7.1 第2课时 两个基本计数原理的综合应用（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦两个基本计数原理的综合应用，承接基本原理基础，通过组数问题（含数字重复与不重复）、抽取分配问题（如工厂实践分配）、涂色种植问题（如区域染色、蔬菜种植）构建学习支架，系统呈现应用场景。 特色在于以“通性通法”提炼解题策略，如特殊位置优先、分类分步结合，培养数学思维中的推理能力。例题链接教材习题，跟踪训练贴近生活，助学生用数学眼光发现问题，课中辅助教师高效授课，课后通过练习题查漏补缺，强化应用意识。

第2课时　两个基本计数原理的综合应用 【典例研析】 【例1】　解：（1）若组成的数为数字不重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制， 所以数字不重复的三位数的个数为5×5×4＝100. （2）若组成的数为数字允许重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制， 所以数字允许重复的三位数的个数为5×62＝180. 跟踪训练 1.A　个位数只能是1或3，所以有2种选择，首位不能为0，则有2种选择；百位数字有2种选择；十位数字只有1种选择.由分步计数原理，所以用0，1，2，3组成没有重复数字的四位数为奇数的有2×2×2×1＝8（个）. 2.300　120　解析：①分四步：第1步，千位数字有5种选取方法；第2步，百位数字有5种选取方法；第3步，十位数字有4种选取方法；第4步，个位数字有3种选取方法.由分步计数原理知，可组成无重复数字的四位整数共5×5×4×3＝300（个）.②分为三类：第1类，末位是0的有4×4×3＝48（个）；第2类，末位是2的有3×4×3＝36（个）；第3类，末位是4的有3×4×3＝36（个）.由分类计数原理知，共有48＋36＋36＝120（个）. 【例2】　C　法一（直接法）　以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类.第1类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种；第2类，有两个班级去甲工厂，剩下的班级去另外三个工厂，其分配方案有3×3＝9（种）；第3类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案有3×3×3＝27（种）.综上所述，不同的分配方案共有1＋9＋27＝37（种）. 法二（间接法）　先计算三个班自由选择去哪个工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即有4×4×4－3×3×3＝37（种）不同的分配方案. 跟踪训练 1.B　由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法，后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240（种）选派方案. 2.2　解析：不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，余下来的人，都只有了一种选择，所以不同取法共有2×1×1＝2（种）. 【例3】　（1）18　（2）18　解析：（1）①若A，C涂色相同，则A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，2，则有3×2×1×2＝12（种）不同的涂法.②若A，C涂色不相同，则A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，1，则有3×2×1×1＝6（种）不同的涂法.所以根据分类计数原理，共有12＋6＝18（种）不同的涂法. （2）若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6（种）不同的种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6（种）不同的种植方法.故不同的种植方法共有6×3＝18（种）. 跟踪训练 1.C　先给A染色，有3种方法；再给B染色，有2种方法；再给C染色，有2种方法，由分步计数原理可得不同的染色方法共有3×2×2＝12（种）.故选C. 2.C　当侧面SAB与侧面SDC同色时，底面ABCD有4种染色方法，侧面SDC有3种染色方法，侧面SAD有2种染色方法，侧面SAB有1种染色方法，侧面SBC有2种染色方法，共有4×3×2×1×2＝48（种）染色方法.当侧面SAB与侧面SDC不同色时，底面ABCD有4种染色方法，侧面SDC有3种染色方法，侧面SAD有2种染色方法，侧面SAB有1种染色方法，侧面SBC有1种染色方法，共有4×3×2×1×1＝24（种）染色方法.则不同的染色方法共有48＋24＝72（种）. 随堂检测 1.D　分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成三位整数，其中偶数有2个.由分类计数原理知共有偶数5个. 2.D　每个括号内各取1项相乘才能得到展开式中的1项，由分步计数原理得，完全展开后的项数为2×2×3＝12. 3.54　解析：甲有三个培训班可选，甲、乙不参加同一项，所以乙有两个培训班可选，丙、丁各有三个培训可选，根据分步计数原理，不同的报名方法种数为3×2×3×3＝54. 4.解：先涂A，有4种选择， 再涂B有3种选择，C与A，B相邻， 则C有2种选择，D只与C相邻， 则D有3种选择， 所以一共有4×3×2×3＝72（种）不同的涂法. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　两个基本计数原理的综合应用 题型一｜组数问题 【例1】　（链接教科书第64页习题7题）已知0，1，2，3，4，5这六个数字. （1）可以组成多少个数字不重复的三位数？ （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？ 通性通法 对于组数问题应掌握以下两个原则 （1）明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置（末位或首位）分类，分类中再按特殊数字（或特殊元素）优先的策略分步；如果正面分类较多，可采用间接法求解； （2）要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位. 【跟踪训练】 1.用0，1，2，3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有（　　） A.8个 B.10个 C.18个 D.24个 2.用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字的四位整数有　　　；其中比2 000大的四位偶数有　　　个. 题型二｜选（抽）取与分配问题 【例2】　高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中甲工厂必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有（　　） A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 通性通法 解决抽取（分配）问题的方法技巧 （1）当涉及对象的数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法； （2）当涉及对象的数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类计数原理或分步计数原理.若抽取是有顺序的，则按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行；②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 【跟踪训练】 1.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（　　） A.280种 B.240种 C.180种 D.96种 2.甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为　　　　. 题型三｜涂色（种植）问题 【例3】　（链接教科书第64页习题13题）（1）如图所示，有A，B，C，D四个区域，用红、黄、蓝三种颜色涂色，要求任意两个相邻区域的颜色各不相同，共有　　　　种不同的涂法； （2）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则有　　　　种不同的种植方法. 通性通法 解决涂色（种植）问题的一般思路 （1）按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步计数原理分析； （2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类计数原理分析； （3）对于涂色问题，将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题. 【跟踪训练】 1.对图中的A，B，C三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色.现有红、黄、蓝三种不同的颜色可以选择，则不同的染色方法共有（　　） A B C A.22种　 B.18种　 C.12种　 D.6种 2.如图，将1个四棱锥的每个面染上1种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色.如果只有4种颜色可使用，那么不同的染色方法有（　　） A.36种 B.48种 C.72种 D.108种 1.由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（　　） A.15 B.12 C.10 D.5 2.（a1＋a2）（b1＋b2）（c1＋c2＋c3）完全展开后的项数是（　　） A.9 B.18 C.7 D.12 3.某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲、乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为　　　　. A B C D 4.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有多少种？ 提示：完成课后作业　第七章　7.1　第2课时 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $