8.3.1棱柱、棱锥、棱台表面积与体积（知识清单+题型突破）-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

本讲义聚焦棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积计算，先明确表面积为各面面积之和，再系统梳理体积公式，包括棱柱V=Sh、棱锥V=1/3Sh、棱台V=1/3h(S'+√(S'S)+S)，并介绍直接公式、等体积转换等常用方法，构建从基础到综合的学习支架。 资料按棱柱、棱锥、棱台及组合体分题型设计例题与练习，如正四棱台表面积计算、升篓实际问题。通过实例培养学生用数学眼光观察空间形式，用数学思维推理体积求解方法，课中辅助分层教学，课后助力巩固公式应用与查漏补缺。

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式． 2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积． 棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． 棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的 底面积 ，h为棱柱的 高 棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的 底面积 ，h为棱锥的 高 棱台 V棱台＝h· S′，S分别为棱台的 上、下底面面积 ，h为棱台的 高 求几何体体积的常用方法 (1)对于柱、锥、台等规则的空间几何体，可利用体积公式直接解决体积问题． (2)等体积转换法多用来求三棱锥的体积． (3)补形法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 题型一 棱柱的表面积与体积 1．（25-26高三上·上海·月考）如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的表面积为________．    2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求三棱柱的表面积． 3．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知正方体的棱长为2，过点，B，C的平面把该正方体分割成两个几何体，则这两个几何体的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）正四棱柱的体对角线长是，全面积是，则满足这些条件的正四棱柱有_____个. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）正三棱柱的侧面积为，体积为，则此棱柱的高为______________，底面边长为______________． 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在三棱柱中，、分别为、的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比． 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成的角为，求此三棱柱的体积． 题型二 棱锥的表面积与体积 8．（25-26高一下·福建厦门·月考）若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（ ） A．4 B． C． D． 9．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知正四棱锥的高为，侧棱长为，求： (1)正四棱锥的底面边长和斜高； (2)正四棱锥的侧面积． 10．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为______________和______________． 11．（2026高一·全国·专题练习）在正四棱柱中，，且四棱锥的体积为6，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（25-26高一下·浙江杭州·月考）在三棱柱中，侧棱底面，且三棱柱的体积为，的面积为．则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 13．（25-26高一下·天津蓟州·月考）如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. (1)求三棱柱的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求 . 题型三 棱台的表面积与体积 14．（2026高三·全国·专题练习）如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（    ） A．18 B． C． D．34 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和侧棱长． 16．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 17．（2026·陕西榆林·一模）已知正四棱台的体积为28，其中，则三棱锥的体积为________． 18．（2026·陕西铜川·一模）某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·四川达州·月考）如图，正四棱台两底面边长分别为2和4． (1)若侧棱长为，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的体积． 题型四 组合多面体的表面积和体积 20．（2026高三·全国·专题练习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是（　　） A．225 cm2 B．1000 cm2 C．1800 cm2 D．900＋2000 cm2 21．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（   ）. A． B． C． D． 22．（25-26高一上·上海黄浦·月考）两个棱长分别为1和2的正方体叠起来得到如图所示的几何体，该几何体的表面积为___________． 23．（25-26高二上·北京朝阳·月考）木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且均为等边三角形，，则该木楔的体积为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一下·广东惠州·期末）如图，某几何体可看成是三个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体III的上底面面积是下底面面积的倍，若几何体I、II、III的高之比分别为，则几何体I、II、III的体积之比为 （    ） A． B． C． D． 25．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，正四棱锥的高为1，， 则该组合体的体积为_______________； 26．（2025高三·全国·专题练习）某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·北京·期中）在长方体中，底面是边长为1的正方形，，则该长方体的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 2．（24-25高二下·浙江温州·月考）一正三棱锥侧面三角形的顶角为，则该三棱锥的侧面积与底面积之比为（    ） A． B．2 C． D．3 3．（24-25高二下·云南昆明·月考）如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 4．（24-25高一下·安徽淮北·月考）已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为2，则圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与原正方体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·贵州安顺·期末）一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置，如图（1），水面恰好过棱的中点．若将容器的底面水平放置，如图（2），则容器中水面的高为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（25-26高一下·新疆昌吉·期末）（多选）正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（    ） A．该正六棱台的上底面积是 B．该正六棱台的侧面面积是 C．该正六棱台的表面积是 D．该正六棱台的高是 8．（25-26高一下·安徽黄山·期中）（多选）一个棱长为2的正方体，用过同一顶点三条棱的中点平面截去各个顶点得到的一个新的几何体，对这个新的几何体说法错误的是（    ） A．所有截面面积和为 B．新几何体表面积为 C．新几何体表面积为 D．新几何体的体积为 9．（24-25高一下·吉林长春·期末）（多选）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 10．（25-26高一下·山东青岛·月考）在正四棱台中，，，则该棱台的体积为______. 11．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交PB于点.则三棱锥的体积为_____； 12．（25-26高一下·全国·课后作业）四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别为1，2，侧棱长为，则该四棱台的高为______，侧面积为______． 13．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥. (1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 14．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： (1)三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值； (2)三棱锥的体积． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式． 2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积． 棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． 棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的 底面积 ，h为棱柱的 高 棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的 底面积 ，h为棱锥的 高 棱台 V棱台＝h· S′，S分别为棱台的 上、下底面面积 ，h为棱台的 高 求几何体体积的常用方法 (1)对于柱、锥、台等规则的空间几何体，可利用体积公式直接解决体积问题． (2)等体积转换法多用来求三棱锥的体积． (3)补形法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 题型一 棱柱的表面积与体积 1．（25-26高三上·上海·月考）如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的表面积为________．    【答案】 【分析】求出正四棱柱的侧棱长和底面边长后即可求表面积. 【详解】因为四边形为正方形，，故， 而，故，故， 故正四棱柱的表面积为. 故答案为：. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求三棱柱的表面积． 【答案】 【分析】分别求三棱柱每个面的面积相加即可. 【详解】因为侧棱底面， 所以三棱柱为直三棱柱， 所以侧面，，均为矩形． 因为， 所以底面，均为直角三角形． 因为，， 所以． 所以三棱柱的表面积为 ． 3．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知正方体的棱长为2，过点，B，C的平面把该正方体分割成两个几何体，则这两个几何体的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体的结构特征及三棱柱的表面积计算即可. 【详解】由题意知，过点，B，C的平面为平面， 所以这两个几何体的表面积之和等于正方体的表面积加上长方形的面积的2倍， 正方体的表面积为，长方形的面积为， 所以这两个几何体的表面积之和为. 故选：C. 4．（2026高一·全国·专题练习）正四棱柱的体对角线长是，全面积是，则满足这些条件的正四棱柱有_____个. 【答案】2 【分析】先设出棱长再根据题目所给条件列方程求解 【详解】设出正四棱柱的各个边长，根据题意列方程求解. 根据正四棱柱的定义，正四棱柱有两个正方形作为底面，侧棱和底面垂直的几何体， 如图所示. 设正方形边长为，侧棱长为，依题意得：， 两式相除并整理可得：，即， 当时，联立，解得； 当时，联立，解得. 于是共有个正四棱柱符合题意. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）正三棱柱的侧面积为，体积为，则此棱柱的高为______________，底面边长为______________． 【答案】 / 10 【分析】根据三棱柱的侧面积公式和体积公式建立方程组求解. 【详解】设底面边长为，高为， 则，且，解得，． 故答案为：；10. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在三棱柱中，、分别为、的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比． 【答案】 【分析】截面将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台，另一部分是一个不规则几何体，故可以用棱柱的体积减去棱台的体积求得． 【详解】设棱柱的底面积为，高为，则的面积为， 令， 剩余的不规则几何体的体积为， 所以两部分的体积之比为． 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成的角为，求此三棱柱的体积． 【答案】 【分析】利用三棱柱的体积公式求解即可. 【详解】如图所示，由条件知此三棱柱为正三棱柱． ∵正三棱柱的面对角线，． ． ． 题型二 棱锥的表面积与体积 8．（25-26高一下·福建厦门·月考）若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【详解】正三棱锥的所有棱长均为， 则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形， 等边三角形的高为， 则该三棱锥的表面积为. 9．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知正四棱锥的高为，侧棱长为，求： (1)正四棱锥的底面边长和斜高； (2)正四棱锥的侧面积． 【答案】(1)底面边长为，斜高为 (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的性质结合勾股定理计算求解； （2）根据正四棱锥侧面积计算公式计算求解. 【详解】（1）如图，在正四棱锥中，高， 侧棱， 则为直角三角形， 在中，， ， ∵四边形为正方形， ． 作交于，则为的中点，．连接，则即为正四棱锥的斜高． 在中，，， ，即正四棱锥的斜高为． 故正四棱锥的底面边长为，斜高为； （2）由（1）知，． 所以正四棱锥的侧面积为． 10．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为______________和______________． 【答案】 【分析】利用四棱锥侧面积和表面积公式求解即可. 【详解】正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成． ，， ∴斜高． 因此， ． 故答案为：； 11．（2026高一·全国·专题练习）在正四棱柱中，，且四棱锥的体积为6，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】连接，相交于，可证平面，利用四棱锥的体积公式即可求解. 【详解】连接，相交于，则， 由正棱柱的性质可知平面，平面， 所以，又，平面， 则平面，且， 所以四棱锥的高为，其体积为， 解得． 12．（25-26高一下·浙江杭州·月考）在三棱柱中，侧棱底面，且三棱柱的体积为，的面积为．则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用等体积法求解，先用直三棱柱体积为，得出三棱锥的体积为，设点到平面的距离为，结合的面积为，根据三棱锥体积公式即可得出结果． 【详解】 设点到平面的距离为， 因为,, 所以， 因为，所以， 即点到平面的距离为． 13．（25-26高一下·天津蓟州·月考）如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. (1)求三棱柱的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求 . 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据截面为正方形，可得，利用三棱柱的表面积公式即可求解； (2)利用结合三棱锥的体积即可求解； (3)根据即可求解. 【详解】（1）因为截面为正方形， 所以， 在中，， 即，解得， 所以三棱柱的表面积 （2）由题可得： （3）因为， 在长方体中平面， 所以三棱锥的高为， 所以 . 题型三 棱台的表面积与体积 14．（2026高三·全国·专题练习）如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（    ） A．18 B． C． D．34 【答案】B 【分析】过作底面，交底面于，过作交于，根据二面角的概念可知即为侧面与底面夹角的平面角，结合题意求出侧面梯形的高，再根据台体的面积公式求解即可． 【详解】由题意在棱台中，底面和为正方形，各侧棱均相等， 过作底面，交底面于，过作交于，连接， 因为底面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以即为侧面与底面夹角的平面角，即， 由题意可知，所以， 所以该棱台的表面积． 故选：B． 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和侧棱长． 【答案】高为，侧棱长为 【详解】如图，在三棱台中，分别为上、下底面的中心，分别是的中点，连接，，，，则是等腰梯形的高， 所以． 又，， 则上、下底面面积之和为． 由，得，所以， 又，， 所以棱台的高为 ． 在直角梯形中， ，，， ． 故棱台的高为，侧棱长为． 16．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 【答案】AC 【分析】根据正三棱台的结构特征和表面积公式进行计算求解即可. 【详解】对于选项A： 因为正三棱台的上底面为正三角形，其边长为2， 所以上底面面积为，所以A正确； 对于选项B： 正三棱台的侧面为等腰梯形，所以侧面积为： ，所以B错误； 对于选项C： 该正三棱台的下底面面积为. 所以该正三棱台的表面积为，所以C正确； 对于选项D： 设为正三棱台的高，根据勾股定理可得， 解得，所以D错误. 故选：AC. 17．（2026·陕西榆林·一模）已知正四棱台的体积为28，其中，则三棱锥的体积为________． 【答案】8 【分析】设正四棱台的高为，上底面的面积为，根据正棱台的体积公式列方程求出，进而可求得三棱锥的体积． 【详解】如图，设正四棱台的高为，上底面的面积为， 因为，所以下底面的面积为， 所以正四棱台的体积，解得， 所以三棱锥的体积． 18．（2026·陕西铜川·一模）某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据台体的体积公式求台体的高，再计算台体的斜高，进而可求四棱台的侧面积. 【详解】如图,点分别是棱台上下底面的中心，分别取边的中点,连接. 设四棱台的高为， 则. 由图知，, 设正四棱台的斜高. 所以正四棱台的侧面积为：. 故选：D 19．（25-26高二上·四川达州·月考）如图，正四棱台两底面边长分别为2和4． (1)若侧棱长为，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出辅助线，求出棱台的斜高，从而求出侧面积，再与底面积相加即可求出表面积； （2）根据已知条件求出斜高，再算出正棱台的高即可． 【详解】（1）如图，设分别为上，下底面的中心， 分别取的中点，连接，则为正四棱台的斜高， ， 则棱台的表面积． （2）两底面面积之和为， 正四棱台的侧面积为，解得， 正四棱台的高． 故． 题型四 组合多面体的表面积和体积 20．（2026高三·全国·专题练习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是（　　） A．225 cm2 B．1000 cm2 C．1800 cm2 D．900＋2000 cm2 【答案】C 【分析】利用八面体的结构特征，求出每个面的面积即可求得表面积. 【详解】由八面体的每一个面都是正三角形，且四边形ABCD是边长为的正方形， 因此每个面的面积为（）， 所以这个八面体的表面积（）. 故选：C 21．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形可得新增了16个全等的小三角形面积，结合题意可得小三角形为等腰直角三角形，设其直角边为，由可得，即可得答案. 【详解】由题设分析，如下图，转动45°了后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：D. 22．（25-26高一上·上海黄浦·月考）两个棱长分别为1和2的正方体叠起来得到如图所示的几何体，该几何体的表面积为___________． 【答案】 【分析】根据正方体表面积公式计算求解. 【详解】因为两个棱长分别为1和2正方体叠起来得到的几何体， 该几何体的表面积为． 故答案为： 23．（25-26高二上·北京朝阳·月考）木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且均为等边三角形，，则该木楔的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，取的中点O，连接，求出，结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可. 【详解】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接， 则由题意等腰梯形全等等腰梯形， 则. 取的中点O，连接，因为，所以， 则， ∴. 因为，，所以，因为四边形为正方形， 所以，又因为，平面，所以平面， 所以平面，同理可证平面， ∴多面体的体积 ， 故选：C. 24．（24-25高一下·广东惠州·期末）如图，某几何体可看成是三个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体III的上底面面积是下底面面积的倍，若几何体I、II、III的高之比分别为，则几何体I、II、III的体积之比为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用柱体、台体体积公式可求得结果. 【详解】设直棱柱I的底面积为，高为，则棱台II的上底面面积为，下底面面积为，高为， 棱台III的上底面面积为，下底面面积为，高为， 设几何体I、II、III的体积分别为、、， 则，， ， 因此，. 故选：C. 25．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，正四棱锥的高为1，， 则该组合体的体积为_______________； 【答案】 【分析】根据题意，利用锥体和柱体的体积公式，列式计算，即可求解. 【详解】因为该组合体的上半部分是正四棱锥 ，下半部分是长方体， 正四棱锥的高为1， 且， 所以该组合体的体积为：. 故答案为：. 26．（2025高三·全国·专题练习）某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正六边形的边长，六棱锥的侧棱，由，得出棱长关系，分别求出正六棱锥与正六棱柱的侧面积，即可求出正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比. 【详解】如图，设正六棱柱底面边长为，侧棱长为，由题意可知，， 则可知正六棱柱的侧面积为． 设正六棱锥侧棱长为，则． 又，所以，解得， 所以正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为. 故选：B． 1．（25-26高二上·北京·期中）在长方体中，底面是边长为1的正方形，，则该长方体的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】直接根据底面边长和侧棱长即可求解. 【详解】解：因为长方体中，底面是边长为1的正方形，， 所以该长方体的表面积为： 故选：A 2．（24-25高二下·浙江温州·月考）一正三棱锥侧面三角形的顶角为，则该三棱锥的侧面积与底面积之比为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】由正三棱锥侧面三角形的顶角为，可知侧面三角形为等腰直角三角形，进而可得到侧棱长与底面边长的关系，进一步可得答案. 【详解】由正三棱锥知：所有侧棱长相等且底面为等边三角形. 由侧面三角形顶角为，可得侧面三角形为等腰直角三角形， 设侧棱长为，底面边长为，在侧面三角形中，可得， 侧面积为，底面积为， 所以. 故选：A    3．（24-25高二下·云南昆明·月考）如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 【答案】B 【分析】由勾股定理求得斜高，根据正四棱台的表面积计算，可得答案. 【详解】由题意，分别取上下底面的中心为，分别取的中点为，连接，如下图：    则，，， 易知， 根据题意可得正四棱台的斜高为， 所以正四棱台的表面积为， 所以该零部件的防腐处理费用是元. 故选：B. 4．（24-25高一下·安徽淮北·月考）已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为2，则圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径，利用正弦定理求出圆锥的底面半径为，进而求出圆锥的高，再利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为，由于圆锥轴截面为等边三角形， 则外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径，即， 由正弦定理可得， 该圆锥的高为， 故该圆锥的体积为. 5．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与原正方体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方体的棱长为，结合锥体体积公式求棱锥的体积，再求正方体体积，由此可得结论. 【详解】设正方体的棱长为，则棱锥的体积， 又正方体的体积， 所以． 故选：D. 6．（25-26高三上·贵州安顺·期末）一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置，如图（1），水面恰好过棱的中点．若将容器的底面水平放置，如图（2），则容器中水面的高为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据棱柱体积计算公式即可求解. 【详解】当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱，底面是梯形， 设的面积为，则，水的体积， 当底面水平放置时，水的形状为直三棱柱，设水面高为， 则有，即， 所以当底面水平放置时，容器中水面的高为9. 故选：D 7．（25-26高一下·新疆昌吉·期末）（多选）正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（    ） A．该正六棱台的上底面积是 B．该正六棱台的侧面面积是 C．该正六棱台的表面积是 D．该正六棱台的高是 【答案】ACD 【分析】画出该几何体，利用已知条件分别计算正六棱台的上底面积、侧面面积、表面积、正六棱台的高即可. 【详解】如图在正六棱台中，    因为， 所以侧面的梯形的高即正六棱台斜高为： ， 所以梯形的面积为：， 故正六棱台的侧面积为: ，故B选项错误； 由图可知该正六棱台的上底面积为6个边长为2的等边三角形组成， 所以该正六棱台的上底面积为：，故A正确； 同理下底面积为：， 所以该正六棱台的表面积是,故C正确； 正六棱台的高为，D正确. 故选：ACD. 8．（25-26高一下·安徽黄山·期中）（多选）一个棱长为2的正方体，用过同一顶点三条棱的中点平面截去各个顶点得到的一个新的几何体，对这个新的几何体说法错误的是（    ） A．所有截面面积和为 B．新几何体表面积为 C．新几何体表面积为 D．新几何体的体积为 【答案】ABC 【分析】由题意画出图形,求出截面面积判断A；求出新几何体的表面积判断B与C；由正方体体积减去八个三棱锥的体积判断D. 【详解】如图示： 正方体截去各个顶点后得到的几何体如图2所示，为一个12面体，其中8个面为边长为的正三角形，4个面为边长为的正方形. 对于A：所有截面面积和为：，故A错误； 对于B、C：新几何体表面积为：，故B、C错误； 对于D：新几何体的体积为：，故D正确. 故选：ABC 9．（24-25高一下·吉林长春·期末）（多选）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 【答案】ACD 【分析】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正三角形置于同一平面内，求出最短路程判断D. 【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确； 对于B，几何体的表面积为，故B错误； 对于C，该几何体的体积为，故C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正三角形，将它们置于同一平面内， 连接，如图，取中点，连接， 则，而， 所以最短路程为，故D正确． 故选：ACD． 10．（25-26高一下·山东青岛·月考）在正四棱台中，，，则该棱台的体积为______. 【答案】/ 【分析】根据正棱台的特征，构造直角三角形，解出正棱台的高，代入公式即可求解. 【详解】如图所示： 取正棱台上下底面中心，连接过点作的平行线，交于点， 因为，所以 在直角三角形中，， 故正四棱台的高为， 根据棱台体积计算公式，. 11．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交PB于点.则三棱锥的体积为_____； 【答案】 【详解】取中点，连接， ，分别是，的中点，， 正方形的边长为2，，， 底面，底面 ∴. 12．（25-26高一下·全国·课后作业）四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别为1，2，侧棱长为，则该四棱台的高为______，侧面积为______． 【答案】 【详解】设四棱台的上、下底面中心分别为，连接，，， 则四边形为直角梯形，为四棱台的高． ，，，， 又，． 在侧面中，，，， ∴斜高为，． 13．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥. (1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 【答案】(1) (2)侧面积；表面积. 【分析】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，从而可得出大棱锥的底面边长和斜高，然后可分别求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积，从而可求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比； （2）根据条件可求出大棱锥的底面边长和斜高，从而可求出大棱锥的侧面积；根据（1）的结论可求出棱台的侧面积；再求出棱台的上下底面的面积，从而可求出棱台的表面积. 【详解】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为， 所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为， 棱台的侧面积为， 所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比. （2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm， 因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm， 所以大棱锥的侧面积为， 所以棱台的侧面积为， 棱台的上，下底面的面积和为， 所以棱台的表面积为. 14．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： (1)三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出正四面体和正方体的表面积即可； （2）计算三棱锥的体积，利用割补法计算. 【详解】（1）因为是正方体， 所以， 所以三棱锥的表面积为， 而正方体的表面积为， 故三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值． （2）三棱锥，，，是完全一样的． 因为三棱锥的体积为，正方体的体积为， 所以三棱锥的体积为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $