6.4.1平面几何中的向量方法 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

学习 目标 1.能用向量方法解决简单的平面几何问题.(重点) 2.能用向量方法解决物理中的力学与航行问题. 3.体会向量在解决数学和实际问题中的作用. §6.4.1 平面几何中的向量方法 1. 你还记得平面向量学习了哪些知识吗？ 1、平面向量的定义； 2、平面向量的加、减、数乘三种线性运算； 3、平面向量的数量积运算； 4、平面向量基本定理； 5、平面向量的坐标表示及坐标运算； 2. 我们用平面向量知识解决了哪些平面几何问题？ 1、两直线平行 2、三点共线 3、夹角问题 4、两点间距离 5、垂直问题 本节我们将学习运用向量方法解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用.同时我们还将借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题. (课本例1)如图，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明： DE∥BC，DE＝BC. 几何元素 平面向量 几何关系 运算 翻译 表示 练习1.1 如图所示，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求∠EMF的余弦值. ①基底法：题中涉及的向量用合适的基底(尽量知道模和夹角)表示 ②坐标法：题中涉及的向量建系后用坐标表示并计算 (课本例2)如图所示，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 平行四边形对角线的平方和=邻边平方和的2倍 练2.1 平行四边形ABCD，AB=2,AD=1,BD=2，则AC= 极化恒等式——用于求数量积的范围/最值 平行四边形对角线的平方差 =邻边数量积的4倍 练2.3 等边△ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上一个动点，则的范围为_______________. 练2.2 已知正方形ABCD的边长为2，点P是线段AB上一个动点，则的范围为_______________. 1. 三角形的四心概念 （1）重心： 三角形三条中线的交点，是中线靠近中点的三等分点； （2）垂心： 三角形三条高线的交点； （3）内心： 内切圆的圆心，是三条角平分线的交点，内心到三边距离相等； （4）外心： 外接圆的圆心，是三边的中垂线的交点，外心到三个顶点距离相等； 点G是重心 点H是垂心 点I是内心 点O是外心 三角形的四心与向量的结合： 2. 四心对应的向量式 外心 垂心 内心 重心 课堂小结 1. 证明线段相等,转化为证明向量的长度相等;求线段的长,转化为求向量的模. 2. 证明线段、直线平行,转化为证明向量平行. 3. 证明线段、直线垂直,转化为证明向量垂直. 4. 几何中与角相关的问题,转化为向量的夹角问题. 5. 对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题,通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系,通过向量的坐标运算解决平面几何问题. 平面几何中的向量方法: §6.4.2 向量在物理中的应用举例 6.4 平面向量的应用 第六章 平面向量及其应用 前面我们学习了平面向量的概念和运算，并通过平面向量基本定理，把向量的运算化归为实数的运算. 本节我们将学习运用向量方法解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用.同时我们还将借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题。 14 情境引入 向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决. 因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题又是一个值得探讨的课题。 15 例1 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？ (1)在当为何值时，最小？最小值是多少？ (2)能等于吗？为什么？ 思考 例2 在如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到)？ 随堂练习 1.一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，求对该物体所 做的功 2.如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着三个重物，它们所受的重力分别为、、此时整个系统恰处于平衡状态，求∠AOB的大小。 3.若平面上的三个力, , ,作用与一点，且处于平衡状态，已知， ， 与的夹角为，求： （1） 的大小； （2） 与夹角的大小。 18 $