精品解析：广东深圳市外国语学校2025-2026学年第二学期九年级中考一模测试数学试卷

2025-2026学年深圳外国语学校九年级下 数学学科教学阶段性评估 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 的倒数是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，依据“乘积为1的两个数互为倒数”这一概念计算即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 2. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项正确，符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 4. 如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 根据三角形外角的性质求出，再利用即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意，原计划每天生产个零件，实际每天生产个零件．总零件数为300个，原计划天数减去实际天数等于提前的2天． 【详解】解：设原计划每天生产个零件，则实际每天生产个零件． ∵原计划天数为，实际天数为，且提前2天完成任务， ∴． 故选：A． 6. 如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和面积公式，平行四边形的性质和面积公式，勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键． 根据题意可得D点的纵坐标是C点纵坐标的一半，，过D点作轴，交轴于点，用勾股定理求出长即可． 【详解】解：过D点作轴，交轴于点，如图： 与矩形周长相等，， ， 的面积是矩形面积的一半，， ， 由勾股定理得：， 点D的坐标为． 故选：A． 7. 如图，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在双曲线上，且，若的面积为12，则的值为（ ） A. 24 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】作轴于M，根据，易得点是中点，由的面积为12，求出的面积为，进而求出的面积为，再根据，即可解答． 【详解】解：如图，作轴于M， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴点是中点， ∵的面积为12， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵点在双曲线上， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的几何意义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 8. 如图，正方形的顶点G、E分别在正方形的边、上，，，连接并延长交边于点H，连接，则的长为（　　） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，准确利用性质是正确解答此题的关键．首先利用正方形性质得到相关线段的长度和角度关系，再通过相似三角形的性质求出的长度，进而得到的长度，最后在中，根据勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵正方形的顶点G、E分别在正方形的边、上，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故选：D． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 已知和是同类项，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同类项的定义．根据同类项的定义确定、的取值，再代入代数式计算求值． 【详解】解：∵和是同类项， ∴，， ∴． 故答案为： 10. 已知不等式6x+1＞5x﹣2的最小整数解是方程2x﹣kx＝4﹣2k的解，则k＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】首先解出一元一次不等式的解集，再确定出x的值，再把x的值代入方程即可得到关于k的方程，再解方程即可算出k的值． 【详解】解：6x+1＞5x﹣2， 解得：x＞﹣3， ∵x是不等式5x﹣2＜6x+1的最小整数解， ∴x＝﹣2， 把x＝﹣2代入方程2x﹣kx＝4﹣2k中得：2×（﹣2）﹣（﹣2）×k＝4﹣2k， 解得：k＝2， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的解集，整数解，以及方程的解，关键是正确确定出x的值． 11. 如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，计算______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理及角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：，， ， 由作图得：是的角平分线，是的垂直平分线， ∴， ． 12. 如图，以正六边形的顶点A为圆心，的长为半径画弧，得到．连接，．若正六边形的边长为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质得出，进而求出，过作于，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，在中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵正六边形的边长为， ， ， ， 过作于， ， 在中，， ， 同理可证，， ， ∴的长为． 13. 如图，四边形内接于圆，，，，连接，交于点E，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设，进而解三角形可得，再证、，进而得到，，再相乘即可求解． 【详解】解：， 为圆的直径， ， ， ， 又， ， 不妨设，则， ，， （对顶角相等），（同弧所对圆周角相等）， ， ， （对顶角相等），（同弧所对圆周角相等）， ， ， ． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质结合绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值．先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解进行约分，得到最简形式后，代入求值． 【详解】解： ， 当时，． 16. 随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，聊天机器人的智能化水平显著提高，有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（满分100分，分为四个等级：A．；B．；C．；D．．）下面给出了部分信息． 甲款聊天机器人的评分扇形统计图 甲、乙款聊天机器人的评分统计表 平均数 中位数 众数 甲款 89.95 90.5 85 乙款 91.4 86 乙款聊天机器人的评分频数分布统计表 分组 频数 3 7 4 乙款聊天机器人的评分组的数据从低到高排列如下： 91，91，92，93，94，95，95． （1）填空：______，______，______． （2）你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请判断并说明理由．（写出一条理由即可） （3）在此次调查中，分别有500人、400人对甲、乙款AI聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次调查中对两种聊天机器人评分在90分以上的总人数． 【答案】（1）15，6，91 （2）乙款聊天机器人更受用户喜爱，理由见解析 （3）估计此次调查中对两种聊天机器人评分在90分以上的总人数为445人． 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的前提． （1）用“1”分别减去其它三组所占百分比可得a的值；用20分别减去其它三组的频数可b的值；根据中位数的定义可得c的值； （2）根据平均数、中位数和众数的意义解答即可（答案不唯一）； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，即； ； 把乙款聊天机器人抽取20份评分从小到大排列，排在中间的两个数分别是91，91，故中位数， 故答案为：15，6，91； 【小问2详解】 解：乙款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为乙款聊天机器人评分的平均数比甲款高，所以乙款聊天机器人更受用户喜爱；（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计此次调查中对两种聊天机器人评分在90分以上的总人数为445人． 17. 为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备购进A，B两种品牌的排球．已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元． （1）求A，B两种品牌的排球的单价分别是多少元？ （2）学校决定再次购进一批排球，正好赶上商场对排球的价格进行调整，每个A品牌排球的售价比第一次购买时提高了10元，每个B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售．如果该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的排球（两种排球均购买），则学校共有几种购进方案？并列出所有可行的方案． 【答案】（1）A品牌排球的单价是50元，B品牌排球的单价是80元 （2）学校共有三种购进方案：方案一：购进A品牌排球14个，B品牌排球5个；方案二：购进A品牌排球8个，B品牌排球10个；方案三：购进A品牌排球2个，B品牌排球15个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系，建立方程（组）求解． （1）设A品牌排球的单价是x元，B品牌排球的单价是y元，根据“购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元”建立方程组求解； （2）设购进A品牌排球m个，B品牌排球n个．根据题意，得，整理得，再求其正整数解即可． 【小问1详解】 解：设A品牌排球的单价是x元，B品牌排球的单价是y元． 根据题意，得 解得 答：A品牌排球的单价是50元，B品牌排球的单价是80元． 【小问2详解】 解：设购进A品牌排球m个，B品牌排球n个． 根据题意，得， ． 由题意得m，n均为正整数， 或或． 学校共有三种购进方案： 方案一：购进A品牌排球14个，B品牌排球5个； 方案二：购进A品牌排球8个，B品牌排球10个； 方案三：购进A品牌排球2个，B品牌排球15个． 18. 如图，点在的直径的延长线上，点是上任意一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，关键是证明和证明三角形相似． （1）连接，由直径所对的圆周角为直角得，进而证明，便可解决问题； （2）由三角函数求得，再证明，得出的数量关系，进而便可求得结果． 【小问1详解】 证明：连接， ∵为直径， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵是的半径， ∴为的切线． 【小问2详解】 解：∵，， ∴在中，，． 即． 设，则， ∵， ∴． 解得． ∴，． 又∵，， ∴． ∴． 设，则，， 又∵， ∴． ∴． ∴． 19. 【定义】 在平面直角坐标系中： 【1】对于两点和，若，则称点Q是点P的“等距点”． 【2】对于一点，则称点为点M的“k对称点”，例如，点为点的“1对称点”． 【运用】 （1）在平面直角坐标系中，已知点，． 在点，，，． ①点______是点的“等距点”． ②点______是点的“2对称点”． ③点______既是点的“等距点”又是点的“2对称点”． （2）已知点P是直线上的点，记点P的“1对称点”为点Q．若点Q恰好是点P的“等距点”，求此时点P的坐标． （3）已知点A是射线上的点，点B的横坐标与点A的纵坐标相等且点B在直线上，点B是点A的“等距点”．点A的“k对称点”为点C．求线段的最小值． 【答案】（1）①；②；③ （2）或 （3）8 【解析】 【分析】（1）①根据“等距点”的定义解答即可；②根据“2对称点”的定义解答即可​； ③根据“等距点”和“2对称点”的定义解答即可． （2）设，则P的“1对称点”为，由是的等距点得，分两种情况分别求解即可． （3）设，由题意得，根据是的等距点，得，解得，则点，，故点的“对称点”为，得出点的轨迹是直线，根据点到直线垂线段最短求出点到直线的垂线段长度即为的最小值． 【小问1详解】 解：∵，， ①满足，符合等距点定义； 中，不符合等距点定义； 中，不符合等距点定义； 中，不符合等距点定义； 故点是点的“等距点”； ②∵，则的对称点坐标为，即，对应​； ③​的2对称点坐标为，即，对应​，验证得，符合等距点定义，即点​既是点的“等距点”又是点的“2对称点”． 【小问2详解】 解：设，则P的“1对称点”为， 由是的等距点得：， ∴， ∴， 分两种情况：当时，解得：，则； 当时，解得：，则． 【小问3详解】 解：设， 由题意：的横坐标等于的纵坐标，即， 又在上，则， ∵是的等距点， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴，解得， ∴点，， ∴点的“对称点”为， ∴点的轨迹是直线， 点到直线的最短距离为垂线段长度：， 即的最小值为． 20. 综合探究 　　 （1）理解应用 如图1，在正方形中，，，与交于点F，求的长度． （2）问题探究 如图2，在矩形中，过B作的垂线交于点F，交于点E，．试猜想与的数量关系，并说明理由． （3）拓展延伸 如图3，在中，点，点，点，与y轴交于点M，点P从B点出发沿、运动，过点P作的垂线，过点M作的平行线，两线相交于点N，将沿翻折得到，若点T落在x轴上，求P点的坐标． 【答案】（1） （2），见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及相似三角形的判定得出，确定，，即可求解； （2）根据各角之间的关系得出，再由相似三角形的判定和性质即可得出结果； （3）根据题意，先确定直线所在直线的函数解析式为，得出，然后分三种情况分析：当点P在线段上时，当点P经过点A到线段上时，当点P在线段上，经过y轴到第一象限时，分别作出图形，然后利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵点，点， ∴设直线所在直线的函数解析式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 设直线交x轴于点F， 当时，，当时，， ∴， ∴， 当点P在线段上时，如图所示： 设，则， 过点A作于点H， ∵点，点， ∴， ∴， 根据题意得：轴，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴即， 解得：， ∴>1，， ∴点P在第二象限， ∴； 当点P经过点A到线段上时，如图所示： ∴， 设， ∵折叠， ∴， ∴， 同理得：， ∴，即， 解得：， ∵， ∴点P在第二象限， ∴； 当点P在线段上，经过y轴到第一象限时，如图所示： ∴， 设， ∵折叠， ∴， ∴， 同理得：， ∴，即， 解得：， ∴点P在第一象限， ∴； 综上可得：P点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年深圳外国语学校九年级下 数学学科教学阶段性评估 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 的倒数是（   ） A. B. C. D. 2. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在双曲线上，且，若的面积为12，则的值为（ ） A. 24 B. 12 C. 6 D. 3 8. 如图，正方形的顶点G、E分别在正方形的边、上，，，连接并延长交边于点H，连接，则的长为（　　） A. 6 B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 已知和是同类项，则的值是___________． 10. 已知不等式6x+1＞5x﹣2的最小整数解是方程2x﹣kx＝4﹣2k的解，则k＝_____． 11. 如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，计算______． 12. 如图，以正六边形的顶点A为圆心，的长为半径画弧，得到．连接，．若正六边形的边长为，则的长为______． 13. 如图，四边形内接于圆，，，，连接，交于点E，则_______． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 计算： 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，聊天机器人的智能化水平显著提高，有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（满分100分，分为四个等级：A．；B．；C．；D．．）下面给出了部分信息． 甲款聊天机器人的评分扇形统计图 甲、乙款聊天机器人的评分统计表 平均数 中位数 众数 甲款 89.95 90.5 85 乙款 91.4 86 乙款聊天机器人的评分频数分布统计表 分组 频数 3 7 4 乙款聊天机器人的评分组的数据从低到高排列如下： 91，91，92，93，94，95，95． （1）填空：______，______，______． （2）你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请判断并说明理由．（写出一条理由即可） （3）在此次调查中，分别有500人、400人对甲、乙款AI聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次调查中对两种聊天机器人评分在90分以上的总人数． 17. 为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备购进A，B两种品牌的排球．已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元． （1）求A，B两种品牌的排球的单价分别是多少元？ （2）学校决定再次购进一批排球，正好赶上商场对排球的价格进行调整，每个A品牌排球的售价比第一次购买时提高了10元，每个B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售．如果该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的排球（两种排球均购买），则学校共有几种购进方案？并列出所有可行的方案． 18. 如图，点在的直径的延长线上，点是上任意一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，求的长． 19. 【定义】 在平面直角坐标系中： 【1】对于两点和，若，则称点Q是点P的“等距点”． 【2】对于一点，则称点为点M的“k对称点”，例如，点为点的“1对称点”． 【运用】 （1）在平面直角坐标系中，已知点，． 在点，，，． ①点______是点的“等距点”． ②点______是点的“2对称点”． ③点______既是点的“等距点”又是点的“2对称点”． （2）已知点P是直线上的点，记点P的“1对称点”为点Q．若点Q恰好是点P的“等距点”，求此时点P的坐标． （3）已知点A是射线上的点，点B的横坐标与点A的纵坐标相等且点B在直线上，点B是点A的“等距点”．点A的“k对称点”为点C．求线段的最小值． 20. 综合探究 　　 （1）理解应用 如图1，在正方形中，，，与交于点F，求的长度． （2）问题探究 如图2，在矩形中，过B作的垂线交于点F，交于点E，．试猜想与的数量关系，并说明理由． （3）拓展延伸 如图3，在中，点，点，点，与y轴交于点M，点P从B点出发沿、运动，过点P作的垂线，过点M作的平行线，两线相交于点N，将沿翻折得到，若点T落在x轴上，求P点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $