2.1 第1课时 平方根和算术平方根（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦平方根与算术平方根的概念、表示及运算，通过铺地垫面积计算、正方形画布边长求解等生活情境导入，引导学生从已知平方求原数的实际问题出发，逐步抽象出平方根定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过填表归纳、典例分析（如利用平方根互为相反数求参数、非负性应用），培养学生数学思维中的推理意识与运算能力，同时用符号“±√a”“√a”精准表达数学关系，发展数学语言。学生能提升抽象能力与问题解决能力，教师可依托清晰的知识脉络与分层练习优化教学。

2.1 平方根 第2章 实 数 第1课时 平方根和算术平方根 ÷ 七年级下册数学（湘教版） 学习目标 1.了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示 一个数的算术平方根.（重点） 2.会求非负数的平方根与算术平方根.（难点） 某家庭在装修儿童房时需铺地垫 10.8 m2，刚好用去正方形的地垫 30 块. 你能算出每块地垫的边长是多少吗？ 解：每块正方形地垫的面积是 10.8÷30 = 0.36 (m2). 即边长×边长 = 0.36. 由于 0.62 = 0.36， 因此面积为 0.36 m2 的正方形地垫的边长是 0.6 m. 情境导入 请你说一说解决问题的思路． 　　学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 平方根 问题引导 1 探究新知 （1）若正方形画布的面积如下，请填表： （2）你能指出它们的共同特点吗？ 正方形的面积/dm2 1 9 16 36 正方形的边长/dm 都是已知一个数的平方，求这个数的问题. 1 3 4 6 填一填: 问题 如果一个数的平方等于 9，那么这个数是多少？ 想一想：3 和 -3 有什么特征？ 由于 ， 所以这个数是 3 或 -3. 3 和 -3 互为相反数，会不会是巧合呢 根据上面的研究过程填表： 如果我们把 　 分别叫作 　 的平方根，你能给出平方根的概念吗？ 根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数. 由此我们抽象出下述概念： 如果有一个数 r，使得 r2 = a，那么 r叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根. 总结归纳 因为边长大于 2 的正方形，它的面积一定大于 4，所以，比 2 大的数都不是 4 的平方根. 边长为 2 边长为 4 < > 类似地，边长小于 2 的正方形， 它的面积一定小于 4，因此， 比 2 小的正数都不是 4 的平方根. 思考：除了 2 和 －2 以外，4 的平方根还有其他的数吗？ 如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与 -r. 这样，正数 a 的平方根可以用 “ ”来表示. 把正数 a 的负平方根记作 ，读作“负根号 a”. 我们把正数 a 的正平方根记作 ，读作“根号a”； 总结归纳 由于 02 = 0，而非零数的平方不等于 0，因此零的平方根就是 0 本身. 由于同号两数相乘得正数，且 02 = 0，即在迄今为止我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，因此负数没有平方根. 小结：正数平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是 0；负数没有平方根. 说一说 零的平方根是多少？负数有平方根吗？ 求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.开平方与平方互为逆运算. +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 开平方 平方 知识要点 例1 分别求下列各数的平方根：36， ，1.21. 解：由于 62 = 36， 因此 36 的平方根是 6 与 -6. 即 由于 1.12 = 1.21， 因此 1.21 的平方根是 1.1 与 -1.1. 即 由于 ， 因此 的平方根是 与 . 即 典例精析 ① 的平方根是_______； ② (－16)2 的平方根是_______. 练一练 例2 已知一个正数的两个平方根分别是 2a－2和 a－4，则 a 的值是________． 方法总结：本题考查了平方根的概念．一个正数有两个平方根，它们是互为相反数，两个数互为相反数，它们的和为 0. 解析：因为一个正数的两个平方根分别是 2a－2 和 a－4， 所以2a－2＋a－4＝0，解得 a＝2. 2 我们把正数 a 的正平方根 叫作 a 的算术平方根. 思考：正数、负数、0 的算术平方各有几个？ 正数的算术平方根是一个正数， 0 的算术平方根还是 0， 负数没有算术平方根. 算术平方根的概念及性质 2 算术平方根具有双重非负性 a 的算术平方根 算术平方根的性质 非负数 非负数 判断下列说法是否正确. ①25 的算术平方根是 5 （ ）； ②25 的平方根是 5 （ ）； ③5 是 25 的平方根 （ ）. √ √ 注意区分“平方根”与“算术平方根”的意义. 练一练： 例3 分别求下列各数的算术平方根： （1）100； （2） ； （3）0.49. 解：(1) 由于 102 = 100，因此 . (3) 由于 0.72 = 0.49，因此 . (2) 由于 = ，因此 . 例4 若 |m - 1| + = 0，求 m + n 的值. 方法归纳：几个非负式的和为 0，则每个式均为 0，初中阶段学过的非负式有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根. 解：因为 | m - 1| ≥0， ≥0， 又 | m - 1| + = 0， 所以 | m - 1 | = 0， = 0. 所以 m = 1，n = -3. 所以 m + n = 1 + (-3) = -2. 3.若 ，则 a = ； 2.若 ，则 m = ； 4.若|a - 3|+ ，则代数式(a + b)2025 =___. 1.若 |a + 3| = 0 ， 则 a = ； -3 7 5 -1 到目前为止，表示非负的式子有： | a |≥0，a2 ≥0， ≥0. 做一做 1. 包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种. 平方根与算术平方根的联系与区别： 2. 只有非负数才有平方根和算术平方根. 3. 0 的平方根是 0，算术平方根也是 0. 联系： 区别： 1. 个数不同：一个正数有两个平方根， 但只有一个算术平方根. 2. 表示法不同：平方根表示为± ， 而算术平方根表示为 . 1. 分别求 64，6.25 的平方根，并用式子表示. 2. 分别求 81，0.16 的算术平方根. 解：81 的算术平方根是 9， . 0.16 的算术平方根是 0.4， 64 的平方根是 8 与 -8， 6.25 的平方根是 2.5 与 -2.5， 解： 课堂练习 3. 判断下列说法是否正确. 正确. （4）(-4)2 的平方根是 -4. （1） 是 的一个平方根； （2） 是 6 的算术平方根； （3） 的值是 ±4； 正确. 不正确，是 4. 不正确，是 ±4. 4. 已知一个自然数的算术平方根是 a，则按从小到大 排该自然数的后一个自然数的算术平方根是（ ） A. a + 1 B. C. a2 + 1 D. D 解析：一个自然数的算术平方根是 a，那么这个自然 数就是 a2，按从小到大排该自然数的后一个自然数就是 a2 + 1，它的算术平方根是 5.已知 3(x - 1)2 = 363 ，求 x 的值． 解：因为 3(x - 1)2 = 363， 所以 (x - 1)2 = 121， 所以 x = 12 或 x =－10. 平方根的概念 正数的平方根 负数的平方根 0 的平方根 正平方根 → → （没有） （就是 0 本身） 负平方根 算术平方根 ↑ 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $