专题06矩形的性质与判定(12大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题06矩形的性质与判定. 知识目标 能力目标 应试目标 ✅ 吃透定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（既是性质也是判定） ✅ 牢记 4 大性质：对边平行且相等、四个角都是直角、对角线互相平分且相等、既是中心对称又是轴对称图形 ✅ 掌握 3 种判定：①有一个直角的平行四边形 ②三个直角的四边形 ③对角线相等的平行四边形 ✅ 吃透推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（含逆定理） 1.会证：用矩形性质 & 判定完成线段相等、角相等、线垂直的严谨证明 2.会算：结合勾股定理、全等三角形，解决边长、对角线、面积计算 3.会转：把矩形问题转化为直角三角形 / 等腰三角形问题，巧加辅助线 4.会辨：避开 “对角线相等的四边形是矩形” 等易错陷阱，区分性质与判定 1.基础题零失误：选择填空性质判定题、直角三角形中线推论题全对 2.中档题稳拿分：矩形与全等、勾股结合的证明计算题，步骤规范不丢分 3.压轴题破难点：搞定矩形折叠、动点、最值、分类讨论综合题 4.规范答题不扣分：几何证明逻辑完整，书写严谨，杜绝步骤分丢失 题型01.矩形的性质与应用 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 题型03.添条件使四边形是矩形 题型04.证明四边形是矩形 题型05.由矩形的性质与判定求角度 题型06.由矩形的性质与判定求线段长 .题型07.由矩形的性质与判定求面积 题型08.斜边的中线等于斜边的一半 题型09.矩形与折叠问题 题型10.矩形与动点问题 题型11.矩形与规律探究 题型12.矩形与最值问题 解答题7题 知识点01.矩形的定义 知识点02:矩形的性质（必考） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 知识点04.黄金推论 直角三角形斜边上的中线 = 斜边的一半 若 Rt△ABC 中，∠B=90°，D为 AC 中点，则BD=AC=AD=DC。 知识点05.避坑指南：5 大易错点，一眼识破 1.性质混淆：认为矩形对角线互相垂直（垂直是正方形专属，矩形仅相等平分） 2.判定缺条件：只证对角线相等 / 一个直角，忽略平行四边形前提 3.斜边中线逆用错：看到中线 = 边的一半就证直角，需确认是斜边的中线 4.折叠找错边：折叠后对应边标注混乱，导致勾股定理列错式 5.角度漏算：忽略矩形对角线形成的等腰三角形特殊角（30°/60°/120°） 知识点06.解题心法：矩形问题的 "万能思路" 1.见矩形，标直角：所有角度计算先锁定 90°，利用互余 / 互补推导 2.遇对角线，连中点：对角线相等平分，优先找中点，活用 "斜边中线定理" 3.证矩形，分两步：先证平行四边形（边 / 角 / 对角线），再补判定条件 4.求线段，用勾股：矩形内线段计算，优先构造直角三角形，勾股定理是核心工具 题型01.矩形的性质与应用 【典例】如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由矩形性质得到，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在矩形中，， ． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，，，则的长为（    ） A．3 B．4.5 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，证出是等边三角形是关键． 根据矩形的性质，可以得到是等边三角形，则可以求得的长，进而求得的长． 【详解】解：在矩形中， ，， 又∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为、，则它们的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】由于矩形的面积与矩形的面积都等于2个的面积，即可得两个矩形的面积关系． 【详解】解：∵，， ∴． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，为边上一点，平分，则的长为（   ） A．7 B．5 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线定义，正确求得的长是关键．根据平行线的性质以及角平分线的定义证明，根据等角对等边，即可求得的长，在直角中，利用勾股定理求得的长，则的长即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 又， ， ， 在直角中，， ． 故选：C． 【跟踪专练4】如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，对角线相等，可得，推出，根据题意，求出，，根据三角形的内角和，求出，再根据，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，是对角线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练5】如图，点为矩形的边上一点，连接、，对角线交于点，若与的面积均为4，则的面积为______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．根据矩形的性质可得，，则可得，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点为矩形的边上一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与的面积均为4， ∴， 故答案为：8． 【跟踪专练6】如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是________． 【答案】 【分析】延长到点M，使得，连接，证明转化得到，当D，F，M三点共线时，取得最小值，勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接 ∵， ∴， 故当D，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为 故答案为：． 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 【典例】如图，在矩形AOBC中，A（–2，0），B（0，1）．若正比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为______． 【答案】/-0.5 【分析】根据矩形的性质得出点C的坐标，再将点C坐标代入解析式求解可得． 【详解】解：∵A（﹣2，0），B（0，1）． ∴OA＝2、OB＝1， ∵四边形AOBC是矩形， ∴AC＝OB＝1、BC＝OA＝2， 则点C的坐标为（﹣2，1）， 将点C（﹣2，1）代入y＝kx，得：1＝﹣2k， 解得：k， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握矩形的性质和待定系数法求函数解析式． 【跟踪专练1】如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化-旋转及点的坐标变化规律，能由所给旋转方式得出第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同是解题的关键． 根据所给旋转方式可知每旋转八秒，点D的坐标重复出现，再根据四边形是矩形，求出点D坐标可解决问题． 【详解】解：∵， ∴每旋转八次一个循环． ∵余4， ∴第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同． 连接和， ∵四边形是矩形， ∴和互相平分， ∴，， ∴，， ∴点D的坐标为． 又∵， ∴第4秒旋转结束时的点D与点关于坐标原点对称， ∴此时点D的坐标为． 即第100秒旋转结束时，点D的坐标为． 故选：B． 【跟踪专练2】重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是三角形中线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点……“探究学习小组”在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成具有对称性、规则性的两部分，建立合适的平面直角坐标系，若原图形的重心坐标为，面积为，被分成两部分的重心坐标分别为，面积分别为，则有．如图，若，，若以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，分别以射线为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，则此“”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，中点坐标公式的相关知识点．根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解M，N的坐标，再求出矩形，的面积，然后代入重心坐标公式即可． 【详解】解：如图，延长交于点G，得到矩形和，M，N分别是矩形，的对角线的交点． ，， ，， ，，，， M，N分别是矩形，的对角线的交点， ，，即，， ，， 此“”形总面积， 此“”形的重心的横坐标为， 纵坐标为， 此“”形的重心的坐标为， 故选：D． 题型03.添条件使四边形是矩形 【典例】若添加一个条件，能使是矩形，则这个条件可以是___________．（写出一个符合要求的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定定理，添加一个角为直角或对角线相等的条件可使平行四边形成为矩形． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当时， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形， 可得：四边形是矩形； 四边形是平行四边形， 当时， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可得：四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一） 【跟踪专练1】如图，在中，对角线与交于点． （1）添加一个条件___________，则可判定四边形是矩形； （2）若，，则与的周长之差为___________． 【答案】 （答案不唯一） 2 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定． （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，添加一个条件即可； （2）根据平行四边形的性质，结合三角形的周长表达式，计算即可． 【详解】解：（1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加一个条件， 故答案为：（答案不唯一）； （2）∵平行四边形中，对角线与交于点O，，， ∴，，， ∴与的周长之差为， 故答案为：2． 【跟踪专练2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（    ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形与矩形的判定，掌握矩形的判定需先证平行四边形，再结合对角线相等或有一个角是直角是解题的关键． 对每个选项，先判断能否证明四边形为平行四边形，再看能否进一步判定为矩形，从而找出不能判定的组合． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． B、∵，，， ∴， ∴， ， ， ， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． C、， ∴四边形是平行四边形， 平行四边形的对边相等，可得到， 即当时，不能得出四边形是矩形，符合题意． D、∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形，符合题意． 故选：C． 题型04.证明四边形是矩形 【典例】学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．嘉嘉准备了一把刻度尺，淇淇准备了一个量角器，他俩谁的工具能判定这张纸片是矩形（   ） A．嘉嘉能，淇淇不能 B．淇淇能，嘉嘉不能 C．他俩都能 D．他俩都不能 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，有3个角是直角的四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：嘉嘉用刻度尺可以分别测量四边形的四条边长和两条对角线的长度，如果四边形的两组对边的长度相等且两条对角线的长度相等，即可判定这张纸片是矩形； 淇淇用量角器测量四边形的四个内角的度数，如果有3个角是直角，即可判定这张纸片是矩形； 故他俩都能判定这张纸片是矩形； 故选C． 【跟踪专练1】如图，在中，是边上的中点，过点作一条直线，交的平分线于点，交外角的平分线于点．当时，四边形的形状是_________． 【答案】矩形 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，解决问题的关键是证明四边形为平行四边形和． 先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，再证明，可利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形． 【详解】解：∵是边上的中点， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， 平分， 同理，， 四边形是矩形． 故答案为：矩形． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线，相交于点，点，每秒运动1个单位长度，分别从点，出发，沿，方向运动．若，，则经过__________后，四边形是矩形． 【答案】2或10 【分析】设运动的时间为，则，由平行四边形的性质得或，再根据列方程或，求出的值即可． 【详解】解：设运动的时间为． 四边形是平行四边形，，， ，． 由题意可知，， 或， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形， ，即或， 或． 故经过或后，四边形是矩形． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定、动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示、的长是解题的关键． 题型05.由矩形的性质与判定求角度 【典例】如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______．    【答案】或或 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，    ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，      当点在的延长线上时，如图所示，则    当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形，    综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，多边形的内角和，矩形的性质，熟记性质并考虑利用四边形的内角和定理求解是解题的关键． 根据对顶角相等求出，再根据四边形的内角和等于求出，然后求出，最后根据旋转的性质可得即为旋转角． 【详解】解：∵矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置， ∴，， ∵矩形中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：D． 题型06.由矩形的性质与判定求线段长 【典例】如图，在中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，连接，先证明四边形是矩形，得，当时，取得最小值，再由三角形面积公式和勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， 当时，取得最小值， 此时，， ， ，，， ， ， ， 的最小值是， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在梯形中，，，如果，，，那么边的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和矩形的性质与判定，过点作交于点，先证明四边形是矩形，再用勾股定理求即可． 【详解】解：过点作交于点， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，矩形中，，点是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接交于点．若是的中点，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】过点作于点，证四边形和四边形为矩形，得出，，根据证，得出，又垂直平分，得出，令，则，进而，，，在中，，进行求解即可． 【详解】解：过点作于点， 在矩形中，， 四边形和四边形为矩形， 又，， ，， 是的中点， ， 又， ， 又， ， ， 垂直平分， ， 令，则， 又， ， ，， 在中，， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，利用勾股定理解直角三角形以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形利用勾股定理求边长是解决本题的关键． 题型07.由矩形的性质与判定求面积 【典例】如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题关键．过点作，分别交、于点M、N，由矩形的性质推出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作，分别交、于点M、N， 则四边形、、、都是矩形， ，，，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， 阴影部分的面积为， 故选：C 【跟踪专练1】如图，菱形 的面积为，O为对角线 ，的交点，点E，F，G分别为 ，，的中点，连接 ，，则四边形 的面积为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了菱形的性质的运用，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直平分． 连接，依据菱形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到都是直角，即可得到四边形是矩形；再根据菱形的面积即可得到矩形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又 ∵是的中点， ∴， 又 ∵分别是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵菱形的面积为， ∴，即， ∴四边形的面积． 故答案为：3． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（   ） A．36 B．32 C．24 D．20 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先证明出是的中位线，得到，，同理得到，，然后证明出四边形是矩形，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵点E，F，分别为边，的中点， ∴是的中位线 ∴， 同理可得，是的中位线 ∴， ∵ ∴ ∵点G，H分别为边和的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是矩形 ∴四边形的面积等于． 故选：C． 题型08.斜边的中线等于斜边的一半 【典例】如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接，点F在线段上，连接，，若，，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．8 D．16 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理可求出，进而求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵点D，E分别是边，的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵，点E是边的中点， ∴． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线相交于点，点为上的一点，连接，为的中点，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，中位线，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半．关键是根据矩形的性质得出解答．根据矩形的性质得出，进而利用三角形中位线得出，进而利用勾股定理得出，进而利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， 为的中点， 是的中位线， ， ，， ， ， 为的中点， ． 【跟踪专练2】如图，在中，，D、E分别是的中点，F是上一点，，连接，若，则的长度为（　　） A．10 B．12 C．13 D．16 【答案】A 【分析】根据三角形中位线，得到，结合，得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解答即可； 【详解】解：，D、E分别是的中点， ， ， ， ， ； 题型09.矩形与折叠问题 【典例】如图，矩形纸片中，，把纸片沿直线折叠，点落在处，交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由折叠得到，然后结合平行线的性质得到，推出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：由折叠得，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在直角三角形中，， ． 【跟踪专练1】矩形中，，，点E是上一点，翻折，得，点落在上，则的值是________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， 在中，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ． 【跟踪专练2】长方形中，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】先证明，得到，，设，则，得到，从而得到，解答即可． 本题考查了矩形，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握折叠的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形，， ∴，， 根据折叠的性质，得，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， 故选：B． 题型10.矩形与动点问题 【典例】如图，在矩形中，，，若点P是边上的一个动点，则点P到矩形的对角线、的距离之和为______． 【答案】4.8 【分析】连接，过点P分别作，，根据矩形的性质得，，，，，根据勾股定理得，及，，，即可得三角形和三角形的面积，根据即可得． 【详解】解：连接，过点P分别作，， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵ ， 解得，． ∴点P到矩形的对角线、的距离之和为. 【跟踪专练1】如图，矩形中，，，，分别为边和上的两个动点，满足，将四边形沿直线翻折，得到四边形；其中为的对称点，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】延长、交于点，连接、、，通过矩形的性质可证，结合可解得、，在中，利用勾股定理求得，在中，由三边关系即可求解． 【详解】解：如图，延长、交于点，连接、、， 由沿翻折，可知直线经过点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 解得：， ， 在中，， 四边形沿直线翻折，得到四边形， ，，， ， ， ， ， ， 在中，， 当点、、三点共线时，取得最小值，为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，理解题意、正确添加辅助线是解题关键． 【跟踪专练2】如图，在长方形中，，，P是上一个动点，于E，于，则的值为（   ） A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．设的交点为O，根据勾股定理，得到，继而得到，，根据，解答即可． 【详解】解：设的交点为O， ∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 题型11.矩形与规律探究 【典例】如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、点的坐标规律问题，先求出的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，根据此规律写出的坐标即可． 【详解】解：矩形的顶点，顶点， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及面积的计算，由矩形的性质和面积公式得出：平行四边形的面积，平行四边形的面积，…，根据规律代入计算，即可得出结论． 【详解】解：设矩形的面积为， 根据题意得：平行四边形的面积矩形的面积， 平行四边形的面积平行四边形的面积，…， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积为， 故选：B． 【跟踪专练2】定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，进而得到，，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：； 故答案为：． 【跟踪专练3】如图所示，矩形的顶点，，对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转后点P的落点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标旋转规律问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，实数的性质，先根据点A的坐标，求出点P的坐标，再题依次求出每次旋转后点P对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， 点P是的中点， 又∵点A坐标为， ∴点P的坐标为． 令第1次旋转后点P的对应点为点， 分别过点P和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， ， ， ． 在和中， ， ，， ∴点的坐标为． 同理可得， 第2次旋转后，点P的对应点的坐标为； 第3次旋转后，点P的对应点的坐标为； 第4次旋转后，点P的对应点的坐标为； 第5次旋转后，点P的对应点的坐标为； …， 由此可见，每旋转4次，，，，，循环出现， 又因为， 所以旋转2023次旋转后点P的落点坐标为． 故选：A． 题型12.矩形与最值问题 【典例】如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出，判断出四边形是矩形；根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】如图，连接． . ∵矩形中，，，， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段最短，即的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴， 即的最小值为． 【跟踪专练1】如图，在矩形纸片中，，折叠纸片使点B落在边上的E处，折痕为．当E在边上移动时，折痕的端点P，Q也随着移动．若限定P，Q分别在边上移动，则的最小值为_________． 【答案】2 【分析】确定当点与点重合时，的值最小，根据矩形的性质，翻折的性质以及勾股定理进行求解． 【详解】解：如图所示， 当点与点重合时，的值最小， ∵四边形为矩形， ∴，， 根据翻折的性质可得，， 由勾股定理得， ∴． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，分别为上的动点且为的中点，于点于点P，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边的中线的性质，连接，，，由矩形，得到，，，再根据斜边中点得到，即可得到，最后证明四边形是矩形，得到，当点在上时，最小，即最小． 【详解】解：连接，，， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当点在上时，最小，即最小， 故选：D． 解答题 1．如图，在矩形中，点是边上一点，，于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）证明，得到，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，即，求出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 2． 如图 ：在矩形中，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，交于点F． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质以及翻折的性质进行证明即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由翻折的性质得， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得． 3．如图，在矩形ABCD中，，．E为边CD上一点，，连接AE．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】当或时，为直角三角形． 【分析】需要分类讨论：为斜边和为斜边两种情况下的直角三角形． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∴, 若，； 若，， 解得． 综上所述，当或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识点，要注意分类讨论，以防漏解. 4．如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）先根据平行四边形的判定与性质证明四边形，再根据矩形的判定定理可得结论； （2）根据矩形性质得到，再由勾股定理求得，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴，即， ∵，， ∴， ∴平行四边形的面积． 5．如图，在中，对角线、相交于点O，过点O作交于E，如果，，， (1)求的长； (2)求与之间的距离； (3)求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，根据平行四边形的性质可推出垂直平分，然后由线段垂直平分线的性质和勾股定理逆定理可推出，最后利用勾股定理即可求得； （2）利用平行四边形面积公式即可解答； （3）过点D作于点F，易证四边形是矩形，则，，，然后即可根据勾股定理求得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴垂直平分，， ∴， ∵，， ∴，，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， 设与之间的距离为h， 则， ∴， 即与之间的距离为； （3）解：如图，过点D作于点F， 由（1）可知， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． 6．如图，在四边形中，，，M，N分别为，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)，平分，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据中位线和中线即可求解； （2）证明，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：在中，M，N分别为，的中点， ∴,, 在中， 点是的中点， ， , ∴ （2）解：∵,平分, , 由（1）可知，, ∴, ∵, , , ∴, ． 7．如图，在平面直角坐标系中，，，且． (1)求的面积； (2)为轴负半轴上一动点，过作的垂线，交的垂线于，为垂足，求的度数； (3)过作，当在轴负半轴上运动时，在（）的条件下，试判断的值是否改变，若不改变，请求出它的值． 【答案】(1) (2) (3)不变，它的值为 【分析】（）利用非负数的性质求出的值，得到点的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可求解； （）过点作，交轴于，可证，再由等腰直角三角形的性质解答即可求解； （）过点作，交的延长线于点，可证，得到，即得，再由矩形的性质得，即得，即可判断求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作，交轴于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）解：不变，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴的值不变，它的值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06矩形的性质与判定. 知识目标 能力目标 应试目标 ✅ 吃透定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（既是性质也是判定） ✅ 牢记 4 大性质：对边平行且相等、四个角都是直角、对角线互相平分且相等、既是中心对称又是轴对称图形 ✅ 掌握 3 种判定：①有一个直角的平行四边形 ②三个直角的四边形 ③对角线相等的平行四边形 ✅ 吃透推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（含逆定理） 1.会证：用矩形性质 & 判定完成线段相等、角相等、线垂直的严谨证明 2.会算：结合勾股定理、全等三角形，解决边长、对角线、面积计算 3.会转：把矩形问题转化为直角三角形 / 等腰三角形问题，巧加辅助线 4.会辨：避开 “对角线相等的四边形是矩形” 等易错陷阱，区分性质与判定 1.基础题零失误：选择填空性质判定题、直角三角形中线推论题全对 2.中档题稳拿分：矩形与全等、勾股结合的证明计算题，步骤规范不丢分 3.压轴题破难点：搞定矩形折叠、动点、最值、分类讨论综合题 4.规范答题不扣分：几何证明逻辑完整，书写严谨，杜绝步骤分丢失 题型01.矩形的性质与应用 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 题型03.添条件使四边形是矩形 题型04.证明四边形是矩形 题型05.由矩形的性质与判定求角度 题型06.由矩形的性质与判定求线段长 .题型07.由矩形的性质与判定求面积 题型08.斜边的中线等于斜边的一半 题型09.矩形与折叠问题 题型10.矩形与动点问题 题型11.矩形与规律探究 题型12.矩形与最值问题 解答题7题 知识点01.矩形的定义 知识点02:矩形的性质（必考） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 知识点04.黄金推论 直角三角形斜边上的中线 = 斜边的一半 若 Rt△ABC 中，∠B=90°，D为 AC 中点，则BD=AC=AD=DC。 知识点05.避坑指南：5 大易错点，一眼识破 1.性质混淆：认为矩形对角线互相垂直（垂直是正方形专属，矩形仅相等平分） 2.判定缺条件：只证对角线相等 / 一个直角，忽略平行四边形前提 3.斜边中线逆用错：看到中线 = 边的一半就证直角，需确认是斜边的中线 4.折叠找错边：折叠后对应边标注混乱，导致勾股定理列错式 5.角度漏算：忽略矩形对角线形成的等腰三角形特殊角（30°/60°/120°） 知识点06.解题心法：矩形问题的 "万能思路" 1.见矩形，标直角：所有角度计算先锁定 90°，利用互余 / 互补推导 2.遇对角线，连中点：对角线相等平分，优先找中点，活用 "斜边中线定理" 3.证矩形，分两步：先证平行四边形（边 / 角 / 对角线），再补判定条件 4.求线段，用勾股：矩形内线段计算，优先构造直角三角形，勾股定理是核心工具 题型01.矩形的性质与应用 【典例】如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，，，则的长为（    ） A．3 B．4.5 C．6 D．12 【跟踪专练2】如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为、，则它们的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，为边上一点，平分，则的长为（   ） A．7 B．5 C．2 D．1 【跟踪专练4】如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是_____． 【跟踪专练5】如图，点为矩形的边上一点，连接、，对角线交于点，若与的面积均为4，则的面积为______． 【跟踪专练6】如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是________． 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 【典例】如图，在矩形AOBC中，A（–2，0），B（0，1）．若正比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为______． 【跟踪专练1】如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为(    ) A． B． C． D． 【跟踪专练2】重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是三角形中线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点……“探究学习小组”在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成具有对称性、规则性的两部分，建立合适的平面直角坐标系，若原图形的重心坐标为，面积为，被分成两部分的重心坐标分别为，面积分别为，则有．如图，若，，若以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，分别以射线为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，则此“”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 题型03.添条件使四边形是矩形 【典例】若添加一个条件，能使是矩形，则这个条件可以是___________．（写出一个符合要求的即可） 【跟踪专练1】如图，在中，对角线与交于点． （1）添加一个条件___________，则可判定四边形是矩形； （2）若，，则与的周长之差为___________． 【跟踪专练2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（    ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 题型04.证明四边形是矩形 【典例】学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．嘉嘉准备了一把刻度尺，淇淇准备了一个量角器，他俩谁的工具能判定这张纸片是矩形（   ） A．嘉嘉能，淇淇不能 B．淇淇能，嘉嘉不能 C．他俩都能 D．他俩都不能 【跟踪专练1】如图，在中，是边上的中点，过点作一条直线，交的平分线于点，交外角的平分线于点．当时，四边形的形状是_________． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线，相交于点，点，每秒运动1个单位长度，分别从点，出发，沿，方向运动．若，，则经过__________后，四边形是矩形． 题型05.由矩形的性质与判定求角度 【典例】如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______．    【跟踪专练2】如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 题型06.由矩形的性质与判定求线段长 【典例】如图，在中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在梯形中，，，如果，，，那么边的长是__________． 【跟踪专练2】如图，矩形中，，点是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接交于点．若是的中点，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型07.由矩形的性质与判定求面积 【典例】如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【跟踪专练1】如图，菱形 的面积为，O为对角线 ，的交点，点E，F，G分别为 ，，的中点，连接 ，，则四边形 的面积为________． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（   ） A．36 B．32 C．24 D．20 题型08.斜边的中线等于斜边的一半 【典例】如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接，点F在线段上，连接，，若，，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．8 D．16 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线相交于点，点为上的一点，连接，为的中点，若，则的长为_____． 【跟踪专练2】如图，在中，，D、E分别是的中点，F是上一点，，连接，若，则的长度为（　　） A．10 B．12 C．13 D．16 题型09.矩形与折叠问题 【典例】如图，矩形纸片中，，把纸片沿直线折叠，点落在处，交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】矩形中，，，点E是上一点，翻折，得，点落在上，则的值是________． 【跟踪专练2】长方形中，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（   ） A． B．4 C．5 D． 题型10.矩形与动点问题 【典例】如图，在矩形中，，，若点P是边上的一个动点，则点P到矩形的对角线、的距离之和为______． 【跟踪专练1】如图，矩形中，，，，分别为边和上的两个动点，满足，将四边形沿直线翻折，得到四边形；其中为的对称点，则的最小值为___________． 【跟踪专练2】如图，在长方形中，，，P是上一个动点，于E，于，则的值为（   ） A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 题型11.矩形与规律探究 【典例】如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是_______． 【跟踪专练3】如图所示，矩形的顶点，，对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转后点P的落点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型12.矩形与最值问题 【典例】如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 【跟踪专练1】如图，在矩形纸片中，，折叠纸片使点B落在边上的E处，折痕为．当E在边上移动时，折痕的端点P，Q也随着移动．若限定P，Q分别在边上移动，则的最小值为_________． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，分别为上的动点且为的中点，于点于点P，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D． 解答题 1．如图，在矩形中，点是边上一点，，于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 2． 如图 ：在矩形中，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，交于点F． (1)求证：； (2)求的长． 3．如图，在矩形ABCD中，，．E为边CD上一点，，连接AE．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，当t为何值时，为直角三角形？ 4．如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 5．如图，在中，对角线、相交于点O，过点O作交于E，如果，，， (1)求的长； (2)求与之间的距离； (3)求的长． 6．如图，在四边形中，，，M，N分别为，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)，平分，，求的长． 7．如图，在平面直角坐标系中，，，且． (1)求的面积； (2)为轴负半轴上一动点，过作的垂线，交的垂线于，为垂足，求的度数； (3)过作，当在轴负半轴上运动时，在（）的条件下，试判断的值是否改变，若不改变，请求出它的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $