专题07菱形的性质与判定专项训练(12大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题07菱形的性质与判定专项训练 题型01.利用菱形的性质求角度 题型02.利用菱形的性质求线段长 题想03.利用菱形的性质求面积 题型04.利用菱形的性质证明 题型05.补全条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07.由菱形的性质与判定求角度 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 题型09.由菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与折叠问题 题型11.菱形与动点问题 题型12.菱形与最值问题 题型01.利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，对角线相交于点，点在边上，且，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，由可得，设，再由，即可解答． 【详解】解：在菱形中，对角线、相交于点， ， ， ， 设， ∵ ，， ， ， ， ， ∴． 2．如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 【答案】/28度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，从而得到，再由得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ∵点为的中点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质可得，，，证明并结合线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．如图，是菱形的对角线，点E在边上，连接，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据菱形的性质可知，，因为，则可求，进而可求． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型02.利用菱形的性质求线段长 5．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 6．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，对角线相交于点，为的中点，且，则菱形的周长为___________． 【答案】48 【分析】先中位线定理求得，菱形的周长为边长的4倍求解即可． 【详解】解：菱形对角线相交于点， 故 由为的中点，且， ， 故菱形的周长为． 7．如图，菱形和中，，，是的中点，在的延长线上，，分别是，上的动点，且，，分别是，的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点，根据菱形的性质，证明，可得，，结合已知可得点和点重合，由菱形的性质，结合，可得是等边三角形，是等边三角形，可得，以及的长度，连接，由菱形的性质，结合等腰三角形的性质，可得，由平行线的性质可得，从而可得，可得，以及的长度，由勾股定理可得，根据勾股定理可得的长． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴点和点重合， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，在的延长线上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 连接， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形，勾股定理． 8．如图，在边长为10的菱形中，对角线，对角线，相交于点G，点O是直线上的动点，于E，于F． (1)求对角线的长及菱形的面积． (2)如图①，当点O在对角线上运动时，的值是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1)12，96 (2)不发生变化，9.6 【分析】（1）连接与相交于点，根据菱形的对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据计算即可得解；再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解； （2）连接，根据列式计算即可得解． 【详解】（1）解：在菱形中，，，， 由勾股定理得， 所以． 所以菱形的面积； （2）解：不发生变化． 理由如下： 如图①，连接，    则， 所以， 即． 解得，是定值，不变． 题想03.利用菱形的性质求面积 9．如图，在菱形中，，则菱形的面积为_____． 【答案】 【分析】连接，交于点，由菱形的性质和，可得是等边三角形，可得，再利用勾股定理可求得，即可求得面积． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴菱形的面积． 10．如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式可知，直接利用菱形的性质得出，，进而利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：如下图所示，连接 菱形的周长为， ， 菱形的面积为， ， 分别作点到直线、的垂线段、， ， ， ． 11．如图，在菱形中，，于点，交于点，过点作于点，若，则菱形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定，角平分线性质定理，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 由菱形的性质得，，则有，从而得；再由，得，由勾股定理得，由菱形面积公式即可求解． 【详解】解：在菱形中，，，； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图1，在菱形中，，对角线，点为对角线交点． (1)求菱形的面积； (2)如图2，已知菱形的边长为8，为边的中点，连接交对角线于点，于点，有，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，等面积法等知识，掌握等面积法求高是解题的关键． （1）利用勾股定理得到，再由菱形的面积直接计算即可； （2）连接交于点，利用等腰三角形的性质可得，进而得到，再利用等面积法求的长即可． 【详解】（1）解：∵菱形对角线互相垂直且平分， ∴， ∴对角线， ∴面积； （2）解：如图2，连接交于点， ∵， ∴， ∵四边形是菱形边长为8，且点为边中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型04.利用菱形的性质证明 13．菱形中，，，分别是，上的动点，且，连接，交于，则______． 【答案】/度 【分析】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识．证明是等边三角形和，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 14．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E在线段上，连接．若，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键；根据菱形的性质得到，由，设，则，得到，过D作于H，根据全等三角形的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 由， 设，则， ∴， ∴， 过D作于H， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 15．如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得，利用得到为的斜边上的中线，得到，利用等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ． 16．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E是的中点，连接，过点C作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判定四边形的形状并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为矩形，理由见解析 【分析】（1）根据即可证明； （2）由（1），可得，证明四边形为平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， 又 ， 在和中， ， ； （2）解：四边形为矩形，证明如下： ， ， 又， 四边形为平行四边形， 又四边形为菱形， ， 即， 四边形为矩形． 题型05.补全条件使四边形是菱形 17．已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的判定定理逐项验证即可得到． 【详解】解：A、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； B、当平分时，， 中， ， 则， ， 由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； C、当时，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定是菱形，选项符合题意； D 、当时，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意． 18．如图所示，中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是______（在基础上添加） 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定、三角形中位线的判定与性质等知识点，掌握菱形的判定方法成为解题的关键． 先根据三角形的中位线得到可得四边形是平行四边形；再根据菱形的判定可知，即可解答． 【详解】解：∵中，E、F、D分别是上的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形， 要使四边形是菱形，则， ∴，即． 故答案为：． 19．如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，该选项符合题意； D、因为四边形是平行四边形，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以平行四边形是菱形，该选项不符合题意． 20．如图，中，是上任意一点，． (1)判断四边形的形状是_____； (2)连接，当满足什么条件时，四边形为菱形，并说明理由． 【答案】(1)平行四边形， (2)平分时，四边形为菱形，理由见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质与判定． （1）根据，可判断四边形为平行四边形； （2）根据为的平分线，得出，根据平行线的性质得出，即可得出，根据等边对等角可得，即可证明四边形为菱形． 【详解】（1）解：，， 四边形为平行四边形； （2）解：平分时，四边形为菱形，理由如下， 四边形为平行四边形， ∴， 当平分时 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形为菱形． 题型06.证明四边形是菱形 21．如图，方格纸中有一个四边形（、、、均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则四边形是____________形． 【答案】菱 【分析】利用勾股定理求出，再根据菱形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：由于每个小正方形的边长均为1， 则， 因此，四边形是菱形． 22．如图，在中，交于点，则四边形是___________． 【答案】菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判断、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握菱形的判定定理是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得，，再结合勾股定理的逆定理证明，结合“对角线相互垂直的平行四边形为菱形”证明四边形是菱形即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴四边形是菱形． 故答案为：菱形． 23．如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、， ， 是菱形，故选项A不符合题意； B、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形，故选项B不符合题意； C、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形，故选项C不符合题意， D、， ， ， 不能证得是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 题型07.由菱形的性质与判定求角度 24．如图，平面上有两个全等的正八边形，为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是多边形内角和公式、全等性质、菱形的判定与性质，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式． 现根据多边形内角和公式求出，再根据全等性质、菱形的判定与性质即可求出． 【详解】解：如图， 正八边形的一个内角度数为， ， ∵平面中这两个正八边形全等， ， 四边形是菱形， ． 故选：． 25．如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 【答案】 【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出，故可得出为菱形，根据菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图：   ，， 四边形为平行四边形， ，， 是的角平分线， ， ， 为菱形． ，即． 26．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质及判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 判定出四边形为菱形，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 27．如图，在中，，分别是边，的中点，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若四边形是菱形，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，菱形的性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质及中点得，，利用平行四边形的判定即可得证； （2）由菱形的性质得，，再证，进而根据三角形的内角和定理即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 28．如图，在中，是角平分线，交于，交于，若，那么四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的角平分线，平行四边形和菱形的判定与性质，由，，可证明四边形是平行四边形，再由角平分线的定义，可得，进而可得平行四边形是菱形，由菱形的性质可得答案，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴四边形周长为, 故选：． 29．如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为______． 【答案】 12 【分析】根据菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，证明四边形是菱形得，，根据直角三角形斜边中线的性质得，进而可求出的周长． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：12． 30．如图，将沿折叠，使点与点A重合．如果，，那么的边上的高为（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、菱形的判定与性质、平行四边形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O，先证明得出，则可证明四边形是菱形得出，，，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O， ∵将沿折叠，使点与点A重合， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴，解得：，即的边上的高是． 故选：A． 31．如图，在中，连接，过点作，交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据四边形是平行四边形，得，结合，得四边形是平行四边形，结合，则，故四边形是菱形，即可作答． （2）根据菱形的性质，得，因为四边形是平行四边形，则，，运用勾股定理得，则，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 题型09.由菱形的性质与判定求面积 32．如图，在平行四边形中，，，．E为边上一点，且满足，作的平分线交于点F，则的长度为___________ 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理．利用勾股定理求得，证明四边形是菱形，利用菱形的面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：连接，作交的延长线于点， ∵平行四边形中，， ∴，， ∴, ∵， ∴， 设， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， 在中，， ∵，平分， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 故答案为：． 33．如图，在中，，D，E分别是，的中点，，，若，，则四边形的面积为______． 【答案】4 【分析】连接交于M，连接，根据，可判定四边形是平行四边形，再证为的中位线，从而得，然后根据等腰三角形的性质得，据此，可得出，进而证得四边形为菱形，根据等腰三角形的性质得，可在中利用勾股定理求出，然后证为的中位线，可得的长，进而求出，根据菱形的面积公式即可求得答案． 【详解】解：如图，连接交于M，连接， ，， 四边形是平行四边形， 点D，E分别是，的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ，， ，点E为的中点， ， 在中，，， 由勾股定理得， 又点D为的中点， 为的中位线， ， ， 菱形的面积． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是理解等腰三角形的底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线重合三线合一；三角形的两边中点的线段是三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 34．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形， ∴，与互相平分， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴菱形的面积为． 故选：C． 35．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）利用矩形的性质结合三角形中位线定理得出，利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形，且， ∴，， 又∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：四边形是菱形， ∴菱形的面积为：． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，理解矩形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，三角形中位线定理是解决问题的关键． 题型10.菱形与折叠问题 36．如图，在菱形纸片中，，将菱形纸片翻折，使点A落在边的中点E处，折痕为，且点F，G分别在边上，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，翻折的性质，等边三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接，得出是等边三角形，得，根据菱形的性质得出，再利用翻折的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，， ∴是等边三角形， ∵点是线段中点， 根据三线合一，得， 根据菱形的性质，， ∴， 由勾股定理得，， 由翻折的性质可得，， 由勾股定理得，， 解得，， 故答案为：． 37．如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿着折叠，得到，连接，点是的中点，，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】延长到点，使得，连接，，则是的中位线，证明是等边三角形，求出，，从而可得结论． 【详解】解：延长到点，使得，连接，， ∵是的中点 则是的中位线， ∴， 当取最小值时，有最小值， 连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ 又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴于， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知， 又， ∴， 当，，共线时，有最小值， 此时的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠与轴对称，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用轴对称求最值是解题的关键． 38．如图，在平行四边形中，，M是边的中点，N是边上的动点，将沿所在的直线翻折得到，连接．对于结论I、Ⅱ，下列判断正确的是（    ）    结论I：当时，四边形是菱形； 结论Ⅱ：当点在线段上时，的长度为 A．I对Ⅱ不对 B．I不对Ⅱ对 C．I、Ⅱ都不对 D．I、Ⅱ都对 【答案】D 【分析】按照“四条边相等的四边形为菱形”定理判断；连接，过点C作，根据勾股定理求出即可求出的长度. 【详解】解：由折叠可知，，， 若， ∵， ∴， ∴，即四边形是菱形， 故结论I正确； 连接，过点C作，如下图所示，    ∵是平行四边形，， ∴， ∴， ∴ 又∵M是边的中点， ∴在中，， 由勾股定理得，， ∵， ∴的长度为， ∴Ⅱ正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查折叠的性质和平行四边形的性质，掌握判定方法和性质是解题的关键. 39．问题情境：在数学实践课程中，教师引导同学们围绕“菱形纸片的折叠”主题进行探索．已知菱形，，点，分别是，边上的点，将菱形沿折叠． 猜想证明：（1）如图1，设对角线与相交于点，若点的对应点与点重合，折痕交于点．试直接写出四边形的形状； 问题解决：（2）如图2，若点的对应点恰好落在对角线上点处，若，，求线段的长； （3）如图3，若点的对应点恰好落在边上的点处，若点为的一个三等分点，设，的面积 ． 【答案】（1）四边形为菱形；（2）；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质可得，再根据折叠的性质可知，易得，进而证明四边形为平行四边形，然后根据“邻边相等的平行四边形为菱形”，即可获得答案； （2）过点作于点，首先证明为等边三角形，进而可得，，设，则，由折叠的性质可得，，在中，由三角函数解得的值，进而可得的长度，然后在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案； （3）过点作，交延长线于点，根据题意可得，在中，由三角函数解得的值，设，则，由折叠的性质可得，，在中，由勾股定理解得的值，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）四边形为菱形．理由如下： 四边形为菱形， ， 将菱形沿折叠，点的对应点与点重合， ，， ， ，， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形； （2）如下图，过点作于点， 四边形为菱形，， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， 设，则， 由折叠的性质可得，， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得， ； （3）如下图，过点作，交延长线于点， 四边形为菱形，，且点为的一个三等分点， ，，， ， ， ， 设，则，， 由折叠的性质可得，， 在中，， 即，解得， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和折叠的性质是解题关键． 题型11.菱形与动点问题 40．如图，已知菱形中，，点E为中点，连接，点P为线段上动点，连接、，若，则___________． 【答案】1 【分析】由菱形的性质可得，可证和是等边三角形，可得，可证≌，可得，由勾股定理列出方程组，即可求解． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，在上截取，连接， 四边形是菱形，， ， 和是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ≌， ， 设， 是等边三角形，点E为CD中点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 41．如图，在面积为96的菱形中，对角线，点O是线段上的动点，于E，于F．则_______． 【答案】9.6 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及面积公式，理解菱形的面积可由对角线乘积的一半进行计算是解题关键．连接交于点，延长交于点，根据菱形面积公式可得，由菱形的性质可知，，，则由勾股定理可得，根据菱形的对称性得，则，根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，延长交于点， 在面积为96的菱形中，对角线， ， ， 由菱形的性质可知：，，， ， 根据菱形的对称性得：， ， 根据菱形的面积公式：， ， 解得：， 即． 故答案为：9.6． 42．如图，在菱形中，，对角线交于点，是射线上一动点，连接，以为边顺时针作等边，连接，已知．有以下4个结论： ①当时， ②当时， ③当时，连接，若 ④当时，连接，若，则 其中正确结论的序号为（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求出，进而求出，证明为等边三角形，再证明，得到，，推出，连接，勾股定理求出的长，判断①②③，当时，点在线段的延长线上，同理得到，利用勾股定理求出的长判断④即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 当时，则： ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴，，故①正确； ∴， ∴；故②正确； 连接， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴；故③错误； 当时，点在线段的延长线上，如图： 同理：， ∴， ∴， ∵，， ∴；故④正确； 故选B． 本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 43．如下图，在菱形中，对角线，相交于点，，，为上的一个动点，以的速度从点出发，沿向点运动．设运动时间为，当为何值时，为等腰三角形？ 【答案】5或8或 【分析】先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长；再分三种等腰三角形的情况，结合动点速度计算对应的运动时间t． 【详解】解：四边形为菱形，，， ，，． 由勾股定理，得． 分以下三种情况讨论： ①如图①，当时，； ②如图②，当点和点重合时，，， ； ③如图③，当时， 在中，由勾股定理，得， ， 解得，则． 综上所述，当的值为或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的分类讨论与勾股定理的应用，掌握等腰三角形需分边相等的不同情况讨论是解题的关键． 题型12.菱形与最值问题. 44．如图，在菱形中，，，点，分别是线段、上两点，满足，连接并作，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】连接交于，连接，设的中点为，连接，先证，可得为、的中点，再利用勾股定理计算相关边长，结合即可求解． 【详解】解：连接交于，连接，设的中点为，连接， 在菱形中，， ， 又， ， ，即为、的中点， ，， 为等边三角形， ，，， ， ，的中点为， ，， ， ， ， 故当在与的交点处时，有最小值． 45．如图，已知菱形的边长为2，，分别是边，上的动点，，连接，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等相关内容，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 由四边形是菱形得，，，而，则是等边三角形，接着可证也是等边三角形，再证明，得，而，则是等边三角形，当 时，的值最小，此时的值也最小，通过勾股定理可求得的最小值． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ， 为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又，， ∴， 在与中， ， ， 又∵， 为等边三角形， 当最小值时，即为最小值，而当时，值最小， ∵，， ， ∴，即， 故答案为：． 46．如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、，由旋转的性质得到，，，，通过证明得到，利用菱形的性质和等边对等角得到，，则有，分析可得点在过点且与夹角为的直线上运动，当时，有最小值，再利用等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转的性质得到，，，， ，即， ， ， 菱形的边长为4， ， ， ， E是的中点， ， ，， ， ， 点在过点且与夹角为的直线上运动， 当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，则， 的最小值为，即的最小值为． 故选：A． 47．如图，在菱形中，，，为等边三角形，点、分别在菱形的边、上滑动（、不与、、重合），求面积的最大值． 【答案】面积的最大值为． 【分析】连接，利用菱形性质及角度条件证得为等边三角形，得到．通过角的等量代换，证明，从而推出四边形（定值）．依据“垂线段最短”，当时，最短，此时等边面积最小．结合四边形，求出面积的最大值． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴, 由勾股定理得：， ∵为等边三角形， ∴，，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴是定值， ∴， 由“垂线段最短”可知：当等边的边与垂直时，边最短， 此时，， ∴的面积会随着的变化而变化，且当最短时，等边的面积最小， 又∵， 等边的面积最小时，的面积最大， 此时，， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07菱形的性质与判定专项训练 题型01.利用菱形的性质求角度 题型02.利用菱形的性质求线段长 题想03.利用菱形的性质求面积 题型04.利用菱形的性质证明 题型05.补全条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07.由菱形的性质与判定求角度 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 题型09.由菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与折叠问题 题型11.菱形与动点问题 题型12.菱形与最值问题 题型01.利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，对角线相交于点，点在边上，且，若，则的度数为______． 2．如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 3．如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，是菱形的对角线，点E在边上，连接，若，，求的度数． 题型02.利用菱形的性质求线段长 5．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 6．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，对角线相交于点，为的中点，且，则菱形的周长为___________． 7．如图，菱形和中，，，是的中点，在的延长线上，，分别是，上的动点，且，，分别是，的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为10的菱形中，对角线，对角线，相交于点G，点O是直线上的动点，于E，于F． (1)求对角线的长及菱形的面积． (2)如图①，当点O在对角线上运动时，的值是否发生变化？请说明理由． 题想03.利用菱形的性质求面积 9．如图，在菱形中，，则菱形的面积为_____． 10．如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______． 11．如图，在菱形中，，于点，交于点，过点作于点，若，则菱形的面积为______． 12．如图1，在菱形中，，对角线，点为对角线交点． (1)求菱形的面积； (2)如图2，已知菱形的边长为8，为边的中点，连接交对角线于点，于点，有，求的长． 题型04.利用菱形的性质证明 13．菱形中，，，分别是，上的动点，且，连接，交于，则______． 14．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E在线段上，连接．若，，则线段的长为______． 15．如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 16．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E是的中点，连接，过点C作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判定四边形的形状并加以说明． 题型05.补全条件使四边形是菱形 17．已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 18．如图所示，中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是______（在基础上添加） 19．如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（    ） A． B． C． D． 20．如图，中，是上任意一点，． (1)判断四边形的形状是_____； (2)连接，当满足什么条件时，四边形为菱形，并说明理由． 题型06.证明四边形是菱形 21．如图，方格纸中有一个四边形（、、、均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则四边形是____________形． 22．如图，在中，交于点，则四边形是___________． 23．如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ） A． B． C． D． 题型07.由菱形的性质与判定求角度 24．如图，平面上有两个全等的正八边形，为（    ） A． B． C． D． 25．如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 26．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 27．如图，在中，，分别是边，的中点，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若四边形是菱形，判断的形状，并说明理由． 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 28．如图，在中，是角平分线，交于，交于，若，那么四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 29．如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为______． 30．如图，将沿折叠，使点与点A重合．如果，，那么的边上的高为（   ） A． B． C．6 D．8 31．如图，在中，连接，过点作，交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 题型09.由菱形的性质与判定求面积 32．如图，在平行四边形中，，，．E为边上一点，且满足，作的平分线交于点F，则的长度为___________ 33．如图，在中，，D，E分别是，的中点，，，若，，则四边形的面积为______． 34．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 35．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 题型10.菱形与折叠问题 36．如图，在菱形纸片中，，将菱形纸片翻折，使点A落在边的中点E处，折痕为，且点F，G分别在边上，则的长为_____． 37．如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿着折叠，得到，连接，点是的中点，，则的最小值为______． 38．如图，在平行四边形中，，M是边的中点，N是边上的动点，将沿所在的直线翻折得到，连接．对于结论I、Ⅱ，下列判断正确的是（    ）    结论I：当时，四边形是菱形； 结论Ⅱ：当点在线段上时，的长度为 A．I对Ⅱ不对 B．I不对Ⅱ对 C．I、Ⅱ都不对 D．I、Ⅱ都对 39．问题情境：在数学实践课程中，教师引导同学们围绕“菱形纸片的折叠”主题进行探索．已知菱形，，点，分别是，边上的点，将菱形沿折叠． 猜想证明：（1）如图1，设对角线与相交于点，若点的对应点与点重合，折痕交于点．试直接写出四边形的形状； 问题解决：（2）如图2，若点的对应点恰好落在对角线上点处，若，，求线段的长； （3）如图3，若点的对应点恰好落在边上的点处，若点为的一个三等分点，设，的面积 ． 题型11.菱形与动点问题 40．如图，已知菱形中，，点E为中点，连接，点P为线段上动点，连接、，若，则___________． 41．如图，在面积为96的菱形中，对角线，点O是线段上的动点，于E，于F．则_______． 42．如图，在菱形中，，对角线交于点，是射线上一动点，连接，以为边顺时针作等边，连接，已知．有以下4个结论： ①当时， ②当时， ③当时，连接，若 ④当时，连接，若，则 其中正确结论的序号为（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 43．如下图，在菱形中，对角线，相交于点，，，为上的一个动点，以的速度从点出发，沿向点运动．设运动时间为，当为何值时，为等腰三角形？ 题型12.菱形与最值问题. 44．如图，在菱形中，，，点，分别是线段、上两点，满足，连接并作，连接，则的最小值为_____． 45．如图，已知菱形的边长为2，，分别是边，上的动点，，连接，则的最小值为____________． 46．如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 47．如图，在菱形中，，，为等边三角形，点、分别在菱形的边、上滑动（、不与、、重合），求面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $