易错05 二次函数及其应用（易错专练，8大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

专题05 二次函数及其应用 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 一次函数、二次函数、反比例函数图象共存问题 易错点 2 混淆二次函数的平移规律 易错点 3 二次函数的图象与系数之间的关系 易错点 4 给定自变量范围确定二次函数的最值 易错点 5 用函数观点理解方程、不等式 易错点 6 缺乏建模能力（构建二次函数解决实际问题） 易错点 7 新定义与二次函数结合理解不到位 易错点 8 二次函数与几何综合考虑不全 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 一次函数、二次函数、反比例函数图象共存问题 错因剖析 概念混淆：混淆图象经过的象限与系数符号的逻辑，同一字母系数在不同函数中符号必须一致，常出现前后矛盾的判断。 认知偏差：只看单一函数图象特征，缺乏整体联动意识，不先统一、 等系数符号再逐一验证。 基础薄弱： 1、不会由图象快速反推系数符号，如一次函数 升降趋势与 、截距与 的关系不熟练。 2、二次函数对称轴公式、开口方向、顶点位置等基础知识记忆混乱。 3、不会排除法、代入法等基本解题策略，面对多函数综合图象无从下手。 【例1】（2026·安徽合肥·一模）在同一平面直角坐标系中，函数的图象大致如图所示，则函数和的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线可得，，则，，再由一次函数与反比例函数经过的象限即可判断． 【详解】解：由抛物线可得，， ∴， ∴直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限 故D选项符合题意． 避错秘籍 【防错指南】 1、先定系数符号，再逐个验证 同一字母在不同函数中符号必须完全一致，以此为突破口排除错误选项。 2、抓关键特征，拒绝 “凭感觉” 一次函数：看升降（）、看截距（） 反比例函数：看在一、三或二、四象限（） 二次函数：看开口（）、对称轴（）、与 轴交点（） 3、用排除法快速解题 先找最明显错误的图象，逐一排除，剩余即为正确答案。 【知识链接】 1、一次函数 ，从左到右上升；，下降 交 轴正半轴； 交负半轴 2、反比例函数 ，在一、三象限；，在二、四象限 在每个象限内， 随 增大而增大或减小 3、二次函数 开口向上， 开口向下 对称轴 是抛物线与 轴交点纵坐标 变式迁移 【变式1-1】（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】6．（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． 【变式1-3】（2025·安徽合肥·三模）二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，由反比例图象得为正数是解题的关键． 根据反比例函数图象确定出是正数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：当时，反比例函数图象位于第一、三象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴负半轴， ， 二次函数图象开口向上， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，只有选项符合． 当时，反比例函数图象位于第二、四象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴正半轴， ， 二次函数图象开口向下， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，没有选项符合． 故选：A ． 易错点2 混淆二次函数的平移规律 错因剖析 概念混淆： 1、混淆平移方向与符号变化的对应关系，把 “左加右减、上加下减” 记反或用错。 2、混淆对 平移和对整体平移，只对常数项加减，不对括号内的 进行变形，导致平移式写错。 3、混淆一般式平移与顶点式平移的差异，直接在 中乱加减，不先化成顶点式。 认知偏差： 1、误以为平移是改变开口大小与方向，实际平移只改变位置， 始终不变。 2、凭直觉判断左右平移，认为 “向右就是加”，忽略是对自变量 本身进行操作。 3、把 “平移后的解析式” 和 “平移前的顶点坐标” 混为一谈，只算顶点不写函数式。 基础薄弱： 1、不会熟练将一般式化为顶点式，无法准确找到顶点进行平移。 2、对 “左加右减” 的适用对象不清晰，不知道只针对单独的 ，而非含系数的 。 3、顶点坐标公式记忆模糊， 容易写错符号。 【例2】（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 避错秘籍 【防错指南】 1、牢牢记住八字口诀 左右平移：左加右减（只对 ） 上下平移：上加下减（对整体） 2、平移前先化顶点式 无论题目给什么形式，优先化成 ，平移更直观、不易错。 3、抓住 不变原则 平移不改变抛物线形状与开口，只改变顶点 ，开口变了直接判定错误。 4、左右平移必须 “套括号” 向右平移 个单位： 向左平移 个单位： 不能写成 或 。 【知识链接】 1、顶点式：，顶点 ，对称轴 。 2、平移规则： 向左平移 ： 向右平移 ： 向上平移 ： 向下平移 ： 3、一般式转顶点式：配方法或用顶点坐标公式 。 变式迁移 【变式2-1】（2026·河南周口·一模）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的函数解析式为________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移不改变二次项系数，根据二次函数的顶点式，代入顶点坐标即可求出答案． 【详解】解：平移后的解析式为． 【变式2-2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的表达式为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：∵原抛物线解析式为． 根据平移规则，图象向右平移2个单位，对x进行“右减”操作，得． 再向下平移3个单位，对整体进行“下减”操作，得． ∴所得抛物线的表达式为． 【变式2-3】（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】 （1） （2）①           ② 【分析】（1）根据“左加右减”的原则写出新函数解析式，由解析式求得平移后的图象与轴交点的坐标． （2）由题意平移后的函数解析式为，则， ①若，则，利用二次函数的增减性即可求解； ②求得线段的两个端点，分两种情况讨论，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】（1）解：由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为， 令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为． （2）解：平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为， 则平移后得到的顶点为， 平移后的函数解析式为， 当时，与轴交点的纵坐标， ①若，则， 是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线， 时，，时，， 当时，的取值范围是； ②函数的图象与轴、轴的交点分别为，， ，， ∵点在线段上， 当时，， ， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 随的增大而减小， ∵点在线段上， 当时，， ， 对称轴为直线， ， 随的增大而增大， 故可能的序号是． 易错点3 二次函数的图象与系数之间的关系 错因剖析 概念混淆：将系数、、的作用混淆，无法准确对应图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点等特征。 认知偏差：对系数之间的关联、特殊点的意义理解不透彻，忽略隐含条件，导致判断失误。对系数之间的相互影响、特殊图象特征对应的系数条件理解片面，缺乏“全面分析、结合公式”的思维习惯，容易陷入单一条件判断的误区。 基础薄弱：对二次函数的核心公式记忆不扎实，缺乏计算熟练度，基础知识点掌握不牢固，无法将公式与图象特征灵活结合应用。 【例3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 ，化简不等式为，求得解集，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标， ∵， ∴若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确； ⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴可化为， 即， ∵， ∴， 解得：或， ∴关于的不等式的解集为或不是故⑤错误 故正确的有①②④，共3个， 故选：B 避错秘籍 【防错指南】全面分析条件，规避认知偏差 判断系数关系时，需结合图象所有特征，兼顾隐含条件，避免单一判断： 1、判断对称轴时，必须同时看和的符号，不能单独由的符号判断； 2、判断开口宽窄时，对比的大小，而非的符号； 3、遇到特殊图象（过原点、顶点在y轴上、与x轴相切等），立即关联对应系数条件（过原点→，顶点在y轴→，与x轴相切→）。 【知识链接】 1、二次函数的三种形式：一般式（）、顶点式（顶点为，对称轴为），可通过顶点式快速验证、的关系（如）；交点式，对称轴为. 2、判别式：不仅决定图象与x轴的交点个数，还能判断二次方程的根的情况，与系数、、直接相关； 3、二次函数的增减性：由开口方向和对称轴共同决定，而开口方向由决定，对称轴由、共同决定，本质是系数对图象特征的综合影响。 4、根据二次函数图象判断、、等代数式的符号（技巧：代入得，代入得，结合对称轴判断的符号）； 变式迁移 【变式3-1】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】首先由抛物线开口向上得到，然后由对称轴得到，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到，即可判断①；由对称轴为直线得到，然后将代入抛物线得到，代入得到，然后根据得到，即可判断②；设抛物线对称轴与x轴交于点E，将代入抛物线得到，求出，然后求出，得到，得到，即可判断③；分别将和代入方程，整理求出和或6，进而求解即可． 【详解】∵抛物线开口向上 ∴ ∵对称轴为直线 ∴ ∵抛物线与y轴交于负半轴 ∴ ∴，故①错误； ∵对称轴为直线 ∴ ∵在抛物线上 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确； 如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E， 将代入 将，代入得， ∴ ∵ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是钝角三角形，故③正确； ∵ ∴当时，， ∴方程转化为 解得； ∴当时，， ∴方程转化为 解得或6； ∵方程的两根为、 ∴，，故④正确． 综上所述，其中正确结论有3个． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴交点问题，解直角三角形，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式3-2】（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】由二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧，，，，可得①符合题意；结合当时，最大，当时，，可得②不符合题意；由，，可得，可得③符合题意；由，记的横坐标分别为，可得，结合，可得，可得④符合题意. 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∵顶点的坐标为， ∴当时，最大， 当时，， ∴， ∴，故②不符合题意； ∵二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，对称轴为直线， ∴，， ∴，， ∴，故③符合题意； 如图，为等边三角形， ∴，，，， ∴， 记的横坐标分别为， ∴， ∴， 当，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，熟练的利用等边三角形的性质结合二次函数的图象解题是关键. 【变式3-3】（2026·安徽合肥·一模）如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点、的横坐标分别为．与轴负半轴交于点，在下列结论中：①；②；③当时，；④有两个不相等的实数根，其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与轴的交点、的横坐标分别为，，得出对称轴为，判断①，结合图象过点，判断②，根据开口方向顶点的纵坐标为最小值即可判断③，方程的解即为函数与交点的横坐标即可判断④． 【详解】解：①二次函数的图象与轴的交点、的横坐标分别为，， 该二次函数图象对称轴为：直线， ，即，故①错误； ②由题意可知：图象过点， ， 又， ，即，故②正确； ③由①可知，二次函数图象的顶点为， ， 又在二次函数中，当时， ， ，故③正确； ④由上知，，， ∴，而 ∴， ∴函数与有两个不同的交点， ∵方程的解即为函数与交点的横坐标， ∴有两个不相等的实数根，故④正确， ∴正确的有3个． 易错点4 给定自变量范围确定二次函数的最值 错因剖析 概念混淆：将二次函数在全体实数范围内的最值（顶点最值），直接等同于给定自变量范围内的最值，忽略自变量范围的限制。 认知偏差：无法准确判断二次函数的顶点横坐标是否在给定的自变量范围内，或对“范围与顶点的位置关系”对应的最值情况判断错误，存在思维漏洞。 基础薄弱：记混二次函数顶点坐标公式，代入端点值、顶点值计算时出错，或解题步骤不完整，导致最值判断错误。 【例4】（2026·福建三明·一模）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点A，且与y轴交于点C． (1)若，，求此二次函数的表达式； (2)在（1）的条件下，将二次函数的图象向右平移m个单位长度，得到新的二次函数的图象，当时，求新的二次函数的最小值； (3)设一次函数（n是常数）．若二次函数y1的表达式还可以表示为的形式，当函数的图象经过点时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）确定平移后的解析式，根据抛物线的性质得到对称轴为直线，分类讨论即可得解．（3）把，代入中，得出关于，的关系式，把代入求解即可； 【详解】（1）二次函数的图象经过，， ， 解得：， 此二次函数的表达式为； （2），且向右平移m个单位长度， 新的二次函数可表示为， 对称轴为， ①当，即时， 当时，有， ②当时，即时， 当时，有， ③当，即时， 当时，有； （3），， ， ， ， 又图象经过点， ， 或， 或． 避错秘籍 【防错指南】三步解题法，精准判断最值 第一步：确定二次函数解析式，判断开口方向（由的符号决定），计算顶点坐标（，）； 第二步：判断顶点横坐标是否在给定的自变量范围内（注意区分区间开闭性，如需判断是否满足）； 第三步：分情况求最值： 情况1：（顶点在范围内）：开口向上，最小值为，最大值为区间端点、对应的函数值中的较大者；开口向下，最大值为，最小值为区间端点对应的函数值中的较小者。 情况2：（顶点在范围左侧）：开口向上，最小值为对应的函数值，最大值为对应的函数值；开口向下，最大值为对应的函数值，最小值为对应的函数值。 情况3：（顶点在范围右侧）：开口向上，最小值为对应的函数值，最大值为对应的函数值；开口向下，最大值为对应的函数值，最小值为对应的函数值。 【知识链接】二次函数的图象与性质：开口方向、顶点坐标、对称轴，这三个要素是判断限定范围最值的基础，其中对称轴（顶点横坐标）是判断最值位置的关键。 变式迁移 【变式4-1】（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案； （2）先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案； （3）当，，当时，，当交点在线段之间时，那么且，或者当时，，从而解得答案； 【详解】（1）解：该抛物线经过点 解得 顶点坐标为 （2）解： 对称轴为，函数图象开口向上 ， 当时，取最大值4 解得， （3）解： 当， 当时， 当交点在线段之间时，当时， 解得； 当时， 解得； 综上，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式4-2】（2026·江苏连云港·一模）在二次函数中． (1)若它的图象与轴只有一个交点，求的值和顶点坐标； (2)当时，的最小值为，求出的值； (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）根据抛物线与x轴只有一个交点可得，再求出解可得二次函数关系式，然后配方得出答案； （2）先表示出抛物线的对称轴和顶点坐标，再分两种情况：当时，，y有最小值，其最小值为，可得方程，求出解；当时，时，y有最小值，其最小值为，并得到方程，求出解； （3）先根据抛物线的对称轴得，再根据可得，再求出当时，，然后分两种情况讨论：当4在对称轴左边时，要使，需要满足，求出解集；当4在对称轴右边时，要使，需要满足即，求出解集并得出答案． 【详解】（1）解：∵，它的图象与x轴只有一个交点， ∴， 解得或． ∵， ∴， ∴， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴对称轴是，顶点坐标为． 当时， y有最小值为． 当时，，y有最小值，其最小值为， ∴， 解得． ∵， ∴； 当时，时，y有最小值，其最小值为， ∴y有最小值，其最小值为， 解得，不符合题意． 综上所述，； （3）解：∵点都在这个二次函数的图象上， ∴对称轴是． ∵抛物线的对称轴是， ∴． ∵， ∴， 解得； 当时，，对称轴是， ∴时，． 当4在对称轴左边时，要使，需要满足，即 解得； 当4在对称轴右边时，要使，需要满足即， 解得， 综上所述：或． 易错点5 用函数观点理解方程、不等式 错因剖析 概念混淆：无法将方程、不等式的代数意义与函数图象的几何意义对应起来，认为两者是孤立的知识体系。 认知偏差：在求解一元二次不等式时，对 “开口方向” 与 “不等式符号” 之间的对应关系判断错误，导致解集范围颠倒。 基础薄弱：对函数的图象性质（开口方向、对称轴、与坐标轴交点、判别式）掌握不牢固，导致无法通过图象直观地分析方程、不等式，解题方法单一，灵活性不足。 【例5】（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 避错秘籍 【防错指南】牢记 “方程的解 ↔ 函数图象交点的横坐标”、“不等式的解集 ↔ 函数图象位于某直线上方 / 下方的部分对应的 x 的取值” 这一核心对应关系，将抽象问题具体化。 1、方程视角：方程 的解 函数 与 图象交点的横坐标。 2、不等式视角：不等式 的解集 函数 的图象位于 图象上方的部分对应的 的取值范围。 【知识链接】 函数的零点：函数的零点即为方程 的根，也是函数图象与 轴交点的横坐标。 一元二次方程根的判别式： 对应抛物线与 轴有两个交点（方程两个不相等实根）； 对应抛物线与 轴有一个交点（方程两个相等实根）； 对应抛物线与 轴无交点（方程无实根）。 变式迁移 【变式5-1】（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是_____（填写序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，把代入函数解析式，求出值，判断①；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判断②，根据判别式，判断③；求出方程的根，判断④，图象法确定⑤即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴该函数图象经过点；故①正确； 当时，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； ∵， ∴， ∴抛物线与轴有1个或2个交点，故③错误； 当时， ∵函数图象经过点， ∴的一个根为， ∴由根与系数的关系可知：方程的另一个根为， ∵， ∴，即：关于的方程有一个根大于0且小于1；故④正确； ∵， ∴当时，， 由④可知，当时，抛物线与轴的两个交点分别为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧， ∴当时，抛物线与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限， 故有一个正根， 当时，抛物线与直线有两个交点，一个为，一个在对称轴的左侧，即在第三象限， 故，则关于的方程的正数根只有一个；故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 【变式5-2】（2025·山东德州·中考真题）已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 【答案】(1)①抛物线的解析式为；②或； (2) 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式； ②根据解析式，计算出对称点，利用函数图象增减性，找到横坐标关系，列出不等式，计算即可求解； （2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点， ∵对于，都有， ∴或， 解得或； （2）解：∵抛物线过点， ， 则， ∵对于任意实数，都有， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得， ∴交点的横坐标分别为和， ． 【变式5-3】（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入，解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． 易错点6 缺乏建模能力（构建二次函数解决实际问题） 错因剖析 概念混淆：对二次函数的实际应用场景理解模糊，未掌握“可构建二次函数的实际问题核心特征”，缺乏“实际问题→数量关系→函数模型”的转化意识，将不同函数模型的适用场景混淆。 认知偏差：缺乏“审题→提炼数量关系→设元→列解析式”的规范建模思路，对实际问题中的核心等量关系、隐含条件挖掘不全面，无法将文字描述转化为数学语言，建模逻辑混乱。 基础薄弱：二次函数的配方、顶点公式应用不熟练，计算能力薄弱，同时缺乏“建模→求解→检验”的完整解题意识，忽略建模后的检验环节，导致模型正确但最终答案错误。 【例6】（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 【答案】【猜想】：图见解析，一次，二次；【检验】：，，验证见解析；【应用】：最大为 【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键： 猜想：描点，连线，画出函数图象，根据图象形状，判断函数类型即可； 检验：待定系数法求出函数解析式，再代入另外一组数据进行验证即可； 应用：设，由题意，得到，得到，根据二次函数求最值即可． 【详解】解：【猜想】：描点，连线，画图如下： 猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示； 故答案为：一次，二次； 【检验】：设，把代入，得， 解得：， ∴， 验证：当时，，符合题意； 设，把点，代入，得， 解得， ∴， 验证：当时，，符合题意； 【应用】：∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，最大为； 故最大为． 避错秘籍 【防错指南】牢记“可构建二次函数的实际问题核心特征”，精准区分函数模型，避免混淆： 1、适用二次函数的实际场景：核心是“两个变量之间存在平方关系”，常见场景有：利润最值（单价、销量与总利润的关系）、面积最值（边长与面积的关系）、射程问题（发射角度与射程的关系）、高度问题（时间与高度的关系）等。 2、区分不同函数模型：一次函数适用于“变量间成线性关系”（如路程=速度×时间，无平方项）；反比例函数适用于“变量间成反比例关系”（如路程固定，速度与时间成反比）；二次函数适用于“变量间有平方项，且存在最值”的场景。 3、牢记“建模必看实际意义”：构建函数后，立即确定自变量的取值范围（如边长>0、销量为非负整数、涨价幅度不超过原价等），避免后续求解出现不符合实际的答案。 【知识链接】 1、利润最值问题：给出进价、售价、销量的关系，求最大利润，核心是列出“总利润=（售价-进价）×销量”的二次函数，结合自变量取值范围求最值。 2、面积最值问题：结合几何图形（矩形、三角形、抛物线形），给出周长、边长等条件，求最大面积，核心是用一个变量表示另一个变量，列出面积的二次函数。 3、实际应用综合题：结合行程、高度、造价等场景，构建二次函数模型，同时考查最值求解、方案设计（如“获得不低于某一利润的方案有几种”）。 变式迁移 【变式6-1】（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 【变式6-2】（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 【变式6-3】（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 【答案】(1)米 (2) (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米），即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴（米）； （2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米） ∵涉及安全问题， ∴（米）． 易错点7 新定义与二次函数结合理解不到位 错因剖析 概念混淆：对新定义的关键词、核心规则解读不细致，缺乏“拆解新定义”的意识，将新定义简单等同于二次函数的原有概念，无法建立“新定义规则→二次函数性质”的对应关系。 认知偏差：阅读理解能力和知识迁移能力不足，缺乏“文字描述→数学语言→二次函数性质”的转化思维，对新定义的应用场景和迁移方向判断失误，无法将陌生的新定义转化为熟悉的二次函数问题。 基础薄弱：二次函数的核心知识（顶点公式、判别式、开口方向、对称轴）掌握不扎实，计算能力和应用能力不足，无法为新定义的解读和应用提供支撑，导致“能读懂定义，却解不出题目”。 【例7】（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （4）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，； （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴； （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． 避错秘籍 【防错指南】掌握“三步解读法”，精准拆解新定义，明确其核心内涵，避免与二次函数原有概念混淆： 第一步：圈关键词，抓核心（通读新定义，圈出定义中的关键条件、运算规则、特殊要求，明确“新定义描述的是什么、需要满足什么条件、要计算/判断什么”）； 第二步：找关联，辨区别（对比新定义与二次函数的原有概念，明确两者的联系与区别，如“新定义的特征点”是否与顶点、交点重合，避免混淆）； 第三步：举实例，验理解（结合简单的二次函数解析式，代入新定义规则，验证自己的解读是否正确，避免因解读偏差导致解题错误）。 【知识链接】二次函数的解析式与性质：一般式、顶点式的转化，开口方向、对称轴、顶点坐标、判别式的应用，是解读新定义、完成求解的基础； 二次函数与点的坐标：新定义常涉及抛物线的特殊点（如特征点、对称点），需熟练掌握点的坐标与函数值的对应关系，能根据坐标求函数值、根据函数值求坐标； 二次函数的最值与范围：新定义中的“最值”“距离值”等，常需要结合二次函数的最值求解，需熟练掌握限定范围最值的求解方法。 变式迁移 【变式7-1】（2026·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点P为“大美点”．例如点，，，…，都是“大美点”．若二次函数的图象上只有三个“大美点”，其中一个“大美点”是，当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入可得，再由的图象上只有三个“大美点”可得对应的一元二次方程必有一个有两个相等的实数根，可求得、，进而可求的取值范围． 【详解】解：一个“大美点”是， ， ， 的图象上只有三个“大美点”， 对应的或这两个一元二次方程必有一个有两个相等的实数根， 当时，有， ， 化简得：， ，此方程无解， 当时，有， ， 化简得：， ， ， ， 原二次函数为， ， ， 当时，二次函数有最大值为， 当时，， 关于抛物线的对称轴直线的对称点为， 当时，函数的最小值为，最大值为， 的取值范围为：． 【变式7-2】（2026·湖北随州·一模）【新定义】“等距截线” 定义：在平面直角坐标系中，对于抛物线和直线，若抛物线与直线有两个不同的交点，则这两个交点之间的线段称为“截线段”，截线段的长度称为“截距”． 若抛物线的顶点到直线的距离恰好等于截距的一半，则称该抛物线关于直线具有“等距截线性质”． (1)判断抛物线是否关于直线具有“等距截线性质”，并说明理由． (2)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，求的值． (3)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，且截距为2． ①求的值； ②若点是抛物线上位于直线上方的一个动点，点是抛物线上位于直线下方的一个动点，若P、Q关于直线对称，直接写出的最大值． 【答案】(1)不具有“等距截线性质”；理由见解析； (2)； (3)①；②的最大值为． 【分析】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解“等距截线性质”的定义，结合二次函数的顶点坐标、与直线的交点坐标进行计算，同时利用二次函数的对称性和性质求解最值． （1）先求抛物线顶点到直线的距离，再求截距，验证是否满足“顶点到直线的距离等于截距的一半”； （2）根据定义列方程，即可求解参数； （3）① 先写出抛物线顶点式，结合定义和截距列方程求； ② 利用对称性表示的长度，结合Q的纵坐标范围即可求最大值． 【详解】（1）解：不具有“等距截线性质”；理由如下： 先将抛物线配方：， 顶点坐标为，顶点到直线的距离为：， 联立抛物线与直线的方程：， 解得，，截距为， 截距的一半为，而顶点到直线的距离为，， 因此不具有“等距截线性质”； （2）已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”： 配方得： 顶点坐标为，顶点到直线的距离为： 联立抛物线与直线的方程：， 设两根为，由韦达定理，，， 截距为：， 根据定义，顶点到直线的距离等于截距的一半： 令（因为抛物线开口向上，顶点在直线下方），则， 代入得：， 解得（舍去），故； （3）已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，且截距为： ① 配方得： 顶点坐标为，顶点到直线的距离为， 根据定义，距离等于截距的一半，即，解得或， 又因为抛物线开口向上，顶点在直线下方（否则截距不存在或不符合定义）， 故； ② 由①得抛物线为，关于直线对称， 设，则， 抛物线， 抛物线的最低点即顶点为， 在上方，在下方， ，解得， 的长度为：， ，即的最大值为． 【变式7-3】（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】（1）根据“1阶近轴点”的定义，结合函数的性质逐个分析判断即可得出结论； （2）设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，根据题意列出不等式组，进而得出关于的不等式组有解，列出关于的不等式，即可求解； （3）设“2阶完美点”的坐标为，由题意得，得出“2阶完美点”在函数上，分析可知函数与函数只有一个交点，设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，根据函数与轴的交点个数分情况讨论，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：经过点，点是“1阶近轴点”，故①符合题意； 设存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为， 由题意得，， ∴不等式组无解， ∴图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意； ∵， ∴函数的最小值为2， ∴函数图像上的点到轴的距离大于等于2， ∴函数不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意； ∴函数图像上存在“1阶近轴点”的是①； 故答案为：①； （2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为， 由题意得，， 解得：， ∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”， ∴关于的不等式组有解， ∴或或， 解得：或或，即， ∴实数的取值范围为； （3）解：设“2阶完美点”的坐标为， 由题意得，， ∴“2阶完美点”在函数上， ∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”， ∴函数与函数只有一个交点， 令，整理得， 设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足， 当时，， 若函数与轴有2个交点，则当时，有， ∴， 解得：； 若函数与轴只有1个交点，则， 整理得：， 解得：或， 当时，则与轴的交点的横坐标为， ∵， ∴符合题意； 当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去； 综上所述，实数的取值范围为或． 【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质，理解“阶近轴点”和“阶完美点”的定义是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的理解应用和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 易错点8 二次函数与几何综合考虑不全 错因剖析 概念混淆：对二次函数与几何图形的关联逻辑理解不透彻，混淆“函数图象上的点”与“几何图形顶点”的区别，未明确几何图形的存在条件（如三角形三边关系、圆的半径限制），缺乏“数形结合、双向关联”的思维。 认知偏差：认知片面，缺乏分类讨论的意识和能力，对几何图形的多种位置关系、构成情况考虑不全面，陷入“单一情况”的思维误区，无法全面覆盖所有可能的情形。 基础薄弱：二次函数与几何图形的核心知识掌握不扎实，两者的综合应用能力不足，缺乏“函数坐标→几何性质”“几何条件→函数表达式”的双向转化能力，无法支撑全面的分类讨论和求解。 【例8】（2025·湖北武汉·中考真题）抛物线与直线交于两点（在的左边）． (1)求两点的坐标． (2)如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标． (3)如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）联立两函数解析式，并求出对应的解即可得到答案； （2）设，则，，可得，，根据，可得，解方程即可得到答案； （3）设，设直线解析式为，利用待定系数法可得，进而可得；求出直线解析式为，得到，同理可得，进一步可得，则，根据，可得，据此可得，，，即直线解析式为． 【详解】（1）解：联立，解得或， ∴； （2）解：设， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为y轴， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴点P的横坐标为2或； （3）解：设， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（此时的面积相等，不符合题意）， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∴直线解析式为． 避错秘籍 【防错指南】二次函数与几何综合题的核心是“基础过关+综合应用”，需同时夯实两类知识，提升转化能力： 1、强化二次函数基础：熟练掌握解析式转化（一般式→顶点式）、顶点坐标、对称轴、判别式、自变量取值范围等核心知识点，能快速根据解析式判断图象特征； 2、巩固几何核心知识：牢记三角形（直角、等腰、相似）、四边形（平行四边形、矩形、菱形）、圆的判定定理和性质，熟练掌握坐标法求长度、面积、角度的方法； 3、提升转化能力：熟练掌握“坐标→长度”（勾股定理）、“坐标→面积”（割补法、底乘高）、“几何条件→函数表达式”（如由“垂直”得到斜率关系、由“相等”得到等式）的转化方法，打通数形结合的通道。 【知识链接】 二次函数与三角形综合：求抛物线上是否存在点，使构成的三角形为直角三角形、等腰三角形、相似三角形，或求三角形的面积、周长最值； 二次函数与四边形综合：求抛物线上是否存在点，使构成的四边形为平行四边形、矩形、菱形、正方形，或结合四边形的性质求点的坐标、边长； 二次函数与圆综合：求抛物线与圆的交点个数、圆的半径，或结合圆的切线、圆周角性质，求二次函数的系数取值范围； 综合压轴题：二次函数、几何图形与动点问题结合，考查分类讨论、数形结合思维，需全面考虑动点的不同位置，避免漏解。 变式迁移 【变式8-1】（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①3；②抛物线的平移距离为 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）①求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则：，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出点坐标，作轴，交的延长线于点，证明，列出比例式求出的值，进而求出平移距离即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【变式8-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________； (4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）代入点的坐标，求得系数，即可得抛物线的解析式； （2）过点作的平行线，进行等面积转化，由面积求得线段长度，可得点的坐标，从而可求直线方程，与抛物线的解析式联立，即可解得点的坐标； （3）将以点为中心，逆时针旋转，由图形旋转的性质，可得点的坐标，从而可得直线方程，由等腰三角形的性质，结合已知角度可知，点为直线与抛物线的交点，联立直线方程和抛物线的解析式，结合点所在象限，即可得出点的坐标； （4）根据题设条件所描述的运动过程，结合三角形相似的判定和性质，分析取最大值和最小值时，点所在的位置，用勾股定理解直角三角形，求出相应的最大值和最小值，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为 （2）解：作，交轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设所在直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵，， ∴所在直线的解析式为， 又∵点在抛物线上， ∴， 解得，，， ∴， （3）解：如图，将以点为中心，逆时针旋转，得到，连接，则为等腰直角三角形， ∴， ∵点是第四象限内抛物线上的一点，， ∴点为延长线与抛物线的交点， 由旋转可知，，，，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 设所在直线的解析式为，则 ， 解得，， ∴所在直线的解析式为， 由得，或， ∵点在第四象限， ∴点的横坐标为正数， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴ 故答案为： （4）解：如图，连接，交于点，连接， ∵点和点关于轴对称，点在轴上，， ∴点在轴上，， ∵过点，且平行于轴，， ∴， 又∵于点， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， 取中点记为，连接，则 又∵， ∴， ∴， ∴，当且仅当点、点、点共线时，取得最小值， 作于点，作于点，交于点，连接，则四边形为矩形， ∴，， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点到达点时，点、点、点重合，此时取得最大值， ∵， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数，旋转的性质，平行线的性质，平行线间的距离，等面积转化，一次函数，矩形的性质，轴对称，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 【变式8-3】（2025·四川自贡·中考真题）如图，在中，分别是的中点，连接，交于点．     (1)若，，，则四边形的面积为___________； (2)若，的最大面积为．设，求与之间的函数关系式，并求的最大值； (3)若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)，最大为 (3)是， 【分析】（1）分割法得到四边形的面积，即可得出结果； （2）三角形的中位线定理，证明，进而推出，进而得到当四边形的面积最大时，最大，过点作，过点作，则：，进而得到四边形的最大面积，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （3）根据平移规则，求出抛物线的解析式，设，根据三角形的中线平分面积，得到为的中点，进而得到点坐标，设，结合点H在上列出方程，利用韦达定理解得m和n的关系，再把的坐标代入，求出，根据直线过点，将解析式写为，得到，令，求出值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴四边形的面积 ； （2）∵在中，分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当四边形的面积最大时，的面积最大， 过点作，过点作，则：， ∵四边形的面积 ∴四边形的面积最大， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，最大为； （3）直线是过定点： 由（2）知：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴为的中点， ∵过点的直线与直线交于点， ∴， ∴， ∴， 设， ∵直线交该图象于点， ∴， 则， ∴，， ∴， 那么，， 解得：， ∴直线：， 即：， ， ∴当，即：时，， ∴直线过定点． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移以及二次函数的综合应用，熟练掌握相关定理和性质，二次函数的图象和性质，以及平移规则，是解题的关键． 1. （2025·宁夏吴忠·三模）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质．根据反比例函数的图象得出，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项不符合题意； B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴与矛盾，故本选项不符合题意； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项符合题意． 故选：D． 2. （2026·安徽芜湖·一模）把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移口诀“左加右减，上加下减”进行判断即可． 【详解】解：根据题意，平移后的抛物线的解析式为． 3. （2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 4. （2026·陕西西安·三模）已知二次函数，当时函数值y有最大值1，且函数图象向右平移3个单位后经过坐标原点，则b的值为（   ） A． B． C．或 D．或1 【答案】C 【分析】由二次函数图象平移的规律得，由经过原点得，由抛物线的对称轴为直线，①当时，②当时，由二次函数的最值即可求解． 【详解】解：二次函数向右平移3个单位长度后，得， ∵平移后的二次函数经过原点， ∴， 解得， ∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ①当时， ∵当时，函数值y有最大值1，， ∴当时，， ∴， 将代入得：， 解得； ②当时， ∵当时，函数值y有最大值1， ∴当时，， ∴， 将代入得：， 解得， 综上，b的值为或． 5. （2026·江苏无锡·一模）已知是的函数，是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为．若存在常数，使得，则称此函数为“k-利普希兹条件函数”．下列四个结论：其中正确的是（   ） ①函数是“3-利普希兹条件函数”； ②函数是“5-利普希兹条件函数”； ③若函数是“2026-利普希兹条件函数”，则的最大值为2026； ④已知函数，当时，此函数是“k-利普希兹条件函数”恒成立，则的最小值为11． A．①②③ B．①③ C．②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】  对于每个函数，需要计算，并与进行比较，看是否满足． 【详解】解： 设是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为 判断结论① ：已知函数， ∴， ， ∴． ∵，满足，此时， ∴函数是“3-利普希兹条件函数”，结论①正确；   判断结论②：  对于函数， ∴，， ∴， 当时，，，而，不满足， ∴函数不是“5-利普希兹条件函数”，结论②错误； 判断结论③：  已知函数是“2026-利普希兹条件函数”， ∴， ∴． ∵函数是“2026-利普希兹条件函数”， ∴，即 ． 由于， ∴，两边同时除以可得，则m的最大值为2026，结论③正确； 判断结论④：  已知函数，当时， ∴，， ∴，整理，得， ∵， ∴， ∴，即， ∴，满足，则k的最小值为11，结论④正确． 综上，正确的是①③④，答案选D． 6. （2026·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是________________ 【答案】（或） 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再根据平移规律“左加右减，上加下减”，即可求解． 【详解】解：将原抛物线配方化为顶点式得： ． 根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，将抛物线向左平移个单位，自变量加，再向下平移个单位，整体减，可得： ． 整理得：． 化为一般式得． 7. （2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与轴的交点位置可判断③，根据图象与轴的交点个数可判断④；根据时函数的值可判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴，符合题意； ②∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴， ∴， 符合题意； ③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴，不符合题意； ④∵图象与x轴有2个交点， ∴，不符合题意； ⑤∵时，， ∴，符合题意； 故答案为：①②⑤． 8. （2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 9. （2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 【答案】（1）窗户框架的宽为； （2）该窗户框架的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 【分析】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值． （1）依据题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，由“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，则，结合长宽之比为，可得，再将代入得，进而计算可以得解； （2）依据题意，设窗户框架的长为，则宽为，则，即，从而要使窗户框架的面积最大，则，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为， ∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为， ∴． ∵长宽之比为， ∴长为横向边，宽为纵向边，黄金分割比中长宽，故，即：． 将代入得，． ∴． 答：窗户框架的宽为． （2）由题意，设窗户框架的长为，则宽为， ∴，即， ∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为． ∴当时，最大值为． ∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 10. （2025·湖北武汉·中考真题）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】 （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 【答案】建立模型：；应用模型：（1）不能，理由见解析；（2） 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． 建立模型：将点，代入计算即可得； 应用模型：（1）令，则可得，利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得； （2）先求出，再根据当时，；当时，建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：建立模型：将点，代入得：， 解得， 所以与的函数解析式为． 应用模型：（1）令，则， 整理得：， 这个方程根的判别式为，方程没有实数根， 所以羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到． （2）∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， ∴的值不变，即， ∴改变发球方式后，羽毛球飞行路线对应的抛物线为， ∵发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于， ∴当时，；当时，， ∴， 解得， 所以的取值范围为． 11. （2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；， 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出的值即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； （2）∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为， ∴， ∴； （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设，， 由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，， ∴轴， ∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴，解得； ∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． 12. （2025·广西南宁·三模）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 【答案】（1）；（2）A；（3）①；②见解析 【分析】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，解题关键是先确定“邂逅点”满足的这一关系，再结合函数性质与方程根与系数关系求解． （1）观察已知点坐标，计算的值，发现均为，直接得与关系：． （2）根据“邂逅点”满足，分别代入、、三点坐标验证，即可解答． （3）综合应用①由“邂逅点”定义，满足，解得，即．将代入反比例函数，得，解得答案．②联立“邂逅点”直线与抛物线，消去得．设方程两根（即“邂逅点”横坐标）为、，根据韦达定理，，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点，，，， 分别验证：， ， ， ， ∵与的关系为． 故答案为：； （2）根据“邂逅点”满足： 对于：，满足，是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 故点A是“邂逅点”． 故答案为：A； （3）①∵P是“邂逅点”， ∴， ∴， 将代入中，得 ， 即k的值为． ②证明：由题意知，“邂逅点”所在直线为， 设两个“邂逅点”的横坐标分别为，， 联立，得 ， 则， ∴两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 13. （2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． 即． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数及其应用 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 一次函数、二次函数、反比例函数图象共存问题 易错点 2 混淆二次函数的平移规律 易错点 3 二次函数的图象与系数之间的关系 易错点 4 给定自变量范围确定二次函数的最值 易错点 5 用函数观点理解方程、不等式 易错点 6 缺乏建模能力（构建二次函数解决实际问题） 易错点 7 新定义与二次函数结合理解不到位 易错点 8 二次函数与几何综合考虑不全 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 一次函数、二次函数、反比例函数图象共存问题 错因剖析 概念混淆：混淆图象经过的象限与系数符号的逻辑，同一字母系数在不同函数中符号必须一致，常出现前后矛盾的判断。 认知偏差：只看单一函数图象特征，缺乏整体联动意识，不先统一、 等系数符号再逐一验证。 基础薄弱： 1、不会由图象快速反推系数符号，如一次函数 升降趋势与 、截距与 的关系不熟练。 2、二次函数对称轴公式、开口方向、顶点位置等基础知识记忆混乱。 3、不会排除法、代入法等基本解题策略，面对多函数综合图象无从下手。 【例1】（2026·安徽合肥·一模）在同一平面直角坐标系中，函数的图象大致如图所示，则函数和的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】 1、先定系数符号，再逐个验证 同一字母在不同函数中符号必须完全一致，以此为突破口排除错误选项。 2、抓关键特征，拒绝 “凭感觉” 一次函数：看升降（）、看截距（） 反比例函数：看在一、三或二、四象限（） 二次函数：看开口（）、对称轴（）、与 轴交点（） 3、用排除法快速解题 先找最明显错误的图象，逐一排除，剩余即为正确答案。 【知识链接】 1、一次函数 ，从左到右上升；，下降 交 轴正半轴； 交负半轴 2、反比例函数 ，在一、三象限；，在二、四象限 在每个象限内， 随 增大而增大或减小 3、二次函数 开口向上， 开口向下 对称轴 是抛物线与 轴交点纵坐标 变式迁移 【变式1-1】（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】6．（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·安徽合肥·三模）二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 易错点2 混淆二次函数的平移规律 错因剖析 概念混淆： 1、混淆平移方向与符号变化的对应关系，把 “左加右减、上加下减” 记反或用错。 2、混淆对 平移和对整体平移，只对常数项加减，不对括号内的 进行变形，导致平移式写错。 3、混淆一般式平移与顶点式平移的差异，直接在 中乱加减，不先化成顶点式。 认知偏差： 1、误以为平移是改变开口大小与方向，实际平移只改变位置， 始终不变。 2、凭直觉判断左右平移，认为 “向右就是加”，忽略是对自变量 本身进行操作。 3、把 “平移后的解析式” 和 “平移前的顶点坐标” 混为一谈，只算顶点不写函数式。 基础薄弱： 1、不会熟练将一般式化为顶点式，无法准确找到顶点进行平移。 2、对 “左加右减” 的适用对象不清晰，不知道只针对单独的 ，而非含系数的 。 3、顶点坐标公式记忆模糊， 容易写错符号。 【例2】（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 避错秘籍 【防错指南】 1、牢牢记住八字口诀 左右平移：左加右减（只对 ） 上下平移：上加下减（对整体） 2、平移前先化顶点式 无论题目给什么形式，优先化成 ，平移更直观、不易错。 3、抓住 不变原则 平移不改变抛物线形状与开口，只改变顶点 ，开口变了直接判定错误。 4、左右平移必须 “套括号” 向右平移 个单位： 向左平移 个单位： 不能写成 或 。 【知识链接】 1、顶点式：，顶点 ，对称轴 。 2、平移规则： 向左平移 ： 向右平移 ： 向上平移 ： 向下平移 ： 3、一般式转顶点式：配方法或用顶点坐标公式 。 变式迁移 【变式2-1】（2026·河南周口·一模）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的函数解析式为________． 【变式2-2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的表达式为（） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 易错点3 二次函数的图象与系数之间的关系 错因剖析 概念混淆：将系数、、的作用混淆，无法准确对应图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点等特征。 认知偏差：对系数之间的关联、特殊点的意义理解不透彻，忽略隐含条件，导致判断失误。对系数之间的相互影响、特殊图象特征对应的系数条件理解片面，缺乏“全面分析、结合公式”的思维习惯，容易陷入单一条件判断的误区。 基础薄弱：对二次函数的核心公式记忆不扎实，缺乏计算熟练度，基础知识点掌握不牢固，无法将公式与图象特征灵活结合应用。 【例3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 避错秘籍 【防错指南】全面分析条件，规避认知偏差 判断系数关系时，需结合图象所有特征，兼顾隐含条件，避免单一判断： 1、判断对称轴时，必须同时看和的符号，不能单独由的符号判断； 2、判断开口宽窄时，对比的大小，而非的符号； 3、遇到特殊图象（过原点、顶点在y轴上、与x轴相切等），立即关联对应系数条件（过原点→，顶点在y轴→，与x轴相切→）。 【知识链接】 1、二次函数的三种形式：一般式（）、顶点式（顶点为，对称轴为），可通过顶点式快速验证、的关系（如）；交点式，对称轴为. 2、判别式：不仅决定图象与x轴的交点个数，还能判断二次方程的根的情况，与系数、、直接相关； 3、二次函数的增减性：由开口方向和对称轴共同决定，而开口方向由决定，对称轴由、共同决定，本质是系数对图象特征的综合影响。 4、根据二次函数图象判断、、等代数式的符号（技巧：代入得，代入得，结合对称轴判断的符号）； 变式迁移 【变式3-1】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【变式3-3】（2026·安徽合肥·一模）如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点、的横坐标分别为．与轴负半轴交于点，在下列结论中：①；②；③当时，；④有两个不相等的实数根，其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错点4 给定自变量范围确定二次函数的最值 错因剖析 概念混淆：将二次函数在全体实数范围内的最值（顶点最值），直接等同于给定自变量范围内的最值，忽略自变量范围的限制。 认知偏差：无法准确判断二次函数的顶点横坐标是否在给定的自变量范围内，或对“范围与顶点的位置关系”对应的最值情况判断错误，存在思维漏洞。 基础薄弱：记混二次函数顶点坐标公式，代入端点值、顶点值计算时出错，或解题步骤不完整，导致最值判断错误。 【例4】（2026·福建三明·一模）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点A，且与y轴交于点C． (1)若，，求此二次函数的表达式； (2)在（1）的条件下，将二次函数的图象向右平移m个单位长度，得到新的二次函数的图象，当时，求新的二次函数的最小值； (3)设一次函数（n是常数）．若二次函数y1的表达式还可以表示为的形式，当函数的图象经过点时，求的值． 避错秘籍 【防错指南】三步解题法，精准判断最值 第一步：确定二次函数解析式，判断开口方向（由的符号决定），计算顶点坐标（，）； 第二步：判断顶点横坐标是否在给定的自变量范围内（注意区分区间开闭性，如需判断是否满足）； 第三步：分情况求最值： 情况1：（顶点在范围内）：开口向上，最小值为，最大值为区间端点、对应的函数值中的较大者；开口向下，最大值为，最小值为区间端点对应的函数值中的较小者。 情况2：（顶点在范围左侧）：开口向上，最小值为对应的函数值，最大值为对应的函数值；开口向下，最大值为对应的函数值，最小值为对应的函数值。 情况3：（顶点在范围右侧）：开口向上，最小值为对应的函数值，最大值为对应的函数值；开口向下，最大值为对应的函数值，最小值为对应的函数值。 【知识链接】二次函数的图象与性质：开口方向、顶点坐标、对称轴，这三个要素是判断限定范围最值的基础，其中对称轴（顶点横坐标）是判断最值位置的关键。 变式迁移 【变式4-1】（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 【变式4-2】（2026·江苏连云港·一模）在二次函数中． (1)若它的图象与轴只有一个交点，求的值和顶点坐标； (2)当时，的最小值为，求出的值； (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 易错点5 用函数观点理解方程、不等式 错因剖析 概念混淆：无法将方程、不等式的代数意义与函数图象的几何意义对应起来，认为两者是孤立的知识体系。 认知偏差：在求解一元二次不等式时，对 “开口方向” 与 “不等式符号” 之间的对应关系判断错误，导致解集范围颠倒。 基础薄弱：对函数的图象性质（开口方向、对称轴、与坐标轴交点、判别式）掌握不牢固，导致无法通过图象直观地分析方程、不等式，解题方法单一，灵活性不足。 【例5】（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 避错秘籍 【防错指南】牢记 “方程的解 ↔ 函数图象交点的横坐标”、“不等式的解集 ↔ 函数图象位于某直线上方 / 下方的部分对应的 x 的取值” 这一核心对应关系，将抽象问题具体化。 1、方程视角：方程 的解 函数 与 图象交点的横坐标。 2、不等式视角：不等式 的解集 函数 的图象位于 图象上方的部分对应的 的取值范围。 【知识链接】 函数的零点：函数的零点即为方程 的根，也是函数图象与 轴交点的横坐标。 一元二次方程根的判别式： 对应抛物线与 轴有两个交点（方程两个不相等实根）； 对应抛物线与 轴有一个交点（方程两个相等实根）； 对应抛物线与 轴无交点（方程无实根）。 变式迁移 【变式5-1】（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是_____（填写序号） 【变式5-2】（2025·山东德州·中考真题）已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 【变式5-3】（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 易错点6 缺乏建模能力（构建二次函数解决实际问题） 错因剖析 概念混淆：对二次函数的实际应用场景理解模糊，未掌握“可构建二次函数的实际问题核心特征”，缺乏“实际问题→数量关系→函数模型”的转化意识，将不同函数模型的适用场景混淆。 认知偏差：缺乏“审题→提炼数量关系→设元→列解析式”的规范建模思路，对实际问题中的核心等量关系、隐含条件挖掘不全面，无法将文字描述转化为数学语言，建模逻辑混乱。 基础薄弱：二次函数的配方、顶点公式应用不熟练，计算能力薄弱，同时缺乏“建模→求解→检验”的完整解题意识，忽略建模后的检验环节，导致模型正确但最终答案错误。 【例6】（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 避错秘籍 【防错指南】牢记“可构建二次函数的实际问题核心特征”，精准区分函数模型，避免混淆： 1、适用二次函数的实际场景：核心是“两个变量之间存在平方关系”，常见场景有：利润最值（单价、销量与总利润的关系）、面积最值（边长与面积的关系）、射程问题（发射角度与射程的关系）、高度问题（时间与高度的关系）等。 2、区分不同函数模型：一次函数适用于“变量间成线性关系”（如路程=速度×时间，无平方项）；反比例函数适用于“变量间成反比例关系”（如路程固定，速度与时间成反比）；二次函数适用于“变量间有平方项，且存在最值”的场景。 3、牢记“建模必看实际意义”：构建函数后，立即确定自变量的取值范围（如边长>0、销量为非负整数、涨价幅度不超过原价等），避免后续求解出现不符合实际的答案。 【知识链接】 1、利润最值问题：给出进价、售价、销量的关系，求最大利润，核心是列出“总利润=（售价-进价）×销量”的二次函数，结合自变量取值范围求最值。 2、面积最值问题：结合几何图形（矩形、三角形、抛物线形），给出周长、边长等条件，求最大面积，核心是用一个变量表示另一个变量，列出面积的二次函数。 3、实际应用综合题：结合行程、高度、造价等场景，构建二次函数模型，同时考查最值求解、方案设计（如“获得不低于某一利润的方案有几种”）。 变式迁移 【变式6-1】（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【变式6-2】（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【变式6-3】（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 易错点7 新定义与二次函数结合理解不到位 错因剖析 概念混淆：对新定义的关键词、核心规则解读不细致，缺乏“拆解新定义”的意识，将新定义简单等同于二次函数的原有概念，无法建立“新定义规则→二次函数性质”的对应关系。 认知偏差：阅读理解能力和知识迁移能力不足，缺乏“文字描述→数学语言→二次函数性质”的转化思维，对新定义的应用场景和迁移方向判断失误，无法将陌生的新定义转化为熟悉的二次函数问题。 基础薄弱：二次函数的核心知识（顶点公式、判别式、开口方向、对称轴）掌握不扎实，计算能力和应用能力不足，无法为新定义的解读和应用提供支撑，导致“能读懂定义，却解不出题目”。 【例7】（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 避错秘籍 【防错指南】掌握“三步解读法”，精准拆解新定义，明确其核心内涵，避免与二次函数原有概念混淆： 第一步：圈关键词，抓核心（通读新定义，圈出定义中的关键条件、运算规则、特殊要求，明确“新定义描述的是什么、需要满足什么条件、要计算/判断什么”）； 第二步：找关联，辨区别（对比新定义与二次函数的原有概念，明确两者的联系与区别，如“新定义的特征点”是否与顶点、交点重合，避免混淆）； 第三步：举实例，验理解（结合简单的二次函数解析式，代入新定义规则，验证自己的解读是否正确，避免因解读偏差导致解题错误）。 【知识链接】二次函数的解析式与性质：一般式、顶点式的转化，开口方向、对称轴、顶点坐标、判别式的应用，是解读新定义、完成求解的基础； 二次函数与点的坐标：新定义常涉及抛物线的特殊点（如特征点、对称点），需熟练掌握点的坐标与函数值的对应关系，能根据坐标求函数值、根据函数值求坐标； 二次函数的最值与范围：新定义中的“最值”“距离值”等，常需要结合二次函数的最值求解，需熟练掌握限定范围最值的求解方法。 变式迁移 【变式7-1】（2026·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点P为“大美点”．例如点，，，…，都是“大美点”．若二次函数的图象上只有三个“大美点”，其中一个“大美点”是，当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·湖北随州·一模）【新定义】“等距截线” 定义：在平面直角坐标系中，对于抛物线和直线，若抛物线与直线有两个不同的交点，则这两个交点之间的线段称为“截线段”，截线段的长度称为“截距”． 若抛物线的顶点到直线的距离恰好等于截距的一半，则称该抛物线关于直线具有“等距截线性质”． (1)判断抛物线是否关于直线具有“等距截线性质”，并说明理由． (2)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，求的值． (3)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，且截距为2． ①求的值； ②若点是抛物线上位于直线上方的一个动点，点是抛物线上位于直线下方的一个动点，若P、Q关于直线对称，直接写出的最大值． 【变式7-3】（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 易错点8 二次函数与几何综合考虑不全 错因剖析 概念混淆：对二次函数与几何图形的关联逻辑理解不透彻，混淆“函数图象上的点”与“几何图形顶点”的区别，未明确几何图形的存在条件（如三角形三边关系、圆的半径限制），缺乏“数形结合、双向关联”的思维。 认知偏差：认知片面，缺乏分类讨论的意识和能力，对几何图形的多种位置关系、构成情况考虑不全面，陷入“单一情况”的思维误区，无法全面覆盖所有可能的情形。 基础薄弱：二次函数与几何图形的核心知识掌握不扎实，两者的综合应用能力不足，缺乏“函数坐标→几何性质”“几何条件→函数表达式”的双向转化能力，无法支撑全面的分类讨论和求解。 【例8】（2025·湖北武汉·中考真题）抛物线与直线交于两点（在的左边）． (1)求两点的坐标． (2)如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标． (3)如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式． 避错秘籍 【防错指南】二次函数与几何综合题的核心是“基础过关+综合应用”，需同时夯实两类知识，提升转化能力： 1、强化二次函数基础：熟练掌握解析式转化（一般式→顶点式）、顶点坐标、对称轴、判别式、自变量取值范围等核心知识点，能快速根据解析式判断图象特征； 2、巩固几何核心知识：牢记三角形（直角、等腰、相似）、四边形（平行四边形、矩形、菱形）、圆的判定定理和性质，熟练掌握坐标法求长度、面积、角度的方法； 3、提升转化能力：熟练掌握“坐标→长度”（勾股定理）、“坐标→面积”（割补法、底乘高）、“几何条件→函数表达式”（如由“垂直”得到斜率关系、由“相等”得到等式）的转化方法，打通数形结合的通道。 【知识链接】 二次函数与三角形综合：求抛物线上是否存在点，使构成的三角形为直角三角形、等腰三角形、相似三角形，或求三角形的面积、周长最值； 二次函数与四边形综合：求抛物线上是否存在点，使构成的四边形为平行四边形、矩形、菱形、正方形，或结合四边形的性质求点的坐标、边长； 二次函数与圆综合：求抛物线与圆的交点个数、圆的半径，或结合圆的切线、圆周角性质，求二次函数的系数取值范围； 综合压轴题：二次函数、几何图形与动点问题结合，考查分类讨论、数形结合思维，需全面考虑动点的不同位置，避免漏解。 变式迁移 【变式8-1】（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【变式8-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________； (4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________． 【变式8-3】（2025·四川自贡·中考真题）如图，在中，分别是的中点，连接，交于点．     (1)若，，，则四边形的面积为___________； (2)若，的最大面积为．设，求与之间的函数关系式，并求的最大值； (3)若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 1. （2025·宁夏吴忠·三模）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（    ） A．B．C．D． 2. （2026·安徽芜湖·一模）把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（   ）． A． B． C． D． 3. （2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4. （2026·陕西西安·三模）已知二次函数，当时函数值y有最大值1，且函数图象向右平移3个单位后经过坐标原点，则b的值为（   ） A． B． C．或 D．或1 5. （2026·江苏无锡·一模）已知是的函数，是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为．若存在常数，使得，则称此函数为“k-利普希兹条件函数”．下列四个结论：其中正确的是（   ） ①函数是“3-利普希兹条件函数”； ②函数是“5-利普希兹条件函数”； ③若函数是“2026-利普希兹条件函数”，则的最大值为2026； ④已知函数，当时，此函数是“k-利普希兹条件函数”恒成立，则的最小值为11． A．①②③ B．①③ C．②④ D．①③④ 6. （2026·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是________________ 7. （2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 8. （2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是______． 9. （2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 10. （2025·湖北武汉·中考真题）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】 （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 11. （2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 12. （2025·广西南宁·三模）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 13. （2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $