山东省实验中学2025-2026学年第二学期高二第一次诊断性考试数学试题

绝密★启用并使用完毕前 山东省实验中学2025~2026学年第二学期 高二第一次诊断性考试 数学试题 2026.04 (本试卷共4页，19题：全卷满分150分，考试用时120分钟) 注意事项： 1.答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题纸上。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.非选择题的作答：用0,5m黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 第I卷（选择题共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， l.已知函数f(x)=lnx,则1im f(2+△)-f(2=（) △r-0 -△x B. C.2 D.-2 2.直线y=x+6是曲线y=血x(x>0)的一条切线，则实数b的值为（() A.2 B.In2+1 C.n2-1 D.In2 3.已知函数f(x)=nx-x2-f'),则f'()=() A c D.方 4.已知函数f)=alrc+x2-2x,若f()在(0，+o)上单调递增，则实数a的取值范围 21 为() A.(0,] B.(1,+o) C.(0,) D.[1,+o) 5.已知f(x)是可导函数，且f'(x)>f(x)对于x∈R恒成立，则() A.2ef(0)<2f(1)<ef(In2) B.2ef(0)>2f(1)>ef(In2) C.2e(0)<ef(n2)<2f(1) D.2ef(0)>ef(ln2)>2f(1) 数学试题第1页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 6.已知函数f(x)x∈R)的导函数为f'(x),且满足f(x)-f(2-x)=0,则() A.函数f(x)的图象关于点(1,1)对称B.函数f(x)的图象关于直线x=2对称 C.函数f'(x)的图象关于直线x=1对称D.函数f'(x)的图象关于点(1,0)对称 7.若存在实数，使得()=，则称为函数f()的“不动点”函数g(付)=c(2x- x+1 的不动点个数为() A.4 B.3 C.2 D.1 8.函数f()-号+nx+b(aeR,beR)的两个极值点，满足名<名≤2，则+2%的 最大值为() A.2In2 B.3In2 C.4In2 D.5In2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数图象如图所示，下列说法正确的是() A.f(I)<f(6) y=f(x) B,函数y=f(x)的最大值为f(5) C.1是函数y=f(x)的极小值点 D.3是函数y=f(x)的极小值点 可135 6 10.已知函数f(x)=3-3x+1(a∈R,a≠0)，则下列结论正确的有（) A.f(x)的图象关于点(O,1)对称 B.当a=1时，f(x)有两个零点 C.若f(x)有三个零点，则a的取值范围是(0,2) D.若4是四的极大值点，则a=后 11.设x>0且x≠1，y>0,若xy=x2-1,则下列大小关系可能成立的有() A.x2<y B.logy<1 C.x2>y D.logy>1 数学试题第2页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 第川卷（非选择题，共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.函数f()=x+2eos,xe0的减区间为 13.设点P在曲线f(x)=2x2-lnx上，2在直线y=3x-2上，则Pg的最小值= 14.己知a>0,若对任意的x∈[2,5]，ae2-1≤恒成立，则实数a的最大值为 2e 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知函数f(x)=x3+x2-x,xeR. (1)求f(x)的单调递增区间与极值： (2)求f(x)在区 [-2引上的最大值与最小值， 16.已知函数f(x)=(4x+2)lnx+a. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程： (2)若函数g(x)=(x+2)-f(x)有且仅有一个零点，求a的值. 17.已知函数f(x)=(2x-1)e. (1)证明：在曲线y=f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线y=3x的斜率相 等： (2)当之1时，不等式f(x)≥-2恒成立，求实数k的取值范围. 18.已知函数f(x)=a(x+l)2+x+lnx,（a∈R). (1)讨论f(x)的单调性： ®当5a<0时，求证f)s2a-。1. 数学试题第3页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 19.已知函数f(x)=(x-anx-x. (1)当a=0时， ①求f(x)的最小值： ②设neN,求证hl+h2+3++血n≤nn-l: 234 n+14 2)设名，名，（名<x)是(）的两个极值点，求证：+x>2 数学试题第4页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 山东省实验中学2025~2026学年第二学期 则 高二第一次诊断性考试 当 数学参考答案 从 1-5 A CC D C 6-8 DDD 9.AC 10.AD 11.ACD ππ】 12.(62 13.0 最 10 14.1o 15.(1)f'(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),令f'(x)=0,得x=二或x=-1, 又 由 当x∈(-o,-1)时，∫'(x)>0,则f(x)在(-o,-1)单调递增， 当xe-写时，了<0，则在(-写单调递诚， 方 当x行+时，了)>0，则f)在行+∞ 单调递增， 所以单调增区间为(。，-)和行+，单调减区间为(-写)】 令 所以/例的极大值为)=1，极小值为兮=一7 8分 (2)由(1)可知，在(-2-)上单调递增，在-1写 贝 单调递减， 11 在2 单调递增， 又f-2到=-2<f=多水-=1>f3=日 所以（冈在区间-2，号引上的最大值为1，最小值为-2. 13分 16.(1)当a=1时，f(=(4x+2nx+1,f()=4nx+4x+2,得'()=6 所以曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=6(x-1), 即6x-y-5=0. 5分 (2)方法-：g)=(x+2)}2-(4x+2)lnx-a,x∈(0，+o), g=2c+2)-4nx2=2(士2h 金9@2,0，得因=1叶子-→0 故g(x)在(0，+∞)内单调递增，又q()=0, 数学答案第1页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 则当x∈(0，)，9(x)<0,得g(x)0,gx)单调递减， 当x∈(1，+∞)，q(x)>0,得g(x)>0,g(x)单调递增， 从而g(x)在x=1处取得极小值，同时也是最小值， 最小值为g(）=9-Q12分 又当x>0且x→0时，g(x)→+∞，当x→o时，g(x)→+o, 由函数g(x)有且仅有一个零点，可得g(1)=9-a=0, 则a的值为9 15分 方法二：g(x)=(x+2)2-(4x+2)1nx-a,x∈(0，+∞)， 令g(x)=0得a=x+2)}2-(4x+2)lnx, 令h(x)=(x+2)2-(4x+2)nx,x∈(0，+∞)， 则闪-2+-4x2-2士2h 令g)=x-12nx,xe0,+o）,得g问=1+2_-≥0 x2 x x2 故g(x)在(0，+∞)内单调递增，又g()=0, 则当xe(O,1),g(x)<0,得h(x)<0,h(x)单调递减， 当x∈(1，+∞)，g(x)>0,得H(x)>0,h(x)单调递增， 从而h(x)在x=1处取得极小值，同时也是最小值， 最小值为h()=9… 12分 又当x>0且x→0时，h(x)→+∞，当x→+∞时，h(x)→+∞， 由函数g(x)有且仅有一个零点，可得a=h()=9, 则口的值为915分 数学答案第2页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 17.(1)函数f(x)=(2x-1)e的定义域为R. f(x)=2e*+(2x-1)e*=e*(2x+1). 令g(x)=f(x)=e(2x+1),则g(x)=e*(2x+1)+2e=e*(2x+3). y=3 令g闪>0，得2x+3>0,所以x> 2 g(x) 令g(x)<0,得2x+3<0,所以x<- 2 所以了=8倒在(m-》上单调递减，在(3+上单调递道 所以了匈在x=号处取得最小值，最小值为了引=-2e 当x<多时，2x+1<<0,e>0所以(k0, 又f()=0,所以当x>时，（倒>0， 当x→+o时，f'(x)→+o. 其简图如图： 所以'(x)=3有唯一解，即在曲线y=f(x)的图象上，有且仅有一个点处的斜率等于3， 即在曲线y=(x)的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线y=3x的斜率相 等 6分 (2)当x21时，不等式f(x)2c-2恒成立，即ks()+2_(2x-)e+2 令h)=2x-e+2 x21,则 -2x-g+2]x-[包x-1y+2]x x =e(2x+)x-[(2x-e+2] =e2x2-x+1）-2 ,x21 x2 令m(x)=e(2x2-x+1)-2,x21,则 数学答案第3页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap m'(x)=e*(2x2-x+1)+e(4x-1)=e(2x2+3x=x(2x+3)e,x21. 因为x≥1，所以2x+3≥5>0， 又e>0,所以m(x)>0. 所以m(x)是增函数，所以m(x)2m()=2e-2>0. 因为x2>0,所以H(x)>0恒成立，所以h(x)是增函数， 所以h(x)≥h(1)=e+2,即h(x)的最小值为e+2 所以实数k的取值范围是(-o,e+2], .15分 18.(1)由题意可知，函数f(x)=a(x+1)2+x+lnx,（a∈R)的定义域为(0，+∞)， 导数/问-区+2ar+刊，x>0 当a≥0时，xe(0,+∞)，f'(x)>0: 当a<0时，x02,>0:x（六f<0: 综上，当a≥0时，函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增： 7分 当<0时，函数儿内在区同心岩上单调造婚，在区间云上单河递减 (2)由(1)可知， 当5a<0时， 高激r闪在区间0-动)上单调港地，在区间（品+ 上单调递减。 所以9=-云动a-1右血✉) 要证/≤2a-名1，需证a-1名h(-2)s2a石-l 即需证a石+h(-2a20,-分a<0恒成立。 令elo-a-右+n(-20-a<0, 则g间=1+女+品a结0 数学答案第4页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 所以函数g(a)在区间 o 单调递增， 枚so8》-o, 所以a右h(-220,方5a<0恒成立。 2 所以当a<0时，f个s2a-名1， 17分 2a 19.(1)①当a=0时，f(x)=xx-x,其定义域为(0，+o), 又f()=lx+x1-l=nx, 所以当0<x<1时，f'(x)<0,所以f(x)在(0，)上单调递减， 当x>1时，f(x)>0,所以f(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以f(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，即f(x)n=f()=1×nl-1=-l;3分 ②由①知，当x>0时，f(x)=xlx-x2-1,即x-xnx≤1， 令raeN,则宁京宁sl,则7异nsl, 所以2nnsr2-1,则血nsn-l n+1s2, 所以g+号2++g…#2+1 3 n+12'2 2 2 4 ,得证8分 (2)函数f(x)=(x-a)1lnx-x的定义域为(0，+∞)， x(x)=Ix+x-a-1=Ix-a, x 因为名，为是/的两个极值点，所以一名=0， 即a=xlnx1=x2lnx2, 令g(x)=xlnx,x∈(0，+o),则g'(x)=lnr+1, 当0<x<时g()<0,当x>时g()>0, 所以g()在0日上单调递减。在仁+上单调递增， 数学答案第5页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 1 不妨假设0<<二<，2， 要证名+与子，只需证名号-，因为0<写日所以子-名日 因为g(在[怎+切上单调造增，所以只需证8(6)八8怎-】 又因为8(4)=8(6)，所以只需证8(6)>8径-， 令个=g个-任-0<x 则因-=+1+n(仔小1-径小2。 因为0<<合所以0<后-小水。 n任-儿2，所以州倒<0， 所以a()在，日上单调递减，A(>A[日=0， 所以(>任 即+名>召 17分 数学答案第6页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap