福建省南安市侨光中学等校2025-2026学年高一下学期第一次阶段考试数学试题

保密★启用前 2026年春季高一年第一次阶段考试 数学试卷 (考试时间：120分钟满分：150分) 命题人：陈晓婴 李垂锴 审题人：吴钰明 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知△ABC是等边三角形，边长为4，则AB.BC=( A.8 B.-V3 C.-43 D.-8 2.在梯形ABCD中，AB∥CD,CD=3AB,点E在对角线AC上，且AE=BC,则D=( ) A.丽-号0 B.西-0 c洒00.亚0 3.已知a和i是两个不共线的向量，若AB=a+mb,BC=5a+4i,DC=-a-2b,且A,B,D 三点共线，则实数m的值为（) A. B.1 C.-1 2 D.-1 4.已知a,6夹角为写，且1a264,则12a+36等于( )》 A.2 B.47 C.413 D.10 5.在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是() A.a=4,b=5,c=6 B.a=V3,b=2,A=45 C.a=10,A=45°，B=70 D.a=3,b=2,A=60 6.己知△4BC中角A,B、C所对的边分别为a,b、C,若1+cosA=b+9,则△4BC的形状为( A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 7.复数二=x+yi(x,y∈R)满足条件|=-4i==+2|,则2+4的最小值为( A.2 B.4 C.42 D.16 8.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，对称中心为0，以0为圆心作半径 为1的圆，点M为圆0上任意一点，则AD.cM的取值范围为( A.[-6,4] B.[0,8] C.[-65,0] D.[-8,0] 第1页，共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.给出下列命题，不正确的有( A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B.若a为非零向量，则a 与a同向 C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.已知，u为实数，若a=b,则a与b共线 10,已知1为虚数单位，在复平面内，复数：=名，以下说法正确的是（ A.复数z的虚部是 B.==1 5 C.复数z的共轭复数是=？4 5 D.复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 11.已知△ABC中，AB=1,AC=4,BC=√13，D在BC上，AD为∠BAC的角平分线，E为 AC中点，下列结论正确的是( A.BE=3 B.△ABC的面积为√5 C.AD=42 D.P在△ABE的外接圆上，则PB+2PE的最大值为2√7 5 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12,已知aeR,1为虚数单位，者产为实效，则- 13.钟楼是某校园的一大特色建筑，每逢新年，悠扬深远的钟声都会为大家祈福.小蓝为了测 量钟楼的高度AB,采取了以下方法：在校园内D点处测得塔顶A点处的仰角为45°，后退 36.8米后，在F点处测得塔顶A点处的仰角为30°，已知小蓝的眼睛距离地面高度为 CD=EF=1.6米，则钟楼高度AB约为 米 (结果保留小数点后一位，参考数据：√3≈1.732). B 14.已知平面单位向量g,g,满足2e,-es√2，设ā=g+e,6=3e+e,,向量ā，b的夹角 为6，则c0s26的最小值是 第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)已知向量a=(2,3),b=(-4,m. (1)若m=1,求|a-b1: (2)若(a+而11b,求m: (3)若m=2,求a在五方向上投影向量的坐标. .本小题15分)已知复数是关于x的方程r+匹+9=0P,9eR的两个根，且三-1P (1)求P和9的值： (2)记复数，-2，-在复平面内对应的点分别为A,B,C,己知O为坐标原点，且AC=OA+OB, 求复数z. 17.(本小题15分)如图，在等边△ABC中，AB=3,点0在边BC上，且OC=2BO.过点0的 直线分别交射线AB,AC于不同的两点M,N. (1)设AB=a,AC=b,试用a,b表示AO; (2)求c0s(OA,OC): B (3)设亚=mAM,AC=,求1+的最小值. m n 第3页，共4页 18.(本小题17分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,△ABC的面积为S, B-a-c2- (1)求角B的大小； (2)在△ABC中，b=2√5，求2a+c的取值范围： (3)在(2)的条件下，如图所示，D为△4BC外一点，∠DCB=∠B,CD=√5，AC=AD, 求△ACD外接圆半径R的长. B 19.（本小题17分)折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和 模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.如图 在纸片△4BC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,△4BC的面积为S,a=√5. (1)证明：S=5 SsinBsinc 2sinA (2)若8V3S·simA=103cos(B-C)+5,求simA的值； (3)在(2)的条件下，若b=√5，D是AB的中点，现需要对纸片△4BC做一次折叠，使C点与 D点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积S, D 第4页，共4页 保密 ★ 启用前 2026年春季高一年第一次阶段考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：陈晓婴 李垂锴 审题人：吴钰明 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知是等边三角形，边长为4，则（   ） A．8 B． C． D． 2.在梯形中，，点在对角线上，且，则（   ） A． B． C． D． 3.已知和是两个不共线的向量，若，，，且，， 三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 4.已知夹角为，且，则等于（   ） A.2 B. C. D. 10 5.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．已知中角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 7.复数满足条件，则的最小值为（   ） A. 2 B. 4 C. D. 16 8.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，对称中心为O，以O为圆心作半径 为1的圆，点M为圆O上任意一点，则的取值范围为（   ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.给出下列命题，不正确的有（   ） A. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B. 若为非零向量，则与同向 C. 若，则 D. 已知，为实数，若，则与共线 10.已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（   ） A. 复数z的虚部是 B. C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 11.已知中，，，，D在BC上，AD为的角平分线，E为AC中点，下列结论正确的是（   ） A. B. 的面积为 C. D. P在的外接圆上，则的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，i为虚数单位，若为实数，则     . 13.钟楼是某校园的一大特色建筑，每逢新年，悠扬深远的钟声都会为大家祈福．小蓝为了测量钟楼的高度AB，采取了以下方法：在校园内D点处测得塔顶A点处的仰角为45°，后退36.8米后，在F点处测得塔顶A点处的仰角为30°，已知小蓝的眼睛距离地面高度为米，则钟楼高度AB约为 米． （结果保留小数点后一位，参考数据：）． 14.已知平面单位向量，满足,设，，向量，的夹角为，则的最小值是        . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分）已知向量. (1)若，求； (2)若，求； (3)若，求在方向上投影向量的坐标. 16．（本小题15分）已知复数是关于的方程的两个根，且. (1)求和的值； (2)记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 17.（本小题15分）如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 18.本小题17分在中，角的对边分别是，的面积为， 且. （1）求角的大小； （2）在中，，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，如图所示，为外一点，，，求外接圆半径的长. 19.本小题17分折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.如图在纸片中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为， (1)证明：； (2)若，求的值； (3)在的条件下，若，D是AB的中点，现需要对纸片做一次折叠，使C点与 D点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2026年春季高一年第一次阶段考试 数学科答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 ▣回 (正面上，切勿贴出虚线方框 正确填涂 ■ 缺考标记 客观题(18为单选题；911为多选题) 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D 填空题 12. 13. 14. 解答题 ■ 囚囚■ 15. 囚ㄖ■ 5 ■ ■ ■ 17. I 囚■囚 囚■囚 8L ■ 口 19 ■ 2026年春季高一年第一次阶段考试 数学答案和解析 一、单选题：DABCB,ACD 7.【答案】C 【解答】解：，， 即，整理得，则， 当且仅当时，等号成立.故的最小值为故选 8.【答案】C 解法一  连接OM，OC，设，根据向量的线性运算用，表示出，然后结合三角函数的性质即可求得结果． 解法二  以O为坐标原点建立平面直角坐标系，设，根据数量积的坐标表示得到，再结合三角函数的性质即可求得结果． 解法三  借助向量投影的知识将转化，找到取得最值时点M的位置，即可求得结果． 【解答】 解：解法一：如图所示： 连接OM，设，连接OC， 依题意得，，，， 则 ， 因为，所以，所以故选： 解法二  如图，以O为坐标原点，以直线AD为x轴，过O且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则依题意可得， ，，，因为圆O的半径为1， 所以可设，所以，， 所以，又，所以故选： 解法三如图所示： 设，则， 当点M与G重合时，最小，最小值为， 当点M与N重合时，最大，最大值为0，故故选：D 二、选择题： 9.ACD  10.CD  11.ABD  【解答】解：在三角形ABC中，由余弦定理， ，，故，故B正确； 在中，由余弦定理得：， ，故A正确；由余弦定理可知：，， 平分，，， 在三角形ACD中，由正弦定理可得：， 故，故C错误； P在的外接圆上，如图 则，，则外接圆的直径， 所以在中，记，， 由正弦定理得，，又， 所以 ，其中，又因为， 所以的最大值为，故D正确.故选 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.  13． 14.【答案】  解：设、的夹角为，由，为单位向量，满足， 可得，解得； 又，，且，的夹角为，所以， ，， 则， 所以时，取得最小值为故答案为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）时，，……………………1分 所以，   ……………………2分 故.……………………4分 （2） ，   ……………………6分  由，可得，……………………8分     解得.……………………9分 （3）时，，……………………10分 此时在方向上的投影向量为……………………11分 投影向量的坐标为……………………13分 16．【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）由复数是实系数方程的一个根， 可知也是方程的一个根，……………………2分 由韦达定理，可得，……………………4分 ，……………………6分 所以，.……………………8分 （2）因为，所以，则，……………………10分 则得，……………………12分 由（1）可得，，……………………13分 所以.……………………15分 17.【解析】（1）由，得， ……………………2分 所以 ……………………4分 （2）在等边中，，……………………5分 由（1）得…………6分 ，……………………7分 ，， ，………………9分 所以.……………………10分 （3）由（1）知，，而，， 因此，……………………11分 而共线，则，……………………13分 又，于是 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. ……………………………15分 18.【解析】 .因为的面积为，所以 ……………1分 代入，得，……………1分 即，……………2分 所以，……………3分 即，所以.……………5分 (2).由（1）知，且，由正弦定理得，……………6分 所以，且，……………7分 所以 ，……………9分 因为，……………10分 所以. 所以的取值范围为.……………11分 (3).设，则，， 所以，， 因为，所以，所以. …………………12分 因为在中，设为的中点，则，且 在直角三角形中，，，……………14分 在中，由正弦定理得： ，………16分 所以. 故外接圆半径. ………………………17分 19.【答案】证明：由正弦定理可得，……………………1分 则，……………………3分 又因为，所以；……………………4分 解：将代入， 得……………………5分 即，所以，……………………7分 即，解得：，……………………8分 又因为，所以；…………………9分 解：由余弦定理得， 则，……………………10分 即，所以解得……………………11分 则；……………………12分 设折痕为线段EF，其中E在BC上，F在AC上，设，， 则，，，， 在中，由余弦定理得，解得，…………13分 在中，由余弦定理得，解得，…………14分 重叠部分的面积为的面积， 因为，………………………15分 所以所以………………17分 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年春季高一年第一次阶段考试 数学答案和解析 一、单选题：DABCB,ACD 7.【答案】C【解答】（解：z-4i=z+2,x+i-4i=曰x+yi+2|, 即V代2+0y-4=√c+2)2+y2,整理得x+2y=3,则2+4√24=2√2=2V2=4迈， 当且仅当x=2y=)时，等号成立.故2+4的最小值为45故选C 8.【答案】C解法一连接OM,OC,设(AD,OM=6,根据向量的线性运算用OM,OC表 示出CM,然后结合三角函数的性质即可求得结果， 解法二以O为坐标原点建立平面直角坐标系，设M(cos8,sina),根据数量积的坐标表示得 到AD.CM,再结合三角函数的性质即可求得结果 解法三借助向量投影的知识将ADC应转化，找到取得最值时点M的位置，即可求得结果， E 【解答】 解：解法一：如图所示： 连接OM,设(AD,OM=日，连接OC, 依题意得AD=4,B=2,0C=2,a0,o0c)-写 AD.CM=AD.OM-OC)=AD.OM-AD.OC 4x1xcos0-4x2xcos*,=4c050-4. 因为日∈[0，π]，所以-1cos61,所以-8AD.CM0.故选：C 解法二 如图，以O为坐标原点，以直线AD为x轴，过O且与AD垂直的直线为y轴建立平 面直角坐标系，则依题意可得， A(-2,0),D(2,0),C1,-V3,因为圆0的半径为1， 所以可设M(cos0,sin0),0∈[0,2π)，所以AD=(4,0),cM=(cos0-1,sim0+3), 所以AD.CM=4cos8-4,又-1·c0s61,所以-8AD.CM0.故选：C 解法三如图所示：设(4D,CM)=0,则AD.CM=ADCMcose=4Mcos8,AG 当点M与G重合时，CMcos0最小，最小值为-2， 当点M与N重合时，C☑cos8最大，最大值为0，故-8AD.CM0.故选：D 第1页，共6页 二、选择题： 9.ACD 10.CD 11.ABD 【解答】解：在三角形ABC中，由余弦定理cos∠B4C=AB+4C2-BC2_1+16-13_1 2AB·AC 2×1×42’ ~1ea小./MC-音放5e=宁B4Cm60=14,停-5，故B正确： 在A1BE中，由余弦定理得：BE=AB+AE2-2 AB.AE-0s∠BAC=1+4-2x1x2×}-3, 2 2x4x2sinc ·BE=V5,故A正确：由余弦定理可知：0sC=13+16-】-7 2V13 :AD平分∠BAC,∠DAC=T, =石，sm2Ac=m(C+S=,5x671.5 62√13221322W13' AD AC 在三角形ACD中，由正弦定理可得： sin C s1n∠ADC’ 故AD=AC·sinC。4V3 sn∠ADC=S，故C错误； P在△ABE的外接圆上，如图 BE 3 则∠BPE=∠A4证？，BE=5,则ABB外接阕的直径2R-n乙正 =2 2 所以在△BPE中，记∠PBE=,∠BEP=B, 由正弦定理得PB=2sinB,PE=2sina,又a+B=2 3 3-a+4sina-3cosa+5sina 2π 所以PB+2PE=2sinB+4 sina=2sin 2aa+,其中mp=9,又因为aeo） 所以PB+2PE的最大值为2√7，故D正确.故选ABD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-413.51.9 1【答案】8 第2页，共6页 解：设g、g的夹角为a,由g,e,为单位向量，满足28-g,1√2， 可得4e”-466,+8=4-4eo8+12,解得c08a开： 4 又a=g+e,万=3g+e,且a,b的夹角为6，所以a-万=3g+4eg,+,=4+4 cosa, 2 a=g2+2ge,+e,2=2+2cosa,62=9g+6g:e,+e,=10+6cosa, 一2 则cos28=a.b2 (4+4c0sa)2 8 4+4c0sa4 3 Γa.b2-(2+2c0sa)10+6c0sa)= 5+3cosa 3 5+3cosa 8 所以coe-时，cos0取得最小值为亏 3 28 3=29 故答案为2 5+3× 29 4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.【答案】a-82而em=-66居到 【详解】（1)m=1时，a=(2,3),b=(←4,1)， …1分 所以a-b=(6,2), …2分 故|a-=√62+22=210.…4分 (2)a+b=(-2,3+m, …6分 由(a+)/b,可得l=6+2,…8分 解得=-6.…9分 (3)m=2时，b=(-4,2),…10分 、此时a在b方向上的投影向量为6x名， …11分 投影向益的坐标为8(4)（仔》】 …13分 16.【答案】（①）p=-山，9=1：2)：=2+5 2+2 【详解】(1)由复数2=31+是实系数方程x+x+g=0的一个根， 可知三=-51+也是方程+m+q=0的一个根，…2分 2 …4分 第3页，共6页 12=1, …6分 所以p=-1,q=1.… …8分 (2)因为AC=0A+OB,所以OC-OA=OA+OB,则0C=20A+OB,…10分 则得z=2红1+2，…12分 由1)可符-9+= 1 2 1十 …13分 …15分 17.【解析】(1)由OC=2BO,得AC-A0=2(4O-AB), …2分 所以40=2AB+14C-2a+16 3333 …4分 (2)在等边4BC中，a-6=3x3×c0s60=9 …5分 由1)得402a+可-a-+a万号 34×9+9+4×2=万6分 元-号c-号c-网-号6-，…7分 ai=a+0.10c2, 0ioc-号2+-a-号i-a6-6-gx9}列-1，g分 1万 所以s(OA,0C-OA0元7x214 OA.OC …10分 (8)由(1知，西-西+}c,而=m,C-n孤， 因此A02N,11分 3 而M,0,N共线，则20+=1，…13分 33 m00.千是-学学1的 .22 m n 3m n 3\m n 3 当且仅当”-2”，即n=√2m=3√2-D时取等号， 所以2+】的最小值是1+22 …15分 m n 18.【解析】).因为ABC的面积为S,所以S=一ac sin B …1分 第4页，共6页 代入b-g-c2=45g,得-d-c=45.1a 二ac sin B,…1分 3 32 即-+c2-b5 2ac mB,…2分 所以-cosB=√5 inB,…3分 3 即nB=-5,0<B<π，所以B=2 3 .…5分 ②).由1)知B2,目b=23,由正弦定理得2R力2V3 -=4 sin B 2 sin ,…6分 3 所以a=2 Rsin A=-4sinA,c=2 RsinC=4sinC,且A+C=元 3, …7分 所以2a+c=8sinA+4sinC=8sinA+4sin 2 A …9分 为04若4-经m4-君引[公小10分 B 所以45m4+5,45). 所以2a+c的取值范围为(2V5,4W3).…11分 ③).设4cD=∠Ac=a,则a∈0引/CD-元-2a, 所以8C4=音-a,4c=卫0-n(仔。-a子 3 因为C>0,所以a>景所以a-传引 …12分 因为在aMCD中，设E为CD的中点，则AE1CD,CE=DB=5 且b=AC=2V5 v3 在直角三角形4BC中，cos4-C2= 1,sina--cos a=15 …14分 AC254 第5页，共6页 在△ACD中，由正弦定理得： 2R= CD 5 3 3 85 sin∠CAD sin(π-2ac）sin2a2 sin a cosa 2x1x vis 5,…16分 44 所以R= 4V5 故aACD外接圆半径R=4V5 …17分 5 5 19.【答案】)证明：由正弦定理可得b=asinB …1分 sin4 则S-bsmc-smBs℃ …3分 2sinA 又因为a=5,所以8四C,4分 D ②解：将s=5 sinC代入8W3Ssm4=10V3cos(B-C9+5, 得20W3 sin BsinC=10V5cos(B-C)+5=10V5(cos BcosC+sin Bsin C)+5…5分 即10V3(sin Bsin C-cos Bcos C)=5,所以-10V3cos(B+C=5,…7分 即10 5=5,解得：cosA=5 …8分 又因为A∈(0，m),所以simA=-carA=5 …9分 6 (3)解：由余弦定理得2=b2+c2-2 bc cosA, 则5=3+2-2x5x店，…10分 即c2-c-2=(c+1)(C-2)=0,所以解得c=2…11分 则csB=a+c2-b=5+4-3_35 2ac2W5x2=10;…12分 设折痕为线段EF,其中E在BC上，F在AC上，设CE=DE=x,CF=DF=y, 则BE=√5-x,AF=V3-y,xe[0,V],y∈[0，V3], 在△BDB中，由余弦定理得x=(5-+1-2xN5-x1x35 ,解得 7, …13分 在a1DF中，由余弦定理得=(W5-P+1-2xN5-)xIx5 ,解得y=3 5，…14分 重叠部分的面积为CBP的面积，鸟wsnC 因为cosC=心+b-c22 2ab …15分 所以simC=v-casc=T 以8-9语 …17分 70 第6页，共6页