第十章 静电场中的能量 等效法在电场中的应用 讲义-2025-2026学年高二上学期物理人教版必修第三册

10.8 等效法在电场中的应用 素养目标 1.能用等效法分析带电物体在复合场中的受力情况和运动情况； 2.理解“等效重力场”，并能将重力场中的运动模型迁移到“等效重力场”中。 知识梳理 1、等效法：物理中常用的等效思维方法，就是将一个复杂的物理问题等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。例如我们学习过的等效电阻、力的合成与分解、运动的合成与分解等都体现了等效思维方法。常见的等效法有“分解”“合成”“等效类比”“等效替换”“等效变换”“等效简化”等，从而化繁为简，化难为易。 2.等效法在电场中的应用：在匀强电场与重力场的复合场中，将重力与电场力进行合成，如图1 所示，则 为等效重力场中的等效“重力”， 为等效重力场中的等效“重力加速度”，mg'的方向为等效“重力”的方向。 3.等效重力场相关概念 一、单选题 1．如图，质量为m，带电量为＋q的滑块，沿绝缘斜面匀速下滑，当滑块滑至竖直向下的匀强电场区域时，滑块运动的状态为（　　） A．将加速下滑 B．继续匀速下滑 C．将减速下滑 D．以上3种情况都有可能 2．如图甲所示为一种“自动旋转电玩小球”玩具模型的简化图。内侧半径为的光滑绝缘轨道竖直固定放置，轨道内部存在与轨道平面平行的匀强电场（方向未知）。轨道内侧有一质量为，带电量为的五彩小球从轨道最低点以某一初速度启动，在轨道平面内沿逆时针方向恰好能做完整的圆周运动。运动过程中，小球与轨道圆心的连线与方向的夹角记为，乙图所示为小球在运动过程中的电势能随角度的变化情况，已知重力加速度为，则（　　）    A．匀强电场的方向水平向右 B．电场强度的大小为 C．小球运动过程中动能的最小值为 D．小球运动过程中对轨道压力的最大值为 3．一个带正电荷量为q，质量为m的小球，从光滑绝缘的斜面轨道的A点由静止下滑，小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动．现在竖直方向上加如图所示的匀强电场，若仍从A点由静止释放该小球，则（　　） A．小球仍恰好能过B点 B．小球不能过B点 C．小球通过B点，且在B点与轨道之间的压力不为0 D．以上说法都不对 二、多选题 4．如图甲所示，空间有一水平向右的匀强电场。电场强度大小为，其中有一个半径的竖直光滑绝缘圆环轨道，环内有两根光滑的绝缘弦轨道AB和AC，A点所在的半径与竖直直径BC成37°角。质量为、电荷量为的带电小球（可视为质点）穿在弦轨道上，从A点由静止释放，可分别沿AB和AC到达圆周上的B、C点。现去掉弦轨道AB和AC，如图乙所示，让小球穿在圆环轨道上能做完整的圆周运动。不考虑小球运动过程中电荷量的变化，取，。下列说法正确的是（　　） A．图甲中小球在弦轨道AB和AC上运动时间之比为 B．图甲中小球在弦轨道AB和AC上运动受支持力的冲量相同 C．图乙中小球过B点时的最小速度为 D．图乙中若小球恰能做完整圆周运动，则运动过程中小球对轨道的最大压力为2.5N 5．如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为电荷量为的小球，系在一根长为的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕点做圆周运动。为圆周的水平直径，为竖直直径。已知重力加速度为，电场强度。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．若小球恰能在竖直平面内绕点做圆周运动，则它运动的最小速度为 B．若小球在竖直平面内绕点做圆周运动，则小球运动到点时的机械能最大 C．若小球在竖直平面内绕点做圆周运动，则运动过程中小球在圆弧（四分之一圆弧）中点时细线拉力最大 D．若只改变场强大小而不改变场强方向，小球在竖直面可能做匀速圆周运动 6．如图所示，在竖直平面内有水平向右、场强为E=1×10⁴ N/C的匀强电场．在匀强电场中有一根长L=2 m的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系一质量为0.08 kg的带电小球，它静止时悬线与竖直方向成37°角，若小球获得初速度恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，取小球在静止时的位置为电势能零点和重力势能零点，cos37°＝0.8，g取10 m/s²．下列说法正确的是（    ） A．小球动能的最小值为0.8J B．小球的带电荷量q=6×10⁻⁵ C C．小球绕O点在竖直平面内做圆周运动的电势能和机械能之和保持不变，且为5J D．小球在运动至圆周轨迹上与O点等高的最左侧位置时有机械能的最小值 7．如图所示，轻质绝缘细线一端系在点，另一端与带电量为的小球（可视为质点）连接，整个装置处在水平向右、场强大小为的匀强电场中，小球静止时处在点，点在点的正下方，与间的夹角为，点在点正右方且与点等高，已知，现把小球移至A点，给小球一个水平向右的初速度（为未知量），小球正好能够到达点（运动过程中小球的电量不变），重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．小球在A点获得的动能为 C．小球从A到的过程中，速度的最大值为 D．小球从A到的过程中，通过点时细线的张力最大 8．如图，一根不可伸长绝缘的细线一端固定于O点，另一端系一带电小球，置于水平向右的匀强电场中，现把细线水平拉直，小球从A点由静止释放，经最低点B后，小球摆到C点时速度为0，则(　　) A．小球在B点时速度最大 B．小球从A点到B点的过程中，机械能一直在减少 C．小球在B点时的绳子拉力最大 D．从B点到C点的过程中小球的电势能一直增加 9．如图所示，竖直平面内有一半径为R的圆形光滑绝缘轨道，轨道的最高点为M，最低点为N，轨道所在空间存在匀强电场，电场强度大小为，电场强度的方向与水平面夹角为30度，轨道内有一质量为m、电荷量为q的带正电小球，给小球一个沿轨道切线的初速度，使小球恰能沿轨道做完整的圆周运动，重力加速度为g，忽略一切阻力，则小球在运动过程中（　　） A．在M点的速率最小 B．最大速率为 C．对轨道的压力最大为6mg D．电势能最小时，动能最大 10．如图所示，可视为质点的质量为m且电荷量为q的带电小球，用一绝缘轻质细绳悬挂于O点，绳长为L，现加一水平向右的足够大的匀强电场，电场强度大小为E=，小球初始位置在最低点，若给小球一个水平向右的初速度，使小球能够在竖直面内做圆周运动，忽略空气阻力，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．小球在运动过程中机械能守恒 B．小球在运动过程中机械能不守恒 C．小球在运动过程的最小速度为 D．小球在运动过程的最大速度至少为 三、解答题 11．如图所示，长L＝0.20 m的丝线的一端拴一质量为m＝1.0×10⁻⁴kg、带电荷量为q＝1.0×10⁻⁶C的小球，另一端连在一水平轴O上，丝线拉着小球可在竖直平面内做圆周运动，整个装置处在竖直向上的匀强电场中，电场强度E＝2.0×10³N/C．现将小球拉到与轴O在同一水平面上的A点，然后无初速度地将小球释放，取g＝10 m/s².求： (1)小球通过最高点B时速度的大小； (2)小球通过最高点时，丝线对小球拉力的大小. 12．如图所示，光滑水平绝缘平台区域存在水平向右的匀强电场E₁，在平台右侧有一竖直放置的光滑绝缘圆弧形轨道，轨道的最左端 B 点距平台的高度差为h=1.8m，C是轨道最低点，D是轨道的最高点，圆弧BC对应的圆心角，圆弧形轨道处在水平向左的匀强电场中（图中未画出），平台与轨道之间的空间没有电场。一带正电的物块（大小可忽略不计）从平台上某点由静止释放，从右端A点离开平台，恰好沿切线方向进入轨道。已知物块的比荷 物块释放点距A点的距离L=4m，圆弧形轨道区域的电场强度 已知：sin37°=0.6，cos37°=0.8，取 。求： (1)物块离开A 点时的速度大小vA和A、B间的水平距离x； (2)平台所在区域的场强大小； (3)若物块在轨道上运动时不会脱离轨道，则圆弧轨道的半径R需满足的条件。 13．如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB是竖直方向的直径，一质量为m、电荷量为+q的小球套在圆环上，并静止在P点，OP与竖直方向的夹角θ=37°.不计空气阻力。已知重力加速度为g，，。 （1）求电场强度E的大小； （2）若要使小球从P点出发能做完整的圆周运动，求小球初速度的大小应满足的条件。 14．如图所示，空间存在水平向右的匀强电场E，部分为竖直平面内的轨道，、为水平面内的轨道，段是倾角的倾斜直轨道，长度，与竖直平面内圆轨道相切于B点，圆轨道的半径 ，C、为轨道最低点且略微错开，为水平直轨道，长度，为半圆形水平弯道，其半径，也为水平直轨道，长度与相同。A点固定一劲度系数足够大的轻弹簧（弹簧长度相对于 ，忽略不计） 。一个绝缘带正电小球在外力作用下先挤压弹簧，然后由静止释放，弹性势能，全部转化为小球动能。已知小球质量，小球受到的电场力大小， 小球与、FG的动摩擦因数 ，其他轨道均光滑， ，，重力加速度 (1)若，求小球第一次运动到B点的速度大小； (2)若小球恰好能在圆轨道上做完整圆周运动，求小球受到圆轨道的最大弹力和最小弹力之差； (3)在G点固定一竖直墙壁，小球碰墙后原速率弹回，若小球始终不脱离圆轨道和水平弯道，要使小球与竖直墙最多发生1次碰撞，求释放小球时弹簧弹性势能应满足的条件。 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 《10.8 等效法在电场中的应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A AD BC BCD BD BD BC BD 1．B 【详解】开始时匀速下滑，说明重力、支持力、摩擦力三力平衡，则有： mgsinθ=μmgcosθ 后来进入电场，受电场力，可以将重力和电场力合并为一个力，看作1个等效重力，则可知 (mg)′sinθ=μ(mg)′cosθ 仍然成立，故滑块仍处于匀速下滑状态。 故选B。 2．C 【详解】A．如图所示    设M、N分别为圆环上与圆心O等高的两点，根据乙图，当和时，小球的电势能均为0，则P、Q两点的连线为等势线，当时，小球运动到N点，电势能 当时，小球运动到M点，电势能 综上所得，电场线的方向由N指向M，即水平向左，A错误； B．小球从N点运动到M点，由动能定理得 解得 B错误； C．小球所受电场力 则小球所受合力，即小球在圆环内受到的等效重力为，方向与MN成45°角，根据题意，小球运动到“最高点”时动能最小，由牛顿第二定律得 解得 即 C正确； D．当小球运动到“最低点”时对轨道的压力最大，小球从“最高点”到“最低点”的过程，根据动能定理得 小球在“最低点”时，根据牛顿第二定律得 联立以上两式，解得 D错误。 故选C。 3．A 【详解】没有电场时，最高点速度设为v，则 又根据机械能守恒定律 解得 加上电场时，恰好过最高点需要的速度设为v′，则 解得 而由动能定理得 解得 说明小球仍恰好能过B点，球与轨道间无作用力。 故选A。 4．AD 【详解】A．因为重力与静电力均为恒力，所以二者的合力大小为 与竖直方向夹角正切值 解得 重力与静电力合力指向AO，A为等效最高点，根据等时圆模型，小球在弦轨道AB和AC上运动时间相等，故A正确； B．冲量是矢量，方向不同则冲量不同，故图甲中小球在弦轨道AB和AC上运动受支持力的冲量不相同，故B错误； C．因为小球穿在圆环轨道上且恰好能做完整的圆周运动，则小球在等效最高点A速度最小为零，等效最低点是AO延长线与圆环轨道交点，而非C点，等效最低点速度最大；从A到B的过程中根据动能定理可得 解得，故C错误； D．小球在等效最低点时速度最大，动能最大，小球对圆环轨道压力也最大，从等效最高点至等效最低点过程中，由动能定理得 由牛顿第二定律得 代入数据解得 由牛顿第三定律，小球做圆周运动的过程中对圆环的最大压力是2.5N，故D正确。 故选AD。 5．BC 【详解】A．小球在重力场和电场的复合场中所受合力大小为 若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，易知AD弧中点（设为E）为小球做圆周运动的等效最高点，当小球恰好通过E点时，其速度最小（设为），根据牛顿第二定律有 解得，故A错误； B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时，电场力对小球做功最多，小球的机械能最大，故B正确； C．由A选项分析可知，BC弧中点为小球做圆周运动的等效最低点，此时细线拉力最大，故C正确； D．只有当电场方向改为竖直向上，大小不变，此时电场力与重力等大反向，此时小球能做匀速圆周运动；若只改变场强大小而不改变场强方向，则小球在竖直面不可能做匀速圆周运动，故D错误。 故选BC。 6．BCD 【详解】小球静止时悬线与竖直方向成37°角，受重力、拉力和电场力，三力平衡，根据平衡条件，有：mgtan37°=qE；解得：，所以选项B正确． 小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A速度最小，根据牛顿第二定律，有：；最小动能Ek=mv2=mgL=1J，所以选项A错误．选最低点为零势能点，求A点的电势能和重力势能加上动能就是能量之和E=Ek+Ep+Ep′=1J+mg×2Lcos37°+Eq×2Lsin37°=5J，选项C正确．根据能量守恒定律，电势能与机械能之和不变，所以机械能最小的位置是电势能最大的位置，即与O点等高的最左的位置，所以选项D正确．故选BCD． 【点睛】本题关键是明确小球的受力情况和运动情况，可以将重力和电场力的合力等效成重力进行考虑，结合动能定理和牛顿第二定律分析，不难求解；至于机械能最小的位置就是电势能最大的位置，由能量守恒定律和功能关系可得两者之和． 7．BD 【详解】A．在B点对小球受力分析，由平衡条件可得 解得小球的质量为，故A错误； B．小球从A点到C点，由动能定理可得 解得，故B正确； CD．小球静止在B点，OB与OA间的夹角为37°，则电场力与重力的合力由O指向B，则B点是小球在圆弧中运动的等效最低点，所以小球从A点到C点的过程中，在B点的速度达到最大值，在B点对细线的拉力最大，小球从A点到B点，由动能定理可得 联立可得小球从A到的过程中，速度的最大值为 故C错误，D正确。 故选BD。 8．BD 【分析】首先要判断出小球运动的等效最低点，然后根据动能减小判断电场力做功的正负，从而知道带电的正负，利用电场力做功与电势能的变化关系判断电势能的变化． 【详解】A、C、小球受到电场力与重力、绳子的拉力的作用，在复合场中做类单摆运动，当重力与电场力的合力与绳子的拉力在同一条直线上（在∠AOC角平分线上），小球处于等效最低点，此时小球的速度最大，对绳子的拉力最大．故A错误，C错误； B、从A到B的过程中电场力对小球做负功，小球的机械能减小．故B正确； D、从B到C的过程中克服电场力做功，小球的电势能一直增大，D正确； 故选BD。 【点睛】本题是复合场中的等效最低点的问题，带电物体在电场中圆周运动问题，利用等效最低点的特点与电场力做功对电势能和机械能的变化关系判断是常用的解题方法． 9．BC 【详解】A．小球在运动过程中受到的重力和电场力恒定不变，由平行四边形定则可知它们的合力方向指向右下方，大小为 如图所示 根据“等效场”的原理，小球通过点的速率最小，故A 错误； B．通过“等效最高点”点时，有 解得 从点到点，由动能定理得 解得 故B正确； C．在点时，有 解得 由牛顿第三定律可知对轨道的压力最大为 故C正确； D．速度最大时，动能最大，对应“等效最低点”点，此时小球具有的电势能并不是最小，故D错误。 故选BC。 10．BD 【详解】A．小球在运动的过程中，由于有电场力做功，机械能不守恒，选项A错误，B正确； C．小球在电场中运动的等效最高点和最低点分别为A点和B点，如图所示 等效重力 小球在等效最高点的最小速度v1满足 解得 选项C错误； D．小球由等效最高点运动到等效最低点速度最大，由动能定理有 解得 v2= 选项D正确。 故选BD。 11．(1)2 m/s    (2) 3.0×10－3N 【详解】（1） qeL-mgL= v=2m/s   （2）F+mg-qE=mv2/L F=3×10-3N 本题考查圆周运动，小球在运动过程中应用动能定理可求得末速度大小，在最高点，小球由重力电场力和绳子的拉力提供向心力，列公式可得结果。 12．(1)； (2) (3)或 【详解】（1）从A到B的过程中，小球做平抛运动，在B点由几何关系可知小球的速度与水平方向的夹角为，如图甲所示 则有， 代入数据，解得， 由， 解得 （2）从释放到小球到达A点的过程中，根据动能定理有 解得 （3）在轨道区域，带电小球受到的重力和电场力以及合力，如图所示 则有， 解得 由分析可知点为等效重力场的最低点，轨道上等效重力场的最高点，如图所示 ①情形一:小球在轨道上运动时，通过点时恰好不脱离，此时速度大小为，则有 对小球从A点到点的过程，根据动能定理有 代入数据解得 ②情形二:小球运动到图中点（连线与垂直）时，速度恰好为0， 对小球从A点到点的过程，根据动能定理有 代入数据解得 故小球在轨道上运动时不会脱离轨道，需满足或 ‍ 13．（1）；（2）不小于 【详解】（1）当小球静止在P点时，小球的受力情况如图所示， 则有 所以 （2）当小球做圆周运动时，可以等效为在一个“重力加速度”为的“重力场”中运动，若要使小球能做完整的圆周运动，则小球必须能通过图中的Q点，设当小球从P点出发的速度为vmin时，小球到达Q点时速度为零，在小球从P运动到Q的过程中，根据动能定理有 所以 即小球的初速度应不小于。 14．(1) (2) (3)或者 【详解】（1）对于小球下滑的过程，根据动能定理，则有 可解得 （2）将重力和电场力进行合成，可得 与水平方向夹角为 可得 所以小球恰好能做完整的圆周运动，即为小球恰好能到达B点关于圆心对称的位置，此时轨道的弹力为零，则有 根据动能定理可知 在B点根据牛顿第二定律，则有 所以最大弹力和最小弹力之差为 （3）①假设小球第一次经过圆轨道恰好到达B点关于圆心对称的位置，则有 根据动能定理则有 可解得 所以弹性势能满足 ②假设小球恰好不从FD中点脱离轨道，则有 根据动能定理，则有 可解得 所以弹性势能满足 ③假设小球第一次到达G点速度刚好为0，根据动能定理，则有 可解得 所以弹性势能满足 ④假设小球反弹到F点停止，根据动能定理，则有 可解得 所以弹性势能满足 ⑤假设小球第二次恰好回到FG中点并且不脱离轨道，根据动能定理，则有 可解得 所以弹性势能满足 ⑥假设小球恰好到达B点关于圆心对称的位置，根据动能定理，则有 可解得 所以弹性势能满足 ⑦假设小球第二次返回A点后再回到D点速度刚好为0，根据动能定理，则有 可解得 所以弹性势能满足 综上所述，可知弹性势能的取值范围为或者。 答案第8页，共9页 答案第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $