精品解析：甘肃平凉市静宁县文萃中学2025-2026学年度第二学期第一次月考高二数学试题

文萃中学2025~2026学年度第二学期第一次月考 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，请将答题卡上交． 4.本卷主要命题范围：湘教版选择性必修第二册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在区间上的平均变化率是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 2. 已知一质点的运动方程为，其中s的单位为米，t的单位为秒，则第2秒末的瞬时速度为（ ） A. 1m/s B. 4m/s C. m/s D. m/s 3. 已知函数，则（ ） A. 2 B. -2 C. -4 D. 4 4. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的极大值为（ ） A. B. 0 C. e D. 1 6. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的横坐标为（ ） A. B. C. 2 D. 1 7. 已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知存在实数a，b，使得函数在区间上的值域与函数在区间上的值域相同，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数在定义域内不是单调函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若函数恰有两个零点，则c可以为（ ） A. B. 6 C. 4 D. 2 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在极小值 B. C. 当时， D. 若函数有且仅有两个零点，则且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则__________. 13. 已知，其中是其导函数，则__________. 14. 已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）． 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）求函数在上的最值. 17. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求函数的解析式； （2）求函数图象上的点到直线的距离的最小值. 18. 已知函数 （1）若，求函数的单调区间; （2）证明：函数至多有一个零点. 19. 已知函数，为的导函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：； （3）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文萃中学2025~2026学年度第二学期第一次月考 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，请将答题卡上交． 4.本卷主要命题范围：湘教版选择性必修第二册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在区间上的平均变化率是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的计算公式求得正确答案. 【详解】函数在区间上的平均变化率是. 2. 已知一质点的运动方程为，其中s的单位为米，t的单位为秒，则第2秒末的瞬时速度为（ ） A. 1m/s B. 4m/s C. m/s D. m/s 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的概念求解 【详解】由题意得，故质点在第2秒末的瞬时速度为m/s 故选：C 3. 已知函数，则（ ） A. 2 B. -2 C. -4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本函数的求导公式以及求导法则可得，即可根据导数的定义求解. 【详解】由题意知，所以，所以. 故选:B. 4. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数值直接构造方程求解即可. 【详解】，，解得：. 故选：A. 5. 函数的极大值为（ ） A. B. 0 C. e D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】求导，令，，可求得极大值. 【详解】因为，令，得时；令，得， 所以当时，函数取得极大值． 故选：D. 6. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的横坐标为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】设点，根据题意可得，从而求得. 【详解】设，点，则， 由在点处的切线与直线垂直可得， 即，又，. 故选：D 7. 已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得到函数单调性，结合得到，由函数单调性得到，故，从而得到，得到答案. 【详解】在上恒成立， 故在上单调递增， 因为，故，所以，故， 所以， 当时，， 故，，则， 故， 综上，，A正确. 故选：A 8. 已知存在实数a，b，使得函数在区间上的值域与函数在区间上的值域相同，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，将问题转化为关于x的方程有两个不相等的实数根问题，然后分离参数，构造函数，求导得到其值域，即可得到结果. 【详解】由，可得函数单调递增， 又由函数单调递增，有， 即关于x的方程有两个不相等的实数根， 可化为．令， 有， 可得函数的增区间为，减区间为． 又由，，当时，， 故若函数的图象与直线有两个交点， 则实数m的取值范围为． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数在定义域内不是单调函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对各选项中函数求导，根据导数可判断其单调性可得. 【详解】A中：，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故A满足； B中：令，得，易知时函数单调递减，时函数单调递增，B满足； C中：令，得，易知时函数单调递减，时函数单调递增，C满足； D中：恒成立，故在R上单调递减. 故选：ABC 10. 已知函数，若函数恰有两个零点，则c可以为（ ） A. B. 6 C. 4 D. 2 【答案】AC 【解析】 【分析】求导可得函数的单调区间，进而求得极小值与极大值，根据函数恰有两个零点，可得满足的条件，求解即可. 【详解】或， 在和上单调递增，在上单调递减， ， 由函数恰有两个零点，可得且或且， 解得或．即实数c的值是或4． 故选：AC. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在极小值 B. C. 当时， D. 若函数有且仅有两个零点，则且 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，再利用导数求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可判断A；根据函数的单调性即可判断B；根据指数函数的性质即可判断CD. 【详解】， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 故函数在处取得极小值，也是最小值，没有极大值，A正确； 当时，函数单调递增，且，所以，B错误： 当时，，易知C正确； 由得，若函数有两个零点，只需且，D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】求导函数即可得出结果． 【详解】，则 故答案为： 13. 已知，其中是其导函数，则__________. 【答案】0 【解析】 【详解】因为， 所以， 所以． 14. 已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知关系式可构造函数，可知在上单调递增，将所求不等式转化为，利用单调性可解不等式求得结果. 【详解】令，则，所以在上单调递增， 由，得，即， 又在上单调递增，所以，解得. 所以不等式的解集是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：此类问题要结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而解不等式即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，结合简单复合函数的导数法则即可求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 令，则， 所以； 【小问3详解】 ． 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为；极大值为32，极小值为0 （2）最大值为32，最小值为0 【解析】 【分析】（1）根据导函数的正负可确定的单调区间；根据单调性可知极大值为，极小值为，代入求得结果； （2）根据（1）可得极大值和极小值，再求端点值对应函数值，可得最大值和最小值. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 令，解得或. 当或时，；当时，， 所以函数的单调递增区间为：，； 单调递减区间为：； 当时，函数取极大值，且极大值为； 当时，函数取极小值，且极小值为； 【小问2详解】 由（1）知，在区间上， 当时，函数有极大值，且极大值为； 当时，函数取极小值，且极小值为； 又因为，. 所以函数在区间上的最大值为32，最小值为0. 17. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求函数的解析式； （2）求函数图象上的点到直线的距离的最小值. 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）利用切点在切线和曲线上，以及切点处的导数等于切线斜率可得； （2）构造函数，结合零点存在性定理判断两个函数图象有交点，然后可知.. 【小问1详解】 由，可得， ∴，∴，又，故，， 可知函数的解析式为. 【小问2详解】 记函数，因为，，且的图象在区间上连续，故在区间上有零点，即直线与函数的图象有交点，所以函数图象上的点到直线的距离的最小值为0. 18. 已知函数 （1）若，求函数的单调区间; （2）证明：函数至多有一个零点. 【答案】（1）在，上单调递增，在上单调递减 （2）证明: ，由于，所以等价于 设， 则，当且仅当或时，，所以在上单调递增， 故至多有一个零点，从而至多有一个零点. 【解析】 【分析】（1）直接求导后判断单调性即可； （2）先变形得到，构造函数，求导后说明单调性即可证明. 【小问1详解】 当时，，. 令，解得或， 当时，；当时，， 故 在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略. 19. 已知函数，为的导函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）在单调递减； （2） 令， 则对，， 所以在单调递减， 所以，即， 因为，所以， 即得证. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导函数符号判断单调性； （2）构造函数，证明，再证明； （3）令，结合（1）中结论，讨论满足不等式的的取值范围. 【小问1详解】 由题，， 令， 则对，， 所以在单调递减，即在单调递减. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 令，则， 若，则. 因为，由（1）在单调递减， 可知在单调递减，所以， 若，因为，时，， 所以，. 所以当时，，单调递增， 所以，矛盾； 若，则由在单调递减，可得， 所以在单调递减，，满足条件. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $