第2章 一元二次方程 单元强化训练（5）2025-2026学年浙教版数学八年级下册

一元二次方程 单元强化训练5 一、选择题 1. 方程的解是（    ）。 A．， B． C． D． 2．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（    ）。 A． B． C． D． 3．小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下图，若设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为，则下列方程正确的是（     ）。 A． B． C． D． 4．若使得关于x的方程有实数根，则k的值不可能的是（     ）。 A． B．0 C．2 D． 5. 观察下面的表格，估计一元二次方程的一个解的范围是（  ）。 A． B． C． D． 6．实数定义新运算“”如下：，例如，则方程的根的情况是（     ）。 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7．用配方法解方程，则方程可变形为（     ）。 A． B． C． D． 8．已知关于x的方程是一元二次方程，则不等式的解集是（    ）。 A． B． C． D． 9．大数学家欧拉的《代数引论》中有一个“农妇卖鸡蛋”的问题：A、B两个农妇一共带了个鸡蛋到集市上去卖，结果卖得的钱币数相同．A说：“如果我拿了你的鸡蛋，我就能卖得个钱币．”B说：“如果我拿了你的鸡蛋，只能卖得个钱币．”请根据以上信息，可计算出A、B两个农妇各带的鸡蛋数是（　　）。 A．A农妇带了个鸡蛋，B农妇带了个鸡蛋 B．A农妇带了个鸡蛋，B农妇带了个鸡蛋 C．A农妇带了个鸡蛋，B农妇带了个鸡蛋 D．A农妇带了个鸡蛋，B农妇带了个鸡蛋 10. 对于n个多项式，，，…，，我们将任意（且均为整数）个多项式进行求和，计算出结果，称为“k项求和操作”．比如：当时，在中任意选取2项求和，得到，，．下列说法正确的个数是（    ）。 ①若，进行“2项求和操作”的结果有5种；②若对这n个多项式进行“4项求和操作”的结果恰好有种，则；③若对这个多项式进行“3项求和操作”，存在三项，使这一方程有实数根，则 A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则______。 12．方程的判别式的值为，则____。 13．方程 的两根为、，则 的值为_____。 14．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都互相握一次手，一共握手28次，问这次参加聚会的人数是多少？若设这次参加聚会的人数为x人，则可列出的方程是______。 15．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是__________。 16．一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用足够长的住房墙，另外三边用长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木门，当羊舍的面积是时，设所围的羊舍与墙垂直的边长为x米，则x应满足的关系式为 ________________。 17. 如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是，若三位数是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是_________。 三、解答题 18．解下列方程： （1）； （2）； （3）． 19．已知关于x的一元二次方程， （1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值。 20. 已知在中，，，，求BC的长。 21．成都大运会开幕式于2023年7月28日在成都东安湖体育公园举行，大运会吉祥物为“蓉宝”， “蓉宝”的样子和形态，充分诠释了成都的新时代特点和城市魅力，吸引了无数人们的目光，因而“蓉宝”手办特别惹人喜爱。 （1）据市场调研发现，某工厂今年7月份共生产500个“蓉宝”手办，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，9月份该工厂生产了720个“蓉宝”手办，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？ （2）已知某商店“蓉宝”手办平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件，如果每天要盈利1440元，则每个“蓉宝”手办应降价多少元？ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次方程 单元强化训练5 一、选择题 1. 方程的解是（    ）。 A．， B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键。根据直接开方法进行计算即可。 【详解】解：， ， 解得，。 2．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．利用一元二次方程定义进行解答即可。 【详解】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意； B、未指明，不一定是一元二次方程，故此选项不合题意； C、含有一个未知数，未知数的最高次数是4次，所以该方程不是一元二次方程，故此选项不合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：A。 3．小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下图，若设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为，则下列方程正确的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据2020年到2022年观测鸟类种类数量的关系，列出方程即可。 【详解】解：设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为，由题意，得： 故选D。 4．若使得关于x的方程有实数根，则k的值不可能的是（     ）。 A． B．0 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解。 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得：， ∴的值不可能的是2， 故选：C。 5. 观察下面的表格，估计一元二次方程的一个解的范围是（  ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，找出代数式的值最接近时，其对应的值就是方程的近似解，掌握相关知识是解题的关键。 【详解】解：根据题意，其中代数式的值最接近的是与，其对应的值是与， ∴一元二次方程的一个解的范围是： 故选：C。 6．实数定义新运算“”如下：，例如，则方程的根的情况是（     ）。 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式，即可得出该方程有两个相等的实数根。 【详解】解：由题可得：方程 化为， 即， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， 故选B。 7．用配方法解方程，则方程可变形为（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据配方法解方程的方法，进行变形即可。 【详解】解：， 二次项系数化为1，得， 配方，得， ∴ 故选：B。 8．已知关于x的方程是一元二次方程，则不等式的解集是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义、解一元一次不等式。根据一元二次方程的定义即可求得的值，将其代入求解即可。 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且， 解得且， ， 将代入得：， 解得：， 故选：C。 9．大数学家欧拉的《代数引论》中有一个“农妇卖鸡蛋”的问题：A、B两个农妇一共带了个鸡蛋到集市上去卖，结果卖得的钱币数相同．A说：“如果我拿了你的鸡蛋，我就能卖得个钱币．”B说：“如果我拿了你的鸡蛋，只能卖得个钱币．”请根据以上信息，可计算出A、B两个农妇各带的鸡蛋数是（　　）。 A．A农妇带了个鸡蛋，B农妇带了个鸡蛋 B．A农妇带了个鸡蛋，B农妇带了个鸡蛋 C．A农妇带了个鸡蛋，B农妇带了个鸡蛋 D．A农妇带了个鸡蛋，B农妇带了个鸡蛋 【答案】B 【分析】设A农妇带了x个鸡蛋，则B农妇带了个鸡蛋，根据A能卖得个钱币，B能卖得个钱币，可得A的单价为，B的单价为，根据卖得的钱币数相同列方程即可得到答案。 【详解】解：设A农妇带了x个鸡蛋，则B农妇带了个鸡蛋， ∵A能卖得个钱币，B能卖得个钱币， ∴A的单价为，B的单价为， 由题意可得， ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴，， 故选B。 10. 对于n个多项式，，，…，，我们将任意（且均为整数）个多项式进行求和，计算出结果，称为“k项求和操作”．比如：当时，在中任意选取2项求和，得到，，．下列说法正确的个数是（    ）。 ①若，进行“2项求和操作”的结果有5种；②若对这n个多项式进行“4项求和操作”的结果恰好有种，则；③若对这个多项式进行“3项求和操作”，存在三项，使这一方程有实数根，则 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识是解题的关键。 对比题中k项求和操作计算可得①②，对③进行3项求和操作，根据根的判别式化简可得，进而根据为正整数，且，可得，故即可判断③，从而选出正确答案。 【详解】解：①当时，，，，， ∴进行2项求和操作的结果有，，，，，，共5种， 故①正确； ②对这个多项式进行4项求和操作的结果有种， 解得， 故②正确； ③对这个多项式进行3项求和操作，结果为， 令， 则， ， ， 当时，方程有实数根，此时， 又∵为正整数，且， ∴， 此时， 故③错误。 综上所述，正确的个数是2个。 故选B。 二、填空题 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则______。 【答案】3 【分析】根据一元二次方程的概念可直接进行求解即可。 【详解】解：由关于x的方程是一元二次方程可得： ， 解得： 故答案为3。 12．方程的判别式的值为，则____。 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根据根的判别式计算即可求解，熟练掌握根的判别式定义是解题的关键。 【详解】由， 解得： 故答案为：。 13．方程 的两根为、，则 的值为_____。 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，。 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴ 故答案为：。 14．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都互相握一次手，一共握手28次，问这次参加聚会的人数是多少？若设这次参加聚会的人数为x人，则可列出的方程是______。 【答案】 【分析】本题考查了用一元二次方程解决握手次数问题，每个人都要和他自己以外的人握手一次，但两个人之间只握手一次，所以等量关系为：×聚会人数×（聚会人数﹣1）=总握手次数，把相关数值代入即可求解，得到总次数的等量关系是解决本题的关键。 【详解】解：参加聚会的人数为x人，每个人都要握手次，根据题意得： ， 故答案为:。 15．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是__________。 【答案】 【分析】根据一元二次方程有实数根得出，代入求出即可．本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，注意：一元二次方程，、、为常数，，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根。 【详解】解：关于的方程有实数根， ， ， 故答案为：。 16．一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用足够长的住房墙，另外三边用长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木门，当羊舍的面积是时，设所围的羊舍与墙垂直的边长为x米，则x应满足的关系式为 ________________。 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，求出羊舍的另一边，根据长方形的面积公式列出方程即可。 【详解】解：设所围的羊舍与墙垂直的边长为x米，则：长方形的另一边的边长为：，由题意，得： 故答案为：。 17. 如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是，若三位数是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是_________。 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据题意正确找出等量关系列式计算是解决本题的关键。 根据“百位数字使得一元二次方程有实数根”，得到列出关于的不等式，解之得到的取值范围，根据“各位数字之和大于小于得出各位数字之和为或，结合“勤劳数”的定义，分情况讨论可能的数，从而得到对应的“勤劳数”。 【详解】解：根据题意得：， 解得： ∵各位数字之和大于小于， 或， 又∵， (舍去)或， 若则，该数为， 若则，该数为， 答： 这个“勤劳数” 432或630， 满足条件的所有“勤劳数”的和是， 故答案为：。 三、解答题 18．解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3） 【分析】本题考查了解一元二次方程，灵活运用直接开平方法、求根公式、因式分解法等方法解方程是关键. （1）移项后且直接开平方法即可求解； （2）移项后，利用求根公式即可求解； （3）利用因式分解法即可求解。 【详解】（1）解：移项得：， 两边开平方得：， 解得：； （2）解：移项得：， 利用求根公式得：， ∴； （3）解：变形得：， 方程左边因式分解得：， 即：， ∴，或， ∴。 19．已知关于x的一元二次方程， （1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值。 【答案】（1）详见解析 （2） 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。一元二次方程的两个根，，满足，。 （1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可。 【详解】（1）证明：∵ ， ∵， ∴， ∴无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）解：∵，，， ∴， 解得， 故m的值为。 20. 已知在中，，，，求BC的长。 【答案】或 【分析】作，根据等腰三角形的性质，得到，设，则，由勾股定理求得，再利用勾股定理分别计算即可得到答案。 【详解】解：如图，过点C作于点D， ， ， 设， ， 在中，， ， ，， 当，即， ， 当，即， ， 综上所述，或， 故答案为或． 21．成都大运会开幕式于2023年7月28日在成都东安湖体育公园举行，大运会吉祥物为“蓉宝”， “蓉宝”的样子和形态，充分诠释了成都的新时代特点和城市魅力，吸引了无数人们的目光，因而“蓉宝”手办特别惹人喜爱。 （1）据市场调研发现，某工厂今年7月份共生产500个“蓉宝”手办，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，9月份该工厂生产了720个“蓉宝”手办，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？ （2）已知某商店“蓉宝”手办平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件，如果每天要盈利1440元，则每个“蓉宝”手办应降价多少元？ 【答案】（1） （2）每个“蓉宝”应降价4元． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了销售问题和增长率问题，解题的关键是理解题意，找到题中的等量关系，正确列出方程。 （1）设该工厂平均每月生产量增长率为x，根据题意列出一元二次方程，求解即可； （2）设每个“蓉宝”降价元，则每个盈利元，根据题意列出方程，求解即可。 【详解】（1）解：设该工厂平均每月生产量的增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：该工厂平均每月生产量的增长率为。 （2）解：设每个“蓉宝”降价元，则每个盈利元，平均每天可售出个， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：每个“蓉宝”应降价4元。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $