第6章 空间向量与立体几何（复习讲义）数学苏教版高二选择性必修第二册

该高中数学复习讲义通过思维导图系统梳理空间向量与立体几何知识体系，从空间向量的概念、运算到坐标表示，再到向量法解决平行垂直证明、角度距离计算等应用，用对比表格呈现传统几何法与向量法的优劣，清晰标注重点难点如法向量应用和坐标系建立。 讲义亮点在于分层练习设计，基础巩固通关测涵盖选择填空解答题，能力提升进阶练融入高考真题，如“用空间向量研究二面角问题”的四棱锥题型，培养逻辑推理和数学建模素养。解题方法总结区分坐标法与基底法，帮助不同层次学生掌握策略，支持教师实施精准分层教学。

第6章 空间向量与立体几何（复习讲义） 一、基础目标 1.空间向量的基本概念与运算 （1）理解空间向量的定义、表示方法（坐标、模长、方向）。 （2）掌握线性运算（加法、数乘）、数量积（点积）与向量积（叉积）的计算。 （3）能判断向量共线、共面条件。 2. 空间直角坐标系建立 能用坐标系表示点和向量，计算距离、中点坐标等。 二、核心能力目标 1. 向量法解立体几何问题 （1）位置关系：用向量证明平行、垂直（如直线与平面、平面与平面）。 （2）角度计算：求线线角、线面角、二面角（通过方向向量或法向量）。 （3）距离问题：计算点到直线、点到平面、异面直线间的距离。 2. 空间想象与代数转化 （1）将几何图形（如棱柱、棱锥）转化为向量关系，建立坐标系。 （2）理解法向量的几何意义，并用于求平面方程或垂直问题。 三、高阶应用目标 1. 综合问题解决 （1）结合向量与立体几何知识解决实际应用问题（如力学中的受力分析、空间轨迹问题）。 （2）处理开放性几何问题（如最值、动点问题）。 2. 与传统几何法的对比 比较向量法与传统几何法（如综合法、坐标法）的优劣，灵活选择解题策略。 四、数学思想培养 （1）数形结合：通过向量将几何问题代数化，降低空间想象难度。 （2）逻辑推理：严谨推导向量关系与几何结论的等价性。 （3）建模能力：用数学模型（如向量方程）描述空间图形。 重点与难点 重点：向量法证明垂直/平行、角度与距离的计算。 难点：法向量的灵活应用、异面直线距离的向量求法、坐标系的合理建立。 通过这一章节的学习，学生应能摆脱纯几何推理的局限性，掌握更通用的代数工具，为后续学习空间解析几何、线性代数等奠定基础。 知识点1：空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 知识点2：空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 知识点3：空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 知识点4：空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ； ； ； ； ． （2）设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）向量在向量上的投影为． 知识点5：向量法证明平行、垂直 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 知识点6：空间角公式 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 知识点7：空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 解题方法总结 用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单． 用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算． 题型一 空间向量及其线性运算 【例1】已知平行四边形ABCD，点E是CD的中点，点F满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】在四面体中，为中点，为中点，则用，，表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在四面体中， 若，，，，，则（   ） A． B． C． D． 题型二 空间向量的数量积运算 【例2】如图所示，在平行六面体中，，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式2-1】如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为2，且． (1)求的长； (2)求直线与所成角的余弦值． 【变式2-2】如图，已知平行六面体. (1)若，求的长度； (2)若，求与所成角的余弦值. 题型三 空间向量基本定理 【例3】已知向量，若共面，则 ． 【变式3-1】在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则 . 【变式3-2】如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 题型四 空间向量运算的坐标表示 【例4】已知空间中三点，，． (1)若向量与相互垂直，求实数的值； (2)求的面积． 【变式4-1】设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【变式4-2】已知空间三点，设. (1)求和的夹角的余弦值; (2)若向量与互相垂直，求的值. 题型五 用空间向量研究平行、垂直问题 【例5】已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中.是的中点，是的中点. (1)求与的夹角余弦值 (2)求证平面 【变式5-1】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，E为中点，点F在上，且 (1)求证：平面 (2)求二面角的余弦值; (3)线段上是否存在点Q，使得平面若存在，求线段的长;若不存在，说明理由. 【变式5-2】如图，平行六面体的底面ABCD是菱形，且． (1)求的长； (2)求证：平面． 题型六 用空间向量研究异面直线所成角问题 【例6】在正方体中，为上靠近的三等分点，为上的点，则当异面直线与夹角最大时， . 【变式6-1】在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 ． 【变式6-2】如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为 ；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 . 题型七 用空间向量研究线面角问题 【例7】如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点.    (1)证明：； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式7-1】如图，四棱锥中，，且. (1)求证：平面平面； (2)若是等边三角形，底面是边长为3的正方形，是中点，求直线与平面所成角的余弦值. 【变式7-2】如图，把矩形纸片ABCD沿BM折成直二面角，其中，M为AD的中点． (1)若点Q为线段的中点，求证：∥平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 题型八 相交线 【例8】如图，已知四棱锥中，底面为菱形，，，平面，分别是的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正弦值． 【变式8-1】如图，在三棱柱中，，，．    (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式8-2】如图，正六边形的边长为2，将梯形沿翻折至，形成多面体，其中为的中点，连接．    (1)若点为的中点，证明：平面； (2)若，求多面体的体积； (3)若二面角的大小为，求平面与平面夹角的余弦值． 题型九 用空间向量研究距离问题 【例9】如图，四棱锥中，平面平面ABCD是以为斜边的等腰直角三角形，底面为直角梯形其中是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【变式9-1】已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 【变式9-2】如图，正方体的棱长为1，点M，N分别在线段，上，且，. (1)若，证明：； (2)若，点P，Q分别在直线，上，且，，求的取值范围. 基础巩固通关测 一、单选题 1．如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D．10 2．下列四个命题中，正确命题的个数是（    ） ①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得； ②若两条不同直线的方向向量分别是，则； ③若是空间的一个基底，且，则四点共面； ④若两个不同平面的法向量分别是，且，则． A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知，，，若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，以棱长为的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在体对角线上运动，点为棱的中点，则当最小时，点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 5．如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（    ） A． B． C． D． 6．已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 7．若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 8．如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则是钝角 B．若为直线l的方向向量，则λ也是直线l的方向向量 C．若，则可知 D．在四面体中，若，，则 10．已知正方体的棱长为1，则（    ） A．与平面所成角的正弦值为 B．为平面内一点，则 C．异面直线与的距离为 D．为正方体内任意一点，，，，则 11．已知空间向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 13．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，M为AB的中点，N为PD的中点.若PA=4，AB=2，则 . 14．已知 ，则 与 夹角的余弦值为 . 四、解答题 15．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点. (1)证明：平面AMD⊥平面BMC； (2)当三棱锥体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正切值. 16．如图，在长方体中，为中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得//平面,若存在，求的长；若不存在，说明理由． （Ⅲ）若二面角的大小为，求的长. 17．如图所示，在四棱锥，面，底面为正方形． (1)求证：面； (2)已知，在棱上是否存在一点，使面，如果存在请确定点的位置，并写出证明过程；如果不存在，请说明理由． 18．如图，在三棱锥中，底面ABC，，点D、E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，. (1)求证：平面BDE； (2)求直线MN到平面BDE的距离. 19．已知空间三点，，. (1)求以，为邻边的平行四边形的面积； (2)若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标. 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 二、多选题 2．（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 3．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 4．（24-25高二下·江苏扬州·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（    ） A．线段长度的最大值是 B．点P到平面的距离是定值 C．直线与BD所成角的最小值是 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 5．（24-25高二下·江苏镇江·期末）在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（    ）    A．若，则面 B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 三、填空题 6．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为 ． 四、解答题 7．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值． 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 9．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 10．（2004·江苏·高考真题）在棱长为4的正方体中，O是正方形的中心，点P在棱上，且． (1)求直线AP与平面所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)设O点在平面上的射影是H，求证：； (3)求点P到平面的距离． 11．（2020·江苏·高考真题）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 12．（2018·江苏·高考真题）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点。 （1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； （2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值 13．（2011·江苏·高考真题）如图，在正四棱柱中， ，点是 的中点，点在 上，设二面角的大小为 ． （1）当时，求 的长； （2）当时，求 的长． 14．（2008·江苏·高考真题）记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围． 15．（24-25高二下·江苏泰州·期末）在三棱锥中，已知平面，点在内（包括边界），． (1)已知． （i）求； （ii）求直线与所成角的大小． (2)若点分别满足，为直线上一点，且平面，求二面角余弦的最小值． 16．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）如图，在长方体中，点E，F分别是棱，上的动点，且，， (1)求证：平面； (2)若，． ①求平面与平面夹角的余弦值的最大值； ②若平面截长方体的截面为五边形，求平面与平面夹角的余弦值的范围． 17．（24-25高二下·江苏常州·期末）在四棱锥中，已知，是等边三角形，点在棱上. (1)当时，求证：平面； (2)求点到底面的距离； (3)当时，求平面与平面所成角的余弦值. 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 空间向量与立体几何（复习讲义） 一、基础目标 1.空间向量的基本概念与运算 （1）理解空间向量的定义、表示方法（坐标、模长、方向）。 （2）掌握线性运算（加法、数乘）、数量积（点积）与向量积（叉积）的计算。 （3）能判断向量共线、共面条件。 2. 空间直角坐标系建立 能用坐标系表示点和向量，计算距离、中点坐标等。 二、核心能力目标 1. 向量法解立体几何问题 （1）位置关系：用向量证明平行、垂直（如直线与平面、平面与平面）。 （2）角度计算：求线线角、线面角、二面角（通过方向向量或法向量）。 （3）距离问题：计算点到直线、点到平面、异面直线间的距离。 2. 空间想象与代数转化 （1）将几何图形（如棱柱、棱锥）转化为向量关系，建立坐标系。 （2）理解法向量的几何意义，并用于求平面方程或垂直问题。 三、高阶应用目标 1. 综合问题解决 （1）结合向量与立体几何知识解决实际应用问题（如力学中的受力分析、空间轨迹问题）。 （2）处理开放性几何问题（如最值、动点问题）。 2. 与传统几何法的对比 比较向量法与传统几何法（如综合法、坐标法）的优劣，灵活选择解题策略。 四、数学思想培养 （1）数形结合：通过向量将几何问题代数化，降低空间想象难度。 （2）逻辑推理：严谨推导向量关系与几何结论的等价性。 （3）建模能力：用数学模型（如向量方程）描述空间图形。 重点与难点 重点：向量法证明垂直/平行、角度与距离的计算。 难点：法向量的灵活应用、异面直线距离的向量求法、坐标系的合理建立。 通过这一章节的学习，学生应能摆脱纯几何推理的局限性，掌握更通用的代数工具，为后续学习空间解析几何、线性代数等奠定基础。 知识点1：空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 知识点2：空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 知识点3：空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 知识点4：空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ； ； ； ； ． （2）设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）向量在向量上的投影为． 知识点5：向量法证明平行、垂直 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 知识点6：空间角公式 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 知识点7：空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 解题方法总结 用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单． 用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算． 题型一 空间向量及其线性运算 【例1】已知平行四边形ABCD，点E是CD的中点，点F满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于，,,由于点E是CD的中点， 所以，，，故， 故选：B. 【变式1-1】在四面体中，为中点，为中点，则用，，表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在四面体中，为中点，为中点， 则. 故选：B. 【变式1-2】在四面体中， 若，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图： ∵，，∴分别为中点， ∴ ， 故选：B. 题型二 空间向量的数量积运算 【例2】如图所示，在平行六面体中，，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以 . 故选：A. 【变式2-1】如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为2，且． (1)求的长； (2)求直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）设， ， ， ∴； （2） ， ∴， 又， ， ∴， ∴直线与所成角的余弦值为． 【变式2-2】如图，已知平行六面体. (1)若，求的长度； (2)若，求与所成角的余弦值. 【解析】（1）由题知， 又， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 因为，所以， 因为 ，所以， 设与所成的角为，则， 即与所成角的余弦值为. 题型三 空间向量基本定理 【例3】已知向量，若共面，则 ． 【答案】7 【解析】因为共面， 所以， 即，解得： 故答案为：7 【变式3-1】在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则 . 【答案】/ 【解析】四面体中，不共面， 空间的一个点满足， 因为四点共面， 所以，则. 故答案为：. 【变式3-2】如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 【答案】 【解析】在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点， 所以 又 所以 即. 故答案为：. 题型四 空间向量运算的坐标表示 【例4】已知空间中三点，，． (1)若向量与相互垂直，求实数的值； (2)求的面积． 【解析】（1），， ∴， 又∵，∴， 即，解得. （2）法一：由（1）得，， ， 得，∴， ． 法二：，， ∴为直角三角形，，，， ． 【变式4-1】设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【解析】（1）向量，且， 故，解得. 由于， 所以，解得. 故， 所以， 故. （2）由于，故， 故. 【变式4-2】已知空间三点，设. (1)求和的夹角的余弦值; (2)若向量与互相垂直，求的值. 【解析】（1）由点，得， 所以，所以和夹角的余弦值为 （2）由（1）可得， 因为向量与互相垂直， 则， 整理可得，解得或， 所以的值为2或. 题型五 用空间向量研究平行、垂直问题 【例5】已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中.是的中点，是的中点. (1)求与的夹角余弦值 (2)求证平面 【解析】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则，故，， ， ， 与的夹角余弦值为. （2）法一：设平面的法向量为， 由（1）得，，， 则有，令，得， 即平面. 法二：取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； 【变式5-1】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，E为中点，点F在上，且 (1)求证：平面 (2)求二面角的余弦值; (3)线段上是否存在点Q，使得平面若存在，求线段的长;若不存在，说明理由. 【解析】（1）在中，， 所以，即，又因为， 在平面中，，、平面， 所以平面 （2）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又所以， 由（1）已证，且已知， 故以A为原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系， 则，， 所以，，，， 因为E为PD中点， 所以， 由点F在PC上，且知，， 设平面AEF的法向量为，则，即， 令，则，，于是， 又因为由（1）已证平面，所以平面的一个法向量为， ， 由题知，二面角的平面角为锐角，所以其余弦值为 （3）假设存在Q点满足题意，则存在使得， 因为，， 所以， 平面AEF，所以要使平面， 当且仅当，即， 整理得：，解得， 因为，所以线段AC上不存在点Q，使得平面 【变式5-2】如图，平行六面体的底面ABCD是菱形，且． (1)求的长； (2)求证：平面． 【解析】（1）设， 由于四边形ABCD为菱形，则，即， 所以，同理可得， 由题意可得， 所以； （2）因为， 所以， 所以，同理可证 又因为平面． 所以平面 题型六 用空间向量研究异面直线所成角问题 【例6】在正方体中，为上靠近的三等分点，为上的点，则当异面直线与夹角最大时， . 【答案】 【解析】设正方体的棱长为3，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 则，， 所以， 令，则，则， 要使异面直线与夹角最大，则取到最小， 从而取到最大，因为，所以， 函数的对称轴为， 所以当即时，即时，， 则. 故答案为：. 【变式6-1】在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】在四棱锥中，由平面，平面， 得，， 在中，，，则，， 由为的中点，得， ， ，因此， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为： 【变式6-2】如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为 ；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 . 【答案】 / 【解析】（法一）由得，点P轨迹是以A为球心，1为半径的球面，又点P在平面内，点P在以A为圆心，1为半径，为圆心角的圆弧上，因此点P的轨迹长度为. 建系如图，设，则. . 令， . 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. （法二）设直线与直线所成角为，取的中点，根据三余弦定理可知，，易知P从点M运动至N处，逐渐减小，则逐渐增大， 由图可知，P从点M运动至N处逐渐增大， 则P在点M处时，取得最小值，此时， 则P在点N处时，取得最大值，此时， 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. 题型七 用空间向量研究线面角问题 【例7】如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点.    (1)证明：； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）取中点，连接 平面平面，平面平面平面 平面 平面    ，即 又平面平面 平面 （2）连接，设，连接 平面平面，平面平面 ，易知 取中点，连接，则两两互相垂直. 分别以为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系 则 ， ， 设平面的一个法向量 则即令，则 设直线与平面所成角为，则 即直线与平面所成角的.正弦值为 【变式7-1】如图，四棱锥中，，且. (1)求证：平面平面； (2)若是等边三角形，底面是边长为3的正方形，是中点，求直线与平面所成角的余弦值. 【解析】（1）， 又， 面面， 平面， 平面平面； （2）平面平面交于点平面，平面平面， 平面， 以为原点，的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，取，得法向量为 设直线与平面所成角为，则 所以直线与平面所成角的余弦值为. 【变式7-2】如图，把矩形纸片ABCD沿BM折成直二面角，其中，M为AD的中点． (1)若点Q为线段的中点，求证：∥平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：取的中点记为点E，由于矩形ABCD中，， 且点Q为线段的中点， 则，则四边形EMDQ为平行四边形， 则，∵平面平面， ∴平面. （2）方法一：取BC中点N，连AN交BM于点O，连CM，则四边形ABNM为正方形， 且， ∴， 则二面角的平面角为 ，        ∴平面ABCD， 又平面ABCD，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴平面， 则为直线与平面所成线面角 ，            又， ∴． 则直线与平面所成线面角的正弦值为，       方法二：取BC中点N，连AN交BM于点O，则四边形ABNM为正方形， 且，∴， 则二面角的平面角为，              ∴平面ABCD， 以O为坐标原点，以OB，ON，所在直线为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系 则， 则， 设平面的法向量， 则，令，则 ，             且， 则， 则直线与平面所成线面角的正弦值为. 题型八 相交线 【例8】如图，已知四棱锥中，底面为菱形，，，平面，分别是的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正弦值． 【解析】（1）证明：连接．∵底面为菱形，， ∴是正三角形，∵E是CD中点，∴， ∵平面，平面，∴， ，又都在平面内， ∴平面，又平面， ∴平面平面． （2）由（1）知，两两垂直，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易知：，，，， 则 ，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，即令，得，解得． 即，令，得，解得 设二面角的平面角为，则， 所以． 所以二面角的正弦值为． 【变式8-1】如图，在三棱柱中，，，．    (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）方法1：取的中点，连接，， 因为，所以，且， 因为，，为的中点，所以， 所以，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 方法2：设为在底面的射影，则平面， 因为，所以 射影为底面的外心，又为直角三角形，所以恰为斜边的中点， 因为平面，所以平面平面． （2）由（1）可知，平面，所以与平面所成角即为，所以， 因为，所以，所以，， 因为，为的中点，所以， 方法1：如图所示，以为原点，分别以，，所在方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则有，即令，则，， 所以， 易知平面ABC的一个法向量为， 设平面与平面ABC的夹角为，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 方法2：如图，过作的平行线，因为，所以， 过作，垂足为， 因为平面平面，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以平面与平面的夹角即为， 易知，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【变式8-2】如图，正六边形的边长为2，将梯形沿翻折至，形成多面体，其中为的中点，连接．    (1)若点为的中点，证明：平面； (2)若，求多面体的体积； (3)若二面角的大小为，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面且， 所以平面平面， 因为平面，所以平面； （2）取中点，连接，因为是正六边形， 故是等边三角形，所以， 同理， 又因为正六边形的边长为2，所以， 又因为， 所以，可得， 又因为，所以平面， 所以是三棱锥的高， ， 由题可得， 所以； （3）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为二面角的大小为， 所以，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，所以，令，得， 又平面的法向量为， 设直线与平面所成角的大小为， ， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 题型九 用空间向量研究距离问题 【例9】如图，四棱锥中，平面平面ABCD是以为斜边的等腰直角三角形，底面为直角梯形其中是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【解析】（1）证明：由于是以AD为斜边的等腰直角三角形， O是AD的中点，故 由于平面平面ABCD，平面平面平面PAD， 故平面ABCD； （2）连结OB，由于O是AD的中点，且故 由于故四边形OBCD为矩形， 所以故有OB、OD、OP两两垂直， 以O为坐标原点，OB、OD、OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直坐标系Oxyz， 则, 设平面PAB的法向量为 则 令则 故平面PAB的一个法向量为 设平面PBC的法向量为 则 令则 故平面PBC的一个法向量为 设平面PAB与平面PBC的夹角为 故平面PAB与平面PBC的夹角余弦值为； （3）由（2）知，平面PAB的一个法向量为 所以点E到平面PAB的距离为 【变式9-1】已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 【解析】（1） 如图，取AC的中点，连接， 由余弦定理，， 故有，所以， 由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知两两垂直，故可分别以所在直线为轴 建立空间直角坐标系如图所示. 则， . 因为，则， 设平面的法向量为， 则 不妨取， 可得是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 则， 化简整理得解得，或（舍去），则， 又因为，可得. 设点到直线的距离为， 则，解得. 故点到直线的距离为. 【变式9-2】如图，正方体的棱长为1，点M，N分别在线段，上，且，. (1)若，证明：； (2)若，点P，Q分别在直线，上，且，，求的取值范围. 【解析】（1）连接，，当，则是的中点，是的中点， 所以， 因为面，面，所以， 所以.   （2）以点为原点，，，方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，，， ，，所以，， 所以，，所以，         又，设直线的方向向量为， 则由得， 取，又， 所以 由得， 易知在单调递减，单调递增 所以，所以. 基础巩固通关测 一、单选题 1．如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】利用空间向量基本定理表达出，平方后利用空间向量数量积公式求出，得到的长. 【详解】，故 ， 故. 故选：C 2．下列四个命题中，正确命题的个数是（    ） ①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得； ②若两条不同直线的方向向量分别是，则； ③若是空间的一个基底，且，则四点共面； ④若两个不同平面的法向量分别是，且，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对于①和③，由共面向量定理判断；对于②，根据直线方向向量的定义分析判断；对于④，由平行平面的充要条件可判断. 【详解】若 是空间的一个基底，则对任意一个空间向量， 存在唯一的有序实数组，使得 ， 由空间向量基本定理知，正确； 若两条不同直线的方向向量分别是，则 ， 由方向向量的定义知正确； 若 是空间的一个基底，且 ， 则，即， 由空间向量共面定理知四点共面，正确； 若两个不同平面的法向量分别是 ，且 ， 易得不成立，所以不成立. 故选：C 3．已知，，，若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理列方程求解即可. 【详解】若三向量不能构成空间向量的一组基底， 所以共面， 则存在使得， 则，解得， 所以实数的值为1． 故选：A． 4．如图，以棱长为的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在体对角线上运动，点为棱的中点，则当最小时，点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意作图，利用正方体的几何性质，可得答案. 【详解】连接，过点作于点，如下图： 则垂直于平面． 设点的横坐标为，则由正方体体对角线的性质可得点的纵坐标也为， 由正方体的棱长为，得， 因为，所以，所以， 又因为， 所以， 所以当时，最小，此时点的坐标为. 故选：D． 5．如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在正方体中，由点M是上靠近点C的三等分点， 得，于是， 由N为AM与平面的交点，得点共面，则，所以. 故选：C 6．已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面法向量的定义，列式计算得解. 【详解】显然与不平行，设平面α的法向量为， 则，所以，令，得，. 所以． 故选：C. 7．若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】C 【分析】根据向量的夹角公式的坐标形式，列式求解，即可得答案. 【详解】由题意，向量， 得，解得或， 故选：C 8．如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量减法的几何意义、向量数乘的几何意义及向量的数乘运算进行运算即可. 【详解】因为，为中点，，，， 所以 . 故选：B 二、多选题 9．给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则是钝角 B．若为直线l的方向向量，则λ也是直线l的方向向量 C．若，则可知 D．在四面体中，若，，则 【答案】CD 【分析】由向量数量积的概念判断A，以直线方向向量概念判断B，经向量线性运算判断C，以四面体中线面位置关系判断D. 【详解】对于A，当时，若，但，不是钝角，所以A错； 对于B，当时，，不是直线的方向向量，所以B错； 对于C， ⇒⇒，所以C对； 对于D，如图， 过P作平面ABD交平面于O点，连CO交AB于M， 连AO交BC于N，连BO交AC于T，， 同理为垂心，所以， 从而，所以D对； 故选：CD. 10．已知正方体的棱长为1，则（    ） A．与平面所成角的正弦值为 B．为平面内一点，则 C．异面直线与的距离为 D．为正方体内任意一点，，，，则 【答案】BCD 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的夹角公式和空间距离公式，逐项判定，即可求解. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 对于A中，由，设平面的法向量为， 则，取，可得，所以， 又由，设与平面所成角为，则， 即与平面所成角的正弦值为，所以A错误； 对于B中，在正方体中，可得平面， 因为平面，所以，即在直线上的射影为， 所以，所以B正确； 对于C中，由，设平面的法向量为， 则，取，可得，所以， 因为，且平面，平面，所以平面， 所以异面直线与的距离，即为直线到平面的距离， 又由，可得，所以C正确； 对于D中，设点，其中，可得， 且， 则，，，则，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】 11．已知空间向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量的共线和垂直的坐标表示，准确计算，即可求解. 【详解】因为向量，可得， 对于A中，由，设，即， 可得，此时方程组无解，所以与不平行，所以A错误； 对于B中，由， 所以，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 【答案】 【分析】设，然后整理解方程组即可. 【详解】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 故答案为： 13．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，M为AB的中点，N为PD的中点.若PA=4，AB=2，则 . 【答案】 【分析】考虑到此题中条件适合建系，故通过建系后求出空间向量的坐标计算数量积即得. 【详解】 如图，由题意可以为轴的正方向建立空间直角坐标系.则, 因M为AB的中点，N为PD的中点，故,于是,，则. 故答案为：. 14．已知 ，则 与 夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】由空间向量的数量积公式求解即可． 【详解】， . 故答案为： 四、解答题 15．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点. (1)证明：平面AMD⊥平面BMC； (2)当三棱锥体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析； (2)2. 【分析】（1）证得平面，结合面面垂直的判定定理即可证出结论； （2）当在的中点位置时体积最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果. 【详解】（1）由题设知，平面平面，交线为. 因为，平面， 所以平面，平面， 故,因为是上异于，的点，且为直径， 所以，又，平面， 所以平面，而平面， 故平面平面； （2）以D为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 当三棱锥M−ABC体积最大时，M为的中点. 由题设得， 设是平面MAB的法向量，则 即，可取， 又是平面的一个法向量，因此 ，， 得，所以，， 所以面与面所成二面角的正切值是. 16．如图，在长方体中，为中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得//平面,若存在，求的长；若不存在，说明理由． （Ⅲ）若二面角的大小为，求的长. 【答案】（Ⅰ）见解析   （Ⅱ）存在点，使得//平面，此时AP＝   （Ⅲ）AB=2 【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，通过坐标运算证明；（Ⅱ）假设存在点并设出坐标，因为//平面,则与平面的法向量垂直可求解；（Ⅲ）利用法向量的夹角公式求解. 【详解】（Ⅰ）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图， 设AB＝，则A(0，0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)， E，， 故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝. ∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0， . （Ⅱ）假设在棱AA1上存在一点， 使得//平面B1AE.此时＝(0，－1，)． 又设平面B1AE的法向量＝(x，y，z)． 由⊥，⊥，得， 取x＝1，得平面B1AE的一个法向量＝ 要使DP//平面B1AE，只要⊥，有－a＝0， 解得＝. 又DP平面B1AE， ∴存在点P，满足DP//平面B1AE，此时AP＝. （Ⅲ）连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D. ∵B1C//A1D， ∴AD1⊥B1C. 又由（Ⅰ）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1， ∴AD1⊥平面DCB1A1， ∴是平面A1B1E的一个法向量，此时＝(0,1,1)． 设与所成的角为θ，则 cos θ＝＝. ∵二面角A－B1E－A1的大小为， ∴|cos θ|＝，即＝， 解得a＝2，即AB的长为2. 17．如图所示，在四棱锥，面，底面为正方形． (1)求证：面； (2)已知，在棱上是否存在一点，使面，如果存在请确定点的位置，并写出证明过程；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为线段的中点时，面，理由见解析 【分析】（1）通过证明和即可证明面. （2）由几何知识建立空间直角坐标系，根据点在棱上，设出正方形边长，的长，进而表达出点坐标，通过面解出点坐标，即可确定点的位置. 【详解】（1）在四棱锥中，面，面，面， ∴，， 在正方形中，， ∵面，面,面，， ∴面 （2）建立空间直角坐标系如下图所示： 设， 则 ∴，，，， ∴， 在面中，，， 设面的一个法向量为， ∴即，解得， 当时，，即， 若面，则， ∴， 解得：， ∴， ∴当点为线段的中点时，面. 18．如图，在三棱锥中，底面ABC，，点D、E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，. (1)求证：平面BDE； (2)求直线MN到平面BDE的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用空间向量的坐标运算证明线面垂直； (2)利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）因为底面ABC，底面ABC，所以 且， 所以以为原点，所在直线为轴建系如图， 因为，， D、E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点， 所以, 设平面的法向量为， 所以所以， 令，则， 因为，平面BDE，所以平面BDE. （2）, 直线MN到平面BDE的距离即为在平面BDE法向量上的投影， 设与的夹角为， 则有 所以， 所以直线MN到平面BDE的距离为. 19．已知空间三点，，. (1)求以，为邻边的平行四边形的面积； (2)若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用向量的坐标运算及夹角公式，结合向量的模公式及平行四边形的面积公式即可求解； （2）利用向量垂直的条件及向量的模公式即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， 因为， 所以， 所以，为邻边的平行四边形的面积为 . （2）设，因为向量分别与，垂直， 所以,即， 所以消去得：， 不妨令，则， 因为， 所以，得， ∴，解得或， 所以或. 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】因为点分别为的中点，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 又，则，所以. 故选：D. 二、多选题 2．（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 3．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． 4．（24-25高二下·江苏扬州·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（    ） A．线段长度的最大值是 B．点P到平面的距离是定值 C．直线与BD所成角的最小值是 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，设，且，利用空间两点间的距离通过求函数最大值即可判断A；由∥平面得到点P到平面的距离即为点到平面的距离，并通过等体积法求得距离可判断B；利用空间向量表示线线角、线面角并利用函数单调性求得最值或范围，从而判断CD. 【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 设，且. 对于A，， 当时，.故A正确； 对于B，正方体中，∥，平面，平面， 所以∥平面，因为，所以点P到平面的距离是等于点到平面的距离, 设到平面的距离为，由得，，得，故B不正确； 设，且. 对于C，，， 设直线与BD的所成角为， 则 令，则， 函数，在上单调递减，在上单调递增，所以 ，所以，故C正确； 对于D，设平面的法向量，则 取，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为： 因为在上单调递增 ，故D正确 故选：ACD 5．（24-25高二下·江苏镇江·期末）在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（    ）    A．若，则面 B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 【答案】ACD 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确；      如图以为原点建立空间直角坐标系，则 ，， 对于A，， 则，得，则， ，A正确： 对于B，由A分析可得， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C正确： 对于D，当时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则 当， 当， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 6．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为 ． 【答案】4 【分析】由空间四点构成梯形，则四点首先共面，利用空间向量基本定理可求，再代入验证即可. 【详解】因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面， 则，即， ， 当时，，所以， 即，且，此时为梯形， 所以. 故答案为：4. 四、解答题 7．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析； （ii）. 【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）（i）法一：建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论； 法二：作出的边和的垂直平分线，找到三角形的外心，求出，求出出外心到，，，的距离相等，得出外心即为，，，所在球的球心，即可证明结论； （ii）法一：写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 法二：求出的长，过点作的平行线，交的延长线为，连接，，利用勾股定理求出的长，进而得出的长，在中由余弦定理求出，即可求出直线与直线所成角的余弦值. 【详解】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 法一： 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. 法二： ∵，，，在同一个球面上， ∴球心到四个点的距离相等 在中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心， 作出和的垂直平分线，如下图所示， 由几何知识得， ，， ， ∴， ∴点是的外心， 在Rt中，，， 由勾股定理得， ∴， ∴点即为点，，，所在球的球心， 此时点在线段上，平面， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)1 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， ， 又不在同一条直线上， . （2）设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， . 9．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等体积法运算即可得解； （2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得， 所以点A到平面的距离为； （2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得，所以，，所以， 则,所以的中点， 则，, 设平面的一个法向量，则， 可取， 设平面的一个法向量，则， 可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 10．（2004·江苏·高考真题）在棱长为4的正方体中，O是正方形的中心，点P在棱上，且． (1)求直线AP与平面所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)设O点在平面上的射影是H，求证：； (3)求点P到平面的距离． 【答案】(1)； (2)见解析； (3). 【分析】（1）首先证明即为所求的线面角，求出长，即可算出其正切值； （2）先证，再证面，得到，则证明出面，则有. （3）以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示直角坐标系，写出相关点坐标，得到面的一个法向量为，利用距离公式代入数据即可得到答案. 【详解】（1）连接，由正方体的性质知面， 所以即为所求的线面角， ,由勾股定理知， ， . （2）证明:由已知面面,, 连接,由于是上底面的中心,故， 由正方体的性质知面，且面，故， 又，且,平面 面，又面， 又面， 面，面，. （3）以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示直角坐标系，则由已知 ,，，所以 如图, 令面的法向量为 故有,即 令,则,故 故点到面面的距离， 点到面面的距离为. 11．（2020·江苏·高考真题）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果； （2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果. 【详解】 （1）连 以为轴建立空间直角坐标系，则 从而直线与所成角的余弦值为 （2）设平面一个法向量为 令 设平面一个法向量为 令 因此 【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题. 12．（2018·江苏·高考真题）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点。 （1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； （2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值 【答案】（1） （2） 【详解】分析：（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量的夹角，再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果. 详解：如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O−xyz． 因为AB=AA1=2， 所以． （1）因为P为A1B1的中点，所以， 从而， 故． 因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为． （2）因为Q为BC的中点，所以， 因此，． 设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量， 则即 不妨取， 设直线CC1与平面AQC1所成角为， 则， 所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为． 点睛：本题考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 13．（2011·江苏·高考真题）如图，在正四棱柱中， ，点是 的中点，点在 上，设二面角的大小为 ． （1）当时，求 的长； （2）当时，求 的长． 【答案】（1） （2） 【分析】以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，建立空间直角坐标系，设点，计算出平面的法向量． （1）计算出平面的法向量，将二面角为直二面角转化为，求出的值，再利用空间中两点间的距离公式求出； （2）由已知条件得出，计算的值，则利用空间两点见的距离公式可得出的值． 【详解】以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴， 建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0) )，设M(0，1,z), 面MDN的法向量， 设面A1DN的法向量为，则，即， 取，则，，则． （1）由题意：，则， 取， ； （2）由题意：，即， 取，则，，，. 【点睛】本题考查平面与平面垂直、空间中两点间的距离以及二面角的求法，对于二面角的求解，关键是要找到合适的位置建立空间直角坐标系，并求出相应的法向量，考查空间想象能力与运算能力，属于中等题． 14．（2008·江苏·高考真题）记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围． 【答案】 【详解】建构如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则相关点的坐标分别为：､､､，则. 由，得， 而； 又. 由， 化简得，解得. 15．（24-25高二下·江苏泰州·期末）在三棱锥中，已知平面，点在内（包括边界），． (1)已知． （i）求； （ii）求直线与所成角的大小． (2)若点分别满足，为直线上一点，且平面，求二面角余弦的最小值． 【答案】(1)（i）（ii）； (2) 【分析】（1）（i）由题意可建立适当空间直角坐标系，设出点坐标，由及长度，借助向量计算可得点坐标，即可得；（ii）求出、后借助空间向量夹角公式计算即可得； （2）由题意求出、平面法向量，则可得与平面法向量垂直，从而可计算出点位置，再借助空间向量夹角公式表示出平面与平面的夹角余弦值，最后计算即可得解. 【详解】（1）由平面，、平面，故，， 又，故、、两两垂直， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、， 设，且，则、， 由，则，即； （i）由，则，又，故， 即，则，故； （ii），， 则， 即，则直线与所成角的大小为； （2），， 设，， 则， ，， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，， 即可为， 由平面，故， 即， 化简得，由，则， 故， 由平面，故为平面的法向量， 则 令，则， ， 由，则，故， 故， 由图可知二面角为锐角，设为， 故，即二面角余弦的最小值为. 16．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）如图，在长方体中，点E，F分别是棱，上的动点，且，， (1)求证：平面； (2)若，． ①求平面与平面夹角的余弦值的最大值； ②若平面截长方体的截面为五边形，求平面与平面夹角的余弦值的范围． 【答案】(1)证明见详解 (2)①，② 【分析】（1）在长方体中,平面，可得，结合，可证平面，得到，同理可证，进而证得平面； （2）①以为原点建立空间直角坐标系，设，分别得出两个平面的法向量，即可得到夹角的余弦值，再根据函数性质可求最值； ②根据截面可确定在棱（不包含端点），然后可得的范围即可得到余弦值的范围. 【详解】（1）在长方体中,平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，同理可证， 又平面， 所以平面. （2）①以为原点建立空间直角坐标系，设， 则， ， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，， 由（1）知为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则 ， 又，当，即时取等， 又点E，F分别是棱，上的动点，且，， 所以，则， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值的最大值为. ②在平面中，过作， 同（1）的证明理由可得，即平面， 所以当在棱时，截面为四边形， 当在棱（不包含端点）时，且不在棱端点时，截面为五边形， ，， 又，， 又在棱（不包含端点），所以，解得， 又不在棱端点，所以， 由①知，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值的范围为. 17．（24-25高二下·江苏常州·期末）在四棱锥中，已知，是等边三角形，点在棱上. (1)当时，求证：平面； (2)求点到底面的距离； (3)当时，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接AC与BD交于点E，连接ME，证明即可. （2）取的中点，连接，可证底面，计算求得长即可； （3）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据已知求得，进而得出的坐标，求平面与平面的法向量，用空间向量公式即可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为，，所以，所以． 因为，所以， 所以，则在中，， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）取的中点，连接，因为是等边三角形，所以， 因为，所以面，且面， 所以面底面，侧面底面， 所以底面，则点到底面的距离为， ，则，. 所以到底面的距离为. （3）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，所以， 所以，所以， 则，则. 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，. 88 / 88 学科网（北京）股份有限公司 $