学易金卷：高二数学下学期期中模拟卷01（浙江专用，人教A版选必二+选必三第六、七章：数列+导数+计数原理+随机变量及其分布）

2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 【答案】D 【解】由导数的定义得，故D正确. 故选：D 2．某校一次数学考试成绩服从正态分布，已知，则（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.3 D．0.2 【答案】C 【解】由服从正态分布，， 得. 故选：C 3．在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合. A．18 B．15 C．12 D．9 【答案】C 【分析】利用已知条件，通过分类求解即可. 【解】若发出2种光，则有种；若发出3种光，则有种， 则共有种. 故选：C 4．已知为等差数列，且．若直线l：与圆：相切，则的公差为（   ） A．8 B．4或8 C．6 D．2或6 【答案】C 【解】圆：的圆心，半径， 设等差数列的公差为，由，得，解得， 由直线l：与圆相切，得，则，因此， 所以的公差为6. 故选：C 5．关于二项式，若展开式中含的项的系数为，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】C 【解】由题意得的系数为，解得， 故选：C. 6．已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】由图可知，当时，单调递减，，由此排除BD选项. 当时，从左向右，是递增、递减、递增， 对应导数的符号为，由此排除C选项， 所以A选项正确. 故选：A 7．等比数列的前项积为，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解】由等比数列的性质可知，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：C. 8．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】对于，同时12次方可得与，易知，所以； 对于，同时次方可得与，由题干可知，所以，即； 对于，同时取对数可得与，，，解得， 易得在单调递增，单调递减，易知，所以． 综上可得， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在的展开式中,下列说法正确的是(   ) A．常数项是 B．第四项和第六项的系数相等 C．各项的二项式系数之和为 D．各项的系数之和为 【答案】AC 【解】根据二项式定理,的通项公式为, 对于A,常数项为,故A正确; 对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B错误; 对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为,故C正确; 对于D,令,各项的系数之和为,故D错误. 故选:AC. 10．饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好，现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅饺子，2盒三鲜馅饺子和5盒青菜馅饺子，乙箱中有3盒肉馅饺子，3盒三鲜馅饺子和4盒青菜馅饺子，则下列正确的是（    ） A．从甲箱中取出两盒饺子都是肉馅的概率是 B．依次从甲箱中取出两盒饺子，第一盒是肉馅的条件下，第二盒是青菜馅的概率是 C．先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是 D．先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，若从乙箱取出的饺子是肉馅的，则从甲箱中取出三鲜㿟饺子的概率是 【答案】ACD 【解】：对于，从甲箱中取出两盒饺子都是肉馅的概率是，故正确； 对于，依次从甲箱中取出两盒饺子， 第一盒是肉馅的条件下，第二盒是青菜馅的概率为： ，故错误； 对于，先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子， 则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是： ，故正确； 对于，先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子， 若从乙箱取出的饺子是肉馅的，则从甲箱中取出三鲜馅饺子的概率为： ，故正确． 故选：． 11．已知函数其中，则下列选项正确的是 （    ） A． B．若，则 C．，使有两解，则 D．有最大值 【答案】AD 【解】对于A选项，，记，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减，故，故A正确； 对于B选项，，所以， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 无法判断的大小关系，故B错误； 对于C选项，，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因此当时，仅有一解，故C错误； 对于D选项，，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，故D正确， 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数________． 【答案】 【解】因为， 所以 ， 又曲线在点处的切线与直线平行， 所以，即， 所以， 故答案为： 13．某中学举办女子排球赛，高二年级班与班进行比赛，每局比赛班获胜概率为，每场比赛结果相互独立.若比赛采用三局两胜制（先赢两局者获胜），则班获胜的概率是__________. 【答案】/0.352 【解】三局两胜制班获胜的情况有：“前面两局胜利”和”第三局胜利前面两局中胜一局”．根据独立事件的概率公式得：. 故答案为：． 14．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，而甲不能参加C课程，则不同的报名方法数为_________． 【答案】100 【解】将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分为三组，每组人数分别为2、2、1或3、1、1， 此时分组方法有：； 然后将这三组同学分配给三门劳动教育校本课程，由于甲不能参加课程， 此时分配方法有：； 由分步计数原理可知，不同的报名方法种数为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等差数列的首项为1，前项和为．记，数列是等差数列． (1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解】（1）解：设等差数列的公差为 由题意得，， ， ， 因为数列是等差数列， 所以，即， 解得，，所以. （2）由（1）得， 所以， 故， 所以 因为，所以，故， 因为为单调递减函数， 所以为单调递增函数， 故当时，， 综上：. 16．（15分）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是的极小值点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；(2) 【解】（1）当时，函数， 则， 令，易知函数在上是减函数，且， 所以当时，有，即，当时，有，即， 所以在上单调递增，在上单调递减； （2）由已知得：，且， 令，则， 当时，，则在上是减函数，又， 所以当时，有，即，当时，有，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即在时取到极大值，不符合题意，故舍去； 当时，则，令得，， 故在上单调递减， 又，且， 所以当时，有，从而，即在上单调递增， 当时，有，从而，即在上单调递减， 即在时取到极大值，仍不符合题意，故舍去； 当时，则，令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在时取到极小值，也是最小值，所以， 从而有，所以在上单调递增， 又不符合题意，故舍去； 当时，则，令得，， 故在上单调递增， 又，且， 所以当时，有，从而，即在上单调递增， 当时，有，从而，即在上单调递减， 即在时取到极小值，符合题意，故； 综上所述可得实数m的取值范围是 17．（15分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） (2)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望． 附参考数据：若，则①；②；③． 【答案】(1)；(2)；(3)分布列见解析；期望为 【解】（1）根据频率分布直方图得： ． （2）由题意知，即， 所以． （3）由题意可知，和的频率之比为：， 故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人， 随机变量的取值可以为， ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 所以. 18．（15分）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若关于的方程有两根（其中）， ①求的取值范围；②当时，求的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为的单调递减区间为；(2)①；② 【解】（1）当时，，所以， 由解得，由解得， 故的单调递增区间为的单调递减区间为. （2）①由，即，即， 令，上式为，因为， 所以在上单调递增，故等价于， 即在上有两根， 令，则， 由解得，由解得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以有极大值，且当时，， 其图象如图所示：    所以的取值范围为. ②由①得在上有两根，所以， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， ，所以， 可得，所以，所以. 19．（17分）同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. (1)估计甲队每局获胜的概率； (2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； (3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小 【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3)两队积分相等的概率小于 【解】（1）由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为， 用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为. （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 可得：，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望． （3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件， 设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2， 因两队积分相等，所以，即，则， 而，， ， 所以 ， 因为，所以两队积分相等的概率小于 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 2．某校一次数学考试成绩服从正态分布，已知，则（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.3 D．0.2 3．在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合. A．18 B．15 C．12 D．9 4．已知为等差数列，且．若直线l：与圆：相切，则的公差为（   ） A．8 B．4或8 C．6 D．2或6 5．关于二项式，若展开式中含的项的系数为，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 6．已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 7．等比数列的前项积为，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 8．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在的展开式中,下列说法正确的是(   ) A．常数项是 B．第四项和第六项的系数相等 C．各项的二项式系数之和为 D．各项的系数之和为 10．饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好，现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅饺子，2盒三鲜馅饺子和5盒青菜馅饺子，乙箱中有3盒肉馅饺子，3盒三鲜馅饺子和4盒青菜馅饺子，则下列正确的是（    ） A．从甲箱中取出两盒饺子都是肉馅的概率是 B．依次从甲箱中取出两盒饺子，第一盒是肉馅的条件下，第二盒是青菜馅的概率是 C．先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是 D．先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，若从乙箱取出的饺子是肉馅的，则从甲箱中取出三鲜㿟饺子的概率是 11．已知函数其中，则下列选项正确的是 （    ） A． B．若，则 C．，使有两解，则 D．有最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数________． 13．某中学举办女子排球赛，高二年级班与班进行比赛，每局比赛班获胜概率为，每场比赛结果相互独立.若比赛采用三局两胜制（先赢两局者获胜），则班获胜的概率是__________. 14．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，而甲不能参加C课程，则不同的报名方法数为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等差数列的首项为1，前项和为．记，数列是等差数列． (1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证：． 16．（15分）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是的极小值点，求实数m的取值范围． 17．（15分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） (2)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望． 附参考数据：若，则①；②；③． 18．（15分）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若关于的方程有两根（其中）， ①求的取值范围；②当时，求的取值范围. 19．（17分）同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. (1)估计甲队每局获胜的概率； (2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； (3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 2．某校一次数学考试成绩服从正态分布，已知，则（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.3 D．0.2 3．在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合. A．18 B．15 C．12 D．9 4．已知为等差数列，且．若直线l：与圆：相切，则的公差为（   ） A．8 B．4或8 C．6 D．2或6 5．关于二项式，若展开式中含的项的系数为，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 6．已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 7．等比数列的前项积为，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 8．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在的展开式中,下列说法正确的是(   ) A．常数项是 B．第四项和第六项的系数相等 C．各项的二项式系数之和为 D．各项的系数之和为 10．饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好，现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅饺子，2盒三鲜馅饺子和5盒青菜馅饺子，乙箱中有3盒肉馅饺子，3盒三鲜馅饺子和4盒青菜馅饺子，则下列正确的是（    ） A．从甲箱中取出两盒饺子都是肉馅的概率是 B．依次从甲箱中取出两盒饺子，第一盒是肉馅的条件下，第二盒是青菜馅的概率是 C．先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是 D．先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，若从乙箱取出的饺子是肉馅的，则从甲箱中取出三鲜㿟饺子的概率是 11．已知函数其中，则下列选项正确的是 （    ） A． B．若，则 C．，使有两解，则 D．有最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数________． 13．某中学举办女子排球赛，高二年级班与班进行比赛，每局比赛班获胜概率为，每场比赛结果相互独立.若比赛采用三局两胜制（先赢两局者获胜），则班获胜的概率是__________. 14．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，而甲不能参加C课程，则不同的报名方法数为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等差数列的首项为1，前项和为．记，数列是等差数列． (1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证：． 16．（15分）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是的极小值点，求实数m的取值范围． 17．（15分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） (2)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望． 附参考数据：若，则①；②；③． 18．（15分）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若关于的方程有两根（其中）， ①求的取值范围；②当时，求的取值范围. 19．（17分）同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. (1)估计甲队每局获胜的概率； (2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； (3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C C C C A C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ACD AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】1 13．【答案】/0.352 14． 【答案】100 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）【答案】(1)；(2)证明见解析 【解】（1）：设等差数列的公差为 由题意得，， ， ， 因为数列是等差数列， 所以，即， 解得，，所以.（6分） （2）由（1）得， 所以， 故， 所以 因为，所以，故， 因为为单调递减函数， 所以为单调递增函数， 故当时，， 综上：.（7分） 16．（15分）【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；(2) 【解】（1）当时，函数， 则， 令，易知函数在上是减函数，且， 所以当时，有，即，当时，有，即， 所以在上单调递增，在上单调递减；（3分） （2）由已知得：，且， 令，则， 当时，，则在上是减函数，又， 所以当时，有，即，当时，有，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即在时取到极大值，不符合题意，故舍去；（4分） 当时，则，令得，， 故在上单调递减， 又，且， 所以当时，有，从而，即在上单调递增， 当时，有，从而，即在上单调递减， 即在时取到极大值，仍不符合题意，故舍去；（4分） 当时，则，令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在时取到极小值，也是最小值，所以， 从而有，所以在上单调递增， 又不符合题意，故舍去； 当时，则，令得，， 故在上单调递增， 又，且， 所以当时，有，从而，即在上单调递增， 当时，有，从而，即在上单调递减， 即在时取到极小值，符合题意，故； 综上所述可得实数m的取值范围是（4分） 17．（15分）【答案】(1)；(2)；(3)分布列见解析；期望为 【解】（1）根据频率分布直方图得： ．（3分） （2）由题意知，即， 所以．（5分） （3）由题意可知，和的频率之比为：， 故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人， 随机变量的取值可以为， ，， ，，（4分） 故的分布列为： 0 1 2 3 所以.（3分） 18．（15分）【答案】(1)的单调递增区间为的单调递减区间为；(2)①；② 【解】（1）当时，，所以， 由解得，由解得， 故的单调递增区间为的单调递减区间为.（4分） （2）①由，即，即， 令，上式为，因为， 所以在上单调递增，故等价于， 即在上有两根， 令，则， 由解得，由解得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以有极大值，且当时，， 其图象如图所示：    所以的取值范围为.（6分） ②由①得在上有两根，所以， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， ，所以， 可得，所以，所以.（7分） 19．（17分）【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3)两队积分相等的概率小于 【解】（1）由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为， 用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为.（4分） （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 可得：，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望．（5分） （3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件， 设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2， 因两队积分相等，所以，即，则， 而，， ， （4分） 所以 ， 因为，所以两队积分相等的概率小于（4分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A[B][CD] 口 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）