压轴06 解析几何的5大核心压轴题型（上海专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

压轴06 解析几何的5大核心压轴题型 最值与范围问题是解析几何中的典型问题,是教学的重点也是历年高考的热点.解决这类问题不仅要善于利用几何手段对平面图形进行研究,而且要从代数角度进行函数等相关运算。 定点问题主要涉及直线或圆过定点问题的判定及证明；定值问题主要涉及面积、长度、代数式等与参数无关的定值，考查题型为解答题，一般作为压轴题出现。 题型01 直线与圆的方程 技法指导 直线与方程部分5年3考，考查过求点到直线的距离、平面两点间的距离等；圆与方程部分5年 2考，涉及由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化等。此外，直线与圆的 位置关系也是考查重点，如2022年考查了判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 （1）圆的方程形式: 圆的标准方程：，表示以为圆心，以为半径的圆； 圆的一般方程：，即； 圆的参数方程：，表示以为圆心，以为半径的圆； 圆的直径式方程：，其中、分别为直径的两个端点； （2）与圆相关的公式： 切线公式一：对于圆，若直线和圆的切点为， 则切线方程为； 若点在圆外，则方程表示过两个切点的切点弦方程； 切线公式二：对于圆，斜率为的切线方程为；两圆公共弦公式：若两圆和相交，则它们公共弦的方程为。 1．（2025·曹杨中学·2月月考）在平面直角坐标系内，曲线所围成的区域的面积为 . 1．33【分析】在平面直角坐标系内，画出曲线所围成的区域，可得答案. 【详解】由题意，曲线， 当时，；当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，； 在平面直角坐标系内，画出曲线所围成的 区域，如图所示，其面积为；故答案为. 2．（2025·川沙中学·3月月考）“太极图”因其图形如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼 太极图”；如图所示是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆， 已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小值为 . 2．【分析】根据给定条件，利用目标式的几何意义， 结合直线与圆的位置关系求出最小值.【详解】依题意，表示点与定点确定直线的斜率， 令，得直线：，观察图形知， 当与半圆相切于第一象限时，最小， 此时，因此，解得，所以的最小值为； 故答案为：. 3．（2025·复旦附中·高三上学期期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的 距离之比为定值（且）的点的轨迹是一个圆；后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为 阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知动点在边长为6的正方形内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹长度为 . 3．【分析】建立平面直角坐标系，利用距离关系求得点的轨迹，求出圆心角，然后利用弧长公式 求解即可.【详解】如图，以为原点，，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系， 则，，设，因为，即，整理得.所以动点的轨迹为以为圆心4为半径的圆的一部分，设圆与线段交于点， 与线段交于点，因为在中，，，所以，所以，所以点的轨迹长度为.故答案为：. 4．（2025·川沙中学·3月月考）已知关于的方程有四个互不相等的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是 ． 4．【分析】解出方程，设其对应的点、，对于方程， 讨论其，进一步分析计算即可.【详解】因为，即，解得，设所对应的两点分别为、，则、，设的解所对应的两点分别为、，记为，，当，即，解得，即时， 因为、关于轴对称，且，关于轴对称，则以、、、为顶点的四边形为矩形或等腰梯形，所以、、、四点共圆；当，即或时，此时，，且，，故此圆的圆心为，半径，又圆心到的距离，解得，综上可得；故答案为：. 5．（2025·复旦大学附属复兴中学·松江二中·奉贤中学·金山中学四校3月联考）已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是 ． 5．/0.25【分析】画出图形，求出内切圆半径，设出， 表达出，结合求出最值. 【详解】如图，，故菱形内切圆半径为 点到的距离，故内切圆半径， 由对称性可知，关于轴对称，设，， 则，，其中， 故 ，当时，取得最大值，最大值为.故答案为：. 6．（2025·七宝中学·高三下学期开学考）已知，存在，当时， 都有，则的取值范围是 ． 6．【分析】令， 得，故点在圆心为原点的 单位圆上，点在函数，转化为向量与的夹角大于即可.【详解】令，故， 故原不等式可化为：， 令， 得，故点在圆心为原点的单位圆上， 点在函数，作出大致图象如下：故不等式的几何意义是： 向量与的夹角大于，设，则当时，单调递减， 当时，单调递增，故当，故 当且仅当时取等号，故，故时，函数与直线恰好相切，切点为原点， 易知存在，在时使得恒成立， 当时，不存在一个给定的，使得恒成立， 综上，的取值范围是．故答案为：.【点睛】常用的不等式：，，，，，. 题型02 椭圆 技法指导： 椭圆的性质和结论： ① 对称性：椭圆既是以轴、轴为对称轴的轴对称图形， 又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；椭圆的对称中心叫做椭圆的中心； ② 顶点：和，这四个点叫做椭圆的顶点； 若，表示椭圆长轴的长，表示椭圆短轴的长，椭圆的两个焦点都在它的长轴上； ③ 范围：，； ④ 准线：准线方程； ⑤ 离心率：；； ⑥ 焦半径公式：； ⑦ 焦点三角形面积公式：； ⑧ 切线方程：若为切点，则切线方程为； ⑨ 参数方程：，。 1．（2025·上海大学附属中学·3月月考）关于的实系数一元二次方程的两个虚根为、， 若、在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为 ． 1．【分析】由题意两个虚数根，是共轭复数，可得椭圆的短轴长：， 焦距为，然后求出长轴长． 【详解】因为为实数，，，为虚数，所以，即，解得． 由，为共轭复数，知，关于轴对称，所以椭圆短轴在轴上，又由椭圆经过原点， 可知原点为椭圆短轴的一端点，根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系， 可得椭圆的短轴长，焦距，长轴长，故答案为：． 2．（2025·复旦大学附属复兴中学·松江二中·奉贤中学·金山中学四校3月联考） 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出， 被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成， 现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时0.003秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒； 已知与的离心率之比为，则 秒. 2．0.018【分析】根据椭圆和双曲线的定义推得和的周长，然后根据时间速度以及路程 之间的关系列出等式，即可解得答案. 【详解】设 ，设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，光速为， 而与的离心率之比为，即 ，即， 在图①中，，两式相减得：，即，即 的周长为， 在图②中，的周长为，由题意可知：， 则，故秒），故答案为：. 3．（2025·曹杨中学·2月月考）在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的 左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点、，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线经过椭圆的右焦点，是椭圆上两点，四边形是菱形，求直线的方程； （3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线，，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围. 3．（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由已知得：，问题得解；（2）由已知可得：，设直线l方程为：，,，与椭圆方程联立可得：， 由韦达定理，得：，，最后由，可得： ，代入解方程即可；（3）设直线l方程为：，由已知可得：，即，化简得：，有已知可得: ，联立直线与椭圆方程得：，由，和可求b的取值范围. 【详解】（1）由可得：，从而，所以椭圆方程为. （2）由于四边形是菱形，因此且， 由对称性，在线段上， 因此，分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得，即， 设直线l方程为：，且，，与椭圆方程联立可得： ，，，由，可得： ， 解得，即直线方程为； （3）设直线l方程为：，，由已知可得： ，即，， 化简得：，若，则经过，不符合条件，因此； 联立直线与椭圆方程得：，因为， 即，由得：，将代入得：，解得：，令，则，当时，， 在或上单调递减，或 所以b的取值范围为：. 4．（2025·川沙中学·3月月考）设为坐标原点，点，、为椭圆上的点， 直线经过的重心.（1）求椭圆的离心率；（3）若点的坐标为 求点的坐标；（3）的边、与椭圆分别交于、两点，点在四边形内， 求证：和的面积相等. 4．（1）；（3）；（3）证明见解析. 【分析】（1）求出、、的值，可求出椭圆的离心率的值；（2）利用点差法求出直线的斜率，可得出直线的方程，再将直线的方程与椭圆的方程联立，即可得出点的坐标；（3）设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，计算出、的斜率之积，分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据可求出的值，证明出，可得出直线过线段、的中点，进而可证得结论成立. 【详解】（1）在椭圆中，，，则，故. （2）设点、，则的重心为， 易知直线的方程为，且点在直线上，所以，，即， 因为，两式作差可得，即， 即，所以，，因为点， 所以，直线的方程为，即，联立可得： ，由韦达定理可得，可得，则， 故点的坐标为； （3）由（2）可知，直线的斜率为，设直线的方程为， 由于原点在四边形内，由图可知，，联立 可得，则， 又因为，解得， 由韦达定理可得，，设直线、的斜率分别为、， ，同理， 所以，， 设点、，当的斜率不存在时，则，，其中， 所以，，，此时，， 若，则，，不妨取点、， 此时，直线的方程为，联立解得， 即点，由题意可知，，矛盾，故直线的斜率存在， 设直线的方程为，联立可得， ，整理可得， 由韦达定理可得，，， 整理可得， 代入韦达定理并整理可得对满足的实数恒成立，所以，， 解得，故，设直线分别交线段、于点、，则为的中点， 所以，，因为，故， 所以，，，，， 所以，，即和的面积相等. 5．（2025·复旦大学附属复兴中学·2月月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦，， 设，中点分别为，． （1）写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的长轴长； （2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦，的斜率均存在，求面积的最大值． 5．（1）右焦点，长轴长为；（2）证明见解析，；（3）. 【分析】（1）直接根据椭圆方程写出右焦点的坐标及长轴长；（2）斜率均存在，设直线AB 方程为与椭圆方程联立求出点坐标，同理得点坐标，再求出直线的方程即可；再 讨论一条直线斜率不存在时的情况.（3）由（2）中中信息求出，借助函数的单调性求出最值.【详解】（1）由椭圆，得长半轴长，短半轴长，半焦距， 所以右焦点坐标，长轴长为； （2）当直线斜率均存在时，设，直线AB方程为，由消去，得，则有，点， 而直线：，同理，当时，直线MN斜率，直线：，整理得，直线恒过定点， 当，即时，直线：过点， 当两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时，不妨设斜率不存在，斜率为0，，直线：过点，所以动直线过定点； （3）由（2）知直线过定点， ， 令，当且仅当取等号，， 函数在上单调递增，， 所以，即时，取得最大值.【点睛】圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题， 可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 6．（2025·复旦附中·高三上学期期末）17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种 如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形；带槽杆长为4，点间的距离2， 转动杆一周的过程中始终有；点在线段的延长线上，且. （1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为，（i）证明：为定值； （ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围. 6．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）由题意，根据椭圆的定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆，确定a，b即可求解； （2）（i）设，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示， 结合两点表示斜率公式即可证明；（ii）根据三角形面积公式化简可得， 设，由（i）和平面向量的坐标表示建立的方程，解之即可求解. 【详解】（1）， 点的轨迹是以为焦点的椭圆，设椭圆的方程为， ，， 点的轨迹的方程为； （2）（i）证明：设直线与椭圆的交点坐标为， ①当直线斜率存在时，如图，设， 联立直线与椭圆的标准方程，可得：，显然：恒成立，则，， ， ，，即为定值； ②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图，显然，可得：即0， 综上所述：为定值；（ii）， ，由（i）可知：，设，即， ，可得，又 ，则，又直线的斜率存在， ，，综上：. 7．（2025·复旦附中·3月月考）如图，已知椭圆与椭圆有相同的 离心率，点在椭圆上；过点的两条不重合直线与椭圆 相交于两点，与椭圆相交于和四点．   （1）求椭圆的标准方程；（2）求证：； （3）若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值． 7．（1）；（2）证明见解析；（3），证明见解析. 【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，求椭圆的标准方程；（2）要证，只需证，通过直线与椭圆联立方程组，由韦达定理和两点间距离公式证明；（3）由题意有，由韦达定理和距离公式化简得，由题意，所以，可得. 【详解】（1）由题意知，两椭圆有相同的离心率，则有，，又点在椭圆上，有，解得，所以椭圆的标准方程为； （2）要证，即证，设， 当直线斜率不存在时，由椭圆对称性可知成立，当直线斜率存在时，设斜率为， 则方程为，由得： ，， 由得， ，得，，， ，则有，所以与等底等高，有； （3）由（2）可知，同理有，由，可得，则有， 设直线的斜率为，直线方程为，设， 由得，，， ， 所以，即 ，化简得，即，由题意， 所以，所以.【点睛】解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立， 消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线 与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 8．（2025·华二附中·3月月考）已知椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线l交椭圆E于P、Q两点．（1）若E的离心率为，求b的值；（2）若为等腰 三角形，且P在第一象限，求点P的坐标；（3）设直线交椭圆E于另一点R，若， 求b的取值范围． 8．（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据离心率以及椭圆方程计算可得； （2）画出图形，由为等腰三角形，验证与、 与是否相等，数形结合易知，根据两点距离公式建立 方程组，解之即可求解；（3）设，：，联立椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立 关于的方程，结合判别式即可求解. 【详解】（1）当椭圆焦点在轴上时，，则，因此； 当椭圆焦点在轴上时，，解得， 综上，当椭圆焦点在轴上时，；椭圆焦点在轴上时，； （2）当时，椭圆，其中，，如右上图所示：设点，且，因为为等腰三角形，且在第一象限，已知， 由椭圆对称性和点位置可知，，若，则，所以， 可得，又因为在椭圆上，所以，即， 将代入中，得到9，展开并化简可得： ，即， 进一步变形为，则此方程无实数解；故； 若，则，将代入可得， 展开并化简：，即，因式分解为， 解得或（舍去），将代入椭圆方程可得，所以； （3）设直线的方程为，将代入椭圆方程， 得到，展开并整理可得，由得，由韦达定理可得，因为与关于原点对称，所以， 又，则，根据向量数量积求解： 已知，则，将代入上式可得： ， 整理得，将代入上式可得： ，即，因为，所以， 所以，又，所以. 【点睛】解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的 平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系. 9．（2025·建平中学·高三3月月考）如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”. （1）求椭圆的标准方程；（2）记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为， 三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由；（3）若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点， 直线，的斜率存在，记为，，求的最小值. 9．（1）；（2）存在，2条；（3）. 【分析】（1）根据焦距、离心率及参数关系求标准方程；（2）设直线为，，联立椭圆并应用韦达定理得，，根据及已知列方程 求参数k，即可得答案；（3）设切线方程为，切线方程为，且， 根据相切关系得到是的两个不相等实根，由韦达定理求出. 【详解】（1）由椭圆的焦距为，离心率为，得，， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知：，显然直线不与轴重合，设直线为，， 由消去得，， 则，圆半径为1，则， 于是，即，解得，所以满足条件的直线有2条； （3）设切线方程为，切线方程为，且，，由圆与相切， 得，化简得，同理， 于是是的两个不相等实根，则，由在椭圆上，得，因此，而，则当时，取得最小值， 所以的最小值为. 10．（2025·上外附属云间中学·高三下学期开学考）已知平面直角坐标系中动点，定点，. （1）若点在轴上，且为等腰三角形，求点的坐标； （2）若点在轴上，且的外接圆与轴相切于点，求此时圆的半径； （3）设点在椭圆上，求的面积的最大值并求相应点的坐标. 10．（1）、或；（2）2或10；（3）. 【分析】（1）分别以为等腰三角形的顶点讨论，然后利用两点间的距离公式求解即可；（2）圆心到点A和点的距离相等，然后利用两点间的距离公式求解即可；（3）求出直线方程利用点到直线的 距离表示出三角形的高，设出椭圆的参数方程，然后利用三角函数求出最值即可. 【详解】（1）已知点，，点在轴上，设， 要使为等腰三角形，有以下几种情况：、、， ①， ，令， 展开并整理，解得，； ②时，，令，即， 解得，或； ③时，由上可知，，， 令，即，无解，点的坐标为、或； （2）因为点在轴上，所以设，又的外接圆与轴相切于点，所以意味着圆心C的纵坐标等于圆的半径r，所以圆心的坐标为，又圆经过点，所以， 所以或，故此时圆的半径为2或10； （3）设在椭圆为到直线的距离， 而，由定点，， 得直线的方程为，到直线的距离， 所以， 又在椭圆所以设，其中是参数， 所以 ，其中，由， 所以， 所以当时，，此时：， 代入参数化方程：，所以得的坐标为， 综上，的面积的最大值为，此时点的坐标为. 11．（2025·上海大学附属中学·3月月考）已知椭圆的左、右焦点分别是，其离心率，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．（1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有 一个公共点，设直线的斜率分别为，若，证明：为定值，并求出这个定值； （3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，设的角平分线交椭圆的长轴于点， 求的取值范围． 11．（1）；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）根据通径的长可得，根据离心率可得，故可求后可得椭圆的方程. （2）设，则直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程后利用判别式为零可求斜率，从而可证为定值. （3）利用角平分线的性质、点到直线的距离和在椭圆上可得，据此可求的范围. 【详解】（1）由于，将代入椭圆方程，得． 由题意知，即．又，，所以，． 所以椭圆的方程为． （2）设，则直线的方程为．联立得， 整理得 由题意得，即． 又，所以，故．又知， 所以，因此为定值，这个定值为． （3） 设，又，， 所以直线的方程分别为， ． 由题意知， 由于点在椭圆上，所以．所以， 结合整理得到：，而， 故，而在之间，故，故即，因此． 【点睛】直线与圆锥曲线中的定值问题，有下面几种方法：（1）用圆锥曲线上的动点表示目标代数式，然后利用动点满足的方程化简目标，从而得到定值；（2）通过联立直线方程和圆锥曲线方程，然后用参数（如斜率、截距等）表示目标代数式，利用参数满足的等量关系化简前者可得定值.（3）适当利用圆锥曲线的几何性质，结合 一些平面几何知识可得定值. 12．（2025·上海交大附中·3月月考）已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． （1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点： （i）求证：点轨迹方程为；（ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点， 点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 19．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据椭圆的焦点三角形，即可结合余弦定理求解， （2）（i）联立直线与椭圆的方程可得韦达定理， 即可根据中点坐标公式可得，从而即可得证； （ii）进一步根据向量的坐标运算即可得证. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得. 因为，，，在中，由余弦定理得 ，解得，则，故椭圆的方程为； （2）（i）当直线的斜率存在且不为0时，不妨设直线的方程为，联立 得，因在椭圆内，所以直线必与椭圆相交， 设，由韦达定理得，所以，因为为线段中点，所以，此时，则，要证，只需证明，而，所以点轨迹方程为； （ii）联立得，则，不妨设，所以，， 不妨设，由得， 即，因为，， 所以， ∵，所以，即，则点在定直线上， ①当直线斜率为0时，轴，此时，，因为，所以， 则，故点在定直线上； ②当直线无斜率时，此时直线方程为，易知轴，所以点在轴上，则， ∵，所以，即，则点在定直线上. 综上可得：点在定直线上. 【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法： （1） 引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有 关系，找到定点；（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量 无关；解题技巧：若直线方程为，则直线过定点；若直线方程为 （为定值），则直线过定点 题型03双曲线 技法指导 双曲线的性质和结论： ①对称性：双曲线既是以轴、轴为对称轴的轴对称图形， 又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；双曲线的对称中心叫做双曲线的中心； ②顶点：和，这四个点叫做双曲线的顶点；表示双曲线实轴的长， 表示双曲线虚轴的长，双曲线的两个焦点都在它的实轴所在的直线上； ③范围：或，； ④ 渐近线：； ⑤ 准线：准线方程； ⑥ 离心率：；； ⑦ 焦半径公式：； ⑧ 焦点三角形面积公式： ⑨ 切线方程：若为切点，则切线方程为； ⑩ 参数方程：，。 1．（2025·曹杨中学·2月月考）双曲线的两渐近线的夹角大小为 . 1．【分析】根据双曲线的方程，求得其见解析的方程，利用直线的夹角公式，即可求解. 【详解】由双曲线，可化为，可得双曲线的两条渐近线的方程为， 设双曲线的两条渐近线夹角为且，则，所以， 即两条渐近线的倾斜角分别为；故答案为. 2．（2025·上海市高三下学期数学学科素养评价）已知反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线分别为轴和轴，且它们的夹角为，将该双曲线绕其中心（坐标原点）旋转可使其渐近线为直线和，由此可求得双曲线的离心率为；已知函数的图象也是双曲线，那么该双曲线的离心率为 . 2．【分析】根据双曲线得几何性质即可求解.【详解】由，可得渐近线为直线与轴，因为渐近线得斜率为，所以该渐近线得倾斜角为，所以两条渐近线与轴得夹角为，所以将双曲线的图象绕其中心旋转可使其渐近线变为直线，所以， 所以该双曲线的离心率为.故答案为：. 3．（2025·建平中学·高三3月月考）已知双曲线的两条渐近线将双曲线所在 平面分为上，下，左，右4个部分（不含渐近线上的点），若位于上部分，不位于 下部分，则C的离心率的取值范围为 . 3．【分析】利用给定条件得到渐近线斜率和与的关系，得到，再利用离心率的 公式求出离心率范围即可.【详解】由双曲线性质得双曲线的两条渐近线方程为 ，因为位于上部分，不位于下部分，而，， 所以得到，则C的离心率；故答案为：. 4．（2025·复旦大学附属复兴中学·2月月考）能够使得命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题的一个实数的值为 . 4．3（答案不唯一）【分析】由题意可设，，由对称性可得，，，可得，代入曲线方程，由双曲线的范围，解不等式即可得到所求值． 【详解】曲线上存在四个点P，Q，R，S满足四边形PQRS是正方形，设，，由对称性可得，，则，即，即， 由曲线的方程可得，即有解，有，得，解得或， 任取a的一个值为3；故答案为：3（答案不唯一）． 5．（2025·复旦大学附属复兴中学·松江二中·奉贤中学·金山中学四校3月联考）在平面直角坐标系中， 点到定点的距离与点到直线：的距离之比为2，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程；（2）已知点，，为曲线的左、右顶点； 若直线与曲线的右支分别交于点.（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）求的最大值． 5．（1）；（2）（i）；(ⅱ). 【分析】（1）设，根据题意列出等式，化简可得； （2）（i）设直线方程为，联立可得， 同理可得，由，可得； （ii）由及，可得，设，则，即得. 【详解】（1）设，由题意知， 化简得方程为（2）设直线方程为， 则，联立，可得， 故，因在右支上，故，得 即，解得，设方程为，则，联立， 得，故， 因在右支上，故得，即， 解得，综上可知，； （ii），，， 故，令， 则，， 当且仅当，即时取等号，故的最大值为. 【点睛】本题第二问根据几何性质可得，结合，，代入后利用 函数的性质求最大值即可. 6．（2025·七宝中学·高三下学期开学考）已知双曲线的右顶点， 它的一条渐近线的倾斜角为.（1）求双曲线的方程；（2）过点作直线交双曲线于， 两点（不与点重合），求证：；（3）若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交， 交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围. 6．（1）；（2）证明见解析；（3）. 【分析】（1）首先得到，由渐近线的倾斜角得到斜率，从而求出；（2）分直线的斜率不存在 与存在且不为两种情况讨论，设线、点，联立消元、列出韦达定理，通过计算证明； （3）设直线方程为 ，，由向量共线的坐标表示得到，再由点在双曲线上推导出，再联立直线与得到 、、的关系，最后由面积公式及对勾函数的性质计算可得. 【详解】（1）易知，又双曲线的渐近线为， ，，故双曲线的方程为； （2）由已知可得直线的斜率不为，当直线的斜率不存在时由，解得或， 不妨令，，所以，， 则，即，所以，当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为 ，，，联立， 整理得，其中，且时， 则，所以， 所以，， ， 即，；（3）由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0， 故设直线方程为 ，设， ，点在双曲线上， ，， ③， 又， ④，联立， 由，所以，所以⑤， ⑥，分别在第一象限和第四象限，， 由④式得：， ⑦， 将⑤⑥代入⑦得：， ， ，令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 7．（2025·青浦高级中学·3月月考）已知双曲线：的离心率为， 点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．（1）求双曲线C的方程； （2）若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?、请说明理由． （3）点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、， 求证：为定值． 7．（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）设，联立方程，利用韦达定理 判断是否为零即可；（3）用两点坐标表示出直线， 得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为， 且在双曲线上，可得，解得， ∴双曲线的方程为； （2）双曲线的左焦点为，当直线的斜率为0时，此时直线为， 与双曲线左支只有一个交点，舍去；当直线的斜率不为0时，设，联立方程组，消得，易得， 设，则，可得， ∵，则 ， 即，可得与不垂直，∴不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， ∴，又， ∴， ∵，∴，且， ∴，即为定值．   8．（2025·延安中学·2月月考）平面直角坐标系中，双曲线的离心率为． （1）求的方程；（2）若直线与有两个公共点、，动点满足， 求点的轨迹方程；（3）若直线与只有一个公共点，且直线与的两条渐近线分别交于、 两点，则的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 8．（1）；（2）（或）；（3）是，定值为 【分析】（1）利用双曲线的离心率公式可求出的值，由此可得出双曲线的方程；（2）设点、、，将直线的方程与双曲线方程联立，列出韦达定理，由求出的取值范围，利用平面向量的坐标运算化简可得出点的轨迹方程；（3）先证明出双曲线在点处的切线方程为，设点、，将切线方程与双曲线的渐近线方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）因为，解得，因此，双曲线的方程为. （2）设点、、，联立可得， 则，解得或， 由韦达定理可得，，则， 因为，即， 则，，因此点的轨迹方程为（或） （3）设直线与的切点的为，其中，先证明出双曲线在点处的切线方程为 ，联立得，整理可得， 则，所以，双曲线在点处的切线方程为， 设点、，双曲线的渐近线方程可写为， 联立可得，由韦达定理可得， 易知双曲线的渐近线为，，易知， 所以，为定值. 题型04 抛物线 技法指导 抛物线的性质和结论： ① 对称性：关于轴对称； ② 顶点：原点； ③ 范围：，； ④ 准线：； ⑤ 离心率：； ⑥ 焦半径公式： ⑦ 切线方程：若为切点，则切线方程为 ⑧ 参数方程：。 1．（2025·华二附中·3月月考）已知抛物线上有一点P到焦点的距离为3， 则P到y轴的距离为 ． 1．【分析】由抛物线的定义得P到抛物线C的焦点的距离为，进而得到，化简即可求解. 【详解】由题意知：抛物线的准线为，设点 ，则P到y轴的距离为， 由抛物线的定义得P到抛物线C的焦点的距离为， 即，化简得.故答案为：. 2．（2025·延安中学·2月月考）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 2．【分析】先根据焦半径公式得到的关系，然后根据弦长公式求解出，结合两点间斜率公式以及点在抛物线上求解出的值，则抛物线方程可求. 【详解】设，因为，所以，所以， 又因为，所以， 因为都在第一象限，所以， 又因为且， 所以，所以，所以抛物线方程为，故答案为：. 3．（2025·进才中学·2月月考）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点．若，下面四个结论： ①开口向上的抛物线的方程为； ②； ③直线截第一象限花瓣的弦长的最大值为； ④阴影区域的面积大于， 上述结论中所有正确的序号是 ． 3．①②④【分析】对于①，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于②， 联立抛物线方程，求出点的坐标，即得；对于③，将直线与抛物线方程联立求出的坐标， 由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于④，利用以直线近似 取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断. 【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为, 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故①正确； 对于B，根据①项分析，由可解得，或，即，代入可得， 由图象对称性，可得，故，即②正确； 对于C，如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点, 由，解得，由， 解得, 即得, 则弦长为：， 由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0， 即在第一象限部分满足，不妨设，则，且， 代入得，，（） 由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即③错误； 对于④，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值. 如图，在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行， 由可得切点坐标为，因，则点到直线的距离为， 于是，由图知，半个花瓣的面积必大于，故原图中的阴影部分面积必大于 ，故④正确.故选：①②④【点睛】解题思路是，理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解. 4．（2025·南洋模范中学·控江中学·大同中学·曹杨二中高三下3月四校联考） 如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线， 分别交抛物线于与，当时，为的中点. （1）求抛物线的方程；（2）若，证明：； （3）若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标. 4．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析，. 【分析】（1）先求直线再联立抛物线得出韦达定理应用中点坐标得出 ，进而得出抛物线；（2）先设直线方程代入抛物线联立方程组，结合根与系数的关系，应用，即可得到结论；（3）先设直线过点P得出 同理结合理过点Q得出，最后得出的直线得出定点. 【详解】（1）当时，，联立消去，可得，设，拋物线C方程为：； （2） 由题知，设，， 代入抛物线可得：， ， 又， ，同理 ；（3）因为 ，所以，代入点得①， 设，同理，过点②， ，结合①②可得： 又因为，所以， 整理得所以直线过定点. 5．（2025·上海高三下学期数学学科素养）已知抛物线.（1）倾斜角为的直线过的焦点， 且与交于、两点，求；（2）设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆. ①若，求点的横坐标；②求面积的最小值. 5．（1）；（2）①3；②. 【分析】（1）根据已知得直线为，联立抛物线，应用韦达定理及抛物线的定义求； （2）①若、、，切线为，根据内切圆及点线 距离公式得，进而得到且， 即可求的横坐标；②由①有，令 得，结合对勾函数、二次函数性质求最小值. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，直线的方程为， 设点、的横坐标为、，由，消得于是，故； （2）①设，于是有， 抛物线的准线方程为，设、， 过的直线的方程可设为，由题意，两直线均与圆相切，故， 整理得，设直线、的斜率为、， 于是，将代入上式， 化简得，解得或（舍），故点的横坐标为3； ②由①，，点到的距离， 故的面积，不妨令， 于是， 当且仅当，即时，的面积取到最小值，最小值为. 6．（2025·南汇中学·3月月考）已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，.（1）求抛物线C的方程； （2）证明：直线l过定点，并求出该定点坐标；（3）若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C 相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值；若不为定值，请说明理由． 6．（1）；（2）证明见解析；定点；（3）为定值，定值为4 . 【分析】（1）根据已知及抛物线的定义求得，即可得抛物线方程； （2）设直线l方程为，联立抛物线并应用韦达定理得，再由及，，联立所得求参数值，进而确定直线所过的定点； （3）设直线AM的方程为，联立抛物线并应用韦达定理，、得到、，再由三角形面积公式得到，结合（2）即可得结论. 【详解】（1）由题设； （2）设直线l方程为，且，， 联立直线l与抛物线，消去x，得，故， 因为，且，， 所以，则直线l方程为，过定点； （3）由题设，Q在直线AM上， 设直线AM的方程为，与抛物线方程联立为， 设，所以，即，设，同理得，即， ，因为，所以， 因为，，所以，而，，， 所以，因此为定值，定值为4. 题型05离心率 技法指导： 圆锥曲线的离心率是近3年高考的命题热点与难点，常作为小题中的压轴题出现，难度中档及以上； 离心率问题是解析几何的核心内容之一，其本质是寻找几何图形中的等量关系，构建关于离心率e的 方程或不等式；从近几年高考命题来看，离心率的求解不再局限于单一的定义考查，而是深度融入 圆锥曲线的几何性质之中。 离心率问题将继续作为高考的重点和区分点。命题将更加注重知识的交汇性和思想的灵活性；其 考查可能更加侧重于：与平面几何的结合： 深入挖掘焦点三角形、中垂线、角平分线等平面几何性质来构建等量关系；与向量的结合： 利用向量共线、垂直的数量积条件作为建立方程的桥梁。与函数、不等式的结合： 将离心率表示为某个变量的函数，从而利用函数单调性或基本不等式求范围。 1．（2025·曹杨中学·2月月考）设，椭圆的离心率为，双曲线的 离心率为，若，则的取值范围是 . 1．【分析】由题意得到，，通过，求得范围，进而可求解.【详解】由椭圆方程可得：，，由双曲线方程可得：，，，令，可知，由，可得：即，解得：，综上，所以， 令，则，易知，在单调递减； 当，，当时，，所以，所以， 故答案为：. 2．（2025·复旦附中·高三下学期3月月考）已知，分别为双曲线C：的 左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于两点；若， 则C的离心率为 . 2．/【分析】判断关于x轴对称，可得， 设由求出，联立 求得M点坐标，结合直线列式可推得， 即可求得双曲线离心率. 【详解】根据双曲线C：的对称性以及其两条渐近线关于x轴对称， 不妨设M在第一象限，可知点关于x轴对称，则，设， 则，即，则，由题意得: 直线的方程为，联立，即得，故，则 ，所以C的离心率为，故答案为：. 3．（2025·上海交大附中·3月月考）设双曲线：（，）的左、右焦点分别为和，以的实轴为直径的圆记为，过点作的切线，与的两支分别交于，两点，且，则的离心率的值为 . 3．【分析】如图，设直线l与圆C的切点为，过点作于点Q，则，由题意求出， 进而求出、，结合双曲线的定义化简计算即可求解. 【详解】设直线l与圆C的切点为，则，，由， 得，过点作于点Q，则，由O为的中点，得，因为为锐角，所以，有，得， 所以，由双曲线的定义知，，即， 解得，又，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：. 4．（2025·南洋模范中学·控江中学·大同中学·曹杨二中高三下3月四校联考） 机场为旅客提供的圆锥形一次性纸杯如图所示，该纸杯母线长为， 开口直径为，旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆 经过母线中点时，该椭圆的离心率等于 ． 4．【分析】根据余弦定理可得，即可根据相似求解，进而根据椭圆方程求解，，即可由离心率公式求解. 【详解】如图，设，因，故， 又，由余弦定理，，即， 设椭圆中心为O，作圆锥的轴截面AMN，与底面直径BC交于E， 与椭圆交于P，Q，连AE交BD于G，以点O为原点，DB为x轴， 建立直角坐标系．则，又由得 ，从而，则得，不妨设椭圆方程为， 把和点P坐标代入方程，解得，则，故．故答案为：. 5．（2025·青浦高级中学·3月月考）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为 ． 5．【分析】如图，延长，与椭圆交于点L，连接， 设可得， 在中，用余弦定理可得到，继而得到，即可求解. 【详解】设椭圆的半焦距为，如图，延长，与椭圆交于点L， 连接，由，所以根据对称性可知，， 设，则，， 从而，故， 在中，，所以， 在中，， 即，所以，所以，所以离心率，故答案为：. 6．（2025·南汇中学·3月月考）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的 轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为 一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 6．B【分析】根据推出，设圆柱底面半径为r，再根据圆柱的侧面展开图推出，利用圆柱的斜截面椭圆及离心率求出r即可. 【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分，可得． 设圆柱底面半径为r，则，所以，设椭圆长轴长为，短轴长为， 因为离心率为，得，则，即，所以，得， 又由勾股定理得，解得，故；故选：B. 7．（2025·上海理工附中·3月月考）已知点是双曲线左支上一点，是 双曲线的左右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是 . 7．【分析】根据题意得，通过斜率以及直角三角形关系建立等量关系，结合双曲线的定义 求解离心率.【详解】由题：双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线， O是的中点，所以渐近线与平行，所以，，，所以，又 所以， 所以，离心率.故答案为：. 1．（2025·南汇中学·3月月考）设为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的部分交于点，若为等腰三角形，则的离心率为 . 1．【分析】根据双曲线的定义及已知有、、， 再应用余弦定理得到双曲线参数的齐次式，即可求离心率. 【详解】由题设及图知，且， ，所以， 则， 所以，即，可得（负值舍）； 故答案为：. 2．（2026·上海实验学校·高三下学期3月月考）若双曲线不存在以点为中点的弦， 则正实数m的取值范围为（   ）A． B． C． D． 2．A【解析】设双曲线上存在以为中点的弦，其中，（）； 由中点坐标性质，得：，因为点在双曲线上，满足双曲线方程：，，用两式作差：，利用平方差公式展开：，两边同时除以（因，分母不为0），并代入，：，设弦的斜率为，化简得：， 由点斜式，弦的直线方程为：，整理为斜截式：， 将直线方程代入双曲线方程，消去：， 展开并通分（两边同乘）：， 展开括号并整理：， 合并同类项，得到关于的一元二次方程：， 双曲线存在以为中点的弦的充要条件是：上述一元二次方程有两个不同的实根（对应弦的两个端点），且两个实根对应的点在双曲线上，反之，弦不存在时，方程无两个不同实根，分两种情况讨论： 情况1：方程不是一元二次方程（二次项系数为0），令二次项系数，解得或，因题目要求，故取，此时方程退化为一次方程： 显然无实根，即不存在对应的弦，符合题意； 情况2：方程是一元二次方程（二次项系数不为0），此时（即且）， 需方程无两个不同实根，即判别式，对于一元二次方程，判别式， 对比方程，记：， 计算判别式：， 展开并化简：，提取公因式 ： ， 化简括号内的表达式：， 展开并合并同类项：， 因此，判别式最终化简为：，要求，结合（题目限定正实数），，，故不等式等价于：，令（），则不等式变为：， 解此一元二次不等式，得：，即，结合，开方得：； 情况1（）和情况2（）合并，得正实数的取值范围为：；故选：A. 3．（2026·大同中学·高三4月月考）已知点，分别是椭圆右顶点与上顶点，坐标原点到直线的距离为，且点是圆的圆心， 动直线与椭圆交于，两点．（1）求椭圆的方程； （2）若点在线段上，，且当取最小值时 直线与圆相切，求的值；（3）若直线与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求的取值范围． 3．（1） ；（2） ；（3）. 【分析】（2） 设， 则，求出直线的方程，将点坐标代入直线的方程，可得，当且仅当 时，取得最小值，可得到点的坐标，则可得到直线的方程，再由原点到直线的 距离为，可求出的值；（3） 由,可得，求出， ，可得，可求出的范围. 【解析】（1）由点是圆的圆心，，则，，则，坐标原点到直线的距离为，在中由等面积法有，可得，所以椭圆的方程为； （2）设，则，则， 则直线的方程为，将点坐标代入直线的方程，可得， 故，则当且仅当 时，取得最小值， 此时点的坐标为，直线的方程为，故； （3）由，可得,将代入椭圆方程得：， 即，故，又点到直线的距离为， 则，所以， 可得，令， 则，故取值的范围是. 4．（2025·行知中学·3月月考）已知曲线的左､右焦点分别为， 直线经过且与相交于两点.（1）求的周长； （2）若以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且与圆相切，求的方程；（3）设的斜率为，在轴上是否存在一点，使得 且？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 4．（1）周长为6；（2）；（3）存在，. 【分析】（1）由椭圆方程求出，，然后根据椭圆的定义可求出的周长； （2）设圆的方程为，由题意可求得，由与圆相切，利用点到直线的距离公式列方程可求出直线的斜率，从而可求出直线方程；（3）假设在轴上存在一点，设直线的方程为，，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，表示出线段的中点的坐标，从而可表示出线段中垂线的方程，则可表示点的坐标，然后表示出到直线的距离，再利用列方程可求出的值，从而可得答案. 【详解】（1）根据题设条件，可得，故，，所以，根据椭圆定义， 可知，因为，所以，得的周长为6； （2）设圆的方程为，令，得，故，得. 由题意可得直线的斜率存在，由与圆相切，得到直线的距离. 解得，故直线的方程为；（3）假设在轴上存在一点， 设直线的方程为，将直线的方程和椭圆的方程联立，得， 消去并整理，得， 必有，令，则， ，故线段的中点的坐标为， 则线段中垂线的方程为，令，得， 点到直线的距离，又因为，所以， 即，化简得，解得，故. 5．（2026·进才中学·3月月考）已知双曲线经过点，且右顶点为.过点作直线与交于、两点，直线、分别与轴交于点、. （1）求的方程；（2）若的方程为，求的面积； （3）设点、到的距离分别为、，求的最大值. 5．（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）因为双曲线的右顶点为，且经过点， 所以，解得，所以的方程为； （2）联立得，设、， 则，， 所以， 所以； （3）方法一：由题意可知，直线不与轴平行，故其斜率存在，设的方程为， 联立，得，设、， 则，，直线的方程为，所以， 同理可得，所以的中点的纵坐标为 ， 所以的中点为定点.设到的距离为，由图易知、两点在的同侧，所以， 又过定点，所以，所以最大值为. 方法二：设、，不妨设.则直线的方程为， 与联立得：， 则，，，则，， 同理，.而，， 又、、三点共线，则有，则， 等式两边同时乘以可得，即， 即，因为，故，即，所以的中点为定点. 设到的距离为，由图易知、两点在的同侧，所以， 又过定点，所以，所以最大值为. 6．（2026·复旦中学·高三下学期数学调研）一已知双曲线的右焦点为． （1）求双曲线的渐近线方程；（2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直， 若为直角三角形，求的面积；（3）过点的动直线交双曲线C于两点，过点 分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点， 问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 6．（1）；（2）或；（3）存在，.【解析】（1）双曲线的渐近线方程为； （2）①当时，横坐标代入双曲线方程可得，则；    ②当时，设，∴， 则，解得，则.   （3）①当斜率不存在时，，∴； ②当斜率存在时，设为，则直线的方程为， 设，∴，  联立方程， 可得，由题可知①， 同理②， ①②式可得：， ∴，∴， ∴，∴， 则为定点． 7．（2025·南汇中学·3月月考）已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，.（1）求抛物线C的方程； （2）证明：直线l过定点，并求出该定点坐标；（3）若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C 相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值；若不为定值，请说明理由． 7．（1）；（2）证明见解析；定点；（3）为定值，定值为4 . 【分析】（1）根据已知及抛物线的定义求得，即可得抛物线方程； （2）设直线l方程为，联立抛物线并应用韦达定理得，再由及，，联立所得求参数值，进而确定直线所过的定点； （3）设直线AM的方程为，联立抛物线并应用韦达定理，、得到、，再由三角形面积公式得到，结合（2）即可得结论. 【详解】（1）由题设； （2）设直线l方程为，且，， 联立直线l与抛物线，消去x，得，故， 因为，且，， 所以，则直线l方程为，过定点； （3）由题设，Q在直线AM上，设直线AM的方程为，与抛物线方程联立为， 设，所以，即，设，同理得，即， ，因为，所以， 因为，，所以，而，，， 所以，因此为定值，定值为4. 8．（2025·上海理工附中·3月月考）已知抛物线的焦点为，若△的三个顶点都在抛物线上，且，则称该三角形为“核心三角形”. （1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？请说明理由； （2）设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为4，求直线的方程； （3）已知△是“核心三角形”，证明：点的横坐标小于2. 8．（1）不存在，理由见解析.（2）.（3）证明见解析 【分析】（1）利用求得第三个点的坐标，由此判断出这样的“核心三角形”不存在； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，根据求得点的 坐标并代入抛物线方程，由此求得的值，进而求得直线的方程；（3）设出直线的方程并与 抛物线方程联立，写出判别式和韦达定理，利用求得点的坐标并代入抛物线方程， 【详解】（1）由于，即， 即，所以第三个顶点的坐标为，   但点不在抛物线上，∴这样的“核心三角形”不存在； （2）设直线的方程为，与联立并化简得： 设，，，，， 由（1）得，即， 所以由得：，， 代入方程，解得：，∴直线的方程为； （3）设直线的方程为，与联立并化简得：， ∵直线与抛物线相交，∴判别式， 即. ，∴，由，得 ，即 点的坐标为，又∵点在抛物线上，∴， 得，∵，即，∴， ∴点的横坐标. 9．（2026·上海实验学校·高三下学期3月月考）已知抛物线. （1）倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求； （2）设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆. ①若，求点的横坐标；②求面积的最小值. 9．（1）；（2）①3；②.【分析】（1）根据已知得直线为，联立抛物线，应用韦达定理及抛物线的定义求；（2）①若、、，切线为，根据内切圆及点线距离公式得，进而得到且，即可求的横坐标；②由①有，令得，结合对勾函数、二次函数性质求最小值. 【解析】（1）抛物线的焦点坐标为，直线的方程为.设点、的横坐标为、. 由，消得于是，故. （2）①设，于是有，抛物线的准线方程为， 设、，过的直线的方程可设为， 由题意，两直线均与圆相切，故， 整理得，设直线、的斜率为、， 于是， 将代入上式，化简得，解得或（舍），故点的横坐标为3； ②由①，， 点到的距离，故的面积， 不妨令，于是， 当且仅当，即时，的面积取到最小值，最小值为. 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴06 解析几何的5大核心压轴题型 最值与范围问题是解析几何中的典型问题,是教学的重点也是历年高考的热点.解决这类问题不仅要善于利用几何手段对平面图形进行研究,而且要从代数角度进行函数等相关运算。 定点问题主要涉及直线或圆过定点问题的判定及证明；定值问题主要涉及面积、长度、代数式等与参数无关的定值，考查题型为解答题，一般作为压轴题出现。 题型01 直线与圆的方程 技法指导 直线与方程部分5年3考，考查过求点到直线的距离、平面两点间的距离等；圆与方程部分5年 2考，涉及由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化等。此外，直线与圆的 位置关系也是考查重点，如2022年考查了判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 （1）圆的方程形式: 圆的标准方程：，表示以为圆心，以为半径的圆； 圆的一般方程：，即； 圆的参数方程：，表示以为圆心，以为半径的圆； 圆的直径式方程：，其中、分别为直径的两个端点； （2）与圆相关的公式： 切线公式一：对于圆，若直线和圆的切点为， 则切线方程为； 若点在圆外，则方程表示过两个切点的切点弦方程； 切线公式二：对于圆，斜率为的切线方程为；两圆公共弦公式：若两圆和相交，则它们公共弦的方程为。 1．（2025·曹杨中学·2月月考）在平面直角坐标系内，曲线所围成的区域的面积为 . 2．（2025·川沙中学·3月月考）“太极图”因其图形如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”；如图所示是放在平面直角坐标系中的“太极图”， 图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点， 则 的最小值为 . 3．（2025·复旦附中·高三上学期期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的 距离之比为定值（且）的点的轨迹是一个圆；后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为 阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知动点在边长为6的正方形内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹长度为 . 4．（2025·川沙中学·3月月考）已知关于的方程有四个互不相等的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是 ． 5．（2025·复旦大学附属复兴中学·松江二中·奉贤中学·金山中学四校3月联考）已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是 ． 6．（2025·七宝中学·高三下学期开学考）已知，存在，当时， 都有，则的取值范围是 ． 题型02 椭圆 技法指导： 椭圆的性质和结论： ① 对称性：椭圆既是以轴、轴为对称轴的轴对称图形， 又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；椭圆的对称中心叫做椭圆的中心； ② 顶点：和，这四个点叫做椭圆的顶点； 若，表示椭圆长轴的长，表示椭圆短轴的长，椭圆的两个焦点都在它的长轴上； ③ 范围：，； ④ 准线：准线方程； ⑤ 离心率：；； ⑥ 焦半径公式：； ⑦ 焦点三角形面积公式：； ⑧ 切线方程：若为切点，则切线方程为； ⑨ 参数方程：，。 1．（2025·上海大学附属中学·3月月考）关于的实系数一元二次方程的两个虚根为、， 若、在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为 ． 2．（2025·复旦大学附属复兴中学·松江二中·奉贤中学·金山中学四校3月联考） 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出， 被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成， 现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时0.003秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒； 已知与的离心率之比为，则 秒. 3．（2025·曹杨中学·2月月考）在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的 左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点、，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线经过椭圆的右焦点，是椭圆上两点，四边形是菱形，求直线的方程； （3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线，，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围. 4．（2025·川沙中学·3月月考）设为坐标原点，点，、为椭圆上的点， 直线经过的重心.（1）求椭圆的离心率；（3）若点的坐标为 求点的坐标；（3）的边、与椭圆分别交于、两点，点在四边形内， 求证：和的面积相等. 5．（2025·复旦大学附属复兴中学·2月月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦，， 设，中点分别为，． （1）写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的长轴长； （2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦，的斜率均存在，求面积的最大值． 6．（2025·复旦附中·高三上学期期末）17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种 如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形；带槽杆长为4，点间的距离2， 转动杆一周的过程中始终有；点在线段的延长线上，且. （1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为，（i）证明：为定值； （ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围. 7．（2025·复旦附中·3月月考）如图，已知椭圆与椭圆有相同的 离心率，点在椭圆上；过点的两条不重合直线与椭圆 相交于两点，与椭圆相交于和四点．   （1）求椭圆的标准方程；（2）求证：； （3）若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值． 8．（2025·华二附中·3月月考）已知椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线l交椭圆E于P、Q两点．（1）若E的离心率为，求b的值；（2）若为等腰 三角形，且P在第一象限，求点P的坐标；（3）设直线交椭圆E于另一点R，若， 求b的取值范围． 9．（2025·建平中学·高三3月月考）如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”. （1）求椭圆的标准方程；（2）记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为， 三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由；（3）若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点， 直线，的斜率存在，记为，，求的最小值. 10．（2025·上外附属云间中学·高三下学期开学考）已知平面直角坐标系中动点，定点，. （1）若点在轴上，且为等腰三角形，求点的坐标； （2）若点在轴上，且的外接圆与轴相切于点，求此时圆的半径； （3）设点在椭圆上，求的面积的最大值并求相应点的坐标. 11．（2025·上海大学附属中学·3月月考）已知椭圆的左、右焦点分别是，其离心率，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．（1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有 一个公共点，设直线的斜率分别为，若，证明：为定值，并求出这个定值； （3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，设的角平分线交椭圆的长轴于点， 求的取值范围． 12．（2025·上海交大附中·3月月考）已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． （1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点： （i）求证：点轨迹方程为；（ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点， 点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 题型03双曲线 技法指导 双曲线的性质和结论： ①对称性：双曲线既是以轴、轴为对称轴的轴对称图形， 又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；双曲线的对称中心叫做双曲线的中心； ②顶点：和，这四个点叫做双曲线的顶点；表示双曲线实轴的长， 表示双曲线虚轴的长，双曲线的两个焦点都在它的实轴所在的直线上； ③范围：或，； ④ 渐近线：； ⑤ 准线：准线方程； ⑥ 离心率：；； ⑦ 焦半径公式：； ⑧ 焦点三角形面积公式： ⑨ 切线方程：若为切点，则切线方程为； ⑩ 参数方程：，。 1．（2025·曹杨中学·2月月考）双曲线的两渐近线的夹角大小为 . 2．（2025·上海市高三下学期数学学科素养评价）已知反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线分别为轴和轴，且它们的夹角为，将该双曲线绕其中心（坐标原点）旋转可使其渐近线为直线和，由此可求得双曲线的离心率为；已知函数的图象也是双曲线，那么该双曲线的离心率为 . 3．（2025·建平中学·高三3月月考）已知双曲线的两条渐近线将双曲线所在 平面分为上，下，左，右4个部分（不含渐近线上的点），若位于上部分，不位于 下部分，则C的离心率的取值范围为 . 4．（2025·复旦大学附属复兴中学·2月月考）能够使得命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题的一个实数的值为 . 5．（2025·复旦大学附属复兴中学·松江二中·奉贤中学·金山中学四校3月联考）在平面直角坐标系中， 点到定点的距离与点到直线：的距离之比为2，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程；（2）已知点，，为曲线的左、右顶点； 若直线与曲线的右支分别交于点.（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）求的最大值． 6．（2025·七宝中学·高三下学期开学考）已知双曲线的右顶点， 它的一条渐近线的倾斜角为.（1）求双曲线的方程；（2）过点作直线交双曲线于， 两点（不与点重合），求证：；（3）若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交， 交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围. 7．（2025·青浦高级中学·3月月考）已知双曲线：的离心率为， 点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．（1）求双曲线C的方程； （2）若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?、请说明理由． （3）点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、， 求证：为定值．   8．（2025·延安中学·2月月考）平面直角坐标系中，双曲线的离心率为． （1）求的方程；（2）若直线与有两个公共点、，动点满足， 求点的轨迹方程；（3）若直线与只有一个公共点，且直线与的两条渐近线分别交于、 两点，则的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 题型04 抛物线 技法指导 抛物线的性质和结论： ① 对称性：关于轴对称； ② 顶点：原点； ③ 范围：，； ④ 准线：； ⑤ 离心率：； ⑥ 焦半径公式： ⑦ 切线方程：若为切点，则切线方程为 ⑧ 参数方程：。 1．（2025·华二附中·3月月考）已知抛物线上有一点P到焦点的距离为3， 则P到y轴的距离为 ． 2．（2025·延安中学·2月月考）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 3．（2025·进才中学·2月月考）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点．若，下面四个结论： ①开口向上的抛物线的方程为； ②； ③直线截第一象限花瓣的弦长的最大值为； ④阴影区域的面积大于， 上述结论中所有正确的序号是 ． 4．（2025·南洋模范中学·控江中学·大同中学·曹杨二中高三下3月四校联考） 如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线， 分别交抛物线于与，当时，为的中点. （1）求抛物线的方程；（2）若，证明：； （3）若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标. 5．（2025·上海高三下学期数学学科素养）已知抛物线.（1）倾斜角为的直线过的焦点， 且与交于、两点，求；（2）设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆. ①若，求点的横坐标；②求面积的最小值. 6．（2025·南汇中学·3月月考）已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，.（1）求抛物线C的方程； （2）证明：直线l过定点，并求出该定点坐标；（3）若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C 相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值；若不为定值，请说明理由． 题型05离心率 技法指导： 圆锥曲线的离心率是近3年高考的命题热点与难点，常作为小题中的压轴题出现，难度中档及以上； 离心率问题是解析几何的核心内容之一，其本质是寻找几何图形中的等量关系，构建关于离心率e的 方程或不等式；从近几年高考命题来看，离心率的求解不再局限于单一的定义考查，而是深度融入 圆锥曲线的几何性质之中。 离心率问题将继续作为高考的重点和区分点。命题将更加注重知识的交汇性和思想的灵活性；其 考查可能更加侧重于：与平面几何的结合： 深入挖掘焦点三角形、中垂线、角平分线等平面几何性质来构建等量关系；与向量的结合： 利用向量共线、垂直的数量积条件作为建立方程的桥梁。与函数、不等式的结合： 将离心率表示为某个变量的函数，从而利用函数单调性或基本不等式求范围。 1．（2025·曹杨中学·2月月考）设，椭圆的离心率为，双曲线的 离心率为，若，则的取值范围是 . 2．（2025·复旦附中·高三下学期3月月考）已知，分别为双曲线C：的 左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于两点；若， 则C的离心率为 . 3．（2025·上海交大附中·3月月考）设双曲线：（，）的左、右焦点分别为和，以的实轴为直径的圆记为，过点作的切线，与的两支分别交于，两点，且，则的离心率的值为 . 4．（2025·南洋模范中学·控江中学·大同中学·曹杨二中高三下3月四校联考） 机场为旅客提供的圆锥形一次性纸杯如图所示，该纸杯母线长为， 开口直径为，旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆 经过母线中点时，该椭圆的离心率等于 ． 5．（2025·青浦高级中学·3月月考）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为 ． 6．（2025·南汇中学·3月月考）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的 轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为 一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 7．（2025·上海理工附中·3月月考）已知点是双曲线左支上一点，是 双曲线的左右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是 . 1．（2025·南汇中学·3月月考）设为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的部分交于点，若为等腰三角形，则的离心率为 . 2．（2026·上海实验学校·高三下学期3月月考）若双曲线不存在以点为中点的弦， 则正实数m的取值范围为（   ）A． B． C． D． 3．（2026·大同中学·高三4月月考）已知点，分别是椭圆右顶点与上顶点， 坐标原点到直线的距离为，且点是圆的圆心， 动直线与椭圆交于，两点．（1）求椭圆的方程； （2）若点在线段上，，且当取最小值时 直线与圆相切，求的值；（3）若直线与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求的取值范围． 4．（2025·行知中学·3月月考）已知曲线的左､右焦点分别为， 直线经过且与相交于两点.（1）求的周长； （2）若以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且与圆相切，求的方程；（3）设的斜率为，在轴上是否存在一点，使得 且？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 5．（2026·进才中学·3月月考）已知双曲线经过点，且右顶点为.过点作直线与交于、两点，直线、分别与轴交于点、. （1）求的方程；（2）若的方程为，求的面积； （3）设点、到的距离分别为、，求的最大值. 6．（2026·复旦中学·高三下学期数学调研）一已知双曲线的右焦点为． （1）求双曲线的渐近线方程；（2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直， 若为直角三角形，求的面积；（3）过点的动直线交双曲线C于两点，过点 分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点， 问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 7．（2025·南汇中学·3月月考）已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，.（1）求抛物线C的方程； （2）证明：直线l过定点，并求出该定点坐标；（3）若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C 相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值；若不为定值，请说明理由． 8．（2025·上海理工附中·3月月考）已知抛物线的焦点为，若△的三个顶点都在抛物线上，且，则称该三角形为“核心三角形”. （1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？请说明理由； （2）设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为4，求直线的方程； （3）已知△是“核心三角形”，证明：点的横坐标小于2. 9．（2026·上海实验学校·高三下学期3月月考）已知抛物线. （1）倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求； （2）设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆. ①若，求点的横坐标；②求面积的最小值. 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $