第6章 空间向量与立体几何（知识清单）数学苏教版高二选择性必修第二册

该高中数学知识清单系统梳理了“空间向量与立体几何”单元内容，涵盖空间向量的概念、定理、数量积、坐标表示，以及空间位置关系、角与距离计算等核心范畴，搭建从基础概念到应用题型的递进式学习支架。 清单通过“易错点标注+题型分类”呈现知识体系，如标注“忽视零向量”“线面角与向量夹角转化”等易错点，分类设计基向量表示、共线共面证明等题型，培养数学思维与表达能力。特别设有“纠正提示”如“线面角正弦值为方向向量与法向量夹角余弦值的绝对值”，帮助学生精准突破难点，教师可据此设计针对性教学，提升复习实效。

第6章 空间向量与立体几何 1、空间向量的有关概念 （1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量； （2）相等向量：方向相同且模相等的向量； （3）相反向量：方向相反且模相等的向量； （4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量； （5）共面向量：平行于同一个平面的向量 2、空间向量的有关定理 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得. （2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. （3）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底． 3、空间向量的数量积及运算律 （1）数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是[0，π]， 若，则称与互相垂直，记作. ②非零向量，的数量积． （2）空间向量数量积的运算律 ①结合律：； ②交换律：； ③分配律：. 4、空间向量的坐标表示及其应用 设，， 向量表示 坐标表示 数量积 共线 ，， 垂直 模 夹角 5、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量． （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量． 6、空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， 7、异面直线所成角 设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量． 8、直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量， φ为l与α所成的角，则. 9、二面角 （1）若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a. （2）平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c. 10、点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点， 设向量在直线l上的投影向量为＝a， 则点P到直线l的距离为 (如图)． 11、点到平面的距离 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点， 过点作则平面的垂线，交平面于点， 则点到平面的距离为（如图）. 12、线面距和面面距 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 （1）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 （2）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 一、空间向量的概念 1.忽视零向量 错误：特殊情况考虑时，容易忽略掉零向量的存在． 注意：在进行空间向量相关概念判断时，要注意零向量的特殊性，如零向量与任意向量平行等。 二、空间向量的应用 2.直线夹角与向量夹角范围 错误：认为直线夹角与向量夹角范围相同． 注意：两异面直线所成角的范围是。两向量的夹角的范围是，需要注意两者的区别与联系． 3.线面角与向量夹角转化不明 错误：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角； ②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值； ③不清楚线面角的范围． 纠正：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|． 4.二面角概念模糊 错误：无法判断二面角是锐角还是钝角． 注意：若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则；若两个平面所成二面角为钝角，则．当求得两法向量夹角的余弦值时，一定要结合图形判断二面角的取值范围． 题型01 用基向量表示指定向量的方法 1. 在中，，，且与的夹角为60°．且． (1)若，用基向量，表示，并求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，再根据向量减法运算求，再根据数量积公式求模； （2）结合（1）的结果，向量和都用向量表示，再根据向量数量积公式，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，，即， 所以， 由，，且与的夹角为，所以， （2）因为 ． 2. 已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当时，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的是（    ） A．线段A，B的中点的广义坐标为 B．A，B两点间的距离为 C．若向量平行于向量，则 D．若向量垂直于向量，则 【答案】AC 【分析】由题目给的定义结合向量的线性运算、向量的模长、向量的平行及垂直依次判断4个选项即可. 【详解】根据题意得，设A，B的中点为，则， 故线段A，B的中点的广义坐标为，A正确； ，故， 当向量，是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为，否则距离不为，B错误； 与平行，当与存在时，结论显然成立，当与都不为时，设， 则，即，，，所以，故C正确；，当与为相互垂直的单位向量时， 与垂直的充要条件是，故D不正确. 故选：AC． 3. 如图，在平行六面体中，，，，，，且点F为与的交点，点E在线段上，有. (1)求的长； (2)将用基向量来表示，设，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由空间向量的几何意义得到，再利用空间向量的积量积运算即可求得，从而得到； （2）利用空间向量的线性运算可求得，从而得到的值，进而求得的值. 【详解】（1）因为，，， 所以， 故. （2）因为侧面是平行四边形，所以是的中点，又因为， 所以， 故. 所以. 4. 在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于基向量、、的表达式 【详解】连接，因为为的重心，则，如下图所示： 因为为的中点，则， 所以，， 所以， . 故选：D. 5．如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量、、表示向量，设，则、、的值分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】推导出，由题意可得，利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式，即可得解. 【详解】因为为的中点， 则， 由题意可得，则， 所以，，则， 故，，. 故选：D. 题型02证明三点共线和空间四点共面的方法比较 1. 如图，在平行六面体中，，，．若，，则（    ） A． B． C．A，P，三点共线 D．A，P，M，D四点共面 【答案】BD 【分析】根据空间向量运算判断AB选项的正确性，根据三点共线、四点共面的知识判断CD选项的正确性. 【详解】，A选项错误. ，B选项正确. 则是的中点， ， ， 则不存在实数使，所以C选项错误. ， 由于直线，所以四点共面，所以D选项正确. 故选：BD 2. 已知，，是空间中不共面的向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三点共线可设，列方程求； （2）由四点共面可设，列方程可得的关系，由此可求的最大值． 【详解】（1）因为三点共线，则， 又， ， 有}解得； （2）因为四点共面，则， 则， 有 解得， 所以， 当时，取到最大值 3. 如图，在四面体中作截面，若，的延长线交于点，，的延长线交于点，，的延长线交于点则下列四个选项中正确的个数是（    ） （1），，三点共线； （2），，，四点共面； （3）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，，三点都在平面与平面的交线上，可判断（1）；由平面，可判断（2）；由，可判断（3）. 【详解】因为，直线平面， ，直线平面， 所以是平面与平面的一个公共点， 所以在平面与平面的交线上， 同理可证，也在平面与平面的交线上， 所以三点共线，所以（1）正确； 平面，所以（2）错误； 由于，所以（3）错误. 故选：B. 4. 给出下列四个命题： ①若空间四点共面，则其中必有三点共线； ②若空间四点不共面，则其中任何三点都不共线； ③若空间四点中有三点共线，则此四点共面； ④若空间四点中任何三点都不共线，则此四点不共面，其中真命题是（    ）． A．②③ B．①②③ C．①③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据四个点的位置关系，对各命题分别分析判断即可． 【详解】①若空间四点共面，如平行四边形，其中任何三点不共线，所以①错误； ②若有三点共线，根据公理2推论1，则这四点可以确定平面，所以②正确； ③若空间四点中有三点共线，根据公理2推论1，则这四点可以确定平面，所以③正确； ④若空间四点中任何三点都不共线，则这四点可能共面，也可能不共面，如平行四边形，空间四边形，所以④错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查平面基本性质公理2以及其推论的应用． 5．在长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（   ） A．，，三点确定一个平面 B．，，三点共线 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【答案】B 【分析】根据平面的基本性质，异面直线的判定定理，逐一验证各个选项. 【详解】如下图所示：    根据题意，连接，则， 所以四点共面，所以面， 又，所以面， 又面，所以点在面与面的交线上面， 同理可得点在面与面的交线上面， 所以，，三点共线， 故A选项错误，B选项正确； 由异面直线判定定理可知C选项中为异面直线， 故C选项错误； 由异面直线判定定理可知D选项中为异面直线， 故D选项错误. 故选：B. 题型03空间向量数量积的应用 1. 向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 【答案】D 【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可. 【详解】由题设，，， . 故选：D 2. 已知向量，． (1)求与的数量积； (2)若与垂直，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数量积的坐标表示计算即得. （2）利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式求解. 【详解】（1）向量，， 所以. （2）由向量，，得，， 由与垂直，得，即， 所以实数. 3. 小张同学在学习了向量的数量积后，想出一道题考考同学们，题目和他给出的答案如下： 题目：，求的值．答案：的值为7. 则他的数学老师小朱老师最有可能给出的评价为（    ） A．题目正确，答案正确 B．题目错误，答案错误 C．题目错误，答案正确 D．题目正确，答案错误 【答案】B 【分析】根据向量加法的几何意义，有：，可得，因此题目条件自相矛盾，题目错误，答案错误． 【详解】根据向量加法的几何意义，有：， 代入已知条件，则， 但题目中给出的，互相矛盾， 因此题目条件自相矛盾，题目错误． 若强行按公式计算： ，解得， 虽然计算过程正确，但由于题目条件本身不成立，此结果无实际意义，答案错误． 综上，题目条件矛盾且答案无意义． 故选：B． 4. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，则下列数量积最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据线面垂直的性质得，，，，根据向量数量积的定义逐一计算，比较可得答案. 【详解】解：设，因为平面，所以，，，， 又底面是正方形，所以，， 对于A，； 对于B， ； 对于C，； 对于D，， 所以数量积最大的是， 故选：B. 5．我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量的数量积记作，定义为，复向量的模定义为.记为虚数单位. (1)设，求复向量与的模； (2)对两个复向量与，若时，称与平行.设，，是否存在实数，使与平行，若存在，求出；若不存在，请说明理由. (3)我们知道对于任意平面向量与，都有；对任意两个复向量与，不等式是否仍成立，试给出判断，并说明理由； 【答案】(1)；； (2)不存在，理由见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】（1）由复向量的模的定义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由给定的平行条件代入计算，即可判断； （3）根据题意，由复数的三角不等式代入计算，即可判断. 【详解】（1）因为，所以， 所以的模为； 因为，所以， 可得的模为； （2）不存在 ， 得， 若与平行，则， 得， 得，而，则此方程无实数根， 故不存在实数，使得与平行. （3）因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知，. 【点睛】关键点睛：本题主考考查了向量的新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解所给定义并且结合向量坐标运算的相关知识解答. 题型04利用空间向量证明空间线面位置关系 1. 下列说法不是线面位置关系的性质定理的是（  ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面位置关系的性质定理判断即可. 【详解】A选项为线面垂直的性质定理，所以A正确； B选项为线面平行的性质定理，所以B选项正确； D选项为面面垂直的性质定理，所以D选项正确； 故选：C. 2. 应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化．( ) 【答案】正确 【分析】由面面垂直的判定定理得到结论. 【详解】由面面垂直的判定定理可知要证明面面垂直，需在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，从而证明出面面垂直. 故答案为：正确 3. 教室可以看成是长方体的一个模型，线线、线面、面面平行和垂直的位置关系在其中可以体现出来.若、、为空间不同直线，、、为不同平面，认真观察该模型，判断下列说法，其中正确的有 . A．，，. B．，，. C．，，. D．，，. 【答案】BC 【分析】A.由空间中两直线的位置关系判断；B. 由线面垂直的性质判断；C.由面面平行判定定理判断；D. 由面面的位置关系判断. 【详解】A.在空间中，垂直于同一直线的两直线平行，相交或异面，故错误； B.垂直于同一平面的两直线平行，故正确； C.垂直于同一直线的两平面平行，故正确； D. 垂直于同一直线的两平面平行或相交，故错误. 故答案为：BC 【点睛】本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系的判断，以及平行于垂直的判定定理和性质定理，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题. 4. 下列利用方向向量、法向量判断线线、线面位置关系的结论，其中正确的是（    ） A．两条直线，的方向向量分别是，，则 B．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则 C．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则 D．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则 【答案】C 【分析】根据题意，结合线、面位置关系的向量判断方法，一一判断即可 【详解】A项，因为，，即，所以，所以或重合，故A项错误； B项，因为，所以，所以或在面内，故B错误； C项，因为，，即，所以，所以，故C项正确； D项，因为，所以，所以或在面内，故D项错误. 故选：C 5．如图1，在矩形ABCD中，，E为AB的中点，将沿DE折起，点A折起后的位置记为点，得到四棱锥，M为AC的中点，如图2.某同学在探究翻折过程中线面位置关系时，得到下列四个结论： ①恒有；                        ②恒有平面； ③三棱锥的体积的最大值为；  ④存在某个位置，使得平面平面. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】根据原图形判断①，根据面面平行得出线面平行判断②，结合面面垂直及体积公式判断体积最大值得出③，应用面面垂直的性质定理及反证法得出④. 【详解】矩形ABCD中, ,①正确； 取CD中点H，连接MH，BH，M和H分别是，CD的中点，，在平面外， 平面，E是矩形ABCD的AB边中点，，，， 在平面外，平面，又，平面平面，平面，，②正确； 取的中点，连接，如图所示： 当平面平面时，到平面的距离最大. 因为，为中点，所以. 又因为平面平面，所以. ，所以. 所以四棱锥体积最大值为， 所以四棱锥体积最大值为， M为AC的中点，三棱锥的体积的最大值为故③正确. 平面平面,平面平面平面, 平面,,,④错误 故答案为：①②③. 题型05用向量法求异面直线所成角的一般步骤 1. 如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ）． A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】D 【分析】连接，是异面直线与所成角或其补角，求出，由余弦定理即可求出答案. 【详解】连接，因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以是异面直线与所成角或其补角， 设正方体的边长为，所以，， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以，因为，所以. 故选：D. 2. 从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体的性质，借助平行关系转化异面直线所成角，即可求解. 【详解】如图： ①若两异面直线为和，因为平面，平面，所以，即此时两直线所成的角为，所以此时余弦值为 ②若两异面直线为和，因为，所以此时两直线所成的角为，即此时余弦值为. ③若两异面直线为和，因为，所以此时两直线所成的角为即此时余弦值为. ④若两异面直线为和，因为，所以此时两直线所成的角为， 且， 则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是， 故选：B. 3. ．如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据当两直线所成的角是直角时，两直线垂直即可证明 （2）根据异面直线的定义可得 【详解】（1）如图所示，连接，   为正方体， ， 平面为平行四边形， . 为正方形， ， . （2）由面，面，且面面， 又与不平行，与是异面直线. 4. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用勾股定理及已知中的线面垂直，可得线线垂直，再利用面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）通过平移可找到异面直线和所成角，再利用等体积法可求得点到平面的距离. 【详解】（1） 取的中点，连接， ，， ，，且 ， 四边形是平行四边形，，， ，，， ，, ，， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面， 平面，平面平面； （2） 连接，，， 由(1)可知，，四边形是平行四边形， ，且， 是异面直线和所成角，即， 设，，，， 是等边三角形，，，即， ，，， 由(1)知，平面，， ， ， 设点到平面的距离为， ，即，即， ，即点到平面的距离为. 5．如图，已知平面，，，分别是的中点，则异面直线与所成角的正切值为 . 【答案】 【分析】取中点，求证或其补角是异面直线与所成的角，在中计算其正切值即可. 【详解】取中点，连接，则， ∴或其补角是异面直线与所成的角， 设， 由题意得，， 因平面，平面，则，则， 因，平面，则平面， 又平面，则，则， 在中，，则， 故异面直线与所成角的正切值为. 故答案为： 题型06用向量法求解直线与平面所成角的方法 1. 已知菱形边长为3，，将沿对角线翻折形成四面体，当与平面所成的线面角为时，四面体的外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据题意结合图形可得平面，分别过△、△的中心作对应面的垂线，两垂线的交点即为四面体的外接球的球心，结合图形分析计算半径． 【详解】如图，取的中点，连接 ，根据题意可知：平面 △、△均为正三角形，分别过其中心作对应面的垂线，两垂线的交点即为四面体的外接球的球心 则可知为正方形，则 设四面体的外接球的半径为，则 四面体的外接球的表面积 故答案为：． 2. 已知在空间直角坐标系（O为坐标原点）中，点关于x轴的对称点为点B，则z轴与平面OAB所成的线面角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点关于坐标轴对称的性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为点关于x轴的对称点为， 所以，． 设平面OAB的一个法向量为，则得所以， 令，得，所以． 又z轴的一个方向向量为，设z轴与平面OAB所成的线面角为， 则， 所以所求的线面角为， 故选：B 3. 如图，平行四边形ABCD所在平面与直角梯形ABEF所在平面互相垂直，且，，P为DF中点． （1）求证：直线PE平行于平面ABCD； （2）求PE与平面BCE所成的线面角大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）取AD中点为Q，连接PQ，QB，通过证明四边形为平行四边形可得，再根据直线与平面平行的判定定理可证结论； （2）先证明两两垂直，再以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求得结果. 【详解】（1）证明：取AD中点为Q，连接PQ，QB， 则，由于，故， 所以四边形为平行四边形， ∴，因为平面ABCD，平面ABCD， ∴平面ABCD； （2）在中，因为，所以，所以，又平面平面，所以平面，所以， 所以两两垂直，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，，，， 所以，，， 令平面的法向量为， 则由，可得，取，则，所以． 令所求的线面角为，则， 所以直线PE与平面BCE所成的角为． 【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，考查了平面与平面垂直的性质定理，考查了线面角的向量求法，属于中档题. 4. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下面结论中正确的是（    ） A．点到平面的距离为定值 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与直线所成的角为定值 D．直线与平面所成线面角为定值 【答案】ABC 【分析】利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解. 【详解】对于，在正方体中，直线与平行，平面， 平面，所以直线与平面平行， 所以点到平面的距离，即为直线与平面的距离，为定值.故A正确; 对于B，由于，而为定值，在正方体中， ，平面，平面，所以平面， 又，所以点到该平面的距离即为直线与平面的距离， 为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，由题意得在正方体中，，，， 所以平面，而平面，所以， 故这两条异面直线所成的角为，故C正确； 对于D，因为，平面，平面，所以平面， 又，所以点到该平面的距离即为直线与平面的距离， 所以点到平面的距离d不变，所以直线与平面所成线面角由的长度确定， ，因为的长度是变化的，故线面角的大小不确定.故D错误. 故选：ABC. 5．经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系．能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角．如我国某城市就处在北纬，若将地球看成近似球体，其半径约为，则北纬纬线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用给定条件，求出地球半径与该处的纬线所在平面所成的角，再求出纬线圆半径即可计算作答. 【详解】依题意，经过该城市的地球半径与该处的纬线所在平面所成的角为， 于是得北纬纬线圆半径， 所以北纬纬线的长为. 故选：C 题型07利用向量法解二面角问题的策略 1. 在三棱台中，平面平面是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】设，若分别为的中点，连接，根据已知及线面垂直的判定、性质定理证明、，结合二面角的定义找到其平面角，进而求其正切值. 【详解】设，易知为等腰梯形，故， 所以，故， 若分别为的中点，连接，则，即， 由是以为直角顶点的等腰直角三角形，则， 平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，故， 由且都在平面内，则平面， 由平面，则， 综上，二面角的平面角为，且为直角三角形， 由，，所以. 故选：D 2. 已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，且侧面与下底面所成的二面角为，则该正四棱台的侧面积为（    ） A．48 B．128 C． D． 【答案】D 【分析】由正四棱台的几何结构，根据二面角平面角的定义，结合等腰梯形的几何性质，可得答案. 【详解】分别取棱的中点作截面，如下图： 则四边形是等腰梯形，是该正四棱台的斜高， 是侧面与底面所成的二面角的平面角，所以， 可求出，所以该正四棱台的侧面积为. 故选：D. 3. 已知正四棱台 中，，侧棱与平面所成的角为，记该正四棱台的表面积为，体积为，则（    ） A． B． C．二面角为 D．正四棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为 【答案】ABD 【分析】设正方形、正方形的中心分别为，；设边，的中点分别为，，证明四边形为等腰梯形，过作，证明平面，，由此可得，，，再求正四棱台的表面积为，体积为，判断AB，证明是二面角的平面角，解三角形求其大小，判断C，确定球心位置及球的半径，结合球的表面积公式求外接球的表面积，判断D. 【详解】如图，设正方形、正方形的中心分别为，； 设边，的中点分别为，， 连接，，，，，，； 因为相交，所以四点共面， 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又，，， 所以四边形为等腰梯形， 过作，则，又平面， 所以平面，故侧棱与平面所成的角为， 由已知， 在中，，， 所以，，， 因为，，， 又平面，平面，所以， 所以四边形为直角梯形，过作， 则为直角三角形，为直角，，， 所以， 对于A，可得， 所以，故A正确； 对于B，由于， 得，故B正确； 对于C，由于，，所以是二面角的平面角， 在中，，故C错误； 对于D，设，又，，， 若点在平面的上方，则，，与矛盾， 所以，由得，，解得， 故点在该正四棱台的外部，即球的半径为， 所以，故D正确， 故选：ABD． 4. 如图，是正三角形，、、互相平行且相等，且平面，，为的中点，则平面和平面所成的锐二面角的大小为 . 【答案】 【分析】解法一，利用面积射影公式通过计算得出二面角的大小，.此时要注意：若二面角大于，则的补角的才是二面角的大小； 解法二，是添加辅助线或补形，作出二面角的棱，再用其他方法求解. 【详解】解法1（射影面积法）：∵平面，平面，平面， ∴是在平面内射影.设二面角大小为，则，设，则 ∵，，∴边上的高 ∴，∴，∴. ∴平面和平面所成的锐二面角的大小. 解法二（补棱）：如图，延长、相交于点，连结， ∵为的中点， ∴是.的中位线.∴. 又是正三角形，∴. ∴（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角）. 又平面，由三垂定理可知，. ∴是所求二面角的平面角. 又，故，即平面和平面所成的锐二面角的大小为. 故答案为：. 5．如图，四棱锥中，底面，，，，为上一点.    (1)证明：平面平面； (2)若为的中点，求二面角的平面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接、，证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）连接，过点在平面内作于，连接，证明出平面，可知即为二面角的平面角，求出、的长，即可求出的正切值，即为所求. 【详解】（1）连接、，设， 因为，，，所以， 所以，故， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，因此平面平面. （2）当为的中点时，连接， 由（1）可知，因为，则为的中点，所以， 因为平面，所以底面， 因为平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面. 过点在平面内作于，连接，    因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 因为，在直角三角形中，， ， 因为底面，平面，所以， 所以， 因为，由等面积法可得， 所以，故二面角的正切值为 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 空间向量与立体几何 1、空间向量的有关概念 （1）空间向量：在空间中，具有 的量； （2）相等向量：方向 且模 的向量； （3）相反向量：方向 且模 的向量； （4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量； （5）共面向量：平行于同一个平面的向量 2、空间向量的有关定理 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得 （2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 （3）空间向量基本定理：如果三个向量，， ，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得 ，其中，叫做空间的一个 ． 3、空间向量的数量积及运算律 （1）数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的 ，记作 ，其范围是 ， 若，则称与互相 ，记作. ②非零向量，的数量积 ． （2）空间向量数量积的运算律 ①结合律：； ②交换律：； ③分配律：. 4、空间向量的坐标表示及其应用 设，， 向量表示 坐标表示 数量积 共线 垂直 模 夹角 5、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l ，则称此向量为直线l的方向向量． （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量． 6、空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， 7、异面直线所成角 设异面直线a，b所成的角为θ，则 其中，分别是直线a，b的方向向量． 8、直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量， φ为l与α所成的角，则 . 9、二面角 （1）若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a. （2）平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则 ，如图b，c. 10、点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点， 设向量在直线l上的投影向量为＝a， 则点P到直线l的距离为 (如图)． 11、点到平面的距离 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点， 过点作则平面的垂线，交平面于点， 则点到平面的距离为 （如图）. 12、线面距和面面距 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 （1）直线与平面之间的距离： ，其中，是平面的法向量。 （2）两平行平面之间的距离： ，其中，是平面的法向量。 一、空间向量的概念 1.忽视零向量 错误：特殊情况考虑时，容易忽略掉零向量的存在． 注意：在进行空间向量相关概念判断时，要注意零向量的特殊性，如零向量与任意向量平行等。 二、空间向量的应用 2.直线夹角与向量夹角范围 错误：认为直线夹角与向量夹角范围相同． 注意：两异面直线所成角的范围是。两向量的夹角的范围是，需要注意两者的区别与联系． 3.线面角与向量夹角转化不明 错误：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角； ②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值； ③不清楚线面角的范围． 纠正：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|． 4.二面角概念模糊 错误：无法判断二面角是锐角还是钝角． 注意：若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则；若两个平面所成二面角为钝角，则．当求得两法向量夹角的余弦值时，一定要结合图形判断二面角的取值范围． 题型01 用基向量表示指定向量的方法 1. 在中，，，且与的夹角为60°．且． (1)若，用基向量，表示，并求； (2)若，求实数的值． 2. （多选）已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当时，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的是（    ） A．线段A，B的中点的广义坐标为 B．A，B两点间的距离为 C．若向量平行于向量，则 D．若向量垂直于向量，则 3. 如图，在平行六面体中，，，，，，且点F为与的交点，点E在线段上，有. (1)求的长； (2)将用基向量来表示，设，求的值. 4. 在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量、、表示向量，设，则、、的值分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型02证明三点共线和空间四点共面的方法比较 1. （多选）如图，在平行六面体中，，，．若，，则（    ） A． B． C．A，P，三点共线 D．A，P，M，D四点共面 2. 已知，，是空间中不共面的向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值． 3. 如图，在四面体中作截面，若，的延长线交于点，，的延长线交于点，，的延长线交于点则下列四个选项中正确的个数是（    ） （1），，三点共线； （2），，，四点共面； （3）. A． B． C． D． 4. 给出下列四个命题： ①若空间四点共面，则其中必有三点共线； ②若空间四点不共面，则其中任何三点都不共线； ③若空间四点中有三点共线，则此四点共面； ④若空间四点中任何三点都不共线，则此四点不共面，其中真命题是（    ）． A．②③ B．①②③ C．①③ D．②③④ 5．在长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（   ） A．，，三点确定一个平面 B．，，三点共线 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 题型03空间向量数量积的应用 1. 向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 2. 已知向量，． (1)求与的数量积； (2)若与垂直，求的值． 3. 小张同学在学习了向量的数量积后，想出一道题考考同学们，题目和他给出的答案如下： 题目：，求的值．答案：的值为7. 则他的数学老师小朱老师最有可能给出的评价为（    ） A．题目正确，答案正确 B．题目错误，答案错误 C．题目错误，答案正确 D．题目正确，答案错误 4. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，则下列数量积最大的是（    ） A． B． C． D． 5．我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量的数量积记作，定义为，复向量的模定义为.记为虚数单位. (1)设，求复向量与的模； (2)对两个复向量与，若时，称与平行.设，，是否存在实数，使与平行，若存在，求出；若不存在，请说明理由. (3)我们知道对于任意平面向量与，都有；对任意两个复向量与，不等式是否仍成立，试给出判断，并说明理由； 题型04利用空间向量证明空间线面位置关系 1. 下列说法不是线面位置关系的性质定理的是（  ）. A． B． C． D． 2. 应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化．( ) 3.（多选） 教室可以看成是长方体的一个模型，线线、线面、面面平行和垂直的位置关系在其中可以体现出来.若、、为空间不同直线，、、为不同平面，认真观察该模型，判断下列说法，其中正确的有 . A．，，. B．，，. C．，，. D．，，. 4. 下列利用方向向量、法向量判断线线、线面位置关系的结论，其中正确的是（    ） A．两条直线，的方向向量分别是，，则 B．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则 C．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则 D．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则 5．如图1，在矩形ABCD中，，E为AB的中点，将沿DE折起，点A折起后的位置记为点，得到四棱锥，M为AC的中点，如图2.某同学在探究翻折过程中线面位置关系时，得到下列四个结论： ①恒有；                        ②恒有平面； ③三棱锥的体积的最大值为；  ④存在某个位置，使得平面平面. 其中所有正确结论的序号是 . 题型05用向量法求异面直线所成角的一般步骤 1. 如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ）． A．90° B．60° C．45° D．30° 2. 从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（    ） A．B． C． D． 3. ．如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 4. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 5．如图，已知平面，，，分别是的中点，则异面直线与所成角的正切值为 . 题型06用向量法求解直线与平面所成角的方法 1. 已知菱形边长为3，，将沿对角线翻折形成四面体，当与平面所成的线面角为时，四面体的外接球的表面积为 . 2. 已知在空间直角坐标系（O为坐标原点）中，点关于x轴的对称点为点B，则z轴与平面OAB所成的线面角为（    ） A． B． C． D． 3. 如图，平行四边形ABCD所在平面与直角梯形ABEF所在平面互相垂直，且，，P为DF中点． （1）求证：直线PE平行于平面ABCD； （2）求PE与平面BCE所成的线面角大小． 4.（多选） 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下面结论中正确的是（    ） A．点到平面的距离为定值 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与直线所成的角为定值 D．直线与平面所成线面角为定值 5．经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系．能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角．如我国某城市就处在北纬，若将地球看成近似球体，其半径约为，则北纬纬线的长为（    ） A． B． C． D． 题型07利用向量法解二面角问题的策略 1. 在三棱台中，平面平面是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 2. 已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，且侧面与下底面所成的二面角为，则该正四棱台的侧面积为（    ） A．48 B．128 C． D． 3.（多选） 已知正四棱台 中，，侧棱与平面所成的角为，记该正四棱台的表面积为，体积为，则（    ） A． B． C．二面角为 D．正四棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为 4. 如图，是正三角形，、、互相平行且相等，且平面，，为的中点，则平面和平面所成的锐二面角的大小为 . 5．如图，四棱锥中，底面，，，，为上一点.    (1)证明：平面平面； (2)若为的中点，求二面角的平面角的正切值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $