精品解析：广东普宁市第二中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试题

普宁二中2025-2026学年度高一第二学期第二次月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，， 根据交集的定义可得， 则. 2. 已知，向量，，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，则，故，故； 若，则，故或， 故“”是“”的充分不必要条件. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算得，再由共轭复数的定义，即可求解. 【详解】因为，则， 所以. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由于，则， 于是. 5. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 6. 在中，，，若点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由 ，得 ， . 所以 7. 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设此铁塔高，在直角中，可得，再在中，利用正弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】设此铁塔高，根据题意，可得， 在直角中，可得， 在中，由，可得， 根据正弦定理，可得，解得． 故选：A. 8. 若平面向量，两两夹角相等，且，则（ ） A. 3 B. 9 C. 3或9 D. 3或 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方展开原式，结合向量的模分别求解两两夹角为和时的值即可. 【详解】 当两两夹角为时，，可得： 所以. 当两两夹角为时，，可得： ， 所以， 故或. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，直接举反例即可判断；对B，直接根据常见幂函数性质即可判断；对C，根据函数奇偶性的判断方法和单调性相关结论即可判断；对D，利用正切函数性质即可判断. 【详解】对A，设，其定义域为，因为，， 所以，则不是奇函数，故A错误； 对B，根据幂函数性质知为奇函数，且其在上单调递增，故B正确； 对C，设，其定义域为，关于原点对称， 且，则其为奇函数， 又因为均在上单调递增，则函数在上单调递增，故C正确； 对D，因为为周期函数，所以其在上不是单调递增，故D错误. 故选：BC. 10. 设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 若复数，则在复平面内对应的点在第四象限 B. 复数的模 C. 若，则或 D. 若复数是纯虚数，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合共轭复数的定义和复数的几何意义可以判断A；结合复数的模可以判断B和C；结合纯虚数的定义建立关于的方程，求解可以判断D. 【详解】对于选项A，由，可得，在复平面内对应点为在第四象限，故正确； 对于选项B， ，故正确； 对于选项C，表示所有满足（设）的复数，有无数个，例如的模也为1，并非只有，故错误； 对于选项D，令实部，解得或；虚部，即，故，故正确. 11. 在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由诱导公式即可判断A，由正弦定理即可判断B，由条件可得，结合基本不等式代入计算，即可判断C，由条件可得，然后换元，结合二次函数的值域，即可判断D. 【详解】对于A，由可得， 则或，即或， 因为三角形为斜三角形，若，则，， 不符合斜三角形，所以，即为钝角，为钝角三角形，故A错误； 对于B，由正弦定理可得，则， 所以，故B正确； 对于C，由，可得， 且，则， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，故C正确； 对于D，由C可知，， 则， 令， 由可得，则， 所以，故， 且， 所以， 当时，取得最大值， 当或时，最小值为， 所以，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则与的夹角为_____． 【答案】 【解析】 【详解】因，，， 则， 又因，故. 即与的夹角为. 13. 在中，已知，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形内角和与正弦定理可得答案 【详解】由三角形内角和得，则， 又由正弦定理：，则. 14. 在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用与表示、 ，再将转化为与的计算，进而求解. 【详解】 , 与所成的夹角为 令，则 当时，的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与是平面内的两个向量，，与的夹角为. （1）求； （2）在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的模的公式计算求解即可； （2）根据投影向量公式计算即可. 【小问1详解】 解：因为，与的夹角为， 所以 【小问2详解】 解：因为，与的夹角为， 所以， 所以，在方向上的投影向量. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）当时，求函数的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式，将函数转化为，再利用正弦型函数的周期以及单调性求解； （2）因为，则，结合正弦函数的图象和性质求出的值域. 【小问1详解】 ∴周期； 令，，得， 故单调递减区间为. 【小问2详解】 因为，则，， ， 故函数的值域为. 17. 在中,角所对的边分别为 ,且满足 . （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由正弦定理得， 又， 代入得. 由，得， 即，. 由，所以易得，故. 【小问2详解】 ，即，得. 由余弦定理，得，即. 联立，得，故. 18. 如图所示，在中，是边上的中线，为中点，过点的直线交边，于，两点，设，，，（，与点，不重合） （1）求和的值； （2）证明：为定值； （3）求的最小值，并求此时的，的值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）最小值为， 【解析】 【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则即可求解； （2）由已知可得，根据，，三点共线，即可求解； （3）利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为是边上的中线，所以， 所以； 【小问2详解】 因为为中点，所以， 因为，，， 所以，即， 因为，，三点共线，所以，即， 即为定值； 【小问3详解】 由（2）知， 所以， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以的最小值为，此时. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案. （3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由已知中，即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1），所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则 . 【小问3详解】 点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普宁二中2025-2026学年度高一第二学期第二次月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，向量，，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，若点满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 若平面向量，两两夹角相等，且，则（ ） A. 3 B. 9 C. 3或9 D. 3或 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 若复数，则在复平面内对应的点在第四象限 B. 复数的模 C. 若，则或 D. 若复数是纯虚数，则 11. 在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则与的夹角为_____． 13. 在中，已知，，，则______. 14. 在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与是平面内的两个向量，，与的夹角为. （1）求； （2）在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）当时，求函数的值域． 17. 在中,角所对的边分别为 ,且满足 . （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值． 18. 如图所示，在中，是边上的中线，为中点，过点的直线交边，于，两点，设，，，（，与点，不重合） （1）求和的值； （2）证明：为定值； （3）求的最小值，并求此时的，的值． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $