1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦整式乘法中乘法公式的灵活运用，通过复习平方差公式和完全平方公式导入，搭建新旧知识联系，以问题链引导学生观察式子特征，为计算推理提供学习支架。 其亮点是分层例题设计与实际应用结合，通过“观察特征-选公式-推理计算”培养数学思维（运算能力、推理意识）和数学语言（模型意识），如例5用完全平方公式解决正方形边长问题。小结结构化，助学生形成方法体系，提升解题能力，为教师提供清晰教学范例。

1.2 乘法公式 第1章 整式的乘法 1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 ÷ 七年级下册数学（湘教版） 学习目标 1.理解并掌握乘法公式.（重点） 2.会灵活选用合适的乘法公式解决问题.（难点） 我们已经学了哪些乘法公式？ （1）平方差公式： (a + b)2 = (a + b)(a - b) = （2）完全平方公式： a² - 2ab + b² a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - b² 注意：公式中的 a 与 b 既可以是数，也可以是单项 式或多项式. 复习导入 3 （ 根据式子特征，灵活运用乘法公式， 往往给我们的解题带来方便！ 怎样计算下列各题？ （3）(x + y + 4)(x + y - 4). （1）(x + 1)(x2 + 1)(x - 1)； （2）(a + 3)2 (a - 3)2； 运用乘法公式进行计算 讨论：选择什么 方法呢？ 1 探究新知 平方差公式 = x4 - 1. （1）(x + 1)(x2 + 1)(x - 1)； 交换律 （2）(a + 3)2 (a - 3)2. = a4 - 18a2 + 81. 逆用积的乘方 平方差公式 完全平方公式 解：原式 = (x + 1)(x - 1)(x2 + 1) = (x2 - 1)( x2 + 1 ) 解：原式 = [(a + 3)(a - 3)]2 = (a2 - 9)2 （3）(x + y + 4)(x + y - 4) . = (x + y)2 - 16 = x2 + 2xy + y2 - 16. 平方差公式 完全平方公式 注意：把 (x + y) 看作一个整体，那么 (x + y) 就相当于平方差公式中的 a，4 就相当于平方差公式中的 b. 解：原式 = [(x + y) + 4] [(x + y) - 4] 例1 用乘法公式计算下列各题 = x4 - 81. = 16x4 - 72x2 + 81. 运用什么运算律？ 积的乘方的逆用 (2) (2x + 3)2(2x - 3)2 总结： 要根据具体情况灵活运用运算律、乘法公式、幂的运算法则（正用与逆用）. 交换律 典例精析 例2 怎样才能用完全平方公式呢？ 运用乘法公式计算： （1）(a + b + c)2； （2）(a + b - c)2. 根据计算结果，你能发现什么规律？ (a + b - c)2 = [(a + b) - c]2 = (a + b)2 - 2(a + b)c + c2 = a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc. = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. 解：(a + b + c)2 例3 运用乘法公式计算：(a – b + c)(a + b – c). 方法总结：1.选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”. 2. 式子变形添括号时注意符号的变化. 解：原式= [ a – (b – c)][a + (b – c)] = a2 – (b – c)2 = a2 – (b2 – 2bc + c2) = a2 – b2 + 2bc – c2. 计算：(1)(a－b＋c)2； (2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)． 针对训练 ＝1－4x2＋4xy－y2. 解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2 ＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c ＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc. (2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)] ＝12－(－2x＋y)2 例4 运用乘法公式计算: (x + y)3 解：(x + y) = (x + y)( x + y)² = (x + y)(x² + 2xy + y2) = x³+ 2x²y + xy2 + yx² + 2xy² + y3 = x³ + 3x²y + 3xy² + y³. 思考 先填空：(1) 152 = 100×1×___ ＋ 25； (2) 252 = 100×2× ＋ 25； (3) 352 = 100× × ＋ . 由此猜测：十位数字是 a、个位数字是 5 的两位数可以表示为 ，它的平方可表示为100×___× ＋ . 2 3 3 4 25 a a＋1 25 10a + 5 思考 十位数字是 a、个位数字是 5 的两位数是10a + 5. 由完全平方公式 1 得 (10a + 5)² = (10a)² + 2·10a·5 + 5²=100a² + 100a + 25. 又100a(a + 1) + 25 = 100a² + 100a + 25，于是 (10a + 5)² = 100a(a + 1) + 25. 因此，十位数字是 a、个位数字是 5 的两位数的平方，等于其十位数字 a 与 a + 1 的积的 100 倍，再加上 25. 例如，85² = 100×8×9 + 25 = 7225. 例5 一个正方形花圃的边长增加到原来 2 倍还多 1 m，它的面积就增加到原来的 4 倍还多 21 m2 ，求这个正方形花圃原来的边长. 解 ：设正方形花圃原来的边长为 x m. 由数量关系，得 (2x +1)2= 4x2 + 21， 化简，得 4x2 + 4x +1 = 4x2 +21， 即 4x = 20， 解得 x = 5. 答: 这个正方形花圃原来的边长为 5 m. 如何运用乘法公式进行计算： 3. 灵活运用公式进行求值计算. 2. 有时会结合其它运算法则； 1. 先观察式子的特点，选取适当的乘法公式； 课堂小结 （1）(x - 2)(x + 2)(x2 + 4) （2）(x - 1)2 - (x + 1)2 （3）(x + 1)2(x - 1)2 （4）(a + 2b - 1)(a + 2b + 1) （5）(a - b - c) 2 1.运用乘法公式计算 ： = x4 - 16 = -4x = x4 - 2x2 + 1 = a2 + 4ab + 4b2 - 1 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc 课堂练习 2.一个正方形的边长增加了 2 cm，它的面积就增加了 16 cm2，求这个正方形原来的边长. 答：这个正方形原来的边长为 3 cm. 解：设正方形原来的边长为 x cm. 列方程，得 (x + 2)2 = x2 + 16， 解得 x = 3. x2 + 4x + 4 = x2 + 16， 4x = 12， 3.先化简，再求值： 2b2 + (a + b)(a - b) - (a - b)2，其中 a = -3，b = . 解：原式 = 2b2 + a2 - b2 - a2 + 2ab - b2 = 2ab. 当 a = - 3，b = 时， 原式 = 2×(-3)× = -3. 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $