山东省青岛第五十八中学2025-2026学年第二学期高二年级阶段性检测数学试题

2025-2026高二阶段性检测 数学 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 考号 [o] [0] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] 缺考标记 [11 [1] [1] [1] [1] 1] [1] [1] [1] ▣ [2] [2] [2] [2] 〔21 [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] ) [6] [6] [6] [6 [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [ [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] 81 [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 注意事项 1. 答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 客观题(18为单选题；911为多选题 I[A][B][C][D] 5[A][B][C][D 9[A][B][C][D] 2[A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 填空题 12. 13 14. 囚囚■ 第1页共6页 解答题 15. 16 囚囚■ 第2页共6页 17 ■ 第3页共6页 並9详並嵬 囚■囚 0 0 0 '81 ■ 连9并逆9嵬 囚■囚 6I ▣ 附加题 (1) (2) (3) ■ 第6页共6页保密★启用前 2025一2026学年第二学期高二年级阶段性检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.定义在R上的函数f),若f0=1,则mf0+2026A)-f0=() △x→0 2026△x 1 A.-1 B. C.2026 D.1 2026 2.已知f'是函数f()的导函数，且fm=f0x+1,则f①=() A.1 B.2 C.-1 D.-2 3.已知函数f(x)=xe-a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是() A.(0,e) B 0, e 4.己知函数f(x)=x(x-a)在x=1处取得极大值，则a=() A.1或3 B.1 C.1或9 D.3 5.记(1+3x)0+x)2o26=a。+4x+a,x2++a2o27x2027，则a2+a4+4,++a202s=（) A.22027 B.22027-1 C.22027-2 D.22027+1 数学试题 第1页（共6页） 6.已知函数f(x)=xhx-k,g(x)=x,若存在x∈[1，e],对任意x2∈[l,e],使得 f(x)≥g(x2)恒成立，则实数k的取值范围是() A.(（-0,0] B.（-,1] C.（-o,e) D.[e,+o) 7.已知函数f(x)= e,a血x,x≥】在定义域R上是增函数，则实数a的取值范围为冰） -x2+2ax,x<1 A.[1.e] B.[L,+o) D.. 8.已知函数∫(x)=2+anx,g(x)=ax2+1,若存在两条不同的直线与函数y=f(x)和 y=g(x)图像均相切，则实数a的取值范围为() 2 A.（-o,0)U 1+ B 1n2 2 1 D 1+n2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=(x+l)e*,则() A.f'(0)=1 B.f(x)在(-n,-2)上单调递减 C.当x<-1时，f(x)<0 D.f(y的最小值为专 数学试题 第2页共6页 10.将4个编号分别为1,2,3,4的小球放入4个编号分别为1,2,3,4的盒子中， 下列说法正确的是() A.共有256种放法 B.若每个盒子都有小球，则有24种放法 C.若恰好有一个空盒，则有144种放法 D.若每个盒内放一个小球，恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同，有24种放法 11.已知函数f()=ae-x,g(x)=h“+x,则下列说法正确的是（) A若f)20恒成立，则ae日+0 B.x=1是8(x)的极值点 C.若函数y=f(x)+g(x)恰有2个正零点，则a∈0，日 e D.若关于x的不等式f(x)+g(x)s0有解，则a∈0，上 e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分 12.曲线y=snm在点（元0）处的切线方程是 1 13.若自然数P使得作竖式加法p+(p+1)+(p+2)不发生进位现象，则称P为“可加数”， 例如12+13+14不产生进位，所以12是“可加数”；例如41+42+43产生了进位现象， 所以41不是“可加数”.那么在小于2024的四位自然数中，“可加数”共有个 14.若正整数a,b满足=b5,则a5+b的最大值为 数学试题第3页 (共6页) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知二项式2 的展开式中各项的二项式系数之和为128. (1)求：(2)求展开式中含x项的系数：(3)求展开式的第六项！ 16.(15分)用数字回答以下问题，并将答案写在显著位置。 (1)用0、1、2、3、4、5六个数字 ①能排成几个可以有重复数字的三位数？ ②这6个数字组成没有重复数字的六位数，其中2与3之间恰有一个数字的个 数是多少？ (2)泡泡玛特P拉布布火遍全国，现有5个不同造型的拉布布A、B、C、D、E ①把这5个拉布布装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有几种不同的装 法？ ②店员想把这五只摆成一排，A不放最左边，但想让AB相邻，有多少种排法？ ③因数量有限，商铺共给出10个相同的购买名额分给相邻的3家店，给A店 至少三个名额，给B店至少一个，可以不给C店，这样名额分配方式有多少种？ 17.(15分)设函数f(x)=ax-lnx-1(a∈R) (1)若a=-2,求f()在点(e,f(e》处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若g(x)=ax-e,求证：在x>0时，f(x)>g(x) 数学试题 第4页共6页 18.（17分)已知函数f(x)=cos(ax)-n1-),其中a>0. (1)证明，x>0时，x>sinx 〔2)当a>1时，证明：对任意xg0,af)>1+xxA (3)若x=0是∫(x)的极小值点，求实数a的取值范围. 19.（17分)帕德逼近用有理多项式近似特定函数的方法.已知函数f(x)在x=0处的 [m川阶帕德近似定义为：R(x)=a,十a+a:++aX,且满足 1+bx+b2x2+…+bnx” f(0)=R(0),f'(0)=R'(0),f②(0上R0),fm+)0上R+)0)其中 fe(x)=(f(x)y,f(x)=(f(x),f()=(f-(x)j.已知 ao+ax+x2 f(x)=n(x+1)在x=0处的[2,2]阶帕德近似为R(x)=一 2 6 (1)求a,a,b的值； (2)若对于任意的x∈[0，+∞)，不等式f(x)≥k·R(x)恒成立，求k的取值范围； (3)已知，x2:x是函数h(x)=(x2-1)nx-a(x-1)的三个不同的零点，且 x<x,<x,求实数a的取值范围，并证明(a-3)(:+2x2+x)+2a>0. 数学试题第5页（共6页) 20.附加题(10分) (1)（3分)用九种颜色给一个正四面体涂色，使相邻两个面颜色不同（若两种涂色方 法可以通过旋转使得每个面的颜色一对应，则算作一种涂色方法)共有种涂色情况 (2)(3分)V3-2x+3x的最大值与最小值之和为 (3)(4分)设有理数r=号∈(0,1)，其中卫，q为互质的正整数，pq整除360.这样的有 理数r的个数为一 数学试题 第6页共6页2025一2026学年第一学期阶段性测试 高二数学参考答案 一.单项选择题 DACD BACA 二，多项选择题 9.BCD 10.ABC 11.AC 三。填空题 12.x+0y-兀=0 13.57 14.2+21 四.解答题 15.（1)因为二项式 -2x 的展开式中各项的二项式系数之和为128. 所以2”=128，解得n=7 7 (2)二项式 1 -2x 展开式的通项为T+1=C 1 (-2-C(-2y号， =012,345,67,令3,7=1，解得：=3，所以当=3时，（2C=-280,故展开 式中含x项的系数为-280 (3)二项式 2 3r-7 展开式的通项为T1=C(2)x2,7=0,12,34,56,7,令r=5, 3x5- 可得I,=C(-2)x2=-672x4, 所以展开式的第六项为-672x 16.(1)①180， ②156 (2)①150，②42，③28 17出您运得)总h0,所以 则k=fe)=2上=，又f(e)=2-lne-1=0:所以切线方程-0=二K-e),即y=二x-1: eee e (2)f(x)=a---(>0),当a≤0时，f(9<0,则f()在(0，+)上为减函数 当a>0时，令f()=0,解得x=2；当xe0,时，f(y)<0,则了四在0，上为减 a 函数，当x∈+时，)>0，则f()在2+ 上为增函数； 综上：当a≤0时，f(x)在(0，+o)上为减函数： 当a>0时，f(x)在 上为减函数，在 1 ,+00 上为增函数； 高二数学答案第1页 (3)设h(x)=f(x)-g(x)=am-nx-1-(am-e）=e*-nx-1(x>0), 则N)=e-1c1,令m()=e-1,(c>0),所以㎡(9=1+)e>0在0，+四)恒成 立，所以m(到-e14Q1)为商数：又m)号1任1<0，m0e10 所以存在 使m(x)=,e-1=0,即e= ,nx。=-x。（*): Xo h(x)在(0，x)上单调递减，在(x,+o)上单调递增，所以h(x)的最小值为h(x)=e-nx。-1; 将(*)代入得，)=-（←）1=上+x-1>2 Xo 所以h(x)=f(x)-g(x)>0在(0，+∞)恒成立， 18.(1)设8(x)=x-sinx,则g'(x)=1-coSx≥0，所以g(x)在(0，+o)上单调递增，当x>0 时，g(x)>g(0)=0,即x>sinx. (2)设()=f()- 因为当a>1时，x∈0，(0,1)，由(1)可知s如ax<ax,所以 -字2x+=amam72-2-刘】 2x 2x h'(x)=-asin ax+- 产一（上产0，所以在》上年消适始年网>侧0， a 即fx)>1+x2-a 2，得证 2x (3)f(x)=-asinax+ 2x ,令m(=f'()=-asin+1是， 21+x2） m'(x)=-a'cosax+ (1-x)2 (i)当m(0)=-a+220,即0<a≤V5时，取p=minL, ,所以，当x∈(0，p)时，a∈(0,1)， a 结合(1)可知>-+2x=x日>0，函数的定义减为L),关 1-x1 于原点对称，因为f(-x)=cos[a(-x]-血1-(-)]=COS--l血(1-x)=f(x),所以函数 f(x)是偶函数，故当x∈(-P,0)时，f'(x)<0,因为∫(0)=0，所以x=0是f(x)的极小值 高二数学答案第2页 点，符合题意； (i)当a>√2时，因为m(0)=-d2+2<0,且m(x)在区间(-1,1)上连续可导， 21+(x) 又因为m(-x)=-a2cos[a(x)]+ -a2 cosax+ 1-←xT 2+m关)， 1-x2 所以函数m(x)是定义在(-1,1)上的偶函数，故存在q∈(0,1)，使得对任意x∈(-q,q),都有 l(x)<0,所以函数f'(x)在区间(-q,q)上单调递减，当x∈(-4,0)时，f'(x)>'(0)=0, 当x∈(0，q)时，f(x)<'(0)=0,所以x=0是f(x)的极大值点，不符合题意： 所以实数a的取值范围是(0，V2] 19.(1)a=0,4=1,b=1(2)k≤1(3)a>2,证明见解析 )=h(x+.了-中9()= 1 (x+1)2, f(0)=0,f(0)=1f2(0=-1g=R0=(:所以 R(x)= 2 1 -,R')= 2,aFR'(0y1: 1+bx+=x2 1+b,x+x2 6 (1)x2+x+1 所以R'(x)= 26 2 1 2, R2(x)= 1 1+bx+x2 1+bx+-x2 6 6 由R2(0)=1-2b=-1,可得b=1. 1 x+x2 (2)由(1)得：R(x)=2 6x+3x2 1+x+1x26+6r+x2.令 k(6x+3x2 g(x)=f(x)-kR(x)=In(x+1) 6+6x+x2 ,x≥0， 由于g(O)=0,所以若f(x)≥k·R(x)恒成立，则g(x)在x=0附近单调递增，即g'(0)≥0， 又g'(y=1-02r+36r+36) 所以g'(0)=1-k≥0，则k≤1. x+1 (6+6x+x2) 高二数学答案第3页 下面证明充分性，即当k≤1时，不等式f(x)≥k·R(x)恒成立，由于当x>0时， 血(6+1)≥0._6x+3x2 k6x+3x20恒成立，若 64o之0.所以若k≤0，则g=n(x+1)-G+ k(6x+3x2) 0<≤时，a8En+66+2+y 6+6+rx≥0,4()=112x+36x+36 令a()-血x+1-3 Γx+1(6+6x+x2)(+1)6+6x+x2y 所以A'(x)20,则A(x)在[0，+∞)上单调递增，又A(0)=0,所以A(x)≥0恒成立，即 h(x+)- +6m+平≥0唯0，+）上成立，则有g(N)=n(x+ 6x+3x2 k(6x+3x2） ≥0成立，充分 6+6x+x2 性得证，所以当k≤1时，不等式f(x)≥k:R(x)恒成立 (3)hx)=(x a(x-1) 设t(x)=lnr- a(x-1 2,x>0,则 x+1 x+1 1)=1,2a=+20-a)x+1 x>0,令 x(x+1)2 x(x+1)2 p(x)=x2+2(1-a)r+1=[x+1-a]+2a-d,x>0,当a≤0时，p(x)≥0，则t(x)≥0， 故t(x)在(0，+o)上单调递增，不合题意；当a>0时，由△=4(1-a)-4≤0，可得0<a≤2， 此时p(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，故t(x)≥0，则t(x)在(0，+o)上单调递增，不合题意： 当△>0时，即a>2时，p(x)=x2+2(1-a)x+1有两个零点4t, 其中5=a-1-Vd-2a,t,=a-1+√a-2a,ti,-1,t+t,=2a-2>0, 令0<t<1<t2,当x∈(0，)时，p(x)>0,t(x)>0,则t(x)在(0，t)上单调递增， 当xe(,t2)时，p(x)<0,t'(x)<0,则t()在(4，t)上单调递减， 当xe(t2+∞)时，p(x)>0,t(x)>0,则t(x)在（色2，+∞）上单调递增， 由t(1)=0,0<t<1<t2,所以t(t)>0,t(t2)<0, 高二数学答案第4页 又(e)=-a a(e-1-2a ea+l 1+ea (o i(e)-a-ale-1)2a )0 e+1e°+1 即t(x)在区间(e“,)内存在一个零点，在区间(t,e）上存在一个零点，又h(1)=0,所以当 a>2时，(x)有三个不同的零点x,x2,x,因为x1<x2<x,所以x2=1,e<,<1<x<e, 由于斯=os-) x+1 可海片即 x+1 1 由士>1可得二=x,即xx,=1, 1+ 1+ X 白@)可知当0时，h-)。0,则首时，有茶品 佰于>1，所以-33化简得a苦+4，+>3化+1) x,+1 即a-动4a-65*a-80.可a-5 +4a-6>0, 即(a-3)(x+x)+4a>6,(a-3)(s+x+2)+2a>0,由x2=1,则有 (a-3)(x+2.x2+x)+2a>0,原命题得证 20. (1)252 若不考虑旋转的情况，共有A=3024,而四面体共有4×3=12种旋转方式，故共有 3024=252 12 (2)V5+30 2 因为V3-2x+V3,所以0≤x 21 y=(V3-2r+V3x°=3-2x+3x+23x(3-2x=x+3+26r+9,x∈0， 。4 y+32√6-华网磁.数北时34336F+9居引 y'=1+ -12x+9_V-6x2+9-12x+9 V-6x2+9x V-6x2+9x 高二数学答案第5页 令m(y)=√-6x2+9x-12x+9,由于y=-6x2+9x,y=-12x+9均在x∈ 33 42 单调递减，故 (x)在x∈ 331 42 单调递减，所以-9= <m(x)=6x2+9x-12x+9<m 4 所以x。∈ 0，69-12，-9，左有方得 331 397 410>0，y=+3+26r+9r单调递增， -x∈ x0<0,y=x+3+26r+9r单调递减，所以当x (93] 0时， +3+ 3615 102 当时y 故当r 9 得引时，号+-26+号.综上可得 (331 1 3≤x+3+2W-6x2+9x≤ 2 所以VB-2+3的最大值与最小值之和为，+a:5+ 2 (3)112 高二数学答案第6页