精品解析：河北保定市2026届高三第一次模拟考试数学试题

2026届高三第一次模拟考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，请务必将自已的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：在复平面内所对应的点坐标为，位于第三象限，故选C． 考点：复数的代数运算及几何意义． 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由解得：或，故或， 由，解得：，故， 所以 3. 在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面经过点，且法向量为，则平面方程为求解即可. 【详解】结合题意，由平面的点法式方程可得，即，故A正确. 4. 已知为等差数列的前项和，，，则（ ） A. 190 B. 180 C. 130 D. 110 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式，先求得首项和公差，再结合前项和公式，即可求得. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 根据题意，可得，即， 解得，， 所以. 5. 已知是两条不同直线，，是两个不同的平面，且，，∥，∥，则“与为异面直线”是 “∥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据面面平行的判定定理分析即可. 【详解】过作平面，使平面平面，由线面平行的性质定理可得∥，因为与为 异面直线，所以与必然相交，（否则有∥，∥得到∥，与与是异面直线 矛盾），所以由面面平行的判定定理知∥；反过来若∥，则与不一定为异面直 线，可能∥，故“与为异面直线”是 “∥”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到面面平行的判定定理，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题. 6. 平面内三个向量，，满足，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，并分析该方程的几何意义，将要求的的最大值，转化为求圆上的点到原点距离的最大值，利用几何图形的性质求解. 【详解】 根据点积公式，代入已知，得， 即​，故夹角​. 建立平面直角坐标系，设，，设， 记点，，，则就是原点到点的距离. 题意给出，即. 得，在中由正弦定理（为外接圆半径） 代入得，得，即点在半径为的外接圆上. 的中点，所以垂直平分线为， 过点分别作垂线，垂足为，因为且， 又，所以，代入垂直平分线中得的横坐标为， 即满足​的外接圆圆心为， 原点到圆心的距离， 原点到圆上点的最大距离为​， 即的最大值为. 7. 抛物线的焦点为F，动点P在抛物线C的准线上，O为坐标原点，当最大时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线的标准方程，确定焦点的坐标和准线方程，所以设出点P的坐标，将的最大值问题转化为三角函数相关的最值问题，结合二次函数的性质，找到最大时参数t的值，根据三角形面积公式即可求得答案. 【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线方程为， 设，则， 在中，显然为锐角， ， 令，则， 由于，而， 故当时，取得最大值， 此时取得最小值，则取得最大值， 此时，即，则， 则的面积为. 8. 已知，，若，恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据以及的符号变化将的范围分成三类，，，分类讨论中的取值范围，从而确定的最小值. 【详解】由题意可知，对任意， 由， 当时，有，所以对任意时，， 此时只要求，即， 故，即的最小值为； 当时，且，因此，在时，， 此时要求，即， 在时，，此时要求，即， 由此可得，此时， 令，求导得， 由于，故在单调递减， 因此，的最小值为，即的最小值为； 当时，，因此，在时，，此时要求，即， 在时，，此时要求，即， 在时，存在使得，此时要求，则， 因此需要同时满足，，显然矛盾，故无解； 综上所述，即的最小值为，故B正确. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，令，再令可得的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，将函数的图象向左平移个单位得到函数，故D错误. 10. 圆与圆的公切线的交点坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先求出两圆的圆心与半径，再利用公切线方程求解交点坐标即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由题意得，圆心，半径. 将整理得，圆心，半径. 圆心距，两圆外切， 所以共有三条公切线，两两相交可得三个交点. 外公切线交点在连心线延长线上，由位似性质得交点为， 由图可得一条外公切线为， 设另一条外公切线方程为， 由圆心到切线距离等于半径得， 解得，所以； 两圆联立且内公切线的切点在连心线上， 所以切点坐标为，内公切线斜率为 ，方程为； 此时两两交点，对应选项A； ，对应选项B；，对应选项C； 故选项D不是公切线交点. 11. 某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（ ） A. 若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74 B. 若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9 C. 甲设备检测该芯片为良品的概率为 D. 甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设事件表示“甲设备检测为良品”，事件表示“乙设备检测为良品”，事件表示“芯片为良品”，事件表示“芯片为次品”，选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率如下，为代入数值得解；选项B，若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是，代入数值得解；选项C，由题意得甲设备检测该芯片为良品的概率为，代入数值得解；选项D，甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为，代入数值得解. 【详解】设事件表示“甲设备检测为良品”，事件表示“乙设备检测为良品”， 事件表示“芯片为良品”，事件表示“芯片为次品”， 则，，， ，，， 选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率如下， 为 ，故A正确； 选项B，若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率如下， 是，故B错误； 选项C，由题意得甲设备检测该芯片为良品的概率如下， 为， ，故C正确； 选项D，而甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率如下， 为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若，则______． 【答案】32 【解析】 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，. 13. 已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性与导数的关系，将问题转化为不等式恒成立的问题，再通过参数分离即可求出. 【详解】函数的定义域为，， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以，令，则， 因为，所以，则， 故在上单调递减， 故，故的取值范围为. 14. 在数列每相邻两项之间插入此两项中后一项的3倍与前一项之差，形成新的数列．现将数列2，1进行这样操作，第一次得到数列2，1，1，第二次得到数列2，1，1，2，1，…，将上述数列排成如图所示的数阵，则数阵中第10行共有______项，第n行所有项的和为______． 【答案】 ①. 513 ②. 【解析】 【详解】设第次操作后所得数阵的项数为，则，， 所以，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列. 所以. 因为，所以数阵中第10行共有项. 设第行的各项构成数列，，且，. 因为每操作一次，是在数列每相邻两项之间插入此两项中后一项的3倍与前一项之差，形成新的数列， 所以增加的所有项的和为：. 所以， 且， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简可得，结合正弦函数的单调性，即可求得答案； （2）由求出A，由确定C的范围，即可确定B的范围，利用正弦定理边化角可得，结合B的范围，即可求得答案. 【小问1详解】 由， 化简得， 令，∵，则， 因为，的单调递减区间是， 由，解得， ∴函数单调递增区间为； 【小问2详解】 ∵，∴， 又∵，∴，即， 由已知条件可知，则角C为钝角，是钝角三角形， ∴， 则， ∴，∴， ∴的取值范围为． 16. 某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性，随机抽取了120名18岁~60岁市民进行调查．将每周锻炼不少于3次的市民归为“高频锻炼组”，不足3次的归为“低频锻炼组”；体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为“体质达标”，否则为“体质不达标”．调查结果整理为如下不完整的列联表． 体质达标 体质不达标 合计 高频锻炼组 m 15 60 低频锻炼组 25 v u 合计 s t 120 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）请根据列联表中的数据，写出m，v，s，t，u的值； （2）依据小概率值的独立性检验，分析该市市民体育锻炼频次是否与体质达标有关联； （3）该市计划从抽到的120人中体质不达标市民中抽取部分人员开展“科学健身指导”活动，现按高频锻炼组和低频锻炼组分层，通过分层抽样抽取10人展开指导活动，再从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，求抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率． 【答案】（1），，，，． （2）认为该市市民体育锻炼频次与体质达标有关联 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用列联表中行和、列和与总数之间的关系，通过简单的加减法运算求出的值. （2）根据第（1）问求出的数据，代入卡方公式计算的观测值，并与给定的临界值进行比较，从而判断两个分类变量是否有关联. （3）先求出高频锻炼组和低频锻炼组人数，然后根据分层抽样求出每组应抽取的人数，然后计算抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率. 【小问1详解】 由列联表数据关系可知，，，，，，综上，，，，，． 【小问2详解】 零假设：市民体育锻炼频次与体质达标无关联． 根据列联表数据，计算 由于，根据小概率值的独立性检验，判断不成立， 因此，认为该市市民体育锻炼频次与体质达标有关联． 【小问3详解】 体质不达标者，高频锻炼组15人，低频锻炼组35人，按分层抽样抽取10人，则高频锻炼组抽取人数为3人，低频锻炼组抽取人数为7人． 从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，事件总数有种， 设“抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组”为事件A，则事件A包含“0人来自高频组”和“一人来自高频组”两种情况． 则． 所以抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率为． 17. 已知函数． （1）当时，求这个函数图象在处的切线方程； （2）证明：当时，，使得成立． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程. （2）方法1：设，通过二次求导判断函数的单调性，结合基本不等式求函数的最大值. 方法2：令，通过二次求导判断函数的单调性，结合基本不等式求函数的最大值. 【小问1详解】 当时， ∵，∴， 即切线方程为. 【小问2详解】 方法1：当，时， 令，， 令，则， 令，即在单调递增， 令，即在单调递减； ∵， ∴，使，即 ∴在单调递减，在单调递增， ， ∴当时，，使得成立． 方法2：当，时， 令，， 令，则， 令，即在单调递增， 令，即在单调递减； ∵，， ∴，使，即 ∴在单调递减，在单调递增， ， ∴当时，，使得成立． 18. 在平面直角坐标系中，定义，两点之间的“曼哈顿距离”为，我们把到两个定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”． （1）请分析“曼哈顿椭圆”的对称性，并求出它的面积（用表示）； （2）当，时，该“曼哈顿椭圆”的顶点都在椭圆C上，过点作圆的两条切线与椭圆分别交于两点． （ⅰ）求椭圆的方程； （ⅱ）判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）“曼哈顿椭圆”关于轴对称，关于轴对称，关于原点对称；. （2）（ⅰ）；（ⅱ）直线与圆相切，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据曼哈顿距离定义推导轨迹方程，利用绝对值性质判断对称性，分段讨论第一象限图形并求总面积； （2）代入顶点坐标求椭圆标准方程；设切线联立方程，用韦达定理与距离公式判断直线与圆的位置关系. 【小问1详解】 设“曼哈顿椭圆”上任意一点为，则， 即，即， 所以“曼哈顿椭圆”的方程为. 将方程中替换为，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称； 将方程中替换为，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称； 同时将方程中替换为，替换为，方程仍不变，所以“曼哈顿椭圆”也关于原点对称． 只需分析出第一象限的图象即可，当，时，方程为； 当，时，方程为，“曼哈顿椭圆”图形如图所示． 其面积为． 【小问2详解】 （ⅰ）∵，， ∴椭圆的左右顶点分别为，. 设椭圆的方程为，过点则， 即，所以椭圆的方程为． （ⅱ）直线与圆相切，理由如下： 设过点与圆相切的直线方程为．则，， ，解得或． 设点，．则，． 直线的斜率为． 故直线的方程为，又，化简得直线方程为． 因此，圆心到直线的距离为，即直线与圆相切． 【点睛】根据距离定义建立方程；韦达定理处理斜率；圆心到直线的距离可以用于判断直线与圆位置关系. 19. 某个圆锥容器的轴截面是边长为8的等边三角形（容器壁厚度忽略不计），一个半径为r的小球在该容器内自由运动，小球能接触到的容器内壁侧面的区域可以形成一个圆台侧面，设该圆台上下底面圆心为和，如图所示． （1）求圆台的体积（用r表示）； （2）设小球半径，圆台的轴截面为等腰梯形，B为底面圆周上一点，且，平面平面，，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围； （3）在第（2）问条件下的圆台内放置若干个小球，要求每个小球均和该圆台上、下底面相切，则最多能放几个小球，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）3个，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意求出上下底面圆的半径，然后按照圆台的体积公式求解即可； （2）以为原点，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，即可求出答案； （3）根据题意分析小球在圆台的位置情况，尽可能让小球与圆台侧面、小球与小球都是相切的状态，根据圆台上下底面圆的半径确定小球的个数. 【小问1详解】 设圆台上下底面圆的半径分别为，，在圆锥的轴截面中（如图所示）， ∵，， ∴，，，即，， 设上下底面圆的面积为，，则，， 圆台的高，∴ 【小问2详解】 延长，交于点H，∵平面，平面，∴，BH即l，∵，，∴，，，， 以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，，， 设，则， 设平面的法向量为，则 令，则，，即， 同理可求平面的法向量为，则 令，对称轴为，∴，， 即平面与平面夹角的余弦值的取值范围为． 【小问3详解】 最多能放3个小球． 理由如下：因为小球与上下底面均相切，∴小球半径为． 圆台上、下底面直径分别为3和5，则至少能放入一个半径为的小球． 为能放入更多小球我们先让放入的第一个小球与圆台侧面也相切，作出圆台轴截面如图1，小球与底面切于点，，由题意可计算出，可得，，所以，如图右侧还能再放一个这样的小球，所以至少能放下2个这样的小球． 现在分析是否能放3个小球，为了能放入更多小球，尽可能先让已放入的两个球两两相切且与圆台侧面相切，设先前放入的两个小球为球和球，它们与底面切于点，，作出两个小球的俯视图，，由上面结论可知 在中，利用余弦定理可得， 由圆台和球的对称性可知，恰好只再能放一个与这两个小球相切并和圆台侧面也相切的这类小球． 综上所述，圆台内最多能放3个这样的小球． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第一次模拟考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，请务必将自已的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（ ） A. B. C. D. 4. 已知为等差数列的前项和，，，则（ ） A. 190 B. 180 C. 130 D. 110 5. 已知是两条不同直线，，是两个不同的平面，且，，∥，∥，则“与为异面直线”是 “∥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 平面内三个向量，，满足，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的焦点为F，动点P在抛物线C的准线上，O为坐标原点，当最大时，的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若，恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 10. 圆与圆的公切线的交点坐标可以是（ ） A. B. C. D. 11. 某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（ ） A. 若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74 B. 若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9 C. 甲设备检测该芯片为良品的概率为 D. 甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若，则______． 13. 已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______． 14. 在数列每相邻两项之间插入此两项中后一项的3倍与前一项之差，形成新的数列．现将数列2，1进行这样操作，第一次得到数列2，1，1，第二次得到数列2，1，1，2，1，…，将上述数列排成如图所示的数阵，则数阵中第10行共有______项，第n行所有项的和为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，且，求的取值范围． 16. 某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性，随机抽取了120名18岁~60岁市民进行调查．将每周锻炼不少于3次的市民归为“高频锻炼组”，不足3次的归为“低频锻炼组”；体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为“体质达标”，否则为“体质不达标”．调查结果整理为如下不完整的列联表． 体质达标 体质不达标 合计 高频锻炼组 m 15 60 低频锻炼组 25 v u 合计 s t 120 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）请根据列联表中的数据，写出m，v，s，t，u的值； （2）依据小概率值的独立性检验，分析该市市民体育锻炼频次是否与体质达标有关联； （3）该市计划从抽到的120人中体质不达标市民中抽取部分人员开展“科学健身指导”活动，现按高频锻炼组和低频锻炼组分层，通过分层抽样抽取10人展开指导活动，再从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，求抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率． 17. 已知函数． （1）当时，求这个函数图象在处的切线方程； （2）证明：当时，，使得成立． 18. 在平面直角坐标系中，定义，两点之间的“曼哈顿距离”为，我们把到两个定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”． （1）请分析“曼哈顿椭圆”的对称性，并求出它的面积（用表示）； （2）当，时，该“曼哈顿椭圆”的顶点都在椭圆C上，过点作圆的两条切线与椭圆分别交于两点． （ⅰ）求椭圆的方程； （ⅱ）判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 19. 某个圆锥容器的轴截面是边长为8的等边三角形（容器壁厚度忽略不计），一个半径为r的小球在该容器内自由运动，小球能接触到的容器内壁侧面的区域可以形成一个圆台侧面，设该圆台上下底面圆心为和，如图所示． （1）求圆台的体积（用r表示）； （2）设小球半径，圆台的轴截面为等腰梯形，B为底面圆周上一点，且，平面平面，，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围； （3）在第（2）问条件下的圆台内放置若干个小球，要求每个小球均和该圆台上、下底面相切，则最多能放几个小球，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $