专题07菱形的性质与判定(12大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题07菱形的性质与判定 知识目标 能力目标 应试目标 ✅ 吃透定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（既是性质也是判定） ✅ 牢记 4 大性质：四边相等、对边平行；对角相等、邻角互补；对角线互相垂直平分且平分一组对角；既是中心对称又是轴对称图形 ✅ 掌握 3 种判定：①一组邻边相等的平行四边形 ②对角线互相垂直的平行四边形 ③四条边都相等的四边形 ✅ 熟练计算：周长=边长×4；面积=底×高=对角线乘积的一半 1.会证：用菱形性质 & 判定完成线段相等、角相等、线垂直的严谨证明 2.会算：结合勾股定理、全等三角形，解决边长、对角线、面积计算 3.会转：把菱形问题转化为直角三角形 / 等腰三角形问题，巧加辅助线 4.会辨：避开 “对角线垂直的四边形是菱形” 等易错陷阱，区分性质与判定 1.基础题零失误：选择填空性质判定题、面积计算题全对 2.中档题稳拿分：菱形与全等、勾股结合的证明计算题，步骤规范不丢分 3.压轴题破难点：搞定菱形折叠、动点、最值、分类讨论综合题 4.规范答题不扣分：几何证明逻辑完整，书写严谨，杜绝步骤分丢失 题型01.利用菱形的性质求角度 题型02.利用菱形的性质求线段长 题想03.利用菱形的性质求面积 题型04.利用菱形的性质证明 题型05.补全条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07.由菱形的性质与判定求角度 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 题型09.由菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与折叠问题 题型11.菱形与动点问题 题型12.菱形与最值问题 定义（既是性质，也是判定） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 关键：定义是平行四边形 + 一组邻边相等。 核心性质・四字口诀速记（菱形超能力） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 判定定理・三招定菱形（满足其一即可） 判定 方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 特殊四边形对比表（一眼分清） 图形 边的特征 对角线特征 对称轴数量 平行四边形 对边平行且相等 互相平分 0 矩形 对边平行且相等 互相平分且相等 2（对边中点连线） 菱形 四边相等 互相垂直平分且平分对角 2（对角线） 正方形 四边相等 垂直平分且相等、平分对角 4 题型01.利用菱形的性质求角度. 1．如图，在菱形中，连接，过点作．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 3．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 题型02.利用菱形的性质求线段长 4．如图，菱形的对角线、相交于点，E为的中点，若，等于__________． 5．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为24，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D．4 6．如图，在菱形中，，，连接，点E是边上一点，连接，在边的上方取一点F，连接，延长交的延长线于点G，若，，则______． 题想03.利用菱形的性质求面积 7．已知菱形的对角线交于点，，，则菱形的面积为（   ） A．6 B．24 C．3 D．12 8．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点．若，，则菱形的面积为_______． 9．如图，菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，它们的面积分别为9 cm 2和64 cm 2，CD落在EF上，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是（    ） A．8 cm 2 B．8.5 cm 2 C．9 cm 2 D．9.5 cm 2 题型04.利用菱形的性质证明 10．如图，在菱形中，过点作，交对角线于点，若，则点到的距离是__________． 11．如图，在菱形中，的中垂线交对角线于点F，点E为垂足，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 12．如图， 在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点 F， E为垂足， 连接， 则等于 ________°． 题型05.补全条件使四边形是菱形 13．已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的（　　） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形 14．如图，在中，对角线相交于点，添加一个条件判定是菱形，所添加的条件为____________（写出一个即可） 15．在平行四边形中，对角线与相交于点．下列说法不能使平行四边形为菱形的是(    ) A． B． C． D． 题型06.证明四边形是菱形 16．小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的（如图所示）：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是__________形． 17．如图，已知，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点C，③分别连接，则四边形即为菱形，其依据是（   ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 18．如图，先将一张长方形的纸沿虚线对折，再对折，然后按图中虚线剪下，将剪下的纸①展开，就得到的图形是____________形． 题型07.由菱形的性质与判定求角度 19．小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 20．如图，是的角平分线，交于E，交于F，且交于O，则_____度．    21．如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 22．如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相连，用钉子钉成四边形，若，，则B、D两点间的距离为______． 23．如图，在平行四边形 中，对角线交 于 O，已知 ，， ，那么点 O 到的距离为_______ ． 24．如图所示是以所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形的各个内角相等，记四边形、四边形的周长分别为，且，已知，则的长是（    ） A．22 B．33 C．44 D．55 题型09.由菱形的性质与判定求面积 25．如图，在矩形中，、、、分别是四条边的中点，，，则四边形的面积为________．    26．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是____． 27．如图，在中，，．将沿折叠，使点A落在边的中点D处，点G、H、I分别为的中点，连接与相交于点M，与相交于点N，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型10.菱形与折叠问题 28．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 29．如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A． B． C． D． 30．如图，四边形为菱形，，在边上，将沿翻折得到，在直线上，作于点，若，则的长为_________． 题型11.菱形与动点问题 31．如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 32．如图，在菱形中，，，E、F分别为线段和线段上两动点，且满足，连接、，则的最小值为________． 33．如图，菱形的边长为2，，对角线交于点O．点E为直线上的一个动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），长度的最小值为______． 题型12.菱形与最值问题 34．如图，菱形的对角线交于点．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为___________． 35．如图，在四边形中，，，是对角线上的动点且，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D．6 36．如图，在菱形 中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点 ，作于点 ，则的值为（    ） A． B．5 C． D．6 解答题 1．如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． (1)求证：； (2)若，则的度数为__________． 2．综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 3．如图，已知菱形的对角线，的长分别为、，于点，求的长． 4．如图，在中，，分别是边，的中点，连接并延长到点，使，连接、、．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若,求四边形的面积 5．小美同学按如下步骤作四边形：第一步：画；第二步：以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；第三步：分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连接． (1)由以上作图可知，四边形的形状是___________； (2)若，求的大小． 6．如图，平行四边形中，、分别在、上，连接、交于点，连接交于点，四边形是矩形．连接，如果，求证： (1)； (2)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07菱形的性质与判定 知识目标 能力目标 应试目标 ✅ 吃透定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（既是性质也是判定） ✅ 牢记 4 大性质：四边相等、对边平行；对角相等、邻角互补；对角线互相垂直平分且平分一组对角；既是中心对称又是轴对称图形 ✅ 掌握 3 种判定：①一组邻边相等的平行四边形 ②对角线互相垂直的平行四边形 ③四条边都相等的四边形 ✅ 熟练计算：周长=边长×4；面积=底×高=对角线乘积的一半 1.会证：用菱形性质 & 判定完成线段相等、角相等、线垂直的严谨证明 2.会算：结合勾股定理、全等三角形，解决边长、对角线、面积计算 3.会转：把菱形问题转化为直角三角形 / 等腰三角形问题，巧加辅助线 4.会辨：避开 “对角线垂直的四边形是菱形” 等易错陷阱，区分性质与判定 1.基础题零失误：选择填空性质判定题、面积计算题全对 2.中档题稳拿分：菱形与全等、勾股结合的证明计算题，步骤规范不丢分 3.压轴题破难点：搞定菱形折叠、动点、最值、分类讨论综合题 4.规范答题不扣分：几何证明逻辑完整，书写严谨，杜绝步骤分丢失 题型01.利用菱形的性质求角度 题型02.利用菱形的性质求线段长 题想03.利用菱形的性质求面积 题型04.利用菱形的性质证明 题型05.补全条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07.由菱形的性质与判定求角度 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 题型09.由菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与折叠问题 题型11.菱形与动点问题 题型12.菱形与最值问题 定义（既是性质，也是判定） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 关键：定义是平行四边形 + 一组邻边相等。 核心性质・四字口诀速记（菱形超能力） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 判定定理・三招定菱形（满足其一即可） 判定 方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 特殊四边形对比表（一眼分清） 图形 边的特征 对角线特征 对称轴数量 平行四边形 对边平行且相等 互相平分 0 矩形 对边平行且相等 互相平分且相等 2（对边中点连线） 菱形 四边相等 互相垂直平分且平分对角 2（对角线） 正方形 四边相等 垂直平分且相等、平分对角 4 题型01.利用菱形的性质求角度. 1．如图，在菱形中，连接，过点作．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质．根据菱形的性质可得，推出，结合，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的每一条对角线平分一组对角，可求得，然后根据两直线平行同位角相等，据此即可解答． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型02.利用菱形的性质求线段长 4．如图，菱形的对角线、相交于点，E为的中点，若，等于__________． 【答案】10 【分析】由菱形的性质可证得 为直角三角形，由为的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，再由菱形的性质即可求得长度． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴为直角三角形． ∵点为线段的中点，， ∴， ∴． 5．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为24，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】由菱形的面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，在菱形中，，，连接，点E是边上一点，连接，在边的上方取一点F，连接，延长交的延长线于点G，若，，则______． 【答案】3 【分析】证明，得到，则，进一步证明，得到，设，则，过点作于点，则，求出，，在中，根据勾股定理列方程即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴都是等边三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 过点作于点，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 即． 题想03.利用菱形的性质求面积 7．已知菱形的对角线交于点，，，则菱形的面积为（   ） A．6 B．24 C．3 D．12 【答案】A 【分析】根据菱形面积等于对角线乘积的一半的性质，代入已知对角线长度计算即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点，，， ∴． 8．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点．若，，则菱形的面积为_______． 【答案】96 【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由勾股定理求得，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．如图，菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，它们的面积分别为9 cm 2和64 cm 2，CD落在EF上，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是（    ） A．8 cm 2 B．8.5 cm 2 C．9 cm 2 D．9.5 cm 2 【答案】B 【分析】先连接FH，求出，再将求的面积转化为求的面积即可． 【详解】解：如图，连接FH， ∵菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E， ∴， ∴， ∴， ∴和同底等高， ∴， ∵菱形ABCD面积为9 cm2，△BCF的面积为4cm2， ∴（cm2）， ∴（cm2）． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形性质及其应用，解决本题的关键是利用同底等高将求的面积转化为求的面积，考查了学生的分析和推理的能力，运用了转化的思想方法． 题型04.利用菱形的性质证明 10．如图，在菱形中，过点作，交对角线于点，若，则点到的距离是__________． 【答案】． 【分析】直接利用菱形的性质结合全等三角形的判定与性质得出 AE = CE ，即可得出答案． 【详解】 如图所示：连接 EC， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴BD 平分∠ABC ， AB = BC ， 在△ABE 和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE ( SAS )， ∴∠BAE =∠BCE =90°， 则 AE = CE =． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△ABE≌△CBE 是解题关键． 11．如图，在菱形中，的中垂线交对角线于点F，点E为垂足，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．设，由外角的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，可得，由可证，可得，列出方程可求解． 【详解】解：如图，连接，设， ， ， 四边形是菱形，的中垂线交对角线于点F， ，，． ， 垂直平分， ． ， . ，，， ． ． ． ． 故选：D． 12．如图， 在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点 F， E为垂足， 连接， 则等于 ________°． 【答案】15 【分析】连接，根据菱形性质得出，，，，根据线段垂直平分线得出，由等边对等角可得，求出，再利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，再根据三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：15． 【点睛】本题考查菱形的性质的应用，全等三角形判定和性质，线段垂直平分线性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，注意：菱形的四条边相等，菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角．理解和掌握菱形的性质是解题的关键． 题型05.补全条件使四边形是菱形 13．已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的（　　） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形 【答案】B 【分析】根据矩形、菱形的判定逐个判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形，故本选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， 又∵ ， ∴四边形是矩形，故本选项符合题意； C、∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是矩形，菱形的判定，熟记矩形，菱形的判定方法是解本题的关键． 14．如图，在中，对角线相交于点，添加一个条件判定是菱形，所添加的条件为____________（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，在四边形是平行四边形的前提下，可添加邻边相等、对角线相互垂直等；根据菱形的判定条件添加即可． 【详解】解：添加，则是菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 15．在平行四边形中，对角线与相交于点．下列说法不能使平行四边形为菱形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和特殊平行四边形的判定定理，逐一判断选项即可． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， 对于A，∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，， ∴平行四边形为菱形，A不符合要求； 对于B，∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，， ∴平行四边形为菱形，B不符合要求； 对于C，∵对角线相等的平行四边形是矩形，， ∴平行四边形为矩形，不一定是菱形，C符合要求； 对于D，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形，D不符合要求． 题型06.证明四边形是菱形 16．小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的（如图所示）：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是__________形． 【答案】菱 【分析】根据菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：由作图可知，AC＝BC＝AD＝BD， ∴四边形ADBC是菱形． 故答案为：菱． 【点睛】本题考查作图，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17．如图，已知，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点C，③分别连接，则四边形即为菱形，其依据是（   ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图和菱形的判定定理，理解并掌握菱形的判定定理是解题关键． 由作图过程可知，根据菱形的判定定理分析判断即可． 【详解】解：由作图过程可知，， 所以依据是“四条边相等的四边形是菱形”． 故选：A． 18．如图，先将一张长方形的纸沿虚线对折，再对折，然后按图中虚线剪下，将剪下的纸①展开，就得到的图形是____________形． 【答案】菱 【分析】此题考查了利用对称设计图案以及菱形的判定．根据题意知，对折实际上就是对称，对折两次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，据此可得到四边形为菱形． 【详解】解：由题意知，对折实际上就是对称，对折2次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，只有菱形满足这一条件． 故答案为：菱． 题型07.由菱形的性质与判定求角度 19．小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 20．如图，是的角平分线，交于E，交于F，且交于O，则_____度．    【答案】 【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出，故可得出为菱形，根据菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图：   ，， 四边形为平行四边形， ，， 是的角平分线， ， ， 为菱形． ，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是菱形的判定与性质，平行线性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，根据题意判断出四边形是菱形是解答此题的关键． 21．如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，由垂直平分，垂直平分，得，，则，，由平行四边形的性质得，，则，所以，则，而，可证明四边形是菱形，则，所以，则，由，且，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵是点B关于的对称点，是点D关于的对称点， 垂直平分，垂直平分， ，， ∵，都在对角线上， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ，且，， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 22．如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相连，用钉子钉成四边形，若，，则B、D两点间的距离为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，根据题意可证明四边形是菱形，则，再证明是等边三角形，得到，则，利用勾股定理求出，则． 【详解】解：如图所示，连接交于O， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．如图，在平行四边形 中，对角线交 于 O，已知 ，， ，那么点 O 到的距离为_______ ． 【答案】 【分析】过点作于点，根据平行四边形的性质求出，，根据勾股定理逆定理求出，即可判定四边形 是菱形，根据菱形的性质求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意知， ，， ∵ ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴平行四边形 是菱形， ∴， ∵， ∴， 即点 O 到的距离为． 24．如图所示是以所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形的各个内角相等，记四边形、四边形的周长分别为，且，已知，则的长是（    ） A．22 B．33 C．44 D．55 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及轴对称性质，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形．根据六边形的各个内角相等，即可得出，，都是等边三角形，由轴对称可得，四边形、四边形都是菱形，再根据，，即可得到． 【详解】解：∵六边形的各个内角相等， ∴该六边形的每个内角为，每个外角都是， ∴，，都是等边三角形， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，即， 又， ∴， 由轴对称可得，四边形、四边形都是菱形， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型09.由菱形的性质与判定求面积 25．如图，在矩形中，、、、分别是四条边的中点，，，则四边形的面积为________．    【答案】4 【分析】由四边形是矩形与、、、分别是四条边的中点，根据，易证得，则可得，根据由四条边都相等的四边形是菱形，即可证得四边形是菱形，又由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得四边形的面积． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 、、、分别是四条边的中点， ，， ， ， 四边形是菱形， ，， 四边形的面积为：． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质与矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质．题目难度不大，注意四条边都相等的四边形是菱形与菱形的面积等于其对角线积的一半． 26．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是____． 【答案】 【分析】此题主要考查了菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．过点B作于点E，过点D作于点F，依题意得，则四边形是平行四边形，根据蓝丝带宽为得，再根据等腰直角三角形勾股定理，进而得平行四边形是菱形，然后根据菱形的面积公式即可得出重叠部分图形的面积． 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示： 依题意得：， 四边形是平行四边形， 蓝丝带宽为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ， 平行四边形是菱形， 重叠部分图形的面积是：， 故答案为：． 27．如图，在中，，．将沿折叠，使点A落在边的中点D处，点G、H、I分别为的中点，连接与相交于点M，与相交于点N，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先证明，得出四边形是菱形，通过角和边的换算，得出点和点分别是的中点，得证点是的中点，点是的中点，根据等底同高得出，再结合菱形面积等于对角线乘积的一半，即可作答． 【详解】解：如图：连接 ∵，． ∴是等腰直角三角形 则 ∵将沿折叠，使点A落在边的中点D处 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 则， ∵I为的中点 ∴三点共线 ∵点G、H分别为的中点，点D在边的中点处 ∴分别是的中位线 ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 同理得 ∴四边形是菱形 则连接，分别交于点，连接 ∵折叠 ∴ ∴ ∵ ∴都是等腰直角三角形 ∴ ∴点和点分别是的中点 则 则 则 ∵点G、H、I分别为的中点 ∴ 则 则是平行四边形 则点是的中点 同理得点是的中点 则 ∴四边形的面积为菱形的面积一半 ∵，． ∴ 则， 则， ∴菱形的面积， ∴四边形的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，中位线，等腰直角三角形的性质，折叠性质，勾股定理等内容，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型10.菱形与折叠问题 28．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵垂直平分， ∴平分， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴． 故答案为：． 29．如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形，菱形的性质，根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处， ∴垂直平分， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 30．如图，四边形为菱形，，在边上，将沿翻折得到，在直线上，作于点，若，则的长为_________． 【答案】 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，菱形的性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 连接交于点，交于点，由菱形性质得，由翻折性质得，，，则，进而得，证明，继而依据“”判定和全等得，则，由此可得的长． 【详解】解：连接交于点，交于点，如图所示： 四边形是菱形，， ，，， 由翻折性质得：， ， ， ， ，， ， 在中，， 在中，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型11.菱形与动点问题 31．如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、垂线段最短，过点作，当点与点重合时，的值最小，根据菱形的性质可以求出，利用三角形的面积公式可得，从而可以求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作， 当点与点重合时，的值最小， 四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 的最小值为． 故选：C． 32．如图，在菱形中，，，E、F分别为线段和线段上两动点，且满足，连接、，则的最小值为________． 【答案】 【分析】过点C作，且，连接，设交于点O，由菱形的性质得到，则可证明，设，则，由勾股定理得，解方程可推出；证明，得到，则可推出当A、F、G三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作，且，连接，设交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、F、G三点共线时，有最小值，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为． 33．如图，菱形的边长为2，，对角线交于点O．点E为直线上的一个动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），长度的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 连接，作，由旋转的性质可得，把求的最小值转化为求的最小值，再根据垂线段最短可得答案． 【详解】解：连接，作交的延长线于H， ∵在菱形中，， ∴． ∵， ∴， ∴， 由旋转可得：， 在和中， ， ∴， ∴， 即求的最小值转化为求的最小值． ∵在中，， ∴， ∵菱形的边长为2， ∴， ∴， ∴， 当E与H重合时，最小值是， ∴的最小值是． 故答案为：． 题型12.菱形与最值问题 34．如图，菱形的对角线交于点．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】连接，由菱形的性质得出，，，由勾股定理求得，易证四边形为矩形，可得，即当最小时，的值最小，由垂线段最短可得，当时，此时的值最小，再由等面积法计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，的值最小， ∴当时，此时的值最小，的值最小， 此时， ∴， ∴的最小值为． 35．如图，在四边形中，，，是对角线上的动点且，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称的最短路线问题，包括菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接交于，以为邻边作平行四边形，则，故，据此计算即可得到答案． 【详解】解：连接交于，以为邻边作平行四边形， ， ， 故的最小值为， 菱形，，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，平行四边形， ∴， ∴， 则的最小值为， 故选：A． 36．如图，在菱形 中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点 ，作于点 ，则的值为（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，解题关键是掌握菱形的性质．先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 解答题 1．如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． (1)求证：； (2)若，则的度数为__________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是关键． （1）由菱形的性质可得，，结合，，可证明，则； （2）由三角形内角和定理可得，结合，则．根据菱形的邻角互补的性质可得，作差求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 2．综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)的长度为或 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）过点作交于点，利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，可得出最后的结果． 【详解】（1）解：连接，如下图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵为菱形的角平分线， ∴， 故与为等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 连接，如下图所示： 由（1）中，同理可得与为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （3）解：过点作交于点，按题意补充线段，连接，当点在点左侧时，如下图所示： 由（1）（2）得，为中点， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 故， ∴； 当点在点右侧时，如下图所示： 同理可得， 故， ∴； 综上，的长度为或． 3．如图，已知菱形的对角线，的长分别为、，于点，求的长． 【答案】 【分析】利用菱形对角线性质求边长，再通过面积法列方程求高． 【详解】解：∵四边形是菱形， ，，， ， ， ，即， 解得． 4．如图，在中，，分别是边，的中点，连接并延长到点，使，连接、、．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若,求四边形的面积 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由是的中点可得，再由可得到四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得证； （2）根据勾股定理求出，利用三角形中位线定理求出，再由菱形的性质进行计算即可． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 为的中点，， ， 四边形是菱形； （2）解： ，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵分别是边，的中点， ∴ ∴， ∴菱形的面积 5．小美同学按如下步骤作四边形：第一步：画；第二步：以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；第三步：分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连接． (1)由以上作图可知，四边形的形状是___________； (2)若，求的大小． 【答案】(1)菱形 (2) 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，正确理解作图是解题的关键． （1）根据四边形相等的四边形是菱形即可证明； （2）根据菱得到，由平行得到，再由邻补角即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 证明：由作图可得， ∴四边形是菱形， （2）解：四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，平行四边形中，、分别在、上，连接、交于点，连接交于点，四边形是矩形．连接，如果，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，证明四边形及都是平行四边形，得出，即可得出； （2）先证明四边形为平行四边形，根据四边形是矩形，得出，证明四边形是菱形，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 四边形是矩形， ，即， 又， ∴， 四边形及都是平行四边形， ， ； （2）证明：由（1）得，E为中点， 四边形是平行四边形， ， ， ， 同理可得F为中点， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形是矩形， ，即， 四边形是菱形， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $