8.1基本立体图形（知识清单+题型突破）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.1基本立体图形 1．通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系． 2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算． 3．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征． 4．了解简单组合体的概念及结构特征． 空间几何体的定义及分类 1．空间几何体：如果只考虑物体的 形状 和 大小 ，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的 空间图形 就叫做空间几何体． 2．空间几何体的分类 类别 定义 图示 多面体 一般地，由若干个 平面多边形 围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个 多边形 叫做多面体的面；两个面的 公共边 叫做多面体的棱； 棱与棱 的公共点叫做多面体的顶点 旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的 一条定直线 旋转所形成的 曲面 叫做旋转面，封闭 的旋转面围成的几何体叫做旋转体． 这条定直线 叫做旋转体的轴 【注意】多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱． 棱柱的结构特征 1．棱柱的结构特征 棱柱 图形及表示 定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′ 2．棱柱的分类 (1)按底面多边形边数来分： 三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)按侧棱是否与底面垂直： 侧棱垂直于底面的棱柱叫做 直棱柱 (如图①③)； 侧棱不垂直于底面的棱柱叫做 斜棱柱 (如图②④)；底面是正多边形的直棱柱叫做 正棱柱 (如图③)； 底面是平行四边形的四棱柱也叫做 平行六面体 (如图④)． 【注意】常见的几种四棱柱之间的转化关系： 棱锥、棱台的结构特征 1．棱锥的结构特征 定义 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 图示及相关概念 如图可记作： 棱锥 S-ABCD 底面： 多边形 面； 侧面：有公共顶点的各个 三角形面 ； 侧棱：相邻侧面的 公共边 ； 顶点：各侧面的 公共顶点 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥，四棱锥，五棱锥……其中三棱锥又叫四面体．底面是 正多边形 ，并且顶点与底面中心的连 线垂直 于底面的棱锥叫做正棱锥 2．棱台的结构特征 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 图示及相关概念 如图可记作：棱台 ABCD-A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上、下底面以外的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 分类 由几棱锥截得的棱台叫做几棱台，如三棱台、四棱台…… 旋转体的结构特征 结构特征 图形 表示 圆柱 以 矩形的一边所在直线 为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作 圆柱O′O 圆锥 以 直角三角形的一条直角边 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作 圆锥SO 圆台 用平行于 圆锥底面 的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作 圆台O′O 球 半圆以它的 直径所在直线 为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 球常用表示球心的字母来表示，如图中的球可记作 球O 简单组合体的结构特征 现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由 简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体，简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体 截去或挖去一部分而成． 题型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 1．（25-26高一下·山东菏泽·月考）如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（   ） A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法错误的是（   ） A．斜棱柱的侧棱垂直于底面 B．正棱柱的高可以与侧棱不相等 C．六个面都是矩形的六面体是长方体 D．底面是正多边形的棱柱为正棱柱 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（    ） A．棱台的侧面一定不会是平行四边形 B．棱锥的侧面只能是三角形 C．由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 4．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能是（   ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 5．（25-26高一下·福建厦门·月考）如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是________________（选择下列其中一个填上： 三棱锥、四棱锥、三棱台） 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列三个命题，其中不正确的是________． ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，三棱台，沿截去三棱锥，则剩余部分是________． 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的个数为（   ） ①一个八棱柱有10个面；    ②任意面体都可以分割成个棱锥； ③棱台侧棱的延长线必交于一点；    ④矩形旋转一周一定形成一个圆柱． A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 9．（2025高一·全国·专题练习）如图所示的几何体中，柱体有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①正棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形； ②在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ③各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥； ⑤圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线． 其中正确的命题是______．（填序号） 11．（24-25高一下·甘肃武威·期末）（多选）下列结论正确的是（　　） A．圆柱的每个轴截面都是全等矩形 B．长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 D．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的个数是（    ） ①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱． A．0 B．1 C．2 D．3 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法： ①以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ③分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱； ④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确说法的序号是______． 14．（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是有（    ） ①空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球； ②空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面； ③球的对称轴有无数条，对称中心也有无数个； ④用平面截球，随着平面角度不同，截面可能不是圆面． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 15．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是（    ） A． B． C． D． 题型三 简单组合体的结构特征 16．（25-26高一下·全国·课后作业）如图是由下列哪个平面图形绕轴旋转而成的组合体（    ） A． B． C． D． 17．（2025高三·全国·专题练习）已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 18．（24-25高一下·河北邢台·期中）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（   ） A．该几何体有6个面是正方形 B．该几何体有8个面是正三角形 C．该几何体恰有26条棱 D．该几何体的表面积比原正方体的表面积小 19．（24-25高一下·浙江宁波·期中）下面关于空间几何体的叙述：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③正四棱柱都是长方体；④直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤平行六面体是六棱柱.其中叙述正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四 展开图及最短距离问题 20．（2026高一·全国·专题练习）已知圆锥的底面半径为，高为．点是该圆锥某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆锥的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（ ） A． B． C． D． 21．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要多长？ 22．（25-26高一下·全国·课后作业）某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯顺时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处可依次写上（   ） A．乐、新、快 B．快、新、乐 C．新、乐、快 D．乐、快、新 23．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知正四棱锥的侧棱长，M为SA中点，从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图几何体是圆锥的一部分，其中，，.从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是_____.    25．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体是（    ） A．一个圆台 B．一个圆柱 C．一个圆柱和一个圆锥的简单组合体 D．一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）以下说法正确的是（    ） A．圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1 B．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱 C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周都可以围成圆锥 D．圆台的上、下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列关于棱锥、棱台的说法正确的有（    ） ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的个数是（   ） ①半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026高一·全国·专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A．6 B． C． D． 6．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）给出下列命题，正确的是（    ） A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线可以不互相平行的 7．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）给出下列命题，其中正确的是（    ） A．球面上四个不同的点一定不在同一平面内 B．球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 C．用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D．球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 8．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列图形是正方体表面展开图的是（   ） A．B．C．D． 9．（25-26高一下·新疆·月考）（多选）长方体的棱长，则从点沿长方体表面到达点的距离可以为（    ）    A． B． C． D． 10．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在一本打开的书封面上有一只蚂蚁，在封底有一小块饼干.蚂蚁想爬过书脊到达饼干处.若蚂蚁和饼干离书脊的距离分别为4cm和3cm，书脊的长度是20cm，蚂蚁爬行的最短距离_______. 11．（2026高一·全国·专题练习）已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为_______. 12．（2025高一·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，是上一动点，求的最小值．    13．（2025高一·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱和上的动点，求周长的最小值．    1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1基本立体图形 1．通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系． 2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算． 3．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征． 4．了解简单组合体的概念及结构特征． 空间几何体的定义及分类 1．空间几何体：如果只考虑物体的 形状 和 大小 ，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的 空间图形 就叫做空间几何体． 2．空间几何体的分类 类别 定义 图示 多面体 一般地，由若干个 平面多边形 围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个 多边形 叫做多面体的面；两个面的 公共边 叫做多面体的棱； 棱与棱 的公共点叫做多面体的顶点 旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的 一条定直线 旋转所形成的 曲面 叫做旋转面，封闭 的旋转面围成的几何体叫做旋转体． 这条定直线 叫做旋转体的轴 【注意】多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱． 棱柱的结构特征 1．棱柱的结构特征 棱柱 图形及表示 定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′ 2．棱柱的分类 (1)按底面多边形边数来分： 三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)按侧棱是否与底面垂直： 侧棱垂直于底面的棱柱叫做 直棱柱 (如图①③)； 侧棱不垂直于底面的棱柱叫做 斜棱柱 (如图②④)；底面是正多边形的直棱柱叫做 正棱柱 (如图③)； 底面是平行四边形的四棱柱也叫做 平行六面体 (如图④)． 【注意】常见的几种四棱柱之间的转化关系： 棱锥、棱台的结构特征 1．棱锥的结构特征 定义 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 图示及相关概念 如图可记作： 棱锥 S-ABCD 底面： 多边形 面； 侧面：有公共顶点的各个 三角形面 ； 侧棱：相邻侧面的 公共边 ； 顶点：各侧面的 公共顶点 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥，四棱锥，五棱锥……其中三棱锥又叫四面体．底面是 正多边形 ，并且顶点与底面中心的连 线垂直 于底面的棱锥叫做正棱锥 2．棱台的结构特征 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 图示及相关概念 如图可记作：棱台 ABCD-A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上、下底面以外的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 分类 由几棱锥截得的棱台叫做几棱台，如三棱台、四棱台…… 旋转体的结构特征 结构特征 图形 表示 圆柱 以 矩形的一边所在直线 为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作 圆柱O′O 圆锥 以 直角三角形的一条直角边 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作 圆锥SO 圆台 用平行于 圆锥底面 的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作 圆台O′O 球 半圆以它的 直径所在直线 为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 球常用表示球心的字母来表示，如图中的球可记作 球O 简单组合体的结构特征 现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由 简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体，简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体 截去或挖去一部分而成． 题型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 1．（25-26高一下·山东菏泽·月考）如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（   ） A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 【答案】C 【详解】依题意，，且， 又平面平面， 所以由棱柱的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法错误的是（   ） A．斜棱柱的侧棱垂直于底面 B．正棱柱的高可以与侧棱不相等 C．六个面都是矩形的六面体是长方体 D．底面是正多边形的棱柱为正棱柱 【答案】ABD 【分析】根据棱柱的性质可得 【详解】A.斜棱柱的侧棱与底面不垂直，故A错误； B.正棱柱是底面为正多边形的直棱柱，侧棱即为正棱柱的高，故B正确； C. 根据长方体的定义，六个面都是矩形的六面体是长方体，故C正确； D. 正棱柱的定义是底面是正多边形且侧棱垂直于底面的棱柱（即直棱柱），选项D的描述缺少“侧棱垂直于底面”或“是直棱柱”的条件，故D错误． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（    ） A．棱台的侧面一定不会是平行四边形 B．棱锥的侧面只能是三角形 C．由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 【答案】ABC 【详解】选项A，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，A正确； 选项B，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，B正确； 选项C，四个平面围成的封闭多面体，每个面都是三角形，且有一个公共顶点，这是三棱锥（四面体）的定义，C正确； 选项D，如下图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，D错误． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能是（   ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 【答案】ABC 【详解】如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，则这个棱锥的各侧棱都相等，因此是正棱锥. A，B，C三个选项均可成立. 但是，若正六棱锥六个侧面均为等边三角形，则其顶点处六个内角的和为， 在一个平面上，这显然不可能成立，所以D选项不成立. 5．（25-26高一下·福建厦门·月考）如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是________________（选择下列其中一个填上： 三棱锥、四棱锥、三棱台） 【答案】四棱锥 【分析】观察剩余部分的面数及各面的形状，结合四棱锥定义确定结论. 【详解】在三棱台中，截去三棱锥后剩余部分共有个面， 分别为和梯形，且四个三角形有公共顶点， 故剩余部分是四棱锥. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列三个命题，其中不正确的是________． ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． 【答案】①②③ 【分析】由棱台的几何性质进行求解． 【详解】必须用一个平行底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故①不正确； 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体并不能说明各条侧棱是否交于一点，故不能判定②正确； 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台， 如图所示： 故③不正确． 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，三棱台，沿截去三棱锥，则剩余部分是________． 【答案】四棱锥 【详解】在图中截去三棱锥后，剩余的是以为底面，为顶点的四棱锥． 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的个数为（   ） ①一个八棱柱有10个面；    ②任意面体都可以分割成个棱锥； ③棱台侧棱的延长线必交于一点；    ④矩形旋转一周一定形成一个圆柱． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的几何性质，结合圆柱的定义逐一判断即可. 【详解】①：八棱柱有2个底面和8个侧面，共个面，正确； ②：在面体内取一点，将该点与各面连接，可分割成个棱锥，正确； ③：棱台由棱锥截得，其侧棱延长线必交于一点（原棱锥的顶点），正确； ④：矩形需绕一边旋转一周才形成圆柱，若绕对角线等旋转则不成立，错误． 故选：C 题型二 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 9．（2025高一·全国·专题练习）如图所示的几何体中，柱体有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据柱体的定义逐一判断即可. 【详解】①③⑤不是柱体，②是圆柱，④是以左、右面为底面的棱柱．有2个柱体， 故选：B． 10．（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①正棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形； ②在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ③各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥； ⑤圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线． 其中正确的命题是______．（填序号） 【答案】①⑤ 【分析】根据正棱柱的定义即可判断①，根据圆柱母线的定义即可判断②，根据三棱锥的定义即可判断③，根据正六棱锥的定义即可判断④，由圆锥的母线定义即可判断⑤. 【详解】正棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形，故①正确； 只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，故②错误； 如图所示，故③错误； 若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故④错误； 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线，故⑤正确. 所以正确的命题是①⑤． 故答案为：①⑤. 11．（24-25高一下·甘肃武威·期末）（多选）下列结论正确的是（　　） A．圆柱的每个轴截面都是全等矩形 B．长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 D．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 【答案】ABC 【分析】根据圆柱、长方体、直四棱柱、圆锥、圆台、六面体等知识对选项进行分析，由此确定正确答案 【详解】由题意， 对于A，由矩形绕着它的一条边旋转一周形成一个圆柱， 可得圆柱的每个轴截面都是全等矩形，故A正确； 对于B，长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体，故B正确； 对于C，四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台， 故D错误； 故选：ABC. 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的个数是（    ） ①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据圆锥、圆柱的结构特征分别判断. 【详解】①中，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故①说法错误； 根据圆锥的结构特征，显然②说法正确， 根据圆柱的定义可得③说法正确，故说法正确的有2个． 故选：C 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法： ①以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ③分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱； ④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确说法的序号是______． 【答案】②③ 【分析】根据圆柱、圆锥、圆台的定义判断即可. 【详解】①错误．以直角梯形垂直于底的腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台； 但以另一条不垂直于底的腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体不是圆台。故原说法错误. ②正确．圆柱、圆锥、圆台的底面都是垂直于轴的矩形、直角三角形、直角梯形的一边旋转而成的圆面． ③正确．若矩形的两邻边长不相等，则其旋转形成的曲面或圆面的半径也不一样，故所得圆柱也不同． ④错误．当此平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台，否则不能得到． 故答案为：②③ 14．（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是有（    ） ①空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球； ②空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面； ③球的对称轴有无数条，对称中心也有无数个； ④用平面截球，随着平面角度不同，截面可能不是圆面． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据球、球面的定义和性质判断即可. 【详解】对于①，球的定义既包括球面又包括球里的部分，故①错误； 对于②，根据球面的定义，空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面，故②正确； 对于③，球是一个特殊的空间几何体，根据其性质可知，其对称中心只有球心一个，故③错误； 对于④，根据球的性质，平面截球的任何截面都是圆，故④错误； 故选：B. 15．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正方体及外接球的特征判断即可. 【详解】当截面平行于正方体的一个侧面时得C， 当截面过正方体的体对角线时得B， 当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A， 但无论如何都不能截出D． 题型三 简单组合体的结构特征 16．（25-26高一下·全国·课后作业）如图是由下列哪个平面图形绕轴旋转而成的组合体（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台， 因此应该是由上半部分为直角三角形，下半部分为直角梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D正确. 17．（2025高三·全国·专题练习）已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】A 【分析】结合正四面体的性质，根据几何图形判断即可. 【详解】正四面体各棱中点连线构成正八面体，如图18 在正四面体中，平面，共面， 故把正四面体和正八面体合成后只有7个面．    故选：A 18．（24-25高一下·河北邢台·期中）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（   ） A．该几何体有6个面是正方形 B．该几何体有8个面是正三角形 C．该几何体恰有26条棱 D．该几何体的表面积比原正方体的表面积小 【答案】C 【分析】根据截取的几何体形状可判断AB正确，再根据正方体每个表面的棱长可判断C错误， 【详解】对于A，B，因为正方体截去八个正三棱锥，所以比原正方体多出八个正三角形， 原来的六个表面还是正方形，所以A，B正确． 对于C，因为原正方体每个表面均有四条棱，所以该几何体共有24条棱，C不正确． 对于D，不妨取正方体的棱长为2，截去的每个正三棱锥的侧面面积为， 而它的底面积是边长为的正三角形，其面积为， 即截去的每个正三棱锥的侧面面积比它的底面面积大，所以D正确． 故选：C 19．（24-25高一下·浙江宁波·期中）下面关于空间几何体的叙述：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③正四棱柱都是长方体；④直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤平行六面体是六棱柱.其中叙述正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据基本几何体的概念逐个判断命题的真假即可. 【详解】对①：底面是正多边形且顶点在底面内的射影为底面中心的棱锥是正棱锥，故①错误； 对②：将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是这样的多面体不是棱台，故②错误； 对③：因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故③正确； 对④：根据圆锥的概念可知，④正确； 对⑤：平行六面体是四棱柱，故⑤错误. 故选：B 题型四 展开图及最短距离问题 20．（2026高一·全国·专题练习）已知圆锥的底面半径为，高为．点是该圆锥某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆锥的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得圆锥的母线长，即侧面展开图扇形的半径为， ∵底面半径为， ∴底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， ∴扇形圆心角的弧度， 母线上的点展开后为扇形上的，为该质点运动的最短路径，且， 由余弦定理得， 解得． 21．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要多长？ 【答案】10cm． 【详解】将长方体展开，连接， 因为，，． 根据两点之间线段最短，得所用细线最短需要10cm． 22．（25-26高一下·全国·课后作业）某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯顺时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处可依次写上（   ） A．乐、新、快 B．快、新、乐 C．新、乐、快 D．乐、快、新 【答案】B 【详解】将图形沿折痕折起后，成一个四棱锥形的"走马灯" 根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样， 可知顺序为②年①③， 则在①、②、③处可依次写上快、新、乐 23．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知正四棱锥的侧棱长，M为SA中点，从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正四棱锥沿展开，再结合等边三角形性质求解即可. 【详解】如图所示，将正四棱锥沿展开，由可知， 由，为中点，为中点,可知， 所以为等边三角形，即， 故从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为， 故选：A. 24．（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图几何体是圆锥的一部分，其中，，.从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是_____.    【答案】 【分析】根据条件，求出各个长度，以及和的长，即可求出所需圆心角，将圆锥的侧面展开，分析可得线段AB即为所求，根据余弦定理，即可求得答案. 【详解】连接OA，OB，因为，，则，    所以劣弧即缺少的圆弧的长为，占底面圆周的，    圆O的周长为，则几何体所在的圆锥的侧面展开图，即扇形的圆心角为， 所以侧面展开图中的长为，则， 所以 ， 所以，则从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是. 故答案为： 25．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据体积公式得出，将圆锥沿母线展开，结合圆心角的大小，利用余弦定理求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面的半径为，圆锥SO的体积为，解得. 由勾股定理，可得母线， 如图，圆锥的侧面展开图为扇形， 因为扇形的弧长为，所以扇形的圆心角，所以， 在中，由余弦定理是可得， 所以，因为， 所以蚂蚁爬行的最短距离为的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为. 故选：A. 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体是（    ） A．一个圆台 B．一个圆柱 C．一个圆柱和一个圆锥的简单组合体 D．一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体 【答案】D 【分析】根据旋转体的概念，结合空间想象能力，可得问题的答案. 【详解】绕直角梯形较短的底边所在的直线旋转一周，得到的几何体是一个圆柱中挖去一个圆锥. 故选：D 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）以下说法正确的是（    ） A．圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1 B．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱 C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周都可以围成圆锥 D．圆台的上、下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等 【答案】A 【分析】结合基本立体几何图形的性质即可判断． 【详解】对于A，圆台是由圆锥截得的，截面是上底面，其面积小于下底面的面积，故A正确； 对于B，矩形绕其对角线所在直线旋转，不能围成圆柱，故B错误； 对于C，绕直角边所在直线旋转可以围成圆锥，但绕斜边所在直线旋转围成的是由两个圆锥组成的组合体，故C错误； 对于D，圆台的上、下底面一定平行，故D错误． 故选：A． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列关于棱锥、棱台的说法正确的有（    ） ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】对于①，由五个面围成的多面体可能是三棱柱,①错误； 对于②，仅有两个面互相平行的五面体可以是三棱柱，②错误； 对于③④，棱台的侧棱延长线必须交于一点，③④错误. 所以下列关于棱锥、棱台的说法正确的有0个. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的个数是（   ） ①半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据球的概念判断即可. 【详解】半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球，故①错误；②正确； 球面和球是两个不同的概念，故③错误； 若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故④错误， 所以说法正确的有1个. 5．（2026高一·全国·专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形求两点距离即得答案. 【详解】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点之间线段最短.，蚂蚁爬行的最短的路线为线段， 由可得，， 由余弦定理，， 从而最短距离为. 6．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）给出下列命题，正确的是（    ） A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线可以不互相平行的 【答案】BC 【详解】对于A，由圆柱的定义可知：圆柱的母线与它的轴都平行，故A错误； 对于B，由圆锥的定义可知：圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形，故B正确； 对于C，由圆台母线定义可知：在圆台的上、下两底面圆周上各取一点， 则这两点的连线不一定是圆台的母线，故C正确； 对于D，由圆柱的定义可知：圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的，故D错误. 7．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）给出下列命题，其中正确的是（    ） A．球面上四个不同的点一定不在同一平面内 B．球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 C．用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D．球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 【答案】BCD 【详解】A 选项：球面上四个不同的点一定不在同一平面内.这个说法是错误的. 例如，球的一个大圆上可以有无数个点，这些点都在同一个平面内.故A错误； B 选项：因为球心在球的任意大圆所在平面上，所以球心是任意两个两个大圆所在平面的公共点， 而两个平面的交点都在一条直线上，所以球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.故B正确； 因为两个大圆都经过球心，所以它们的交点必然是球的一条直径的两个端点，其连线就是球的直径. C 选项：用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面.故C正确； D 选项：球的半径是球面上任意一点和球心的连线段，故D正确. 8．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列图形是正方体表面展开图的是（   ） A．B．C．D． 【答案】ABD 【分析】根据正方体的展开图逐项判断即可. 【详解】通过分析可知，ABD选项均为正方体的表面展开图， C选项不是正方体的表面展开图，因为有一个面会重合. 故选：ABD. 9．（25-26高一下·新疆·月考）（多选）长方体的棱长，则从点沿长方体表面到达点的距离可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】从点沿长方体表面到达有三种展开方式，以，、为轴展开，分别求出，可得答案． 【详解】从点沿长方体表面到达有三种展开方式， 若以为轴展开，   则； 以为轴展开，       则， 以为轴展开，   ． 故选：ABC． 10．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在一本打开的书封面上有一只蚂蚁，在封底有一小块饼干.蚂蚁想爬过书脊到达饼干处.若蚂蚁和饼干离书脊的距离分别为4cm和3cm，书脊的长度是20cm，蚂蚁爬行的最短距离_______. 【答案】 【分析】将书展开可，根据已知结合勾股定理，即可得出答案. 【详解】将书展开可得如图（蚂蚁在处，饼干在处）最短路线为，， 由已知可得，，，则. 又，由勾股定理可得， 所以，. 故答案为：. 11．（2026高一·全国·专题练习）已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为_______. 【答案】 【分析】先根据体积公式得出，将圆锥沿母线展开，结合圆心角的大小，利用余弦定理求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面的半径为， 圆锥SO的体积为，解得. 由勾股定理，可得母线， 如图，圆锥的侧面展开图为扇形，在该扇形展开图中的计算如下， 因为扇形的弧长为，所以扇形的圆心角，则， 在中，由余弦定理可得，所以， 因为，所以蚂蚁爬行的最短距离为的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为. 12．（2025高一·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，是上一动点，求的最小值．    【答案】 【分析】将沿为轴旋转至与平面共面，可得，利用求解即可． 【详解】如图，将以为轴旋转至与平面共面位置，旋转后的点记为， 由图可知， 取的中点，连结， 由已知条件可知，， 根据勾股定理可得， 即的最小值为．    13．（2025高一·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱和上的动点，求周长的最小值．    【答案】． 【分析】求解某些几何体表面的线段长度最值问题，需要把相关线段转化到同一个平面上，变成同一平面上的线段最值问题，即把立体几何问题转化为平面几何问题． 【详解】如图，连结，，由可得．    将平面绕轴旋转到与对角平面在同一平面上的，得， 因为，， 所以的周长， 所以周长的最小值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $