大题突破04 带电粒子在电磁场中的运动（北京专用） 2026年高考物理终极冲刺讲练测

大题突破04 带电粒子在电磁场中的运动 目录 【命题解码·定方向】 【解题建模·通技法】 热点题型1 带电粒子在电场中的运动 通技法 带电粒子在电场中的运动常用的解题方法 热点题型2 带电粒子在有界磁场中的运动 通技法 磁聚焦与磁发散，三种动态圆法 热点题型3 带电粒子在组合场中的运动 通技法 带电粒子在组合场中运动常用的解题方法 热点题型4 带电粒子在叠加场中的运动 通技法 带电体在叠加场中运动常用的解题方法 【实战刷题·冲高分】 刷模拟 刷真题 命题·趋势·定位 1.重基础：注重动力学观点或能量观点处理在电场中的直线加速和减速的问题，用运动分解思想解决带电粒子在电场中类平抛运动和类斜抛运动。带电粒子在有界磁场中的运动，找圆心，根据几何关系找半径。 2.强综合：注重物理观念与关键能力的深度融合，强化真实情境的模型转化能力。带电粒子在组合场运动时，注意临界点的速度大小和方向。带电粒子在叠加场中运动时要分清其运动性质，寻找合适的解题方法。 3.拓创新：关注科技前沿与实验创新，以核心素养为纲，做到“以不变应万变”。 热点题型1带电粒子在电场中的运动 析典例·建模型 例1. （2026·北京延庆·一模）如图甲所示，静电除尘装置中有一长为L、宽为b、高为d的矩形通道，其前、后面板使用绝缘材料，上、下面板使用金属材料。图乙是装置的截面图，上、下两板与电压恒定的高压直流电源相连。质量为m、电荷量为-q、分布均匀的尘埃以水平速度v0进入矩形通道，当带负电的尘埃碰到下板后其所带电荷被中和，同时被收集。通过调整两板间电压U或两板间距离d可以改变收集率η。当d=d0 ，U=U0时，η为81%（即离下板0.81d0范围内的尘埃能够被收集）。不计尘埃的重力及尘埃之间的相互作用。 (1)若保持板间距离d0不变 ，通过改变电压U实现控制收集率的大小，若尘埃恰好全部被收集，求两金属板间的电压U1； (2)若保持电压U0不变 ，通过改变板间距离d实现控制收集率的大小。 a、求收集率η与两板间距d的函数关系； b、设单位体积内的尘埃数为n，求稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量与两板间距d的函数关系，并绘出图线。 【答案】(1) (2)a、见解析；b见解析， 【详解】（1）只要紧靠上板的颗粒能落到金属板下板最右侧，颗粒就能全部被收集，水平方向有 竖直方向有 又， 解得 （2）a、当板间距离为d0 时收集率为81%，设距下板x处的尘埃到达下板的右端边缘，此时有 根据题意，当U0不变时，收集率为    当U0不变时，距离为d时， 收集率为 联立得         由题意可得出结论：①当时完全被收集，收集率 ②当时部分被收集，收集率    b、稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量=    当时，，因此  =                 当时，，因此=    绘出的图线如下 研考点·通技法 带电粒子在电场中的运动常用的解题方法 1.带电粒子(带电体)在电场中运动时重力的处理 基本粒子一般不考虑重力，带电体(如液滴、油滴、尘埃等)一般不能忽略重力，除有说明或明确的暗示外。 2.带电粒子在电场中的常见运动及分析方法 常见运动 受力特点 分析方法 变速直线运动 合外力F合≠0，且与初速度方向在同一条直线上 1.动力学观点：a=，E=，v2-=2ad，适用于匀强电场 2.功能观点：W=qU=mv2-m，匀强和非匀强电场都适用 带电粒子在匀强电场中的偏转 进入电场时v0⊥E，粒子做类平抛运动 运动的分解 偏转角：tan θ==== 侧移距离：y0==，y=y0+Ltan θ=(+L)tan θ 粒子斜射入电场，粒子做类斜抛运动 运动的分解 垂直电场方向做匀速直线运动：x=v0tsin θ 沿电场方向做匀变速直线运动：y=v0tcos θ-t2 破类题·提能力 1. 一种工业用连续喷墨打印机的结构原理简图如图所示。加压墨水从喷嘴喷出（未画出），高频振动的压电晶体使墨流断裂成均匀墨滴，同时墨滴会带上电荷量（均在带电室完成），随后以一定的初速度沿平行偏转极板的轴线射入偏转电场，电场的方向竖直向下，经过电场后墨滴最终打在置于竖直面的纸上。 已知墨滴的质量均为，带电墨滴均以的初速度进入偏转极板间的电场，偏转极板长，两板间的距离为，板间的电压是，偏转极板的右端距纸。不计空气阻力、墨滴的重力以及墨滴间的相互作用力，忽略偏转极板边缘电场的不均匀性。试分析： (1)干燥空气的击穿场强约为，试计算说明两极板间是否会发生击穿现象？ (2)证明墨滴在纸上的竖直方向偏转距离与所墨滴带电荷量成正比（字母表示）。 (3)为了在纸上打印一条长为的竖直墨迹，墨迹的位置要尽量靠上，打印的方向为自上向下。竖直方向的分辨率为个像素／米（即每米长度由个像素点组成），喷嘴每秒钟喷射个墨滴，每个像素点只能落一个墨滴且不能有漏打。从打印第一个墨滴开始计时，写出时刻打印在纸上的墨滴的带电量与的关系式。 【答案】(1)不会发生击穿现象 (2)见解析 (3) 【详解】（1）两板间的电场强度 因为 ，所以不会发生击穿现象 （2）墨滴在偏转电场中作类平抛运动，把它分解为水平方向和竖直方向。 水平方向：匀速直线运动，所以 竖直方向：初速度为零的匀加速运动， ， ， 出偏转场后，墨滴做匀速直线运动 ， 解得墨滴在纸上竖直方向上的偏转距离 对于打印机、、、均为常数，而墨滴的、一致，所以墨滴在竖直方向上的偏转距离与它的带电量成正比。 （3）最上端的墨滴出偏转电场时 解得 代入表达式可得 则最下端墨滴 解得 依题意，墨滴的落点位置随时间匀速下降，对应墨滴的带电量随时间均匀减少，打印所需的喷墨总时间 所以电量随时间变化率 所以从带电室出来的墨滴的电量随时间变化关系为 热点题型2带电粒子在有界磁场中的运动 析典例·建模型 例2. （25-26高三上·北京东城·期末）动量定理可以表示为Δp＝FΔt，其中动量p和力F都是矢量。在运用动量定理处理二维问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。 (1)质量为m0的小球斜射到光滑木板上，作用时间Δt极短，入射的角度是θ，碰撞后弹出的角度也是θ，碰撞前后的速度大小都是v0，如图甲所示。碰撞过程中忽略小球所受重力。 a．求碰撞前后y方向小球的动量变化量的大小Δpy。 b．求木板对小球的平均作用力大小F。 (2)如图乙所示，xOy平面(纸面)的第一象限内有足够长且宽度为L、边界均平行于x轴的区域，下边界与x轴重合，区域内存在方向均垂直纸面向外的磁场，磁感应强度大小为，位于原点O处的离子源沿纸面向磁场区域释放带正电的离子束，离子质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°，速度大小在范围内，且离子源射出的离子数在各速率区间的分布是均匀的。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。(你可能会用到的数学关系：) a．求以最小速度进入磁场的离子，在磁场中偏离x轴的最大距离。 b．求进入第四象限的离子数占离子总数的比例η。 【答案】(1)a．2m0v0cosθ；b． (2)a．；b．25% 【详解】（1）a．碰撞前后y方向小球的动量变化量的大小 b．水平方向动量不变，由动量定理有 所以 （2）设速度大小为v的离子从O点与x轴成60°进入磁场后，当离子速度方向与x轴平行时，离子偏离x轴距离最大，由于洛伦兹力不做功，故离子运动过程中速度大小始终为v，离子运动过程中x方向上由动量定理可得fxΔt＝mΔvx 即 整理有 得 a．当时 ，有 即时离子偏离x轴最大距离为。 b．不同离子偏离x轴的最大距离为，时，离子进入第四象限，由 得 即的离子进入第四象限，所以 研考点·通技法 磁聚焦与磁发散，三种动态圆法 1.磁聚焦与磁发散 若大量相同的带电粒子以相同的速度相互平行进入圆形区域的磁场，且带电粒子运动半径等于磁场圆半径(R=r)，这群粒子必从同一点离开磁场，即“磁聚焦”；反之，一群相同的粒子从同一点以相同的速度大小沿不同的方向进入磁场(R=r)，在离开磁场时的速度方向一定相互平行，即“磁发散”。 磁聚焦　　　　　　磁发散 2. 常见的动态圆 示意图 适用条件 应用方法 放缩圆 (轨迹圆的圆心在P1P2直线上) 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，粒子恰好不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切 旋转圆 (轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上) 粒子的入射点位置相同，速度大小一定，速度方向不同 将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件 平移圆 (轨迹圆的所有圆心在一条直线上) 粒子的入射点位置不同，速度大小、方向均一定 将半径为R=的圆进行平移 破类题·提能力 2. （2025·北京大兴·三模）如图1所示，真空中有一长直细金属导线，长为，与导线同轴放置一半径为高也为的金属圆柱面，将外壳接地。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，且单位长度导线单位时间内射出的电子数为。已知电子质量为，电荷量为。不考虑出射电子间的相互作用。 (1)若导线单位时间发射电子的总动能为。求： a.稳定状态下，通过接地线的电流； b.出射电子的初速度大小。 (2)在金属圆柱内空间施加平行于导线向下的匀强磁场，如图2。已知磁感应强度为，若想让电子依旧全部打到圆柱面上，求导线单位时间辐射电子的总动能最小值。 (3)在金属圆柱内空间施加平行于导线向上的匀强电场，如图3。经数据分析发现，通过接地线的电流随着匀强电场强度均匀变化，其图像如图4。若已知该图像的斜率绝对值为，求导线单位时间辐射电子的总动能。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）a.根据电流定义式，时间内射出的电子电量，解得 b.根据能量关系，解得 （2）最小时有 根据洛伦兹力提供向心力 根据几何关系，解得 （3）水平方向，竖直方向，根据牛顿第二定律 导线此时在接地线中产生的电流为 整理得，则 根据能量关系，解得 热点题型3带电粒子在组合场中的运动 析典例·建模型 例3. （2025·北京丰台·二模）彭宁阱是一种利用静电场和匀强磁场约束带电粒子的装置，其结构主要包括一个旋转对称的环电极和上下两个端电极。如图1所示，以阱中心为坐标原点，旋转对称轴为z轴，建立三维坐标系。在环电极和端电极间加电压，阱内产生电场，电势分布为，其中且为已知定值，ρ为粒子到轴线的距离，，用于带电粒子的轴向（z轴方向）约束。轴向的匀强磁场提供径向（垂直z轴方向）的约束，磁感应强度为B。彭宁阱的纵剖面（xOz平面）如图2所示，其中实线表示电场线，虚线表示磁感线。一质量为m、电荷量为+q的粒子在阱中运动，忽略重力、阻力、相对论效应和辐射。 (1)若仅存在电场，且粒子以初速度从原点沿着z轴正方向运动。 a.求粒子能够运动的最远距离； b.分析粒子沿z轴运动时受到的电场力随坐标z的变化，判断粒子沿z轴做什么运动。 (2)若电场与磁场同时存在，仅研究粒子在xOy平面内（z=0）的运动。在磁场与电场的共同作用下，粒子的运动状态较为复杂，我们采用运动分解的方法和适当的近似，来研究粒子的运动。如图3所示，粒子在强磁场中做高频的回旋运动；考虑到电场力的作用，粒子的回旋中心还绕O点做低频漂移圆周运动。粒子的回旋半径远小于漂移半径，故可近似认为粒子在运动过程中电场强度的大小是恒定的。通过以上信息，求带电粒子的漂移角速度和回旋角速度。 【答案】(1)a.，b.简谐振动 (2)， 【详解】（1）a.从原点沿z轴正方向运动，，则带电粒子的电势能 根据能量守恒 可得 b.因，则电场强度 所以 带电粒子沿z轴做简谐运动。 （或者，方向沿z轴负方向，所以） （2）在平面， 则电场强度 （或者，方向沿径向向外） 令 则 考虑到是低频漂移，所以取 粒子沿顺时针漂移（俯视）。 粒子的速度总可以视为漂移速度和另外某个速度的矢量和，带电粒子的运动可视为以漂移速度绕O点的匀速圆周运动和以速度（速度大小设为）在匀强磁场中的匀速回旋运动的合运动，对匀速回旋运动 则 研考点·通技法 带电粒子在组合场中运动常用的解题方法 1.常见粒子的运动及解题方法 2.常见情形 (1)先电场后磁场 ①带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直磁场方向进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图甲。 ②带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直磁场方向进入磁场做匀速圆周运动，如图乙。 (2)先磁场后电场 常见情境 进入匀强电场时粒子速度方向与电场方向平行 进入匀强电场时粒子速度方向与电场方向垂直 进入匀强电场时粒子速度方向与电场方向成一定角度(非直角) 运动示意图举例 在电场中的运动性质 匀加速或匀减速直线运动 类平抛运动 类斜抛运动 分析方法 动能定理或牛顿运动定律结合运动学公式 平抛运动知识，运动的合成与分解 斜抛运动知识，运动的合成与分解 破类题·提能力 3. （25-26高三上·北京朝阳·期末）如图所示，直角坐标系中第Ⅰ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。第Ⅱ、Ⅲ象限内有两平行板电容器、，其中垂直轴放置，极板与轴相交处存在小孔、；垂直轴放置，上、下极板右端分别紧贴轴上的、点。一质量为、带电量为的粒子在小孔处由静止释放，经电场加速后从小孔射出，紧贴下极板进入，之后从点进入第Ⅰ象限，经磁场偏转后恰好从点垂直轴射出。已知、点间距为，两平行板电容器、的板间电压均为，板间电场均视为匀强电场，忽略边缘效应。不计粒子重力及空气阻力。求： (1)粒子经过点时的速度大小； (2)粒子经过点时的速度方向与轴正方向的夹角； (3)磁场的磁感应强度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对粒子在平行板电容器中的运动列动能定理方程有 解得粒子经过点时的速度大小为 （2）粒子在平行板电容器中做类平抛运动，其水平方向为匀速直线运动，速度大小为 竖直方向为从静止开始的匀加速直线运动，设其加速度为，则根据牛顿第二定律有 解得 根据匀变速直线运动速度与位移的关系式有 解得粒子经过点时竖直方向的速度为 所以粒子经过点时的速度方向与轴正方向夹角的正切值为 解得 （3）粒子在磁场中运动的轨迹如图所示： 则根据几何关系有 解得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的速度为，则有 则根据牛顿第二定律有 解得磁场的磁感应强度大小为 热点题型4带电粒子在叠加场中的运动 析典例·建模型 例4. （2025·北京昌平·二模）比荷是基本粒子的关键参数之一。通过测定不同粒子的比荷，科学家可以区分粒子种类并研究其性质。 (1)1897年汤姆孙通过研究阴极射线发现了电子，并设计了测定电子比荷的实验装置，如图1所示。真空管内阴极K发出的电子经加速电压加速后，沿中心轴线进入长度为L、间距为d的水平平行极板P和间的区域。在极板间加合适的电压U和磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场时，电子刚好打在荧光屏中心O点；当极板间不加电压、只保留磁场时，电子束打在荧光屏上点。结合仪器中的一些几何参量可确定电子刚离开磁场时沿竖直方向的偏移距离为h。不计电子重力及电子间相互作用。 ①求电子在极板间运动时的速度大小v； ②推导电子比荷的表达式。 (2)如图2所示为磁聚焦法测量电子比荷的实验装置示意图。螺线管内部存在磁感应强度大小为B、方向与螺线管轴线平行的匀强磁场。电子枪从O点射出速度大小均为v，方向不同的电子，且电子速度v与磁场方向的夹角非常小。由于电子具有近似相等的水平方向速度和大小不同的竖直方向速度，所以电子从O点分离一段时间后汇聚于螺线管轴线上一点。调节B的大小可使电子经过多次汇聚后刚好打在荧光屏上的P点。已知P点为电子第n次汇聚点，OP间的距离为H。不计电子重力及电子间相互作用，装置内部为真空。当很小时，，。试推导电子比荷的表达式。 【答案】(1)①;② (2) 【详解】（1）①电子在电场和磁场的作用下做匀速直线运动，电场力与洛伦兹力平衡 电场强度 联立可得 ②只保留磁场时，电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 电子刚离开磁场时沿竖直方向的偏移距离为h，根据几何关系得 联立得 将代入上式得 （2）电子在垂直磁场方向上做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 周期 得 电子在沿磁场方向上做匀速直线运动 当很小时 联立可得 研考点·通技法 带电体在叠加场中运动常用的解题方法 1.带电体在电场和重力场叠加场中的运动 常见运动 受力特点 分析方法 匀变速直线运动：进入叠加场时v0与F合在同一直线上 等效重力mg'=F合 等效重力加速度g'= 如图 动力学方法、功能关系、能量守恒 类平(斜)抛运动：进入叠加场时v0与F合有一定夹角 运动的分解： 垂直F合方向的匀速直线运动，沿F合方向的匀变速直线运动 在绳或轨道约束下的圆周运动 通过圆心作合力的平行线，找等效最高点或等效最低点 牛顿第二定律、功能关系、能量守恒 2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零： qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 破类题·提能力 4. （2024·北京西城·二模）在半导体芯片加工中常用等离子体对材料进行蚀刻，用于形成半导体芯片上的细微结构。利用电磁场使质量为m、电荷量为e的电子发生回旋共振是获取高浓度等离子体的一种有效方式。其简化原理如下：如图1所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B；旋转电场的方向绕过O点的垂直纸面的轴顺时针旋转，电场强度的大小为E；旋转电场带动电子加速运动，使其获得较高的能量，利用高能的电子使空间中的中性气体电离，生成等离子体。 （提示：不涉及求解半径的问题，圆周运动向心加速度的大小可表示为） （1）若空间只存在匀强磁场，电子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，求电子做圆周运动的角速度。 （2）将电子回旋共振简化为二维运动进行研究。施加旋转电场后，电子在图2所示的平面内运动，电子运动的过程中会受到气体的阻力，其方向与速度的方向相反，大小，式中k为已知常量。最终电子会以与旋转电场相同的角速度做匀速圆周运动，且电子的线速度与旋转电场力的夹角（小于90°）保持不变。只考虑电子受到的匀强磁场的洛伦兹力、旋转电场的电场力及气体的阻力作用，不考虑电磁波引起的能量变化。 a．若电场旋转的角速度为，求电子最终做匀速圆周运动的线速度大小v； b．电场旋转的角速度不同，电子最终做匀速圆周运动的线速度大小也不同。求电场旋转的角速度多大时，电子最终做匀速圆周运动的线速度最大，并求最大线速度的大小。 c．旋转电场对电子做功的功率存在最大值，为使电场力的功率不小于最大功率的一半，电场旋转的角速度应控制在范围内，求的数值。 【答案】（1）；（2）a．，b．，c． 【详解】（1）电子在洛伦兹力作用下做圆周运动 得 （2）a．设电场力与速度方向夹角为，沿圆周的半径方向，根据牛顿第二定律 　① 沿圆周的切线方向 　② 联立①②两式，可得 b．由a问可知，当 即 时，电子运动的速度最大，电子最终做匀速圆周运动的最大速度 c．设电场力与速度方向夹角为，旋转电场对电子做功的功率 当 即 时，电场对电子做功的功率最大 若 可知 解得 则 刷模拟 1．（2025·北京·模拟预测）北京高能同步辐射光源加速器（HEPS）于2025年试运行，是我国首个第四代同步辐射光源。某同学查得该装置中“增强器”的作用是将低能电子加速成为高能电子，根据增强器的外形轮廓，他猜想并设计了一种加速模型。 模型如图所示，密度分布非常均匀的稳流电子束被导入同步轨道。同步轨道上存在匀强磁场，电子在磁场控制下沿着固定半径的轨道做匀速圆周运动，每转一周，穿越一次加速腔，从中获得能量。匀强磁场的磁感应强度随电子速度的增加而增加。已知圆形轨道半径为，电子的质量为，电荷量大小为，加速腔的长度为，，当电子进入加速腔时，加速电压的大小始终为，离开加速腔后，加速腔的电压变为0，加速电场变化的频率与电子的回旋频率保持同步。已知加速腔外无电场，腔内无磁场，不考虑重力、粒子间相互作用以及相对论效应。 (1)当电子在同步轨道的动能为时，求轨道处的磁感应强度的大小？ (2)由初动能为的电子形成的长度为（）的电子束，经加速腔加速一次后长度变为多少？ (3)注入由初动能为的电子形成的长度为（）的电子束，最多可以被加速腔加速几次？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子在磁场做匀速圆周运动，有 解得 （2）若某次电子未被加速前有 其中 被加速后有 加速后长度为 （3）设导入初动能为，长度为d的电子束，最多可以经过n次加速腔，有 可得 解得 2．（2025·北京大兴·模拟预测）一种测定电子比荷的实验装置如图所示。真空玻璃管内阴极发出的电子经阳极与阴极之间的高压加速后，形成一细束电子流，以平行于平板电容器极板的速度进入两极板、间的区域，若两极板、间无电压，电子将打在荧光屏上的点。已知、间的距离为。若在两极板间施加电压的同时施加一个方向垂直于纸面向外、磁感应强度为的匀强磁场，电子仍能打在荧光屏上的点。 (1)求电子进入、间的速度大小？ (2)若撤去C、D两极板间电压，只保留磁场，电子束将射在荧光屏上某点，若已知电子在磁场中做圆周运动的半径，求电子的比荷。 (3)若撤去C、D两极板间的磁场，只在两极板、间施加电压，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的点；已知极板的长度为，极板区的右侧边缘到荧光屏的距离为，点到点的距离为。求电子的比荷。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子所受电场力与洛伦兹力平衡，则有 解得 （2）撤去电场，电子只受到洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，则有 解得 （3）若撤去磁场，则电子只受到电场力作用，在极板间做平抛运动，离开极板后做匀速直线运动，则有水平方向   竖直方向 结合牛顿第二定律 解得 设电子离开极板时的速度偏向角为，根据平抛运动的特点则有 解得 3．（2025·北京·二模）弗兰克-赫兹实验是能够验证玻尔理论的重要实验。实验装置如图所示，放电管的阴极K持续发射电子，两个金属网电极和将放电管分为三个区域，在与K之间加可调节大小的电压，使电子加速运动；电子进入和之间的等势区后，部分电子与该区域内的原子发生碰撞；在与电极A间加电压，使进入该区域的电子减速运动，若有电子到达A，电流表可观测到电流。 可以建立简化的模型从理论角度对该实验进行分析。设原子的质量为M，被撞前视为静止，电子的电荷量为e、质量为m，忽略电子的初速度及电子间的相互作用力，假定电子均沿直线运动，电子与原子最多发生一次碰撞，且电子不会被原子俘获。 (1)当与K间电压为U时，求电子到达时速度的大小v。 (2)该实验利用电子对原子进行撞击，使原子吸收碰撞损失的动能从低能级跃迁到高能级。 a.为使原子从能量为的基态跃迁到能量为的第一激发态，求与K间电压的最小值。 b.在与A间加电压是为了观测到电流表示数的显著变化，以推知原子是否发生了能级跃迁。当与K间电压为时，求与A间电压的最小值。 【答案】(1) (2)a.  b. 【详解】（1）电子在间加速运动，根据动能定理有 解得 （2）a.当间电压为时，设电子加速运动后速度为，根据动能定理有 设电子与原子碰撞后的速度分别为、，碰撞过程损失的动能为，根据动量守恒定律有 根据能量守恒有 当时，系统损失的动能最多，这部分能量被原子吸收，跃迁到第一激发态则 联立解得 b.电子在区域与原子碰撞后，进入区域做减速运动，当间电压为时，电子到达A时的速度恰好为零。 根据动能定理有 联立解得 4．（2025·北京通州·一模）目前正在运转的我国空间站天和核心舱，搭载了一种全新的推进装置——离子推进器，这种引擎不需要燃料，也无污染物排放。该装置获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场（初速度忽略不计），A、B间电压为，使正离子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力。已知每个离子质量为、电荷量为，单位时间内飘入的正离子数目为。将该离子推进器固定在地面上进行试验。 (1)求正离子经过电极B时的速度的大小； (2)求推进器获得的平均推力的大小； (3)加速正离子束所消耗的功率不同时，引擎获得的推力也不同，试推导的表达式，并指出为提高能量的转换效率，要使尽量大可以采取的两条措施。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）正离子在A、B之间加速过程，根据动能定理，有 解得 （2）设正离子束所受的电场力为，根据牛顿第三定律，有 以很短时间时间内飘入电极间的个正离子为研究对象，以离子喷出时的速度方向为正方向，根据动量定理，有 其中 解得 （3）设正离子束所受的电场力为，由正离子束在电场中做匀加速直线运动，有 则 根据的表达式可知，为增大可用比荷较小的离子（质量大，带电量小的离子）、或减小加速电压。 5．（2025·北京顺义·一模）通过电场和磁场我们可以控制微观带电粒子的运动（不计重力影响）。 (1)控制带电粒子的轨迹 如图1所示，空间中存在方向指向圆心的径向电场，质量为m，电荷量为的粒子，垂直于电场方向射入电场，刚好做半径为R的匀速圆周运动，所经圆弧电场强度大小均为E。求该粒子的速度大小。 (2)约束带电粒子的运动范围 如图2所示，某粒子源通过小孔沿纸面向右侧各方向以速度射出带电粒子，射出的带电粒子进入宽度为H的有界匀强磁场区域，该区域内磁感应强度方向垂直纸面向里，若所有带电粒子均不能从磁场右边界射出。已知带电粒子的质量为m，带电量为q，不考虑粒子间的相互作用，求该匀强磁场磁感应强度的最小值。 (3)控制带电粒子运动位置 如图3所示，一束电子（电子的电荷量为e，质量为m）从水平放置的两极板中心轴线上的位置以水平向右的初速度射入两极板间电压为u的匀强电场，电子能全部通过极板，随后电子进入极板右侧的磁感应强度为方向水平向右的匀强磁场区域（磁场区域足够大），最终打到荧光屏上。当时，电子打在荧光屏上的点，以为坐标原点，沿水平方向和竖直方向建立x轴和y轴。已知两极板长度为L，两板间距离为d，极板右端到荧光屏的水平距离为。 a.当两极板间电压（为一定值），电场强度方向竖直向下时，求电子打在荧光屏上的位置坐标。 b.当两极板间电压（交变电压）时，电子在两极板间发生不同程度的偏转。初速度极大（可以认为电子穿过电场时，两极板间电压不变），随着电子不断打在荧光屏上，在图4中画出电子打在荧光屏上位置连线的大致形状，并简要说明理由。 【答案】(1) (2) (3)a. ；b.见解析 【详解】（1）根据题意可知，电场力提供粒子做圆周运动的向心力，则有 解得 （2）由题意可知，所有粒子在磁场中运动的半径相同，若沿左边界向下射入磁场的粒子不能从右边界射出，则所有粒子均不能从右边界射出，临界情况如图所示 由几何关系有 由牛顿第二定律 解得 （3）a.根据题意可知，电子在两极板间运动时有，，， 射出电场时 在磁场中运动的时间 在垂直磁场平面上，做匀速圆周运动， 以上各式联立可得，， 所以位置坐标为 b.电子在磁场中沿方向做匀速运动；垂直方向以的速度做匀速圆周运动，所有电子到达屏幕所用的时间相同，转过的角度也相同，又如图所示 则有 可知为定值，即不同位置出射的电子的圆心在同一条线上，所以所有电子在屏幕上位置在一条直线上，图形如图所示 推导函数表达式为 6．（2025·北京朝阳·一模）如图所示，一束电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝30°，求： (1)电子运动的轨迹半径r； (2)电子的比荷； (3)电子穿越磁场的时间t。 【答案】(1)2d (2) (3) 【详解】（1）作入射、出射速度的垂线确定轨迹圆心，由几何关系，可得r = 2d （2）设电子质量为m、电量为e，由洛伦兹力提供向心力得，解得 （3）由洛伦兹力提供向心力，运动的周期，得 由，代入周期得 刷真题 1．（2020·北京·高考真题）如图甲所示，真空中有一长直细金属导线，与导线同轴放置一半径为的金属圆柱面。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，已知电子质量为，电荷量为。不考虑出射电子间的相互作用。 (1)可以用以下两种实验方案测量出射电子的初速度： a.在柱面和导线之间，只加恒定电压； b.在柱面内，只加与平行的匀强磁场。 当电压为或磁感应强度为时，刚好没有电子到达柱面。分别计算出射电子的初速度。 (2)撤去柱面，沿柱面原位置放置一个弧长为、长度为的金属片，如图乙所示。在该金属片上检测到出射电子形成的电流为，电子流对该金属片的压强为。求单位长度导线单位时间内出射电子的总动能。 【答案】（1）a.，b.；（2） 【详解】（1）a.在柱面和导线之间，只加恒定电压，粒子刚好没有电子到达柱面，此时速度为零，根据动能定理有 解得 b.在柱面内，只加与平行的匀强磁场，磁感应强度为时，刚好没有电子到达柱面，设粒子的偏转半径为r，根据几何关系有 根据洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）撤去柱面，设单位时间单位长度射出的电子数为n，则单位时间打在金属片的粒子数 金属片上形成电流为 所以 根据动量定理得金属片上的压强为 解得 故总动能为 2．（2025·北京·高考真题）北京谱仪是北京正负电子对撞机的一部分，它可以利用带电粒子在磁场中的运动测量粒子的质量、动量等物理量。 考虑带电粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中的运动，且不计粒子间相互作用。 (1)一个电荷量为的粒子的速度方向与磁场方向垂直，推导得出粒子的运动周期T与质量m的关系。 (2)两个粒子质量相等、电荷量均为q，粒子1的速度方向与磁场方向垂直，粒子2的速度方向与磁场方向平行。在相同的时间内，粒子1在半径为R的圆周上转过的圆心角为，粒子2运动的距离为d。求： a．粒子1与粒子2的速度大小之比； b．粒子2的动量大小。 【答案】(1) (2)a．；b． 【详解】（1）粒子速度方向与磁场垂直，做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得轨道半径 圆周运动的周期 将R代入得 比例关系为 （2）a．由题意知粒子1做圆周运动，线速度 粒子2做匀速直线运动，速度 所以速度之比 即 b．对粒子1，由洛伦兹力提供向心力有 可得 粒子2的动量 结合前面的分析可得 3．（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。 （1）求带电粒子所受的静电力的大小F； （2）求带电粒子到达N板时的速度大小v； （3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）两极板间的场强 带电粒子所受的静电力 （2）带电粒子从静止开始运动到N板的过程，根据功能关系有 解得 （3）设带电粒子运动距离时的速度大小为v′，根据功能关系有 带电粒子在前距离做匀加速直线运动，后距离做匀速运动，设用时分别为t1、t2，有 ， 则该粒子从M板运动到N板经历的时间 4．（2021·北京·高考真题）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。 （1）求粒子加速器M的加速电压U； （2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向； （3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能。 【答案】（1）；（2），方向垂直导体板向下；（3） 【详解】（1）粒子直线加速，根据功能关系有 解得 （2）速度选择器中电场力与洛伦兹力平衡 得 方向垂直导体板向下。 （3）粒子在全程电场力做正功，根据功能关系有 解得 5．（2023·北京·高考真题）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d、不考虑重力影响和颗粒间相互作用。 （1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压； （2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v方向相反，大小为，其中r为颗粒的半径，k为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。 a、半径为R、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压； b、已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为和的两种颗粒，若的颗粒恰好100%被收集，求的颗粒被收集的百分比。    【答案】（1）；（2）a、；b、25% 【详解】（1）只要紧靠上极板的颗粒能够落到收集板右侧，颗粒就能够全部收集，水平方向有 竖直方向 根据牛顿第二定律 又 解得 （2）a.颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，竖直方向 且 解得 b.带电荷量q的颗粒恰好100%被收集，颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有 在竖直方向颗粒匀速下落 的颗粒带电荷量为 颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有 设只有距下极板为的颗粒被收集，在竖直方向颗粒匀速下落 解得 的颗粒被收集的百分比 20 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 大题突破04 带电粒子在电磁场中的运动 热点题型1带电粒子在电场中的运动 析典例·建模型 例1. 【答案】(1) (2)a、见解析；b见解析， 【详解】（1）只要紧靠上板的颗粒能落到金属板下板最右侧，颗粒就能全部被收集，水平方向有 竖直方向有 又， 解得 （2）a、当板间距离为d0 时收集率为81%，设距下板x处的尘埃到达下板的右端边缘，此时有 根据题意，当U0不变时，收集率为    当U0不变时，距离为d时， 收集率为 联立得         由题意可得出结论：①当时完全被收集，收集率 ②当时部分被收集，收集率    b、稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量=    当时，，因此  =                 当时，，因此=    绘出的图线如下 破类题·提能力 1. 【答案】(1)不会发生击穿现象 (2)见解析 (3) 【详解】（1）两板间的电场强度 因为 ，所以不会发生击穿现象 （2）墨滴在偏转电场中作类平抛运动，把它分解为水平方向和竖直方向。 水平方向：匀速直线运动，所以 竖直方向：初速度为零的匀加速运动， ， ， 出偏转场后，墨滴做匀速直线运动 ， 解得墨滴在纸上竖直方向上的偏转距离 对于打印机、、、均为常数，而墨滴的、一致，所以墨滴在竖直方向上的偏转距离与它的带电量成正比。 （3）最上端的墨滴出偏转电场时 解得 代入表达式可得 则最下端墨滴 解得 依题意，墨滴的落点位置随时间匀速下降，对应墨滴的带电量随时间均匀减少，打印所需的喷墨总时间 所以电量随时间变化率 所以从带电室出来的墨滴的电量随时间变化关系为 热点题型2带电粒子在有界磁场中的运动 析典例·建模型 例2. 【答案】(1)a．2m0v0cosθ；b． (2)a．；b．25% 【详解】（1）a．碰撞前后y方向小球的动量变化量的大小 b．水平方向动量不变，由动量定理有 所以 （2）设速度大小为v的离子从O点与x轴成60°进入磁场后，当离子速度方向与x轴平行时，离子偏离x轴距离最大，由于洛伦兹力不做功，故离子运动过程中速度大小始终为v，离子运动过程中x方向上由动量定理可得fxΔt＝mΔvx 即 整理有 得 a．当时 ，有 即时离子偏离x轴最大距离为。 b．不同离子偏离x轴的最大距离为，时，离子进入第四象限，由 得 即的离子进入第四象限，所以 破类题·提能力 2. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）a.根据电流定义式，时间内射出的电子电量，解得 b.根据能量关系，解得 （2）最小时有 根据洛伦兹力提供向心力 根据几何关系，解得 （3）水平方向，竖直方向，根据牛顿第二定律 导线此时在接地线中产生的电流为 整理得，则 根据能量关系，解得 热点题型3带电粒子在组合场中的运动 析典例·建模型 例3. 【答案】(1)a.，b.简谐振动 (2)， 【详解】（1）a.从原点沿z轴正方向运动，，则带电粒子的电势能 根据能量守恒 可得 b.因，则电场强度 所以 带电粒子沿z轴做简谐运动。 （或者，方向沿z轴负方向，所以） （2）在平面， 则电场强度 （或者，方向沿径向向外） 令 则 考虑到是低频漂移，所以取 粒子沿顺时针漂移（俯视）。 粒子的速度总可以视为漂移速度和另外某个速度的矢量和，带电粒子的运动可视为以漂移速度绕O点的匀速圆周运动和以速度（速度大小设为）在匀强磁场中的匀速回旋运动的合运动，对匀速回旋运动 则 破类题·提能力 3. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对粒子在平行板电容器中的运动列动能定理方程有 解得粒子经过点时的速度大小为 （2）粒子在平行板电容器中做类平抛运动，其水平方向为匀速直线运动，速度大小为 竖直方向为从静止开始的匀加速直线运动，设其加速度为，则根据牛顿第二定律有 解得 根据匀变速直线运动速度与位移的关系式有 解得粒子经过点时竖直方向的速度为 所以粒子经过点时的速度方向与轴正方向夹角的正切值为 解得 （3）粒子在磁场中运动的轨迹如图所示： 则根据几何关系有 解得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的速度为，则有 则根据牛顿第二定律有 解得磁场的磁感应强度大小为 热点题型4带电粒子在叠加场中的运动 析典例·建模型 例4. 【答案】(1)①;② (2) 【详解】（1）①电子在电场和磁场的作用下做匀速直线运动，电场力与洛伦兹力平衡 电场强度 联立可得 ②只保留磁场时，电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 电子刚离开磁场时沿竖直方向的偏移距离为h，根据几何关系得 联立得 将代入上式得 （2）电子在垂直磁场方向上做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 周期 得 电子在沿磁场方向上做匀速直线运动 当很小时 联立可得 破类题·提能力 4. 【答案】（1）；（2）a．，b．，c． 【详解】（1）电子在洛伦兹力作用下做圆周运动 得 （2）a．设电场力与速度方向夹角为，沿圆周的半径方向，根据牛顿第二定律 　① 沿圆周的切线方向 　② 联立①②两式，可得 b．由a问可知，当 即 时，电子运动的速度最大，电子最终做匀速圆周运动的最大速度 c．设电场力与速度方向夹角为，旋转电场对电子做功的功率 当 即 时，电场对电子做功的功率最大 若 可知 解得 则 刷模拟 1． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子在磁场做匀速圆周运动，有 解得 （2）若某次电子未被加速前有 其中 被加速后有 加速后长度为 （3）设导入初动能为，长度为d的电子束，最多可以经过n次加速腔，有 可得 解得 2． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子所受电场力与洛伦兹力平衡，则有 解得 （2）撤去电场，电子只受到洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，则有 解得 （3）若撤去磁场，则电子只受到电场力作用，在极板间做平抛运动，离开极板后做匀速直线运动，则有水平方向   竖直方向 结合牛顿第二定律 解得 设电子离开极板时的速度偏向角为，根据平抛运动的特点则有 解得 3． 【答案】(1) (2)a.  b. 【详解】（1）电子在间加速运动，根据动能定理有 解得 （2）a.当间电压为时，设电子加速运动后速度为，根据动能定理有 设电子与原子碰撞后的速度分别为、，碰撞过程损失的动能为，根据动量守恒定律有 根据能量守恒有 当时，系统损失的动能最多，这部分能量被原子吸收，跃迁到第一激发态则 联立解得 b.电子在区域与原子碰撞后，进入区域做减速运动，当间电压为时，电子到达A时的速度恰好为零。 根据动能定理有 联立解得 4． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）正离子在A、B之间加速过程，根据动能定理，有 解得 （2）设正离子束所受的电场力为，根据牛顿第三定律，有 以很短时间时间内飘入电极间的个正离子为研究对象，以离子喷出时的速度方向为正方向，根据动量定理，有 其中 解得 （3）设正离子束所受的电场力为，由正离子束在电场中做匀加速直线运动，有 则 根据的表达式可知，为增大可用比荷较小的离子（质量大，带电量小的离子）、或减小加速电压。 5．【答案】(1) (2) (3)a. ；b.见解析 【详解】（1）根据题意可知，电场力提供粒子做圆周运动的向心力，则有 解得 （2）由题意可知，所有粒子在磁场中运动的半径相同，若沿左边界向下射入磁场的粒子不能从右边界射出，则所有粒子均不能从右边界射出，临界情况如图所示 由几何关系有 由牛顿第二定律 解得 （3）a.根据题意可知，电子在两极板间运动时有，，， 射出电场时 在磁场中运动的时间 在垂直磁场平面上，做匀速圆周运动， 以上各式联立可得，， 所以位置坐标为 b.电子在磁场中沿方向做匀速运动；垂直方向以的速度做匀速圆周运动，所有电子到达屏幕所用的时间相同，转过的角度也相同，又如图所示 则有 可知为定值，即不同位置出射的电子的圆心在同一条线上，所以所有电子在屏幕上位置在一条直线上，图形如图所示 推导函数表达式为 6． 【答案】(1)2d (2) (3) 【详解】（1）作入射、出射速度的垂线确定轨迹圆心，由几何关系，可得r = 2d （2）设电子质量为m、电量为e，由洛伦兹力提供向心力得，解得 （3）由洛伦兹力提供向心力，运动的周期，得 由，代入周期得 刷真题 1．【答案】（1）a.，b.；（2） 【详解】（1）a.在柱面和导线之间，只加恒定电压，粒子刚好没有电子到达柱面，此时速度为零，根据动能定理有 解得 b.在柱面内，只加与平行的匀强磁场，磁感应强度为时，刚好没有电子到达柱面，设粒子的偏转半径为r，根据几何关系有 根据洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）撤去柱面，设单位时间单位长度射出的电子数为n，则单位时间打在金属片的粒子数 金属片上形成电流为 所以 根据动量定理得金属片上的压强为 解得 故总动能为 2． 【答案】(1) (2)a．；b． 【详解】（1）粒子速度方向与磁场垂直，做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得轨道半径 圆周运动的周期 将R代入得 比例关系为 （2）a．由题意知粒子1做圆周运动，线速度 粒子2做匀速直线运动，速度 所以速度之比 即 b．对粒子1，由洛伦兹力提供向心力有 可得 粒子2的动量 结合前面的分析可得 3．【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）两极板间的场强 带电粒子所受的静电力 （2）带电粒子从静止开始运动到N板的过程，根据功能关系有 解得 （3）设带电粒子运动距离时的速度大小为v′，根据功能关系有 带电粒子在前距离做匀加速直线运动，后距离做匀速运动，设用时分别为t1、t2，有 ， 则该粒子从M板运动到N板经历的时间 4．【答案】（1）；（2），方向垂直导体板向下；（3） 【详解】（1）粒子直线加速，根据功能关系有 解得 （2）速度选择器中电场力与洛伦兹力平衡 得 方向垂直导体板向下。 （3）粒子在全程电场力做正功，根据功能关系有 解得 5．【答案】（1）；（2）a、；b、25% 【详解】（1）只要紧靠上极板的颗粒能够落到收集板右侧，颗粒就能够全部收集，水平方向有 竖直方向 根据牛顿第二定律 又 解得 （2）a.颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，竖直方向 且 解得 b.带电荷量q的颗粒恰好100%被收集，颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有 在竖直方向颗粒匀速下落 的颗粒带电荷量为 颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有 设只有距下极板为的颗粒被收集，在竖直方向颗粒匀速下落 解得 的颗粒被收集的百分比 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 大题突破04 带电粒子在电磁场中的运动 目录 【命题解码·定方向】 【解题建模·通技法】 热点题型1 带电粒子在电场中的运动 通技法 带电粒子在电场中的运动常用的解题方法 热点题型2 带电粒子在有界磁场中的运动 通技法 磁聚焦与磁发散，三种动态圆法 热点题型3 带电粒子在组合场中的运动 通技法 带电粒子在组合场中运动常用的解题方法 热点题型4 带电粒子在叠加场中的运动 通技法 带电体在叠加场中运动常用的解题方法 【实战刷题·冲高分】 刷模拟 刷真题 命题·趋势·定位 1.重基础：注重动力学观点或能量观点处理在电场中的直线加速和减速的问题，用运动分解思想解决带电粒子在电场中类平抛运动和类斜抛运动。带电粒子在有界磁场中的运动，找圆心，根据几何关系找半径。 2.强综合：注重物理观念与关键能力的深度融合，强化真实情境的模型转化能力。带电粒子在组合场运动时，注意临界点的速度大小和方向。 3.拓创新：关注科技前沿与实验创新，以核心素养为纲，做到“以不变应万变”。 热点题型1带电粒子在电场中的运动 析典例·建模型 例1. （2026·北京延庆·一模）如图甲所示，静电除尘装置中有一长为L、宽为b、高为d的矩形通道，其前、后面板使用绝缘材料，上、下面板使用金属材料。图乙是装置的截面图，上、下两板与电压恒定的高压直流电源相连。质量为m、电荷量为-q、分布均匀的尘埃以水平速度v0进入矩形通道，当带负电的尘埃碰到下板后其所带电荷被中和，同时被收集。通过调整两板间电压U或两板间距离d可以改变收集率η。当d=d0 ，U=U0时，η为81%（即离下板0.81d0范围内的尘埃能够被收集）。不计尘埃的重力及尘埃之间的相互作用。 (1)若保持板间距离d0不变 ，通过改变电压U实现控制收集率的大小，若尘埃恰好全部被收集，求两金属板间的电压U1； (2)若保持电压U0不变 ，通过改变板间距离d实现控制收集率的大小。 a、求收集率η与两板间距d的函数关系； b、设单位体积内的尘埃数为n，求稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量与两板间距d的函数关系，并绘出图线。 研考点·通技法 带电粒子在电场中的运动常用的解题方法 1.带电粒子(带电体)在电场中运动时重力的处理 基本粒子一般不考虑重力，带电体(如液滴、油滴、尘埃等)一般不能忽略重力，除有说明或明确的暗示外。 2.带电粒子在电场中的常见运动及分析方法 常见运动 受力特点 分析方法 变速直线运动 合外力F合≠0，且与初速度方向在同一条直线上 1.动力学观点：a=，E=，v2-=2ad，适用于匀强电场 2.功能观点：W=qU=mv2-m，匀强和非匀强电场都适用 带电粒子在匀强电场中的偏转 进入电场时v0⊥E，粒子做类平抛运动 运动的分解 偏转角：tan θ==== 侧移距离：y0==，y=y0+Ltan θ=(+L)tan θ 粒子斜射入电场，粒子做类斜抛运动 运动的分解 垂直电场方向做匀速直线运动：x=v0tsin θ 沿电场方向做匀变速直线运动：y=v0tcos θ-t2 破类题·提能力 1. 一种工业用连续喷墨打印机的结构原理简图如图所示。加压墨水从喷嘴喷出（未画出），高频振动的压电晶体使墨流断裂成均匀墨滴，同时墨滴会带上电荷量（均在带电室完成），随后以一定的初速度沿平行偏转极板的轴线射入偏转电场，电场的方向竖直向下，经过电场后墨滴最终打在置于竖直面的纸上。 已知墨滴的质量均为，带电墨滴均以的初速度进入偏转极板间的电场，偏转极板长，两板间的距离为，板间的电压是，偏转极板的右端距纸。不计空气阻力、墨滴的重力以及墨滴间的相互作用力，忽略偏转极板边缘电场的不均匀性。试分析： (1)干燥空气的击穿场强约为，试计算说明两极板间是否会发生击穿现象？ (2)证明墨滴在纸上的竖直方向偏转距离与所墨滴带电荷量成正比（字母表示）。 (3)为了在纸上打印一条长为的竖直墨迹，墨迹的位置要尽量靠上，打印的方向为自上向下。竖直方向的分辨率为个像素／米（即每米长度由个像素点组成），喷嘴每秒钟喷射个墨滴，每个像素点只能落一个墨滴且不能有漏打。从打印第一个墨滴开始计时，写出时刻打印在纸上的墨滴的带电量与的关系式。 热点题型2带电粒子在有界磁场中的运动 析典例·建模型 例2. （25-26高三上·北京东城·期末）动量定理可以表示为Δp＝FΔt，其中动量p和力F都是矢量。在运用动量定理处理二维问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。 (1)质量为m0的小球斜射到光滑木板上，作用时间Δt极短，入射的角度是θ，碰撞后弹出的角度也是θ，碰撞前后的速度大小都是v0，如图甲所示。碰撞过程中忽略小球所受重力。 a．求碰撞前后y方向小球的动量变化量的大小Δpy。 b．求木板对小球的平均作用力大小F。 (2)如图乙所示，xOy平面(纸面)的第一象限内有足够长且宽度为L、边界均平行于x轴的区域，下边界与x轴重合，区域内存在方向均垂直纸面向外的磁场，磁感应强度大小为，位于原点O处的离子源沿纸面向磁场区域释放带正电的离子束，离子质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°，速度大小在范围内，且离子源射出的离子数在各速率区间的分布是均匀的。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。(你可能会用到的数学关系：) a．求以最小速度进入磁场的离子，在磁场中偏离x轴的最大距离。 b．求进入第四象限的离子数占离子总数的比例η。 研考点·通技法 磁聚焦与磁发散，三种动态圆法 1.磁聚焦与磁发散 若大量相同的带电粒子以相同的速度相互平行进入圆形区域的磁场，且带电粒子运动半径等于磁场圆半径(R=r)，这群粒子必从同一点离开磁场，即“磁聚焦”；反之，一群相同的粒子从同一点以相同的速度大小沿不同的方向进入磁场(R=r)，在离开磁场时的速度方向一定相互平行，即“磁发散”。 磁聚焦　　　　　　磁发散 2. 常见的动态圆 示意图 适用条件 应用方法 放缩圆 (轨迹圆的圆心在P1P2直线上) 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，粒子恰好不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切 旋转圆 (轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上) 粒子的入射点位置相同，速度大小一定，速度方向不同 将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件 平移圆 (轨迹圆的所有圆心在一条直线上) 粒子的入射点位置不同，速度大小、方向均一定 将半径为R=的圆进行平移 破类题·提能力 2. （2025·北京大兴·三模）如图1所示，真空中有一长直细金属导线，长为，与导线同轴放置一半径为高也为的金属圆柱面，将外壳接地。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，且单位长度导线单位时间内射出的电子数为。已知电子质量为，电荷量为。不考虑出射电子间的相互作用。 (1)若导线单位时间发射电子的总动能为。求： a.稳定状态下，通过接地线的电流； b.出射电子的初速度大小。 (2)在金属圆柱内空间施加平行于导线向下的匀强磁场，如图2。已知磁感应强度为，若想让电子依旧全部打到圆柱面上，求导线单位时间辐射电子的总动能最小值。 (3)在金属圆柱内空间施加平行于导线向上的匀强电场，如图3。经数据分析发现，通过接地线的电流随着匀强电场强度均匀变化，其图像如图4。若已知该图像的斜率绝对值为，求导线单位时间辐射电子的总动能。 热点题型3带电粒子在组合场中的运动 析典例·建模型 例3. （2025·北京丰台·二模）彭宁阱是一种利用静电场和匀强磁场约束带电粒子的装置，其结构主要包括一个旋转对称的环电极和上下两个端电极。如图1所示，以阱中心为坐标原点，旋转对称轴为z轴，建立三维坐标系。在环电极和端电极间加电压，阱内产生电场，电势分布为，其中且为已知定值，ρ为粒子到轴线的距离，，用于带电粒子的轴向（z轴方向）约束。轴向的匀强磁场提供径向（垂直z轴方向）的约束，磁感应强度为B。彭宁阱的纵剖面（xOz平面）如图2所示，其中实线表示电场线，虚线表示磁感线。一质量为m、电荷量为+q的粒子在阱中运动，忽略重力、阻力、相对论效应和辐射。 (1)若仅存在电场，且粒子以初速度从原点沿着z轴正方向运动。 a.求粒子能够运动的最远距离； b.分析粒子沿z轴运动时受到的电场力随坐标z的变化，判断粒子沿z轴做什么运动。 (2)若电场与磁场同时存在，仅研究粒子在xOy平面内（z=0）的运动。在磁场与电场的共同作用下，粒子的运动状态较为复杂，我们采用运动分解的方法和适当的近似，来研究粒子的运动。如图3所示，粒子在强磁场中做高频的回旋运动；考虑到电场力的作用，粒子的回旋中心还绕O点做低频漂移圆周运动。粒子的回旋半径远小于漂移半径，故可近似认为粒子在运动过程中电场强度的大小是恒定的。通过以上信息，求带电粒子的漂移角速度和回旋角速度。 研考点·通技法 带电粒子在组合场中运动常用的解题方法 1.常见粒子的运动及解题方法 2.常见情形 (1)先电场后磁场 ①带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直磁场方向进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图甲。 ②带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直磁场方向进入磁场做匀速圆周运动，如图乙。 (2)先磁场后电场 常见情境 进入匀强电场时粒子速度方向与电场方向平行 进入匀强电场时粒子速度方向与电场方向垂直 进入匀强电场时粒子速度方向与电场方向成一定角度(非直角) 运动示意图举例 在电场中的运动性质 匀加速或匀减速直线运动 类平抛运动 类斜抛运动 分析方法 动能定理或牛顿运动定律结合运动学公式 平抛运动知识，运动的合成与分解 斜抛运动知识，运动的合成与分解 破类题·提能力 3. （25-26高三上·北京朝阳·期末）如图所示，直角坐标系中第Ⅰ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。第Ⅱ、Ⅲ象限内有两平行板电容器、，其中垂直轴放置，极板与轴相交处存在小孔、；垂直轴放置，上、下极板右端分别紧贴轴上的、点。一质量为、带电量为的粒子在小孔处由静止释放，经电场加速后从小孔射出，紧贴下极板进入，之后从点进入第Ⅰ象限，经磁场偏转后恰好从点垂直轴射出。已知、点间距为，两平行板电容器、的板间电压均为，板间电场均视为匀强电场，忽略边缘效应。不计粒子重力及空气阻力。求： (1)粒子经过点时的速度大小； (2)粒子经过点时的速度方向与轴正方向的夹角； (3)磁场的磁感应强度大小。 热点题型4带电粒子在叠加场中的运动 析典例·建模型 例4. （2025·北京昌平·二模）比荷是基本粒子的关键参数之一。通过测定不同粒子的比荷，科学家可以区分粒子种类并研究其性质。 (1)1897年汤姆孙通过研究阴极射线发现了电子，并设计了测定电子比荷的实验装置，如图1所示。真空管内阴极K发出的电子经加速电压加速后，沿中心轴线进入长度为L、间距为d的水平平行极板P和间的区域。在极板间加合适的电压U和磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场时，电子刚好打在荧光屏中心O点；当极板间不加电压、只保留磁场时，电子束打在荧光屏上点。结合仪器中的一些几何参量可确定电子刚离开磁场时沿竖直方向的偏移距离为h。不计电子重力及电子间相互作用。 ①求电子在极板间运动时的速度大小v； ②推导电子比荷的表达式。 (2)如图2所示为磁聚焦法测量电子比荷的实验装置示意图。螺线管内部存在磁感应强度大小为B、方向与螺线管轴线平行的匀强磁场。电子枪从O点射出速度大小均为v，方向不同的电子，且电子速度v与磁场方向的夹角非常小。由于电子具有近似相等的水平方向速度和大小不同的竖直方向速度，所以电子从O点分离一段时间后汇聚于螺线管轴线上一点。调节B的大小可使电子经过多次汇聚后刚好打在荧光屏上的P点。已知P点为电子第n次汇聚点，OP间的距离为H。不计电子重力及电子间相互作用，装置内部为真空。当很小时，，。试推导电子比荷的表达式。 研考点·通技法 带电体在叠加场中运动常用的解题方法 1.带电体在电场和重力场叠加场中的运动 常见运动 受力特点 分析方法 匀变速直线运动：进入叠加场时v0与F合在同一直线上 等效重力mg'=F合 等效重力加速度g'= 如图 动力学方法、功能关系、能量守恒 类平(斜)抛运动：进入叠加场时v0与F合有一定夹角 运动的分解： 垂直F合方向的匀速直线运动，沿F合方向的匀变速直线运动 在绳或轨道约束下的圆周运动 通过圆心作合力的平行线，找等效最高点或等效最低点 牛顿第二定律、功能关系、能量守恒 2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零： qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 破类题·提能力 4. （2024·北京西城·二模）在半导体芯片加工中常用等离子体对材料进行蚀刻，用于形成半导体芯片上的细微结构。利用电磁场使质量为m、电荷量为e的电子发生回旋共振是获取高浓度等离子体的一种有效方式。其简化原理如下：如图1所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B；旋转电场的方向绕过O点的垂直纸面的轴顺时针旋转，电场强度的大小为E；旋转电场带动电子加速运动，使其获得较高的能量，利用高能的电子使空间中的中性气体电离，生成等离子体。 （提示：不涉及求解半径的问题，圆周运动向心加速度的大小可表示为） （1）若空间只存在匀强磁场，电子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，求电子做圆周运动的角速度。 （2）将电子回旋共振简化为二维运动进行研究。施加旋转电场后，电子在图2所示的平面内运动，电子运动的过程中会受到气体的阻力，其方向与速度的方向相反，大小，式中k为已知常量。最终电子会以与旋转电场相同的角速度做匀速圆周运动，且电子的线速度与旋转电场力的夹角（小于90°）保持不变。只考虑电子受到的匀强磁场的洛伦兹力、旋转电场的电场力及气体的阻力作用，不考虑电磁波引起的能量变化。 a．若电场旋转的角速度为，求电子最终做匀速圆周运动的线速度大小v； b．电场旋转的角速度不同，电子最终做匀速圆周运动的线速度大小也不同。求电场旋转的角速度多大时，电子最终做匀速圆周运动的线速度最大，并求最大线速度的大小。 c．旋转电场对电子做功的功率存在最大值，为使电场力的功率不小于最大功率的一半，电场旋转的角速度应控制在范围内，求的数值。 刷模拟 1．（2025·北京·模拟预测）北京高能同步辐射光源加速器（HEPS）于2025年试运行，是我国首个第四代同步辐射光源。某同学查得该装置中“增强器”的作用是将低能电子加速成为高能电子，根据增强器的外形轮廓，他猜想并设计了一种加速模型。 模型如图所示，密度分布非常均匀的稳流电子束被导入同步轨道。同步轨道上存在匀强磁场，电子在磁场控制下沿着固定半径的轨道做匀速圆周运动，每转一周，穿越一次加速腔，从中获得能量。匀强磁场的磁感应强度随电子速度的增加而增加。已知圆形轨道半径为，电子的质量为，电荷量大小为，加速腔的长度为，，当电子进入加速腔时，加速电压的大小始终为，离开加速腔后，加速腔的电压变为0，加速电场变化的频率与电子的回旋频率保持同步。已知加速腔外无电场，腔内无磁场，不考虑重力、粒子间相互作用以及相对论效应。 (1)当电子在同步轨道的动能为时，求轨道处的磁感应强度的大小？ (2)由初动能为的电子形成的长度为（）的电子束，经加速腔加速一次后长度变为多少？ (3)注入由初动能为的电子形成的长度为（）的电子束，最多可以被加速腔加速几次？ 2．（2025·北京大兴·模拟预测）一种测定电子比荷的实验装置如图所示。真空玻璃管内阴极发出的电子经阳极与阴极之间的高压加速后，形成一细束电子流，以平行于平板电容器极板的速度进入两极板、间的区域，若两极板、间无电压，电子将打在荧光屏上的点。已知、间的距离为。若在两极板间施加电压的同时施加一个方向垂直于纸面向外、磁感应强度为的匀强磁场，电子仍能打在荧光屏上的点。 (1)求电子进入、间的速度大小？ (2)若撤去C、D两极板间电压，只保留磁场，电子束将射在荧光屏上某点，若已知电子在磁场中做圆周运动的半径，求电子的比荷。 (3)若撤去C、D两极板间的磁场，只在两极板、间施加电压，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的点；已知极板的长度为，极板区的右侧边缘到荧光屏的距离为，点到点的距离为。求电子的比荷。 3．（2025·北京·二模）弗兰克-赫兹实验是能够验证玻尔理论的重要实验。实验装置如图所示，放电管的阴极K持续发射电子，两个金属网电极和将放电管分为三个区域，在与K之间加可调节大小的电压，使电子加速运动；电子进入和之间的等势区后，部分电子与该区域内的原子发生碰撞；在与电极A间加电压，使进入该区域的电子减速运动，若有电子到达A，电流表可观测到电流。 可以建立简化的模型从理论角度对该实验进行分析。设原子的质量为M，被撞前视为静止，电子的电荷量为e、质量为m，忽略电子的初速度及电子间的相互作用力，假定电子均沿直线运动，电子与原子最多发生一次碰撞，且电子不会被原子俘获。 (1)当与K间电压为U时，求电子到达时速度的大小v。 (2)该实验利用电子对原子进行撞击，使原子吸收碰撞损失的动能从低能级跃迁到高能级。 a.为使原子从能量为的基态跃迁到能量为的第一激发态，求与K间电压的最小值。 b.在与A间加电压是为了观测到电流表示数的显著变化，以推知原子是否发生了能级跃迁。当与K间电压为时，求与A间电压的最小值。 4．（2025·北京通州·一模）目前正在运转的我国空间站天和核心舱，搭载了一种全新的推进装置——离子推进器，这种引擎不需要燃料，也无污染物排放。该装置获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场（初速度忽略不计），A、B间电压为，使正离子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力。已知每个离子质量为、电荷量为，单位时间内飘入的正离子数目为。将该离子推进器固定在地面上进行试验。 (1)求正离子经过电极B时的速度的大小； (2)求推进器获得的平均推力的大小； (3)加速正离子束所消耗的功率不同时，引擎获得的推力也不同，试推导的表达式，并指出为提高能量的转换效率，要使尽量大可以采取的两条措施。 5．（2025·北京顺义·一模）通过电场和磁场我们可以控制微观带电粒子的运动（不计重力影响）。 (1)控制带电粒子的轨迹 如图1所示，空间中存在方向指向圆心的径向电场，质量为m，电荷量为的粒子，垂直于电场方向射入电场，刚好做半径为R的匀速圆周运动，所经圆弧电场强度大小均为E。求该粒子的速度大小。 (2)约束带电粒子的运动范围 如图2所示，某粒子源通过小孔沿纸面向右侧各方向以速度射出带电粒子，射出的带电粒子进入宽度为H的有界匀强磁场区域，该区域内磁感应强度方向垂直纸面向里，若所有带电粒子均不能从磁场右边界射出。已知带电粒子的质量为m，带电量为q，不考虑粒子间的相互作用，求该匀强磁场磁感应强度的最小值。 (3)控制带电粒子运动位置 如图3所示，一束电子（电子的电荷量为e，质量为m）从水平放置的两极板中心轴线上的位置以水平向右的初速度射入两极板间电压为u的匀强电场，电子能全部通过极板，随后电子进入极板右侧的磁感应强度为方向水平向右的匀强磁场区域（磁场区域足够大），最终打到荧光屏上。当时，电子打在荧光屏上的点，以为坐标原点，沿水平方向和竖直方向建立x轴和y轴。已知两极板长度为L，两板间距离为d，极板右端到荧光屏的水平距离为。 a.当两极板间电压（为一定值），电场强度方向竖直向下时，求电子打在荧光屏上的位置坐标。 b.当两极板间电压（交变电压）时，电子在两极板间发生不同程度的偏转。初速度极大（可以认为电子穿过电场时，两极板间电压不变），随着电子不断打在荧光屏上，在图4中画出电子打在荧光屏上位置连线的大致形状，并简要说明理由。 6．（2025·北京朝阳·一模）如图所示，一束电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝30°，求： (1)电子运动的轨迹半径r； (2)电子的比荷； (3)电子穿越磁场的时间t。 刷真题 1．（2020·北京·高考真题）如图甲所示，真空中有一长直细金属导线，与导线同轴放置一半径为的金属圆柱面。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，已知电子质量为，电荷量为。不考虑出射电子间的相互作用。 (1)可以用以下两种实验方案测量出射电子的初速度： a.在柱面和导线之间，只加恒定电压； b.在柱面内，只加与平行的匀强磁场。 当电压为或磁感应强度为时，刚好没有电子到达柱面。分别计算出射电子的初速度。 (2)撤去柱面，沿柱面原位置放置一个弧长为、长度为的金属片，如图乙所示。在该金属片上检测到出射电子形成的电流为，电子流对该金属片的压强为。求单位长度导线单位时间内出射电子的总动能。 2．（2025·北京·高考真题）北京谱仪是北京正负电子对撞机的一部分，它可以利用带电粒子在磁场中的运动测量粒子的质量、动量等物理量。 考虑带电粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中的运动，且不计粒子间相互作用。 (1)一个电荷量为的粒子的速度方向与磁场方向垂直，推导得出粒子的运动周期T与质量m的关系。 (2)两个粒子质量相等、电荷量均为q，粒子1的速度方向与磁场方向垂直，粒子2的速度方向与磁场方向平行。在相同的时间内，粒子1在半径为R的圆周上转过的圆心角为，粒子2运动的距离为d。求： a．粒子1与粒子2的速度大小之比； b．粒子2的动量大小。 3．（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。 （1）求带电粒子所受的静电力的大小F； （2）求带电粒子到达N板时的速度大小v； （3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。 4．（2021·北京·高考真题）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。 （1）求粒子加速器M的加速电压U； （2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向； （3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能。 5．（2023·北京·高考真题）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d、不考虑重力影响和颗粒间相互作用。 （1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压； （2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v方向相反，大小为，其中r为颗粒的半径，k为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。 a、半径为R、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压； b、已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为和的两种颗粒，若的颗粒恰好100%被收集，求的颗粒被收集的百分比。    19 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $