专题06 平面直角坐标系中的求值（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题06 平面直角坐标系中的求值 考点01 求点的坐标 考点02 根据坐标特点求字母的值 考点03 平面直角坐标系中点的平移与图形的平移 考点04 平面直角坐标系中的面积问题 考点05 平面直角坐标系中的规律探究 考点01 求点的坐标 1．已知a+b＜0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（　　） A．（a，b） B．（a，﹣b） C．（﹣a，b） D．（﹣a，﹣b） 【答案】B 【解答】解：∵a+b＜0，ab＞0， ∴a＜0，b＜0， A、（a，b）在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，不符合题意； B、（a，﹣b）在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，符合题意； C、（﹣a，b）在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，不符合题意； D、（﹣a，﹣b）在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，不符合题意， 故选：B． 2．如图，如果“马”在点（﹣1，0），“车”在点（4，0），则“帅”所在点的坐标是（　　） A．（3，0） B．（1，﹣3） C．（1，3） D．（2，﹣3） 【答案】D 【解答】解：如图所示，“帅”所在点的坐标是（2，﹣3）， 故选：D． 3．点M在第二象限，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，则M点的坐标为（　　） A．（﹣4，2） B．（4，﹣2） C．（﹣2，4） D．（2，﹣4） 【答案】C 【解答】解：设点M的坐标是（x，y）， ∵点M距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度， ∴|y|＝4，|x|＝2， ∴x＝±2，y＝±4， ∵点M在第二象限， ∴x＜0，y＞0， ∴x＝﹣2，y＝4， ∴点M的坐标是（﹣2，4）， 故选：C． 4．在平面直角坐标系中，如果点P（a+3，a+1）在y轴上，则点P的坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（0，2） 【答案】B 【解答】解：∵根据在y轴上的点的坐标特征，点P（a+3，a+1）在y轴上， ∴a+3＝0， ∴a＝﹣3， ∴a+1＝﹣2， ∴点P的坐标为（0，﹣2）， 故选：B． 5．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），B（1，﹣3），经过点A的直线l∥y轴，点C是直线l上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（　　） A．（1，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，1） 【答案】B 【解答】解：由题知， 因为点A坐标为（﹣2，3），直线l经过点A且与y轴平行， 所以直线l上任意一点的横坐标都为﹣2． 又因为点B坐标为（1，﹣3），点C在直线l上， 根据垂线段最短可知， 当BC⊥l时，线段BC的长度最短， 则此时点C的纵坐标为﹣3， 所以点C的坐标为（﹣2，﹣3）． 故选：B． 6．点A的坐标为（﹣1，2），直线AB∥y轴，且AB＝4，则点B的坐标为（　　） A．（3，2） B．（﹣1，6）或（﹣1，﹣2） C．（﹣1，6） D．（3，2）或（﹣5，2） 【答案】B 【解答】解：点A的坐标为（﹣1，2），直线AB∥y轴，且AB＝4， ∴点B的横坐标为﹣1， 又∵AB＝4， ∴点A与点B的纵坐标距离为4， ∵点A的坐标为（﹣1，2），点A的纵坐标为2， ∴点B的纵坐标为2+4＝6或2﹣4＝﹣2， 故点B的坐标为（﹣1，6）或（﹣1，﹣2）． 故选：B． 7．在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，3m+1）． （1）当点P到y轴的距离为4时，求出点P的坐标； （2）当直线PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣5），求出点P的坐标． 【答案】（1）点P的坐标为（﹣4，1）或（4，13）； （2）点P的坐标为（﹣8，﹣5）． 【解答】解：（1）由题意得|2m﹣4|＝4， 解得：m1＝0，m2＝4， ∴3m+1＝1，3m+1＝13， ∴点P的坐标为（﹣4，1）或（4，13）； （2）由条件可知3m+1＝﹣5， ∴m＝﹣2， 则2m﹣4＝2×（﹣2）﹣4＝﹣8， ∴点P的坐标为（﹣8，﹣5）． 8．已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题： （1）若点P在y轴上，求出点P的坐标； （2）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标； （3）若点P到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标，并说出P点所在的象限． 【答案】（1）（0，6）； （2）（﹣2，5）； （3）（12，12），P点在第一象限，或（﹣4，4），P点在第二象限． 【解答】解：（1）∵点P在y轴上，且点P（2a﹣2，a+5）， ∴2a﹣2＝0， 解得a＝1， ∴点P的坐标为（0，6）； （2）由题意可得：a+5＝5， 解得a＝0， ∴点P的坐标为（﹣2，5）； （3）∵点P到x轴、y轴的距离相等， ∴|2a﹣2|＝|a+5|， 当2a﹣2＝a+5时， 解得a＝7， ∴2a﹣2＝a+5＝12， ∴点P的坐标为（12，12）， ∵12＞0； ∴P点在第一象限． 当2a﹣2＝﹣（a+5）时， 解得a＝﹣1， ∴2×（﹣1）﹣2＝﹣4，﹣1+5＝4， ∴点P的坐标为（﹣4，4）， ∵﹣4〈0，4〉0； ∴P点在第二象限． 考点02 根据坐标特点求字母的值 9．若点M的坐标为（﹣1，2），点N的坐标为（m﹣5，﹣3），MN∥y轴，则m的值为（　　） A．4 B．2 C．﹣1 D．﹣3 【答案】A 【解答】解：∵MN∥y轴， ∴点M和点N的横坐标相等， ∵点N的横坐标为m﹣5，点M的横坐标为﹣1， ∴m﹣5＝﹣1， 解得m＝4． 故选：A． 10．在平面直角坐标系中，若点A（﹣3，a﹣1）在x轴上，则a的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．4 D．0 【答案】B 【解答】解：∵点A（﹣3，a﹣1）在x轴上， ∴a﹣1＝0， 解得a＝1， 故选：B． 11．已知点M（3a﹣2，a+6）．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（　　） A．4 B．﹣6 C．﹣1或4 D．﹣1或﹣6 【答案】C 【解答】解：由题意得：|3a﹣2|＝|a+6|， ∴3a﹣2＝±（a+6）， 当3a﹣2＝a+6时，a＝4， 当3a﹣2＝﹣（a+6）时，a＝﹣1， 综上所述：a的值为﹣1或4， 故选：C． 12．若A（a﹣2，b），B（3，b），且AB＝5，则a的值为（　　） A．10 B．5 C．0 D．0或10 【答案】D 【解答】解：A、B两点纵坐标相同， ∴AB∥x轴， ∴AB＝|（a﹣2）﹣3|＝|a﹣5|， 又∵AB＝5， ∴|a﹣5|＝5， ∴a﹣5＝5或 a﹣5＝﹣5， 解得：a＝10或a＝0， 故选：D． 13．在平面直角坐标系中，点P（m，2﹣2m）在第二、四象限的角平分线上，则m的值是（　　） A．2 B． C． D．﹣2 【答案】A 【解答】解：∵点P（m，2﹣2m）在第二、四象限的角平分线上， ∴m+2﹣2m＝0， 解得：m＝2， 故选：A． 14．在平面直角坐标系中，已知点M（3m﹣2，5﹣2m）． （1）若点M到x轴的距离是3，求m的值． （2）若点M在第二、四象限的角平分线上，求m的值． 【答案】（1）1或4；（2）﹣3． 【解答】解：（1）由题意得，|5﹣2m|＝3， ∴5﹣2m＝3或5﹣2m＝﹣3， 解得m＝1或4； 即m的值为1或4； （2）∵点M在第二、四象限的角平分线上， ∴（3m﹣2）+（5﹣2m）＝0， 解得m＝﹣3． 即m的值为﹣3． 15．已知平面直角坐标系中有一点N（n+2，2n﹣3）． （1）若点N在x轴上，求此时点N的坐标； （2）若点N在过点A（2，8）且与y轴平行的直线上，求此时n的值． 【答案】（1）点N的坐标为（3.5，0）； （2）n＝0． 【解答】解：（1）∵点N（n+2，2n﹣3）在x轴上， ∴2n﹣3＝0， 解得：n＝1.5， ∴n+2＝3.5， ∴点N的坐标为（3.5，0）； （2）∵点N在过点A（2，8）且与y轴平行的直线上， ∴n+2＝2， 解得：n＝0． 16．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴距离的较小值称为点P的“短距”，点Q到x轴，y轴的距离相等时，称点Q为“等距点”． （1）求点A（﹣1，3）的“短距”． （2）若点B（3a﹣8，﹣a）是“等距点”，求a的值． 【答案】（1）1； （2）2或4． 【解答】解：（1）∵点A（﹣1，3）到x轴的距离是3，到y轴的距离是1， 又∵1＜3， ∴点A（﹣1，3）的“短距”是1； （2）∵点B（3a﹣8，﹣a）是“等距点”， ∴|3a﹣8|＝|﹣a|， ∴3a﹣8＝﹣a或3a﹣8+（﹣a）＝0， ∴a＝2或a＝4． 17．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离较大值称为点P的“长距”；点Q到x轴，y轴距离相等时，称点Q为“角平分线点”． （1）点（4，6）的“长距”为 　6　 ； （2）若点B（5﹣3a，﹣3）是“角平分线点”，求a的值； （3）若点C（﹣1，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5）；请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】（1）6； （2）或； （3）是，理由见解析． 【解答】解：（1）∵|4|＝4，|6|＝6， ∴点（4，6）的“长距”为6， 故答案为：6； （2）∵点B（5﹣3a，﹣3）是“角平分线点”， ∴|5﹣3a|＝|﹣3|， |5﹣3a|＝3， 5﹣3a＝±3， 解得：或； （3）点D是“角平分线点”，理由如下： ∵点C（﹣1，3b﹣2）的长距为4， ∴|3b﹣2|＝4， ∵点C在第二象限内， 3b﹣2＝4， 解得：b＝2， ∵点D的坐标为（9﹣2b，﹣5）， ∴9﹣2b＝9﹣2×2＝5， ∴|9﹣2b|＝|﹣5|， ∴点D是“角平分线点”． 考点03 平面直角坐标系中点的平移与图形的平移 18．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为（　　） A．（2，2） B．（2，6） C．（﹣8，2） D．（﹣8，6） 【答案】A 【解答】解：由题知， 将点P（﹣3，4）向右平移5个单位长度后，所得点的坐标为（2，4）， 再向下平移2个单位长度得到点Q的坐标为（2，2）． 故选：A． 19．在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，若点A（2，﹣5）的对应点A′的坐标为（﹣1，﹣3），则点B（﹣1，1）的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣4，3） 【答案】C 【解答】解：由点A（2，﹣5）的对应点为A′（﹣1，﹣3），坐标的变化规律可知：各对应点之间的关系是横坐标减3，纵坐标加2， 故点B的横坐标为﹣1﹣3＝﹣4；纵坐标为﹣3+2＝﹣1； 即所求点的坐标为（﹣4，﹣1）， 故选：C． 20．将点A（3a﹣6，2a+10）向左平移3个单位长度后落在y轴上，则a的值是（　　） A．2 B．﹣5 C．3 D．1 【答案】C 【解答】解：由题知， 将点A（3a﹣6，2a+10）向左平移3个单位长度后， 所得点的坐标为（3a﹣9，2a+10）． 因为平移后的点在y轴上， 所以3a﹣9＝0， 解得a＝3． 故选：C． 21．将点Q（m+2，m+3）向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（﹣6，0） C．（0，6） D．（5，0） 【答案】B 【解答】解：∵将点Q（m+2，m+3）向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到点P， 则点P坐标为（m+2﹣3，m+3+2）， 由点P正好落在x轴上知m+5＝0， 解得m＝﹣5， 则m﹣1＝﹣6， ∴点P坐标为（﹣6，0）， 故选：B． 22．已知点P（m﹣1，n+1），若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点P′（2，﹣1），则m，n的值分别为（　　） A．6，2 B．0，2 C．6，﹣6 D．0，﹣6 【答案】B 【解答】解：∵点P（m﹣1，n+1）， ∴将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点P′（m﹣1+3，n+1﹣4）， ∵P′（2，﹣1）， ∴m﹣1+3＝2，n+1﹣4＝﹣1， 解得m＝0，n＝2， 故选：B． 23．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3a﹣13，a﹣3）． （1）若点P位于第二象限，且横、纵坐标都是整数，求点P的坐标； （2）若将点P向右平移3个单位，再向上平移5个单位，恰好横纵坐标相等，求点P的坐标． 【答案】（1）（﹣1，1）； （2）（5，3）． 【解答】解：（1）∵点P位于第二象限， ∴3a﹣13＜0，a﹣3＞0， ， ∵横、纵坐标都是整数， ∴a＝4， ∴P的坐标为（﹣1，1）； （2）将点P向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到新的坐标为 （3a﹣13+3，a﹣3+5）， ∵（3a﹣13+3，a﹣3+5）横纵坐标相等， ∴3a﹣13+3＝a﹣3+5， ∴a＝6， ∴点P的坐标为（5，3）． 24．在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A′B′C′，位置如图所示． （1）分别写出点A，A′的坐标：A　（1，0）　 ，A′　（﹣4，4）　 ； （2）请说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的； （3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M′的坐标为（2m﹣8，n﹣4），求m和n的值． 【答案】（1）（1，0），（﹣4，4）； （2）三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到； （3）m＝3，n＝6． 【解答】解：（1）由所给图形可知， 点A坐标为（1，0），点A′的坐标为（﹣4，4）． 故答案为：（1，0），（﹣4，4）； （2）由（1）知， 因为A（1，0），A′（﹣4，4）， 则点A′由点A向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到， 所以三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到； （3）由题知， 因为点M的坐标为（m，4﹣n） 所以其平移后对应点的坐标为（m﹣5，4﹣n+4）． 又因为点M平移后的对应点M′的坐标为（2m﹣8，n﹣4）， 所以m﹣5＝2m﹣8，4﹣n+4＝n﹣4， 解得m＝3，n＝6． 25．在平面直角坐标系xOy中，将图形甲运动，得到图形乙．若其中任意一点（x0，y0）运动后的对应点为（x0+a，y0﹣b），则称这种运动为“相关a，b平移”． （1）点A（﹣2，6）经过“相关a，b平移”后得点B（﹣4，2），且P（a，b），则△PAB的面积为 　2　 ； （2）点C（1，﹣1），D（7，﹣1），以CD为边在直线CD下方作正方形CDEF，将（1）中的△PAB进行“相关m，8平移”得到△P1A1B1．若△P1A1B1的边与正方形CDEF的边有公共点，求m的取值范围； （3）点M（﹣2，t﹣1），N（3t，6t），将线段MN作“相关3，n平移”得线段M1N1，若点M1在x轴上，S5，求点N1的坐标． 【答案】（1）2； （2）3≤m≤5或9≤m≤11； （3）N1（，10）或（，10）． 【解答】解：（1）∵点A（﹣2，6）经过“相关a，b平移”后得点B（﹣4，2）， ∴﹣2+a＝﹣4，6﹣b＝2， ∴a＝﹣2，b＝4， ∴P（﹣2，4）， ∴△PAB的面积（6﹣4）×2＝2， 故答案为：2； （2）由题可知P（﹣2，4）， ∵△PAB进行“相关m，8平移”得到△P1A1B1， ∴P1（﹣2+m，﹣4），A1（﹣2+m，﹣2），B1（﹣4+m，﹣6） ∵C（1，﹣1），D（7，﹣1），F（1，﹣7），E（7，﹣7）， 由题意结合图形可知，或， 解得3≤m≤5或9≤m≤11； （3）点M（﹣2，t﹣1），N（3t，6t）作“相关3，n平移”得点M1（1，t﹣n﹣1），N1（3t+3，6t﹣n）， ∵点M1在x轴上， ∴t﹣n﹣1＝0， 即n＝t﹣1， ∴M1（1，0），N1（3t+3，5t+1）， ∵S5， ∴1×|yN|＝5， ∴OM1×|yN|＝5， ∴1×|5t+1|＝5， 解得t或t， 当t时，N1（，10）， 当t时，N1（，10）， 综上所述，N1（，10）或（，10）． 考点04 平面直角坐标系中的面积问题 26．已知点A（0，3）和点B（t，0），且直线AB与坐标轴围成的三角形面积为6，则t的值为　±4　 ． 【答案】±4． 【解答】解：∵A（0，3），B（t，0）， ∴OA＝3，OB＝|t|． ∵直线AB与坐标轴围成的三角形面积为6， ∴，即 ． 解得t＝±4． 故答案为：±4． 27．如图，点A、B的坐标分别是（﹣4，1），（﹣1，﹣3），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（m，5）和（4，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为　32　 ． 【答案】32． 【解答】解：∵平移后A1与B1坐标分别是（m，5）和（4，n）， ∴可知将线段AB向右平移5个单位，向上平移4个单位， ∴m＝﹣4+5＝1，n＝﹣3+4＝1， ∴A1与B1坐标分别是（1，5）和（4，1）， 如图： ∴线段AB在平移过程中扫过的图形面积． 故答案为：32． 28．如图，点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（﹣2，0）．将线段AB平移后得到线段DC，点D在y轴上，连接AD，BC，若△AOD的面积为6，则点C的坐标为 　（2，3）　 ． 【答案】（2，3）． 【解答】解：∵点A的坐标为（﹣4，0），△AOD的面积为6， ∴4×OD＝6， ∴OD＝3， ∵线段AB平移后得到线段DC，AB＝2， ∴点C的坐标为（2，3）． 故答案为：（2，3）． 29．已知点M的坐标为（x，y）（y＞0），点N的坐标为（8，z），且|x﹣3|+（y﹣z）2＝0，将线段MN向上平移y个单位长度，其扫过的面积为20，则x﹣2y+z的值为　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵|x﹣3|+（y﹣z）2＝0， ∴x﹣3＝0，y﹣z＝0， 则x＝3，y＝z． ∵将线段MN向上平移y个单位长度，其扫过的面积为20， ∴（8﹣3）×y＝20， 解得y＝4， ∴z＝y＝4， ∴x﹣2y+z＝3﹣2×4+4＝﹣1． 故答案为：﹣1． 30．如图，在方格边长为1的方格纸上画平面直角坐标系，若△ABO内任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+5，y0﹣3），用一句话描述该点的平移过程：　将点P先右平移5个单位，再向下平移3个单位得到点P1 ． 若将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1．完成下面问题： （1）画出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标； （2）求△A1B1C1的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：故答案为：将点P先右平移5个单位，再向下平移3个单位得到点P0； （1）如图，△A1B1C1为所作；A1（1，1），B1（﹣1，﹣4），C1（4，﹣3）； （2）△A1B1C1的面积＝5×55×15×23×4＝11.5． 31．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B的坐标为（0，2），点C的坐标为（4，0）．点A在x轴的负半轴上，连接AB、BC，△ABC的面积为6． （1）求点A的坐标； （2）动点P从点C出发以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴方向运动，到达A点停止，设点P的运动时间为t秒，连接PB，△OBP的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围． 【答案】（1）（﹣2，0）； （2）． 【解答】解：（1）如图， 设点A坐标为（a，0），则OA＝﹣a， ∵点B的坐标为（0，2），点C的坐标为（4，0）， ∴OB＝2，OC＝4， ∴， 解得﹣a＝2， ∴a＝﹣2， ∴点A坐标为（﹣2，0）； （2）当点P在OC上运动时， 4÷2＝2，即0≤t＜2， 由题意可知，CP＝2t，OP＝4﹣2t， ∴， 当点P在射线OA上运动时， 2÷2+2＝3 即2≤t≤3， 由题意可知，CP＝2t，OP＝2t﹣4， ∴， 综上所述，． 32．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为（﹣4，3），顶点C的坐标为（﹣3，1）． （1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′； （2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标； （3）求三角形ABC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求： （2）A′（4，0），B′（1，﹣1），C′（2，﹣3）； （3）△ABC的面积． 33．如图①，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（5，0），将AO向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段BC．连接AB，AC，OC． （1）点B的坐标为　（2，4）　 ，点C的坐标为　（﹣3，4）　 ； （2）在x轴上是否存在一点D，使得三角形ABD的面积等于三角形AOC面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图②，若P是直线AB上的一个动点，连接OP，PC，当点P在直线AB上运动时，请直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间的数量关系． 【答案】（1）（2，4）；（﹣3，4）； （2）存在，点D的坐标为或； （3）当点P在线段AB上时，∠CPO＝∠BCP+∠AOP；当点P在AB的延长线上时，∠CPO＝∠AOP﹣∠BCP；当点P在BA的延长线上时，∠CPO＝∠BCP﹣∠AOP． 【解答】解：（1）根据题意可得，点B的横坐标为5﹣3＝2，纵坐标为0+4＝4，即点B的坐标为（2，4）；点C的横坐标为0﹣3＝﹣3，纵坐标为0+4＝4，即点C的坐标为（﹣3，4）． 故答案为：（2，4），（﹣3，4）． （2）存在．理由如下： ∴． 由条件可知， ∴， ∴． ∴点D的横坐标为或， ∴点D的坐标为或． （3）①如图①，当点P在线段AB上时，过点P作PQ∥x轴，则PQ∥AO∥BC， ∴∠CPQ＝∠BCP，∠OPQ＝∠AOP． 由条件可知∠CPO＝∠BCP+∠AOP． ②如图②，当点P在AB的延长线上时，过点P作PQ∥x轴，则PQ∥AO∥BC， ∴∠CPQ＝∠BCP，∠OPQ＝∠AOP． 由条件可知∠CPO＝∠AOP﹣∠BCP； ③如图③，当点P在BA的延长线上时，过点P作PQ∥x轴，则PQ∥AO∥BC， ∴∠CPQ＝∠BCP，∠OPQ＝∠AOP． 由条件可知∠CPO＝∠BCP﹣∠AOP． 综上，当点P在线段AB上时，∠CPO＝∠BCP+∠AOP；当点P在AB的延长线上时，∠CPO＝∠AOP﹣∠BCP；当点P在BA的延长线上时，∠CPO＝∠BCP﹣∠AOP． 考点05 平面直角坐标系中的规律探究 34．一只跳蚤每秒跳一格，若规定向右和向上为正方向，起点A处用有序数对表示为（0，0），按如图所示的规律一直跳下去，如第1秒跳到的位置用有序数对表示为（0，1），则第17秒时跳蚤的位置用有序数对表示为（　　） A．（8，0） B．（8，1） C．（7，2） D．（9，0） 【答案】B 【解答】解：由图可知，跳蚤每跳动8次一个循环， ∵17÷8＝2⋯1， ∴跳蚤跳动2个循环，再向上跳1格， ∴第17秒时跳蚤的位置用有序数对表示为（8，1）； 故选：B． 35．如图，在一张无穷大的格纸上，格点的位置可用数对（m，n）表示，如点A的位置为（3，3），点B的位置为（6，2）．点M从（0，0）开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到（1，0），第2次向上移动2个单位到（1，2），第3次向右移动3个单位到（4，2），…，第n次移动n个单位（n为奇数时向右，n为偶数时向上），那么点M第27次移动到的位置为（　　） A．（182，169） B．（169，182） C．（196，182） D．（196，210） 【答案】C 【解答】解：根据题意可知：当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变，当向上移动时，行的数字发生变化，列的数字不变， 所以点M第27次移动到的位置时，列的数字是1﹣27中所有奇数的和，行的数字是1﹣27中所有偶数的和， 即1+3+5+7+9+…+27＝196， 2+4+6+8+…+26＝182， 所以，点M第27次移动到的位置为（196，182）， 故选：C． 36．有一组数，按照下列规律排列： 1， 2，3， 6，5，4， 7，8，9，10， 15，14，13，12，11， 16，17，18，19，20，21， …… 数字5在第三行左数第二个，我们用（3，2）表示5的位置，那么这组成数里的数字100的位置可以表示为（　　） A．（14，9） B．（14，10） C．（14，11） D．（14，12） 【答案】A 【解答】解：观察数的排列，可得出：第2n﹣1行有2n﹣1个数且从左到右依次减小，第2n行有2n个数且从左到右依次增大（n为正整数）． ∵1+2+3+…+1391，1+2+3+…+14105， ∴数字100为第14行的数． 又∵第14行的数字从左到右依次增大， ∴数字100的位置可以表示为（14，9）． 故选：A． 37．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（　　） A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2） 【答案】B 【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）， ∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1﹣（﹣2）＝3，CD＝1﹣（﹣1）＝2，DA＝1﹣（﹣2）＝3， ∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3＝10， 2012÷10＝201…2， ∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置， 即点B的位置，点的坐标为（﹣1，1）． 故选：B． 38．规律探究：如图，在平面直角坐标系中，已知A1（2，4），A2（4，4），A3（6，0），A4（8，﹣4），A5（10，﹣4），A6（12，0），⋯按这样的规律，则点A2026的坐标为（　　） A．（4050，0） B．（4050，﹣4） C．（4052，0） D．（4052，﹣4） 【答案】D 【解答】解：∵A1（2，4），A2（4，4），A3（6，0），A4（8，﹣4），A5（10，﹣4），A6（12，0），A7（14，4），A8（16，4），A9（18，0），A10（20，﹣4），A11（22，﹣4），A12（24，0）， A13（26，4），A14（28，4），A15（30，0），A16（32，﹣4），A17（34，﹣4），A18（36，0）， …， ∴点An（n为正整数）的横坐标为2n，纵坐标为每6个一循环， ∴点A2026的横坐标为2×2026＝4052， ∵2026÷6＝337⋯⋯4， ∴点A2026的纵坐标与A4的纵坐标相同为﹣4， ∴点A2026的坐标为（4052，﹣4）， 故选：D． 39．如图，点A1（1，1），点A1向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3；点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A4，……，按这个规律平移得到点An，则点An的横坐标为（　　） A．2n B．2n﹣1 C．2n﹣1 D．2n+1 【答案】C 【解答】解：点A1的横坐标为1＝21﹣1， 点A2的横坐为标3＝22﹣1， 点A3的横坐标为7＝23﹣1， 点A4的横坐标为15＝24﹣1， … 按这个规律平移得到点An的横坐标为为2n﹣1， 故选：C． 40．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m，到达A1点，再向正北走6m到达A2点，再向正西走9m到达A3点，再向正南走12m，到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，A6点的坐标是 　（9，12）　 ． 【答案】（9，12） 【解答】解：依题意得A1点坐标为（3，0）， A2点坐标为（3，0+6）即（3，6）， A3点坐标为（3﹣9，6）即（﹣6，6）， A4点坐标为（﹣6，6﹣12）即（﹣6，﹣6）， A5点坐标为（﹣6+15，﹣6）即（9，﹣6）， ∴A6点坐标为（9，12）． 41．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为　（﹣5，13）　 ． 【答案】（﹣5，13） 【解答】解：（0，1），共1个， （0，2），（1，2），共2个， （1，3），（0，3），（﹣1，3），共3个， …， 依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标， 1+2+3+…+n， 当n＝13时，91， 所以，第90个点的纵坐标为13， （13﹣1）÷2＝6， ∴第91个点的坐标为（﹣6，13）， 第90个点的坐标为（﹣5，13）． 故答案为：（﹣5，13）． 42．如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3． （1）观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是　（16，3）　 ，B4的坐标是　（32，0）　 ． （2）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是　（2n，3）　 ，Bn的坐标是　（2n+1，0）　 ． （3）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，则△OAnBn的面积S为　3×2n 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）， ∴A4（16，3）； ∵B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）， ∴B4（32，0）． 故答案为：（16，3）；（32，0）． （2）∵A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），A4（16，3），…， ∴An（2n，3）； ∵B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0），B4（32，0），…， ∴Bn（2n+1，0）． 故答案为：（2n，3）；（2n+1，0）． （3）∵An（2n，3），Bn（2n+1，0）， ∴OBn＝2n+1，AnBn﹣1＝3， ∴SOBn•AnBn﹣1＝3×2n． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面直角坐标系中的求值 考点01 求点的坐标 考点02 根据坐标特点求字母的值 考点03 平面直角坐标系中点的平移与图形的平移 考点04 平面直角坐标系中的面积问题 考点05 平面直角坐标系中的规律探究 考点01 求点的坐标 1．已知a+b＜0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（　　） A．（a，b） B．（a，﹣b） C．（﹣a，b） D．（﹣a，﹣b） 2．如图，如果“马”在点（﹣1，0），“车”在点（4，0），则“帅”所在点的坐标是（　　） A．（3，0） B．（1，﹣3） C．（1，3） D．（2，﹣3） 3．点M在第二象限，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，则M点的坐标为（　　） A．（﹣4，2） B．（4，﹣2） C．（﹣2，4） D．（2，﹣4） 4．在平面直角坐标系中，如果点P（a+3，a+1）在y轴上，则点P的坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（0，2） 5．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），B（1，﹣3），经过点A的直线l∥y轴，点C是直线l上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（　　） A．（1，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，1） 6．点A的坐标为（﹣1，2），直线AB∥y轴，且AB＝4，则点B的坐标为（　　） A．（3，2） B．（﹣1，6）或（﹣1，﹣2） C．（﹣1，6） D．（3，2）或（﹣5，2） 7．在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，3m+1）． （1）当点P到y轴的距离为4时，求出点P的坐标； （2）当直线PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣5），求出点P的坐标． 8．已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题： （1）若点P在y轴上，求出点P的坐标； （2）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标； （3）若点P到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标，并说出P点所在的象限． 考点02 根据坐标特点求字母的值 9．若点M的坐标为（﹣1，2），点N的坐标为（m﹣5，﹣3），MN∥y轴，则m的值为（　　） A．4 B．2 C．﹣1 D．﹣3 10．在平面直角坐标系中，若点A（﹣3，a﹣1）在x轴上，则a的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．4 D．0 11．已知点M（3a﹣2，a+6）．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（　　） A．4 B．﹣6 C．﹣1或4 D．﹣1或﹣6 12．若A（a﹣2，b），B（3，b），且AB＝5，则a的值为（　　） A．10 B．5 C．0 D．0或10 13．在平面直角坐标系中，点P（m，2﹣2m）在第二、四象限的角平分线上，则m的值是（　　） A．2 B． C． D．﹣2 14．在平面直角坐标系中，已知点M（3m﹣2，5﹣2m）． （1）若点M到x轴的距离是3，求m的值． （2）若点M在第二、四象限的角平分线上，求m的值． 15．已知平面直角坐标系中有一点N（n+2，2n﹣3）． （1）若点N在x轴上，求此时点N的坐标； （2）若点N在过点A（2，8）且与y轴平行的直线上，求此时n的值． 16．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴距离的较小值称为点P的“短距”，点Q到x轴，y轴的距离相等时，称点Q为“等距点”． （1）求点A（﹣1，3）的“短距”． （2）若点B（3a﹣8，﹣a）是“等距点”，求a的值． 17．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离较大值称为点P的“长距”；点Q到x轴，y轴距离相等时，称点Q为“角平分线点”． （1）点（4，6）的“长距”为 　 　 ； （2）若点B（5﹣3a，﹣3）是“角平分线点”，求a的值； （3）若点C（﹣1，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5）；请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 考点03 平面直角坐标系中点的平移与图形的平移 18．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为（　　） A．（2，2） B．（2，6） C．（﹣8，2） D．（﹣8，6） 19．在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，若点A（2，﹣5）的对应点A′的坐标为（﹣1，﹣3），则点B（﹣1，1）的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣4，3） 20．将点A（3a﹣6，2a+10）向左平移3个单位长度后落在y轴上，则a的值是（　　） A．2 B．﹣5 C．3 D．1 21．将点Q（m+2，m+3）向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（﹣6，0） C．（0，6） D．（5，0） 22．已知点P（m﹣1，n+1），若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点P′（2，﹣1），则m，n的值分别为（　　） A．6，2 B．0，2 C．6，﹣6 D．0，﹣6 23．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3a﹣13，a﹣3）． （1）若点P位于第二象限，且横、纵坐标都是整数，求点P的坐标； （2）若将点P向右平移3个单位，再向上平移5个单位，恰好横纵坐标相等，求点P的坐标． 24．在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A′B′C′，位置如图所示． （1）分别写出点A，A′的坐标：A　 　 ，A′　 　 ； （2）请说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的； （3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M′的坐标为（2m﹣8，n﹣4），求m和n的值． 25．在平面直角坐标系xOy中，将图形甲运动，得到图形乙．若其中任意一点（x0，y0）运动后的对应点为（x0+a，y0﹣b），则称这种运动为“相关a，b平移”． （1）点A（﹣2，6）经过“相关a，b平移”后得点B（﹣4，2），且P（a，b），则△PAB的面积为 　 　 ； （2）点C（1，﹣1），D（7，﹣1），以CD为边在直线CD下方作正方形CDEF，将（1）中的△PAB进行“相关m，8平移”得到△P1A1B1．若△P1A1B1的边与正方形CDEF的边有公共点，求m的取值范围； （3）点M（﹣2，t﹣1），N（3t，6t），将线段MN作“相关3，n平移”得线段M1N1，若点M1在x轴上，5，求点N1的坐标． 考点04 平面直角坐标系中的面积问题 26．已知点A（0，3）和点B（t，0），且直线AB与坐标轴围成的三角形面积为6，则t的值为　 　 ． 27．如图，点A、B的坐标分别是（﹣4，1），（﹣1，﹣3），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（m，5）和（4，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为　 　 ． 28．如图，点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（﹣2，0）．将线段AB平移后得到线段DC，点D在y轴上，连接AD，BC，若△AOD的面积为6，则点C的坐标为 　 　 ． 29．已知点M的坐标为（x，y）（y＞0），点N的坐标为（8，z），且|x﹣3|+（y﹣z）2＝0，将线段MN向上平移y个单位长度，其扫过的面积为20，则x﹣2y+z的值为　 　 ． 30．如图，在方格边长为1的方格纸上画平面直角坐标系，若△ABO内任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+5，y0﹣3），用一句话描述该点的平移过程：　 　 ． 若将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1．完成下面问题： （1）画出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标； （2）求△A1B1C1的面积． 31．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B的坐标为（0，2），点C的坐标为（4，0）．点A在x轴的负半轴上，连接AB、BC，△ABC的面积为6． （1）求点A的坐标； （2）动点P从点C出发以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴方向运动，到达A点停止，设点P的运动时间为t秒，连接PB，△OBP的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围． 32．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为（﹣4，3），顶点C的坐标为（﹣3，1）． （1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′； （2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标； （3）求三角形ABC的面积． 33．如图①，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（5，0），将AO向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段BC．连接AB，AC，OC． （1）点B的坐标为　 　 ，点C的坐标为　 　 ； （2）在x轴上是否存在一点D，使得三角形ABD的面积等于三角形AOC面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图②，若P是直线AB上的一个动点，连接OP，PC，当点P在直线AB上运动时，请直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间的数量关系． 考点05 平面直角坐标系中的规律探究 34．一只跳蚤每秒跳一格，若规定向右和向上为正方向，起点A处用有序数对表示为（0，0），按如图所示的规律一直跳下去，如第1秒跳到的位置用有序数对表示为（0，1），则第17秒时跳蚤的位置用有序数对表示为（　　） A．（8，0） B．（8，1） C．（7，2） D．（9，0） 35．如图，在一张无穷大的格纸上，格点的位置可用数对（m，n）表示，如点A的位置为（3，3），点B的位置为（6，2）．点M从（0，0）开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到（1，0），第2次向上移动2个单位到（1，2），第3次向右移动3个单位到（4，2），…，第n次移动n个单位（n为奇数时向右，n为偶数时向上），那么点M第27次移动到的位置为（　　） A．（182，169） B．（169，182） C．（196，182） D．（196，210） 36．有一组数，按照下列规律排列： 1， 2，3， 6，5，4， 7，8，9，10， 15，14，13，12，11， 16，17，18，19，20，21， …… 数字5在第三行左数第二个，我们用（3，2）表示5的位置，那么这组成数里的数字100的位置可以表示为（　　） A．（14，9） B．（14，10） C．（14，11） D．（14，12） 37．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（　　） A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2） 38．规律探究：如图，在平面直角坐标系中，已知A1（2，4），A2（4，4），A3（6，0），A4（8，﹣4），A5（10，﹣4），A6（12，0），⋯按这样的规律，则点A2026的坐标为（　　） A．（4050，0） B．（4050，﹣4） C．（4052，0） D．（4052，﹣4） 39．如图，点A1（1，1），点A1向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3；点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A4，……，按这个规律平移得到点An，则点An的横坐标为（　　） A．2n B．2n﹣1 C．2n﹣1 D．2n+1 40．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m，到达A1点，再向正北走6m到达A2点，再向正西走9m到达A3点，再向正南走12m，到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，A6点的坐标是 　 　 ． 41．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为　 　 ． 42．如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3． （1）观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是　 　 ，B4的坐标是　 　 ． （2）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是　 　 ，Bn的坐标是　 　 ． （3）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，则△OAnBn的面积S为　 　 1 学科网（北京）股份有限公司 $