】根据分式方程的解为正数即可得出且，根据不等式组有解，即可得，找出所有的整数，将其相加即可得出结论． 【详解】解：解分式方程，得， ∵分式方程的解为正数， ∴，即， 又， ∴，即， 则且， ∵关于y的不等式组有解， ∴，即， 解得：， 综上，a的取值范围是，且， 则符合题意的整数a的值有、0、1，它们的和为0， 三、解答题(本大题共7小题.每题8分.共计56分) 17．计算、化简 (1)计算：． (2)化简：． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解： （2）解： 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先除法变乘法，再约分即可求出答案． （2）先因式分解，再约分化简即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 19．通分： (1)，； (2)，，，． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】本题考查了分式的通分，熟练掌握分式的通分方法是解题关键． （1）先确定两个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得； （2）先确定四个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得． 【详解】（1）解：∵，的最简公分母为， ∴，； （2）解：∵，，，的最简公分母为， ∴，，，． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算括号内分式的加法，然后将除法化为乘法，计算分式的乘法，最后代入求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 21．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若该方程无解，求实数的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（）先把原方程去分母并整理得，解得，然后把代入即可求解； （）根据方程无解可得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：原方程去分母并整理得：， 整理得，，即， ∴当时，， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是； （2）解：由（）知，所以要使原方程无解， 只需满足即可，解得或． 22．[核心素养]阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，得， ∴，即， ∴． 请你借鉴上面的方法解答下面的问题： (1)已知，则的值为______，的值为______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了分式的求值． （1）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解； （2）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解； （3）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解 【详解】（1）解：由，得， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：由，得， ∴， ∴， ∴． （3）解：由，得， ∴， ∴， ∴． 23．河南历史文化底蕴深厚，某文创商场计划购进一批以“牡丹花贴”和“汴绣书签”为代表的特色文创产品，已知一个“牡丹花贴”的进价与一个“汴绣书签”的进价的和为40元，用1200元购进“牡丹花贴”的个数与用2000元购进“汴绣书签”的个数相同． (1)“牡丹花贴”和“汴绣书签”每个的进价分别是多少元？ (2)商场计划购进“牡丹花贴”和“汴绣书签”共50个，其中“牡丹花贴”的个数不多于24个．若商场决定此次进货的总资金不超过1050元，求商场共有几种进货方案； (3)在（2）的条件下，若每个“牡丹花贴”的售价为40元，每个“汴绣书签”的售价为55元，商场为迎接“中原文化旅游节”，推出“买一赠一”惠民活动：顾客从这两种文创产品中任购一个，就可以从这两种产品中任选一个作为赠品，若这批产品在活动期间全部售出后恰好获利235元，求商场的进货方案． 【答案】(1)“牡丹花贴”每个的进价是15元，则“汴绣书签”每个的进价是25元 (2)商场共有5种进货方案：方案1，购进“牡丹花贴”20个，购进“汴绣书签”30个；方案2，购进“牡丹花贴”21个，购进“汴绣书签”29个；方案3，购进“牡丹花贴”22个，购进“汴绣书签”28个；方案4，购进“牡丹花贴”23个，购进“汴绣书签”27个；方案5，购进“牡丹花贴”24个，购进“汴绣书签”26个； (3)商场的进货方案是：购进“牡丹花贴”20个，购进“汴绣书签”30个或购进“牡丹花贴”23个，购进“汴绣书签”27个． 【分析】（1）设“牡丹花贴”每个的进价是x元，则“汴绣书签”每个的进价是元，根据用1200元购进“牡丹花贴”的个数与用2000元购进“汴绣书签”的个数相同建立方程求解即可； （2）设购进“牡丹花贴”m个，则购进“汴绣书签”个，根据“牡丹花贴”的个数不多于24个．若商场决定此次进货的总资金不超过1050元建立不等式组求解即可； （3）设售卖的这些文创产品中有个售价是40元，则有个售价是55元，根据（2）和利润为235元推出a关于m的关系式，结合a是整数和m的值确定m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设“牡丹花贴”每个的进价是x元，则“汴绣书签”每个的进价是元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“牡丹花贴”每个的进价是15元，则“汴绣书签”每个的进价是25元； （2）解：设购进“牡丹花贴”m个，则购进“汴绣书签”个， 根据题意得， 解得， ∵m为整数， ∴或21或22或23或24， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：商场共有5种进货方案：方案1，购进“牡丹花贴”20个，购进“汴绣书签”30个；方案2，购进“牡丹花贴”21个，购进“汴绣书签”29个；方案3，购进“牡丹花贴”22个，购进“汴绣书签”28个；方案4，购进“牡丹花贴”23个，购进“汴绣书签”27个；方案5，购进“牡丹花贴”24个，购进“汴绣书签”26个； （3）解：∵商店一共购进“牡丹花贴”和“汴绣书签”共50个， ∴进行“买一赠一”惠民活动时，只对其中的25个文创产品进行售卖， 设售卖的这些文创产品中有个售价是40元，则有个售价是55元， 由题意得，， 整理得， 由（2）知或21或22或23或24，且a为整数， ∴或 当时，此时；当时，此时； 答；商场的进货方案是：购进“牡丹花贴”20个，购进“汴绣书签”30个或购进“牡丹花贴”23个，购进“汴绣书签”27个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $