专题02 空间向量与立体几何（考点清单，三大模块四类知识整理+分类例题解析+强化训练）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

专题02 空间向量与立体几何 （三大模块四类知识整理+分类例题解析+变式训练） 1 【考点题型一】空间几何体夹角问题 知识点 01 ：空间几何体异面直线夹角 知识点 02 ：空间几何体线面角 知识点03 ：空间几何体二面角 2 【考点题型二】空间几何体距离问题 知识点 01 ： 直线到平面的距离 3【考点题型三】空间向量与立体几何综合问题（折叠问题等） 【考点题型一】空间几何体夹角问题 知识点 01 ：空间几何体异面直线夹角 求异面直线所成角的一般步骤： 方法1：（1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线． （2）求—转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． （3）结论—设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求． 方法2：空间向量方法：从 【典例分析】 【例题1】如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（    ）    A． B． C． D． 【例题2】如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【例题3】 （23-24高二下·湖北·期中）如图，是一个由棱长为的正四面体沿中截面所截得的几何体，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 强化练习： 1 （23-24高二下·江苏南京·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建莆田·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 3 在正方体中，分别是的中点，则异面直线和所成角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 知识点 02 ：空间几何体线面角 计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 【典例分析】 【例题1】 1．（2023·吉林通化·二模）已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】 （23-24高二下·贵州遵义·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面ABCD是正方形，点F为棱PD的中点，. (1)若E是BC的中点，证明：平面； (2)求直线CF与平面ABF所成角的正弦值. 强化练习： 1 （23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在三棱柱中，是边长为的等边三角形，，，， 为中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 2（23-24高二下·上海·期中）已知在三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小. 知识点03 ：空间几何体二面角 行列式求法向量： 若平面两条相交直线的方向量为 则可以采用行列式思想求法向量 然后采用掐头去尾的方式 （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 【典例分析】 【例题1】 （23-24高二下·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，面为正方形，面为等边三角形，分别是和的中点. (1)求证：直线平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【例题2】（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 强化练习： 1 （23-24高二下·河南·期中）如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点，为的中点. (1)证明:平面. (2)求二面角的正弦值. 2（23-24高二下·浙江·期中）如图，在四棱锥中，侧面是正三角形