10.5 专题：带电粒子在电场中的周期性运动问题 重难点突破专项训练 -2025-2026学年高二上学期物理人教版必修第三册

场中的周期性运动问题 ﹣高中物理必修三重难点突破 素养目标 1.能根据 由电压的变化判断场强大小和方向的变化； 2.能对周期性变化电场中的带电粒子进行受力分析，并判断其加速度以及速度的变化情况； 3.能综合运用所学知识解决带电粒子在电场中的周期性运动问题。 知识梳理 如图1甲是静止在电容器两极板间的带正电粒子，若在两极板间加上如图1乙所示的周期性变化的电压UAB，则极板间的场强及带电粒子受到的电场力都会发生相应的周期性变化，带电粒子的运动也会发生周期性变化。以下是两种典型的情况，其余情况可自行分析判断。 1.若从t=0时刻开始，在两极板间加上如图1乙所示电压，则一个周期内带正电粒子(不计重力)受到的电场力、加速度及速度变化情况如图1丙所示(规定向右为正方向)： 2.若从 t=0时刻开始，在两极板间加上如图1丁所示电压，则一个周期内带正电粒子(不计重力)受到的电场力、加速度及速度变化情况如图1戊所示(规定向右为正方向)： 一、单选题 1．如图1所示，在两平行金属板中央有一个静止的电子（不计重力），当两板间的电压分别如图2中甲、乙、丙、丁所示时，电子在板间运动（假设不与板相碰），下列说法正确的是（　　） A．电压是甲图时，在0~T时间内，电子的电势能一直减少 B．电压是乙图时，在0~时间内，电子的电势能先增加后减少 C．电压是丙图时，电子在板间做往复运动 D．电压是丁图时，电子在板间做往复运动 2．如图所示为匀强电场的电场强度随时间变化的图象．当时，在此匀强电场中由静止释放一个带电粒子，设带电粒子只受电场力的作用，则下列说法中正确的是    A．带电粒子将始终向同一个方向运动 B．内，电场力做的总功为零 C．末带电粒子回到原出发点 D．内，电场力做的总功为零 3．如图甲所示，在两距离足够大的平行金属板中央有一个静止的质子（不计重力），时刻，板电势高于板电势，当两板间加上如图乙所示的交变电压后，下列图象中能正确反映质子速度、位移、加速度和动能四个物理量随时间变化规律的是（　　） A． B． C． D． 4．将如图所示的交变电压加在平行板电容器A、B两板上，开始B板电势比A板电势高，这时有一个原来静止的电子正处在两板的中间，它在电场力作用下开始运动，设A、B两极板间的距离足够大，下列说法正确的是(　　) A．电子一直向着A板运动 B．电子一直向着B板运动 C．电子先向A板运动，然后返回向B板运动，之后在A、B两板间做周期性往复运动 D．电子先向B板运动，然后返回向A板运动，之后在A、B两板间做周期性往复运动 5．在真空中有水平放置的两个平行、正对金属平板，板长为l，两板间距离为d，在两极板间加一交变电压如图乙，质量为m，电荷量为e的电子以速度v从两极板左端中点沿水平方向连续均匀地射入两平行板之间。若电子经过两极板间的时间相比交变电流的周期可忽略不计，不考虑电子间的相互作用，说法错误的是（　　） A．当时，所有电子都能从极板的右端射出 B．当时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为1:2 C．当时，有电子能从极板的右端射出 D．当时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为 二、多选题 6．如图甲为两水平金属板，在两板间加上周期为T的交变电压u，电压u随时间t变化的图线如图乙所示。质量为m、重力不计的带电粒子以初速度沿中线射入两板间，经时间T从两板间飞出。下列关于粒子运动的描述错误的是（　　） A．时入射的粒子，离开电场时偏离中线的距离最大 B．时入射的粒子，离开电场时偏离中线的距离最大 C．只有初始时刻入射的粒子，离开电场时的速度方向才水平 D．无论哪个时刻入射的粒子，离开电场时的速度大小都相等 7．如图为范围足够大的匀强电场的电场强度E随时间t变化的关系图像。当t=0时，在此匀强电场中由静止释放一个带电粒子，设带电粒子只受电场力的作用，则下列说法中正确的是（　　） A．粒子将做往返运动，6s末带电粒子回到原出发点 B．粒子在0~2s内的加速度与在2~4s内的加速度等大反向 C．粒子在4s末的速度为零 D．粒子在0~6s内，所受电场力做的总功为零 三、解答题 8．在金属板A、B间加上如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压U0，其周期是T．现有电子以平行于金属板的速度v0从两板中央射入（如图甲）．已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力，求： （1）若电子从t=0时刻射入，在半个周期内恰好能从A板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小． （2）若电子从t=0时刻射入，恰能平行于金属板飞出，则金属板至少多长？ 9．如图甲所示，多级直线加速器由8个横截面积相同且共轴的金属圆筒依次水平排列组成，各金属圆筒依序接在交变电源的两极A、B上，交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。时刻，序号为0的金属圆板中央的点状电子源无初速度释放一电子，该电子进入圆筒间隙被加速，经过8个圆筒后水平飞出。已知电子质量为、电荷量大小为，交变电压的绝对值为，周期为。电子通过圆筒间隙的时间不计，不计电子重力及电子间的相互作用力，忽略相对论效应、极板边缘效应等其他因素的影响。 (1)求电子在第一次被加速后的速度； (2)求第8个圆筒的长度。 10．离子被高能加速后轰击重金属靶时，会产生射线，可用于放射治疗。如图甲为直线加速器的一部分及偏转电场的立体图。、接在电压大小为、周期为的交变电源上，交变电压如图乙。在时，位于序号为0的金属圆板中央的一个带正电的离子，通过圆板0和圆筒1之间的电场由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒1。离子在金属圆筒内做匀速运动且时间均为，在金属圆筒之间的狭缝被电场加速，加速时间忽略不计，离开第5个圆筒后从M、N两个极板的正中央水平射入偏转电场。已知M、N两个极板的长度为、距离为，离子质量为、电量为，不考虑离子的重力。 (1)求离子从第1个圆筒射出时的速度大小； (2)求圆筒的长度与它序号之间的定量关系； (3)要使离子打不到极板上，求M、N两板间所加电压的取值范围。 11．如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器板长和板间距离均为L=10cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L=10cm，在电容器两极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图像如图乙所示。(每个电子穿过平行板的时间都极短，可以认为电压是不变的)求： （1）在t=0.06s时刻进入电容器的电子打在荧光屏上的何处； （2）荧光屏上有电子打到的区间有多长。 12．如图甲所示，质量为m，电荷量为-q（q>0）的电子由电子枪连续发出，初速可忽略不计，经U的电压加速后，沿中心线垂直进入偏转电场，两极板长为L，间距为d。足够大的荧光屏中心为O，离极板距离为l。不计电子重力及电子间相互作用，整个装置置于真空中。 （1）若偏转电压U2恒定，电子能射出平行板，求U的最大值U2max； （2）若偏转电压U2随时间变化规律如图乙所示，其最大值为U0（U0<U2max），变化周期为T。求电子打在荧光屏上的位置范围。（U2的变化周期T远远大于粒子穿越电场的时间） 13．用磁聚焦法测量比荷是一种常用方法。如图甲所示，在真空玻璃管中装有热阴极K和带有小孔的阳极A，在A、K之间加上电压后，连续不断地有电子从阴极K由静止加速到达阳极A，电子从小孔射出后沿水平中心轴线进入平行板电容器，两板间距及板长均为L，电容器两极板间所加电压u随时间t变化的关系如图乙所示。两极板右侧有一足够大的荧光屏，荧光屏与中心轴线垂直，且与两极板右端的距离为z（未知），在荧光屏上，以垂足为坐标原点建立xOy平面直角坐标系，其中y轴垂直于电容器极板。两极板与荧光屏间有一水平向右的匀强磁场，磁感应强度为B。已知电子在两极板间运动的时间极短，电子的电量为e，质量为m，不计电子重力和电子间的相互作用。 （1）求电子射出两极板时偏离中心轴线的最大位移； （2）判断在荧光屏上形成的亮斑形状（不要求推导过程）； （3）若z可以取任意值，求荧光屏上亮斑形状（如长度或面积）的最大值； （4）若，求荧光屏上的亮斑距y轴最远的点的坐标。 14．如图1，在真空中足够大的绝缘水平地面上，一个质量为 m=0.2kg，带电量为q=+2.0×10-6 C的小物块处于静止状态，小物块与地面间的动摩擦因数μ=0.1。从t=0时刻开始，空间加上一个如图2所示的场强大小和方向呈周期性变化的电场（电场为负表示电电场方向与正方向相反），（取水平向右的方向为正方向， g取10m/s2。）求： (1)前2秒内物块的加速度大小； (2)前4秒内小物块的位移大小； (3)23秒内电场力对小物块所做的功。 15．如图甲，整个空间存在水平向左的匀强电场，场强大小。不带电的绝缘长木板A静止在粗糙水平地面上，其左端固定一劲度系数的轻弹簧，A与地面间的动摩擦因数。带正电的小物块B从A的右端与弹簧距离处由静止释放，从B释放开始计时，其速度随时间变化的关系图像如图乙，图中时间内图线为直线，时刻速度最大，时刻曲线的斜率绝对值最大，时刻速度恰为0。已知A和B的质量均为，A与B之间接触面光滑，B的电荷量大小，弹簧始终在弹性限度内，弹性势能与形变量的关系为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小。 (1)求B从释放到刚与弹簧接触的时间； (2)求时刻B的速度大小及时刻A的速度大小； (3)求时刻弹簧的压缩量。 16．如图所示，板长L=30cm的两金属板A、B平行正对，板间距离d=2cm，A、B接交流电源。持续均匀的电子束以速度沿着A板射入电场，若电子与金属板接触将被吸收，但对板间电压的影响可忽略。已知电子质量，电子电量C。求： （1）交流电源的周期和电子穿过板间的时间； （2）电子从B板边缘飞出电场时的板间电压； （3）求飞出电场的电子占飞入电场的电子的百分比。 17．如图所示，真空室中速度v0＝1.6×107 m/s的电子束，连续地沿两水平金属板中心线OO′射入，已知极板长l＝4 cm，板间距离d＝1 cm，板右端距离荧光屏PQ为L＝18 cm．电子电荷量q＝－1． 6×10－19 C，质量m＝0． 91×10－30 kg．若在电极ab上加u＝220sin 100πt V的交变电压，在荧光屏的竖直坐标轴y上能观测到多长的线段？（设极板间的电场是均匀的，两板外无电场，荧光屏足够大） 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 《10.10 带电粒子在电场中的周期性运动问题﹣高中物理必修三重难点突破》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D D C D B BC AD 1．D 【详解】A．若电压是甲图，0~T时间内，电场力先向左后向右，则电子先向左做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，即电场力先做正功后做负功，电势能先减少后增加，故A错误； B．电压是乙图时，在0~时间内，电子向右先加速后减速，即电场力先做正功后做负功，电势能先减少后增加，故B错误； C．电压是丙图时，电子先向左做加速度先增大后减小的加速运动，过了后做加速度先增大后减小的减速运动，到T时速度减为0，之后重复前面的运动，故电子一直朝同一方向运动，故C错误； D．电压是丁图时，电子先向左加速，到后向左减速，后向右加速，后向右减速，T时速度减为零，之后重复前面的运动，故电子做往复运动，故D正确。 故选D。 2．D 【详解】AC．因内粒子向正方向运动的加速度 在内粒子运动的加速度 则在时刻速度减为零，然后反向运动画出带电粒子速度随时间变化的图象如图所示   图线与时间轴所围“面积”表示位移，可见带电粒子不是只向一个方向运动，4s末带电粒子不能回到原出发点，故AC错误 B．2s末速度不为，可见0~2s内电场力做的功不等于，故B错误 D．2.5s末和4s末，速度的大小、方向都相同，则内，动能变化为零，电场力做功等于，故D正确。 故选D。 3．C 【详解】A、质子在电场中的加速度 即加速度与金属板间电压成正比，故图象应与图相似，A错误； B、时间内，质子在金属板间做匀加速直线运动，由 知质子的位移与时间成二次函数关系，图象应该为抛物线，B错误； C、由图乙可知，在时间内，质子做初速度为零的匀加速直线运动，在时间内，加速度方向相反，大小不变，故质子先做匀减速直线运动，减速为零后以相同的加速度反向匀加速；同理，C正确； D、由于 故动能与时间为二次函数关系，图象应该为抛物线，D错误。 故选C。 4．D 【详解】根据交变电压的变化规律，可确定电子所受电场力的变化规律，从而作出电子的加速度、速度随时间变化的图线，如图所示，从图中可知，电子在第一个内做匀加速运动，第二个内做匀减速运动，在这半个周期内，因初始B板电势高于A板电势，所以电子向B板运动，加速度大小为。在第三个内做匀加速运动，第四个内做匀减速运动，但在这半个周期内运动方向与前半个周期相反，向A板运动，加速度大小为，所以，电子做往复运动，综上分析正确选项为D． 5．B 【详解】两板间电压为Um时，由牛顿第二定律可得 电子做类平抛运动，在水平方向上 在竖直方向上 联立可得，当 时，即电子恰好从极板边缘飞出，此时 A．当时，所有电子都能从极板的右端射出，A正确不符合题意； B．当 时，一个周期内有的时间电压低于临界电压，因此有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为1：1，B错误符合题意 C．当 时，有部分电子能从极板的右端射出，C正确不符合题意； D．当 时，一个周期内有的时间电压低于临界电压，因此有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为，D正确不符合题意； 故选B。 6．BC 【详解】AB．因为水平方向粒子的速度v0保持不变，当t=0时入射，在时竖直方向速度达到最大，当t=T时速度恰好减小为0，因此离开电场时偏离中线的距离最大。时入射的粒子，在一个周期经历竖直加速、竖直减速、反向加速、反向减速，从中心线射出，故A正确，B错误； CD．无论哪个时刻入射的粒子，在一个时间周期T内，正向电压和反向电压的时间是相同的，所以在竖直方向上电场力的冲量为零，所以离开电场时的速度方向都是水平的，离开电场时的速度大小都相等，故C错误，D正确； 本题选择错误的，故选BC。 7．AD 【详解】B．根据图像及可知，粒子在内受到的电场力是在内受到电场力的两倍，则粒子在内的加速度是在内加速度的两倍，故B错误； ACD．由图像可知，粒子在内做匀加速直线运动，2s后粒子做加速度加倍的匀减速直线运动，在3s末，粒子速度减为0，此时带电粒子离出发点最远；接着在内反向做匀加速直线运动，做匀减速直线运动，根据对称性可知，在6s末粒子刚好回到出发点，且速度为零；所以粒子将做往返运动。且内粒子的初末位置相同，则根据可知，电场力做功为零，故AD正确，C错误。 故选AD。 8．（1） （2） 【分析】（1）电子在半个周期内恰好能从A板的边缘飞出，在此过程中只有电场力做功，根据动能定理即可求出电子飞出时的速度． （2）若电子从t=0时刻射入，恰能平行于金属板飞出，说明电子在竖直方向前半周期做匀加速直线运动，后半周期做匀减速直线运动，到电子飞出电场最少用时为T； 【详解】（1）电子飞出过程中只有电场力做功，根据动能定理得： 解得： （2）若电子恰能平行于金属板飞出，说明电子在竖直方向前半周期做匀加速直线运动，后半周期做匀减速直线运动，到电子飞出电场最少用时为T；则电子水平方向做匀速直线运动：L=v0T 9．(1) (2) 【详解】（1）电子加速过程由动能定理有 解得 （2）电子在圆筒中做匀速直线运动，有 电子经过8次加速后，有 解得 10．(1) (2)，为小于6的正整数 (3) 【详解】（1）由动能定理得 解得离子从第1个圆筒射出时的速度大小 （2）离子从开始到第个圆筒的过程，由动能定理得 离子到达第个圆筒的速度 第个圆筒的长度 为小于6的正整数 （3）离子在M、N两板间做类平抛运动，离开第5个圆筒后的速度 假设粒子恰好能从极板间射出偏转电场，则水平方向 竖直方向 联立解得 则M、N两板间所加电压的取值范围为 11．（1）打在屏上的点位于O点上方，距O点13.5cm；（2）30cm 【详解】（1）电子经电场加速，根据动能定理可得 经电场偏转后侧移量为 又 ， 联立可得 由题图知t＝0.0 s时刻，，则有 设打在屏上的点距O点的距离为Y，根据几何关系可得 解得 即打在屏上的点位于O点上方，距O点13.5cm。 （2）由题知电子侧移量y的最大值为，此时有 可知对应的，所以当偏转电压超过，电子就打不到荧光屏上了，则有 可得 所以荧光屏上电子能打到的区间长为 12．（1）；（2）位置范围为О点上下方各 【详解】（1）对电子，加速有 偏转有 能出射 解得 （2）当时，出偏转场后匀速 解得 位置范围为О点上下方各 13．（1）；（2）形成的亮斑是一条线段（或直线）；（3）；（4）， 【详解】（1）电子在电场中加速度，由动能定理     得       在两极板间运动时，有                 解得      （2）形成的亮斑是一条线段（或直线）。 （3）粒子飞出两极板时      此后，粒子沿着中心轴线方向做匀速运动，在xOy平面上以vy的速度做匀速圆周运动      解得       可得 可知θ为定值，即不同位置出射的粒子的圆心在同一条线上。 随着z的取值不同，形成的亮斑一直是一条直线，且在旋转。如图所示 所以亮斑的最大长度为       又       故       （4）电子在xOy平面上的投影为圆周运动，电子在磁场中的运动时间为       电子旋转的角速度为     偏离中心轴线最大位移处进入水平磁场的电子打在荧光屏上距y轴最远，即       14．(1) (2) (3) 【详解】（1）0～2s内根据牛顿第二定律可得 解得物块加速度大小 （2）0～2s内物块做初速度为零的匀加速运动，2s末物块的速度大小 0～2s内物块的位移大小为 2～4s内物块做匀减速运动，由牛顿第二定律可得加速度大小 第4s末物块的速度大小 2～4s内物块的位移大小为 前4秒内小物块的位移大小 （3）小物块做周期为4s的匀加速和匀减速运动，第22s末小物块的速度为 第23秒内位移大小为 前23s内加速的位移大小为 前23s内减速的位移大小为 23秒内电场力对小物块所做的功 15．(1) (2) (3) 【详解】（1）对B，根据牛顿第二定律有 又根据位移-时间公式得 解得 （2）t2时刻B的速度最大，其合力为零，即 根据能量守恒定律得 解得， 可得 最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A受到地面的最大静摩擦力大小 由于弹簧弹力和A受到地面的最大静摩擦力大小相等，故时刻A恰好开始运动。 由于B受到的电场力和A受到地面的最大静摩擦力大小相等，在时间内，A、B组成的系统受到的合外力为零，系统动量守恒得 时刻B速度恰为0，即 解得 （3）时刻弹簧的压缩量最大，A、B的速度相同为，在时间内，根据动量守恒定律得 解得 又有时间内，A位移为，B位移为，时刻弹簧的压缩量为，则 根据能量守恒定律得 解得 16．（1）0.02s，；（2）45.5V；（3）16.7% 【详解】（1）交流电源电压的变化周期 电子沿着极板的分速度不变，穿过板间的时间 （2）穿过板间的时间远远小于交流电源电压的变化周期，可以认为电子经过时两板之间为匀强电场，又有 电子从B板边缘飞出电场，所以 求得 （3）电子有半个周期向上偏转，被金属板A吸收，另外半个周期内部分电子能飞出电场 由于 ， 所以这半个周期内有时间内有电子飞出电场总的而言，有的电子飞出电场，占比16.7%。 17．10 cm 【详解】因为经过偏移电场的时间为 而交变电压的周期 故可以认为进入偏转电场的电子均以当时所加电压形成的匀强电场运动． 横向位移 加速度 所以电子能够打在荧光屏上最大竖直偏转电压为 当时 因为 偏转量 故y轴上的观测到的长度为 答案第10页，共10页 答案第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $