精品解析：宁夏银川唐徕中学2025-2026学年第二学期高一4月月考数学试卷

银川唐徕中学2025-2026学年第二学期高一4月月考数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.在试卷上作答无效． 3.非选择题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设平面向量，点，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设B点坐标为，则可得的坐标，根据题意，列出等式，即可得答案. 【详解】设B点坐标为， 所以，解得， 所以B的坐标为. 故选：B 2. 在中，若，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理即可求解． 【详解】由余弦定理可得 ，故． 3. 如图，在平行四边形ABCD中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算法则计算得到答案. 【详解】， 故选：B 4. 已知平面内的非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的定义、向量共线结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】因为，且， 若，则，可得， 所以，即充分性成立； 若，例如，则，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用图像的平移变换和周期变换的结论，根据结果反向变换即可得出结果. 【详解】将上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到， 再将上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到， 将上所有点向左平移个单位，得到， 故选：A. 6. 已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出，根据数量积的定义求出，最后根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，所以，又向量，的夹角为，且， 所以， 所以在方向上的投影向量为. 故选：D 7. 小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正弦定理求出的长度，然后在直角三角形中根据边长关系求解出结果. 【详解】在中，，，米， 在中，由正弦定理可得，所以， 又因为， 所以，解得米， 在中，，米， 所以米， 故选：D. 8. 已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】取、分别是、中点，根据向量的加法运算以及向量共线可得，再由三角形的相似比即可求解. 【详解】如下图所示，、分别是、中点， 由 得即，所以， 由，， 设，， 则，， 由三角形相似比可得，解得， 因为，所以，即， 所以， 所以，即的面积与的面积之比是 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知向量，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】分别计算出，然后判断选项即可; 【详解】因为，， 所以， 选项A，因为，所以与不垂直，所以A错误， 选项B，因为，，所以，所以，所以B正确， 选项C，因为，所以，所以，所以C错误， 选项D，因为，所以，所以，所以D正确. 故选：BD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. 点是函数图象的一个对称中心 D. 直线是函数图象的一条对称轴 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合图象即可求出三角函数的解析式，则AB可解；将代入函数的解析式即可验证C选项；将代入函数的解析式即可验证D选项. 【详解】根据图象和题目条件可知，， 所以，解得，A正确； 将代入，可得，解得，B正确； 所以， 令得，， C错误， 令得，，故是函数的一条对称轴，D正确， 故选：ABD． 11. 在菱形中，，，，，点M在线段上，且，若点N为线段上一个动点，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 向量在方向上的投影向量为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】取平面向量的基底，利用共线向量定理的推论判断A；利用数量积的运算律计算判断BD；求出投影向量判断C. 【详解】在菱形中，，， 对于A，由，得，解得， 则， 而点M在线段上，于是，解得，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，，，向量在方向上的投影向量 为，C错误； 对于D，由点N为线段上，设， ， ， ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡相应位置上． 12. 已知是两个不共线的向量，向量，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行（共线）建立相应的关系式分析求解即可. 【详解】因为，， 所以存在实数，使得，即， 又是两个不共线的向量，所以，解得：. 13. 在中，内角，，的对边分别是，，，且，，则的外接圆的直径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据余弦定理求出，然后再根据正弦定理即可求解. 【详解】 由，可得，即， 由余弦定理可得：，所以，， 所以外接圆直径. 14. 已知平面向量分别满足与的夹角是，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建系，设取，，由图可得，由题得，，由正弦定理可得，再利用向量数量积的定义将所求式化成关于角的正弦型函数，利用正弦函数的单调性即可求得答案. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设点取， 满足则，取，连接，则，依题意， 记中角所对的边分别为，由正弦定理，， 则得， 由 ，因，故， 故当，即当时，取得最大值1， 此时取得最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，，解这个． 【答案】当时，，； 当时，，. 【解析】 【分析】由已知利用正弦定理求出的值，进而分情况求出的值，再利用正弦定理求出的值即可． 【详解】由正弦定理可得，又，，， 所以， 又，所以，又， 则或， 当时，， 所以， 由正弦定理可得． 当时，， 所以， 由正弦定理可得． 综上，当时，，； 当时，，. 16. 已知平面向量，满足，，． （1）求向量，夹角的大小； （2）求的值； （3）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的分配律结合夹角公式计算可得结果； （2）利用数量积的运算律求解； （3）先利用数量积的运算律求出，再由向量的夹角公式即可求出. 【小问1详解】 因为，，， 所以，即， 所以，解得， 又，所以. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 因为， 由（2）得，所以. 17. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简的解析式，再利用单调性质求解； （2）由图象变换得解析式，再利用整体法求值域. 【小问1详解】 因为， 令，得, 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位，得到， 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到， 当，故， 所以的值域为． 18. 在中，，，分别为角，，的对边，且． （1）求角； （2）若的面积为，，求边上的高的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解， （2）根据面积公式可得，进而根据余弦定理可求解，即可根据面积公式求解. 【小问1详解】 由结合正弦定理可得 因为，则 所以． 则有故． 【小问2详解】 由得 因，所以 由余弦定理得 所以，解得 所以 ． 19. 如图，政府规划一个四边形区域为市民打造休闲场所，拟在区域挖一个人工湖，区域建设公园，对角线修建步道，其中，，． （1）若公园区域是一个占地面积为，且为钝角的三角形，需要修建多长的步道？ （2）在规划要求下，保证公园占地面积最大的同时，人工湖的最大面积是多少？并求此时的长度． 【答案】（1） （2）最大面积为， 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式和同角基本关系式可得，再利用余弦定理可解； （2）根据正弦函数的值域和三角形面积公式可得，设，，由正弦定理和面积公式以及三角恒等变换得，从而求最值. 【小问1详解】 因为，，所以， 解得，又是钝角，所以， 所以， 所以需要修建的步道. 【小问2详解】 因为，当且仅当时取等号，此时， 设，， 在中，根据正弦定理可得， 所以 ， 由，得， 当，即时，， 此时达到最大，最大值为，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川唐徕中学2025-2026学年第二学期高一4月月考数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.在试卷上作答无效． 3.非选择题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设平面向量，点，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，若，，，则（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形ABCD中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面内的非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（　　） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知向量，，则（    ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. 点是函数图象的一个对称中心 D. 直线是函数图象的一条对称轴 11. 在菱形中，，，，，点M在线段上，且，若点N为线段上一个动点，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 向量在方向上的投影向量为 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡相应位置上． 12. 已知是两个不共线的向量，向量，，若，则__________． 13. 在中，内角，，的对边分别是，，，且，，则的外接圆的直径为__________． 14. 已知平面向量分别满足与的夹角是，则的最大值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，，解这个． 16. 已知平面向量，满足，，． （1）求向量，夹角的大小； （2）求的值； （3）求向量与夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域． 18. 在中，，，分别为角，，的对边，且． （1）求角； （2）若的面积为，，求边上的高的长． 19. 如图，政府规划一个四边形区域为市民打造休闲场所，拟在区域挖一个人工湖，区域建设公园，对角线修建步道，其中，，． （1）若公园区域是一个占地面积为，且为钝角的三角形，需要修建多长的步道？ （2）在规划要求下，保证公园占地面积最大的同时，人工湖的最大面积是多少？并求此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $