专题 二次函数几何融合高阶压轴（抢分专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题 二次函数几何融合高阶压轴 抢分预测 抢分秘籍 抢分特训 题型 考情分析 考向预测 1. 面积最值问题 2025年苏州：27题考查了面积问题 2025年无锡：27题考查了等腰三角形存在性问题 2025年四川：24题考查了正方形存在性问题 2025年北京：26题考查了含参数二次函数 2025年重庆：25题考查了二次函数+相似/全等综合 2026 中考二次函数压轴，侧重抛物线翻折平移结合动点图形存在性探究；强化含参题型，考查区间最值与交点分析；融合一线三等角、母子相似几何模型；新增区间内整点、交点临界研判，突出综合推理。 2. 线段/周长最值 3. 等腰三角形的存在性 4.直角三角形的存在性 5.平行四边形的存在性 6.图形变换・翻折平移+存在性探究 7.含参二次函数・参数a分类讨论 8.函数+几何模型相似/全等/角度综合 9.区间限定・整点/交点/范围计数 题型1 面积最值问题 万能公式： 标准解题步骤： （1）设点设抛物线上动点，把纵坐标用抛物线式子代好，全程只用x算。 （2）作垂线、表铅垂高过动点作竖直线，夹在两条定点连线之间：（上减下，永远正数，不用分类） （3）构面积函数→求最值把高代入面积公式，整理成二次函数：S(x)=ax2+bx+c开口向下，顶点就是最大面积 关键：一定要看 x 取值范围！ 必考两大类题型： 题型 1：动点三角形面积最值 · 定点 A、B固定，P在抛物线上动 · 全程：几何转坐标 →坐标代公式 → 配方找顶点 · 抢分关键点：铅垂高别反、正负别乱、直线解析式先求对 题型 2：四边形面积最值 / 面积比例 四边形拆成两个三角形，分别用铅垂高 遇 面积 1:2、一半、等分”：直接让铅垂高成比例，不用重算总面积 【例1】（2026·安徽蚌埠·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，两点，且与y轴交于点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2设抛物线顶点为E，连接，将线段绕着B点旋转，得到线段，连接，求经过A，D两点的直线表达式； (3)若点P为x轴上方该二次函数图象上的动点，当P在对称轴右侧时，求面积的最大值，及此时P点坐标． 【变式1-1】（2026·新疆昌吉·一模）如图，已知抛物线与x轴交于两点（A在B的左侧），与y轴交于C点． (1)求抛物线的表达式． (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与B、C重合），过D作轴于F，交直线于E，连，直线把的面积分为两部分，若，求D点坐标． 【变式1-2】（2026·陕西西安·二模）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型2线段/周长最值 将军饮马类型： 解题步骤： 1.定点找对称点（动点在对称轴 /x 轴 /y 轴，就沿这条轴对称） 2.折线变直线：两点之间，线段最短 3.交点即为取最值的动点，直接算坐标 常考三大类型题： 1. 单线段和最小（PA+PB 最小） 操作：找其中1个点的对称点→连直线→交动点所在直线，得点+算长度 2. 三角形周长最小（固定两点+1动点） 关键：周长 = 定值 + 动线段；只消动线段和，套用将军饮马即可 3. 带竖/横距、平移最值（进阶压轴） 套路：把等长线段平移拼接，再用 “两点间最短”，秒消折线 【例2】（2026·内蒙古赤峰·一模）如图，已知抛物线与轴相交于，两点，交轴于点， (1)求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，求周长的最小值． (3)如图，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．求面积的最大值 【变式2-1】（2026·重庆巴南·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是位于第二象限抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点．连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动（线段长度保持不变），连接，，求的最小值； (3)若点是轴左侧抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 题型3 等腰三角形的存在性 解题步骤： 1.定基点先求已知两点 A、B 坐标，算出 AB 长度（用距离公式）。 2.分类列式（三边平方相等，避根号） 设动点P(x，函数解析式)用：两点横坐标差² + 纵坐标差²=边长平方 ① PA² = PB²② PA² = AB²③ PB² = AB² 3.解方程求 x每类单独解方程，算出所有 x。 4.验点取舍（关键踩分） ①点P必须在题目规定图像/区间内 ②舍去重合点、三点共线（构不成三角形） ③剔除增根、不合实际的解 5.写出最终坐标把合格x代回解析式，写出 P 完整坐标。 【例3】（2026·四川泸州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）． (1)如图1，当抛物线经过点时，求抛物线的解析式； (2)如图2，若点为（1）中抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点．当是等腰三角形时，求点的坐标； (3)若抛物线上存在两点和，对于，，都有请直接写出的取值范围． 【变式3-1】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由： (4)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 题型4 直角三角形的存在性 解题步骤： 1.先算基础求A、B坐标，算AB2（全程用平方，不开根号，防出错）。 2.设动点坐标 设P(x，抛物线解析式)，所有点统一用x表示。 三类列方程（勾股逆定理） · ① ∠A=90∘⇒AP2+AB2=BP2 · ② ∠B=90∘⇒BP2+AB2=AP2 · ③ ∠P=90∘⇒AP2+BP2=AB2 两点距离平方：(x1−x2)2+(y1−y2)2 3.解方程 + 严格验点 舍去三点共线（构不成三角形） 舍去不在图像/区间内的点 舍去增根、重合点 4.回代写最终坐标合格x代回抛物线，写出完整P点坐标。 【例4】（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-1】（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【变式4-2】（2025·青海西宁·一模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，使的面积最大？求出的最大面积及此时M点的坐标． 题型5 平行四边形的存在性 1. 线段中点坐标公式 2.平行四边形顶点公式： 分类： 1. 三个定点，一个动点问题 已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解。这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论； 2. 两个定点、两个动点问题 这中题型往往比较特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一条直线上。设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式。该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式。 进阶： 矩形：加邻边垂直（斜率积=-1/勾股） 菱形：加邻边相等（边长平方相等） 正方形：垂直+边长相等双条件 【例5】（2026·江苏无锡·一模）已知二次函数的图象经过点，，顶点为点，与轴交于点． (1)求该二次函数的表达式； (2)点和是该二次函数图象上的两点，当时，试比较与的大小，并说明理由； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，记点关于直线的对称点为．当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【变式5-1】（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 【变式5-2】（2026·湖南怀化·一模）已知，二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接． (1)如图1，请判断的形状，并说明理由； (2)如图2，点D为线段上一动点，作交抛物线于点P，过点P作轴，垂足为点E，交于点F，过点F作，交于点G，连接，，求阴影部分面积S的最大值和点D的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线的方向移动个单位得到新的抛物线：，是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C， B， M， N为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型6 图形变换・翻折平移+存在性探究 抛物线y=a(x−h)2+k 解题步骤： （1）原抛物线找顶点、a值 （2）按题意平移 / 翻折，求出变换后顶点与解析式 （3）设动点在新抛物线上，坐标化 （4）按等腰 / 直角 / 平行四边形分类列式 （5）验范围、舍增根、筛有效点 翻折规律： 沿x轴翻折：a变号，x不变，y全反 沿y轴翻折：h变号，a 不变 沿对称轴翻折：顶点对称，内部x替换 沿某直线翻折：抓关键点对称→求新顶点→写新抛物线 【例6】（2026·甘肃·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，当点在直线上方的抛物线上时，过点作轴交于点，求线段的最大值及此时点的坐标． (3)如图2，将该抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到一条新图象．当直线与新图象有且仅有三个公共点时，请直接写出m的取值范围． 【变式6-1】（2026·河北张家口·一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），当时，y的取值范围是． (1)求抛物线的解析式． (2)求k的值． (3)将抛物线在之间的函数图象记作，将在直线下方的部分向上翻折，其余部分不变，得到的新图象记作．设的最高点和最低点的纵坐标分别为和，若，求t的取值范围． 【变式6-2】（2024·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若点是线段上方抛物线上的一点，直线，分别与轴交于点 ，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形，如图．在图形上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型7 含参二次函数・参数a分类讨论 解题步骤： 第一步：先定身份（必写，踩分点） 1.先判是不是二次函数： · 若 a≠0：是抛物线，有开口、对称轴、顶点 · 若 a=0：退化成一次 / 常数函数，单独讨论，排除二次情况 二、第二步：定开口方向（基础分类） 1.a>0：开口向上，顶点是最小值 2.a<0：开口向下，顶点是最大值 三、第三步：动对称轴 + 区间最值（核心大题） 对称轴：x=−2ab​拿对称轴和给定 x 取值区间【m，n】比对，分三类： 1.对称轴在区间左侧→最值全在区间端点取 2.对称轴落在区间内部→最值取顶点 3.对称轴在区间右侧→最值全在区间端点取 👉操作：代入端点 / 顶点算最值，列等式，反求a的范围。 四、第四步：判别式判交点个数 算 Δ=b2−4ac 1.若Δ=b2−4ac＞0，则与x轴有2个交点 2.若Δ=b2−4ac=0，则与x轴有2个交点 3.若Δ=b2−4ac=0，则与x轴无交点 五、第五步：图像限制条件 结合题干附加要求分类： · 过某定点、不经过某象限 · 顶点在 x 轴上方 / 下方 · 自变量范围内恒大于 / 小于某数逐条列不等式，收紧 a 的取值边界。 六、第六步：验根收尾（防扣分） 1.排除 a=0 不符合二次的情况 2.解集合并，区间端点能取 / 不能取严格区分 3.舍去矛盾、无解情况，规范写最终范围 【例7】（2026·江苏宿迁·三模）已知二次函数（，a，b，c为常数）经过点和点． (1) ， ；（用含a的代数式表示） (2)当抛物线开口向下，且时，y有最大值1，求a的值； (3)已知点，，若该抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【变式7-1】（2025·山东泰安·一模）已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． (1)若抛物线经过点； ①点的坐标为______； ②当时，抛物线取得最大值为，求的值； (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围； (3)已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），请直接写出的取值范围． 【变式7-2】（2026·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为抛物线（a，b为常数且）上一点，抛物线G与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)用含a的代数式表示b； (2)若，求a的值； (3)连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段（点D为点A的对应点），若线段与抛物线G有交点，求a的取值范围． 题型8 函数+几何模型相似/全等/角度综合 解题步骤 一、前置打底 1.求抛物线、直线解析式，标出所有定点坐标； 2.把动点设为：抛物，全程坐标化、代数式化； 3.标出直角、等角、已知边长，锁定能用的几何模型。 二、相似压轴核心步骤（一线三等角 / 母子相似） 1.找等角看抛物线交点、直角、公共角、同余角，标出∠1=∠2； 2.套固定模型 · （1）一线三等角：横竖直角 + 共线三点，直接得两角相等→三角形相似； · （2）母子（射影）相似：直角斜高分割，直接锁定三组相似； 3.转比例式 相似→对应边成比例： 4.坐标代边长边长用坐标差表示，代入比例列方程； 三、全等题型标准步骤 1.先找一组角相等 + 一组边相等； 2.锁定判定：SAS/ASA/AAS/SSS； 3.边长全用坐标距离（平方防根号）列式； 4.分类对应顶点（防对应错漏解）； 5.验点：位置符合图形、不重合。 四、特殊角（45°/90°/60°）解题步骤 1.90°：勾股逆定理 / 斜率乘积 =-1； 2.45°：构造等腰直角三角形，边长 1:1:2​，或用一线三等角造等角； 3.60°：用等边三角形、三角函数比例转化边长； 4.把角度条件→边长关系→列方程求动点。 五、通用收尾（绝不扣分） 1.舍去三点共线、重合点、超出图像范围的解； 2.多解全部保留，按题意分类写全； 3.最终把 x 代回抛物线，写清完整点坐标。 【例8】（2026·四川内江·一模）如图，抛物线交轴于，，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； (3)如图2，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值． 【变式8-1】（2026·安徽阜阳·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，经过、两点的抛物线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的函数关系式； (2)求抛物线的函数关系式； (3)如图2，点为第一象限内抛物线上一点，作于点，设的长为，点的横坐标为，求的最大值，及取得最大值时点的坐标． 【变式8-2】（2026·江苏苏州·模拟预测）抛物线过点，顶点为，与轴交于、两点（在点左侧），且． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)若点在抛物线上且，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点坐标． 题型9 区间限定・整点/交点/范围计数 审题第一步（踩分起点） 锁定固定 x/y 取值区间、网格范围、封闭图形区域； 明确对象：抛物线 / 直线 / 翻折平移后的图像； 分清考点：数整点个数、判交点数量、求参数临界范围。 题型 1：整点问题（格点计数）解题步骤 画边界：标出区间左右端点、上下 y 值限制； 描范围：画出函数在区间内的图像走势（最高点 / 最低点）； 定整数：找出区间内所有整数 x，代入算对应 y； 判整点：满足「x 整数、y 整数，且点在图形内部 / 线上」才算； 逐一枚举标记，统计总数，不漏不重。 ⚠️抢分关键：线上整点要算，空心边界点不算。 题型 2：交点个数判定（直线 & 抛物线）步骤 联立解析式：直线 = 抛物线，化成一元二次方程； 算判别式Δ：定相切、2 交点、无交点基础情况； 卡区间：Δ 合格后，再看根是否落在指定 x 范围内； 临界卡位：盯住端点刚好相交、刚好相切的特殊位置； 分类统计：区间内几个有效交点，精准计数。 题型 3：参数临界范围（压轴拉分）步骤 设含参解析式，固定区间； 找临界状态：刚好过整点、刚好相切、刚好贴边界； 代入临界点坐标，反求参数a的临界值； 比对图像增减、开口方向，锁定a的取值区间； 严格区分：能不能取等号（端点含不含） 【例9】（2026·河北邢台·一模）已知，抛物线（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． (1)抛物线的对称轴为直线_____（用含有的式子表示）； (2)若，函数值随着的增大而减小，求的取值范围； (3)如图，当时． ①将抛物线向左平移个单位长度后，当时，若抛物线对应的函数最大值与最小值的差为6，请求出的值； ②点为第四象限内抛物线上的一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点．以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 【变式9-1】（2026·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若点，，抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围； (3)，是抛物线上两点，若，直接写出m取值范围． 【变式9-2】（2026·广东·一模）已知抛物线过点，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上任意一点，其横坐标为t，过点P作轴，点Q的横坐标为． ①当线段与抛物线有两个交点时，求t的取值范围； ②过点Q作轴交抛物线于点N，点P在y轴左侧的抛物线上运动的过程中，若线段的长随t的增大而减小，直接写出t的取值范围． 。 1．（2026·宁夏银川·一模）如图，抛物线与直线相交于，两点，与x轴相交于另一点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E． ①当时，求P点坐标； ②是否存在点P使的面积等于面积的？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2026·河南周口·一模）如图1，在中，，，，点P从点A出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动．当点P到达点C时，P、Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中，直接画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是________． 3．（2026·福建三明·一模）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点A，且与y轴交于点C． (1)若，，求此二次函数的表达式； (2)在（1）的条件下，将二次函数的图象向右平移m个单位长度，得到新的二次函数的图象，当时，求新的二次函数的最小值； (3)设一次函数（n是常数）．若二次函数y1的表达式还可以表示为的形式，当函数的图象经过点时，求的值． 4．（2026·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过和． (1)求该抛物线的解析式． (2)将线段平移，平移后对应点和都落在抛物线上，求点的坐标． (3)当时，二次函数的最小值为，请直接写出t的值． 5．（2026·河南驻马店·模拟预测）抛物线交轴于，两点（点在点的左边且点在轴负半轴上），交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中绘制出函数图象（省略列表、描点，直接画图）； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，直接写出的取值范围． 6．（2026·河北秦皇岛·一模）已知二次函数的最大值是，其图象记为抛物线． (1)求出的对称轴及的值； (2)当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； (3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②点在轴的负半轴上，过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的横坐标． 7．（2026·四川绵阳·一模）如图，直线交轴于点，交轴于点．对称轴为直线的抛物线经过，两点，交轴负半轴于点，为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作轴的垂线，垂足为点，直线交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 8．（2026·山东枣庄·一模）已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最小值． 9．（2026·安徽蚌埠·一模）已知抛物线 （a，b是常数， ）与x轴交于点A，B，点A在点B 的左侧． (1)当抛物线L经过点时， （i）若 ，求抛物线L的顶点坐标； （ii）若 求a的值． (2)当 时，抛物线L经过 两点 若 求证： 10．（2026·陕西·一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，点为抛物线上一动点（不与点重合），图中虚线是抛物线的对称轴． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2026·甘肃平凉·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，当点F为抛物线顶点时，过点F作轴，垂足为点E，交于点D，连接，求的面积； (3)如图2，连接，点E是线段上（不与点O、B重合）的点，过点E作轴，交抛物线于点F，交于点D，点P是线段上一动点，过P作轴，垂足为Q，点G为线段的中点，连接．当线段的长度取得最大值时，求的最小值． 12．（2026·河北邯郸·一模）已知二次函数的最大值是5，其图象记为抛物线． (1)直接写出的对称轴及的值； (2)当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； (3)如图，将抛物线：先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②已知直线与轴交于点，与直线：交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的坐标． 27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 二次函数几何融合高阶压轴 抢分预测 抢分秘籍 抢分特训 题型 考情分析 考向预测 1. 面积最值问题 2025年苏州：27题考查了面积问题 2025年无锡：27题考查了等腰三角形存在性问题 2025年四川：24题考查了正方形存在性问题 2025年北京：26题考查了含参数二次函数 2025年重庆：25题考查了二次函数+相似/全等综合 2026 中考二次函数压轴，侧重抛物线翻折平移结合动点图形存在性探究；强化含参题型，考查区间最值与交点分析；融合一线三等角、母子相似几何模型；新增区间内整点、交点临界研判，突出综合推理。 2. 线段/周长最值 3. 等腰三角形的存在性 4.直角三角形的存在性 5.平行四边形的存在性 6.图形变换・翻折平移+存在性探究 7.含参二次函数・参数a分类讨论 8.函数+几何模型相似/全等/角度综合 9.区间限定・整点/交点/范围计数 题型1 面积最值问题 万能公式： 标准解题步骤： （1）设点设抛物线上动点，把纵坐标用抛物线式子代好，全程只用x算。 （2）作垂线、表铅垂高过动点作竖直线，夹在两条定点连线之间：（上减下，永远正数，不用分类） （3）构面积函数→求最值把高代入面积公式，整理成二次函数：S(x)=ax2+bx+c开口向下，顶点就是最大面积 关键：一定要看 x 取值范围！ 必考两大类题型： 题型 1：动点三角形面积最值 · 定点 A、B固定，P在抛物线上动 · 全程：几何转坐标 →坐标代公式 → 配方找顶点 · 抢分关键点：铅垂高别反、正负别乱、直线解析式先求对 题型 2：四边形面积最值 / 面积比例 四边形拆成两个三角形，分别用铅垂高 遇 面积 1:2、一半、等分”：直接让铅垂高成比例，不用重算总面积 【例1】（2026·安徽蚌埠·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，两点，且与y轴交于点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2设抛物线顶点为E，连接，将线段绕着B点旋转，得到线段，连接，求经过A，D两点的直线表达式； (3)若点P为x轴上方该二次函数图象上的动点，当P在对称轴右侧时，求面积的最大值，及此时P点坐标． 【答案】(1) (2) (3)面积的最大值为，此时P点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得二次函数的顶点坐标为，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，可证明，可得，，则可得点D坐标为，再利用待定系数法即可求得直线的表达式； （3）设，过点P作轴于点，交于点H，先求得的表达式，则可得，则，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴设二次函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴，即． （2）解：由（1）可知二次函数表达式为， ∴对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴， 过点E作轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点D作轴于点G，则， 由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为2， ∴点D的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得． ∴经过A，D两点的直线表达式为． （3）解：设， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的表达式为， 过P作轴于点，交于点H， ∴， ∴， 过点作于点， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为， 当时，， ∴点P的坐标为． 【变式1-1】（2026·新疆昌吉·一模）如图，已知抛物线与x轴交于两点（A在B的左侧），与y轴交于C点． (1)求抛物线的表达式． (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与B、C重合），过D作轴于F，交直线于E，连，直线把的面积分为两部分，若，求D点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入求解即可； （2）先求出直线解析式为，设点，则点，表示出和，由三角形的面积关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将点A，点B的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线与y轴交于点C，令，则y=5， ∴， 设直线解析式为，把点B、点C的坐标代入得： 解得， ∴直线解析式为， 设点，则点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得或5， ∵点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与B、C重合）， ∴，则， ∴点． 【变式1-2】（2026·陕西西安·二模）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据二次函数解析式求出顶点P，利用待定系数法求出直线的解析式，从而求出点，进而求出，过点Q作x轴的垂线，交于点F，设，，可求，再根据，可得，解方程求出m的值，代入解析式求出点的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线过点、， ，解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：存在点Q，使得与的面积相等， ， 顶点， 当时，，则， 设直线的解析式为， 过点，， ，解得， 直线的解析式为， 当时，，则， ， 与的面积相等， ， 如图，过点Q作x轴的垂线，交于点F， 设，则， ， ， ，即， 或， 解得或2或或， ， 舍去， 当时，； 当时，； 当时，； 或或． 题型2线段/周长最值 将军饮马类型： 解题步骤： 1.定点找对称点（动点在对称轴 /x 轴 /y 轴，就沿这条轴对称） 2.折线变直线：两点之间，线段最短 3.交点即为取最值的动点，直接算坐标 常考三大类型题： 1. 单线段和最小（PA+PB 最小） 操作：找其中1个点的对称点→连直线→交动点所在直线，得点+算长度 2. 三角形周长最小（固定两点+1动点） 关键：周长 = 定值 + 动线段；只消动线段和，套用将军饮马即可 3. 带竖/横距、平移最值（进阶压轴） 套路：把等长线段平移拼接，再用 “两点间最短”，秒消折线 【例2】（2026·内蒙古赤峰·一模）如图，已知抛物线与轴相交于，两点，交轴于点， (1)求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，求周长的最小值． (3)如图，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．求面积的最大值 【答案】(1)抛物线的解析式为：，对称轴是直线，顶点坐标是 (2) (3)面积的最大值为3． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求解； （2）轴对称的性质可知，从而得到的周长，进而得到当点A、C、M在同一条直线上时可取得最小值，为的长，即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为，即可求解； （3）设，则，可得，，然后根据，可得，过点P作，可得，可得到的面积，然后根据二次函数的性质即可求得面积的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是； （2）解：∵点M在对称轴上，A、B关于对称轴对称， ∴， ∴的周长， 如图，当点A、C、M在同一条直线上时，可取得最小值，为的长， 即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为， 对于， 当时，， ∴点， ∵，点， ∴， ∴周长的最小值为：； （3）解：设，则， ∵，， ∴，， ， ∴， ，即， 解得：， 如图，过点P作， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 的面积 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为3． 【变式2-1】（2026·重庆巴南·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是位于第二象限抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点．连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动（线段长度保持不变），连接，，求的最小值； (3)若点是轴左侧抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)最大值时，点的坐标为；的最小值为 (3)点的横坐标为或，见解析 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设点 ，进而得到，，求出，证明，得到，求最值即可，设滑动后的对应点分别为，将点B向上平移2个单位到点，进而得到四边形是平行四边形，推出，进行求解即可； （3）在轴负半轴上取点，使得，连接，设点的坐标为，在中，勾股定理求出点坐标，证明，进而得到，设 ，根据，列式计算即可． 【详解】（1）解：点的坐标是，对称轴是直线， 将点，代入抛物线中，得 ， 解得． 该抛物线的解析式为． （2）∵，当时，． ， ， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为， 设点 ， ，， ， 轴， ， ； ， ∴当时，有最大值；此时，点的坐标为； 设滑动后的对应点分别为， 将点B向上平移2个单位到点 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当且仅当三点共线时，取得最小值． ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：点的横坐标为或，理由如下： 如图，在轴负半轴上取点，使得，连接， 设点的坐标为，则，． 在中， ， ， 解得， ， ． ， ， ， ， ． 在中，， ， 设 ， 在中，， ， 解得或． 点的横坐标为或时，． 题型3 等腰三角形的存在性 解题步骤： 1.定基点先求已知两点 A、B 坐标，算出 AB 长度（用距离公式）。 2.分类列式（三边平方相等，避根号） 设动点P(x，函数解析式)用：两点横坐标差² + 纵坐标差²=边长平方 ① PA² = PB²② PA² = AB²③ PB² = AB² 3.解方程求 x每类单独解方程，算出所有 x。 4.验点取舍（关键踩分） ①点P必须在题目规定图像/区间内 ②舍去重合点、三点共线（构不成三角形） ③剔除增根、不合实际的解 5.写出最终坐标把合格x代回解析式，写出 P 完整坐标。 【例3】（2026·四川泸州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）． (1)如图1，当抛物线经过点时，求抛物线的解析式； (2)如图2，若点为（1）中抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点．当是等腰三角形时，求点的坐标； (3)若抛物线上存在两点和，对于，，都有请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或或 (3)的取值范围为或 【分析】（1）把代入，求出的值即可得出结论； （2）求出直线的解析式为，设点，则，分别求得，根据等腰三角形的定义分，，列式，求出的值即可解答； （3）由题可知，抛物线的对称轴为，分别求当对称轴在y轴左侧；当对称轴在y轴右侧；抛物线的对称轴为y轴时，b的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把代入解析式得， ∴， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴， ∴， ， 若是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，， 解得（不合题意，舍去），， 此时点的坐标为； ②当时，， 解得或， 此时，点的坐标为或； ③当时，， 解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）， 此时 ，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或； （3）解：由题可知，抛物线的对称轴为， ∵抛物线经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵，，都有， ∴当对称轴在y轴左侧，即时， ， 解得， ∴此时； 当对称轴在y轴右侧，即时， ， 解得， ∴； 当时， 抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为， ∵抛物线开口向下， ∵，，则，， ∴ 故此情况不符合题意， 综上所述，的取值范围为或． 【变式3-1】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由： (4)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)或 (4) 【分析】（1）运用待定系数法将，代入，即可求解； （2）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点作轴交直线于点，求得，利用，即可求得答案； （3）由（2）得，当以为底的等腰三角形，得出，则点在上，联立抛物线解析式解方程组即可求解． （4）将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点，则平移后解析式为，联立和得：，令，求出，再解方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在中，令，则：， ， 设直线的解析式为， ， ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， 过点D 作轴交直线于点E ， ， ， ． （3）解：， ， 则是等腰直角三角形， ∴当是以为底的等腰三角形，则， ∴在的角平分线上，即上， 联立得， 解得： 或， 或． （4）解：∵直线的解析式为， 将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点， 则平移后解析式为， 联立和得：， 整理得：， ∴， 解得：， 则平移后解析式为，， ∴， ∴． 题型4 直角三角形的存在性 解题步骤： 1.先算基础求A、B坐标，算AB2（全程用平方，不开根号，防出错）。 2.设动点坐标 设P(x，抛物线解析式)，所有点统一用x表示。 三类列方程（勾股逆定理） · ① ∠A=90∘⇒AP2+AB2=BP2 · ② ∠B=90∘⇒BP2+AB2=AP2 · ③ ∠P=90∘⇒AP2+BP2=AB2 两点距离平方：(x1−x2)2+(y1−y2)2 3.解方程 + 严格验点 舍去三点共线（构不成三角形） 舍去不在图像/区间内的点 舍去增根、重合点 4.回代写最终坐标合格x代回抛物线，写出完整P点坐标。 【例4】（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与一次函数的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）先得出平移后的函数表达式，将交点问题转换为方程根的问题，由即可求解； （3）设点的坐标为，用表示、、的长度，对的斜边进行分类讨论，结合勾股定理得出方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，，代入 ， 得，解得， 故抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 当时，， 故点的坐标为． （2）解：假设平移后的函数表达式为， 假设直线所在的函数表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线所在的函数表达式为， 由于平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点， 即方程仅有一个实数解， 整理得， 故， 解得． （3）解：假设点的坐标为， ∵，，， ∴，，， 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 故点的坐标为或． 【变式4-1】（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：①当时，②当时，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【变式4-2】（2025·青海西宁·一模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，使的面积最大？求出的最大面积及此时M点的坐标． 【答案】(1) (2)存在满足条件的点，其坐标为或 (3)点M为的中点，的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为 【分析】（1）由的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）可设出点坐标，则可表示出、和的长，分、两种情况分别得到关于点坐标的方程，可求得点坐标； （3）由、的坐标可求得直线的解析式，可设出M点坐标，则可表示出N点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点M的坐标． 【详解】（1）解：在抛物线上， ，解得， 抛物线解析式为； （2）， 抛物线对称轴为直线， 当时，， ，且， ， 点在对称轴上， 可设， ，， 当时，， 解得，此时点坐标为； 当时， 解得（与重合，舍去）或，此时点坐标为； 综上可知：存在满足条件的点，其坐标为或； （3）当时，即，解得或， ，， 设直线解析式为， 由题意可得，解得， 直线解析式为， 点M是线段上的一个动点， 可设，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为4， 此时， ，即M为的中点， 点M为的中点，的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为． 题型5 平行四边形的存在性 1. 线段中点坐标公式 2.平行四边形顶点公式： 分类： 1. 三个定点，一个动点问题 已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解。这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论； 2. 两个定点、两个动点问题 这中题型往往比较特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一条直线上。设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式。该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式。 进阶： 矩形：加邻边垂直（斜率积=-1/勾股） 菱形：加邻边相等（边长平方相等） 正方形：垂直+边长相等双条件 【例5】（2026·江苏无锡·一模）已知二次函数的图象经过点，，顶点为点，与轴交于点． (1)求该二次函数的表达式； (2)点和是该二次函数图象上的两点，当时，试比较与的大小，并说明理由； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，记点关于直线的对称点为．当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， (3)和 【分析】（1）将A、B两点坐标代入二次函数解析式中求解即可； （2）把点和代入解析式得、表达式，采用作差法计算并化简，结合已知的取值范围，以差式的正负分三种情况讨论即可明确与的大小关系； （3）先根据二次函数解析式求出顶点、与轴交点的坐标，结合点坐标求出直线的解析式，设出直线上动点的坐标；再利用轴对称的性质，由垂直、与关于对称，得出，结合平移的坐标变化规律、平行线的性质、中点坐标公式，推导出点的坐标；最后根据平行四边形对角线互相平分的核心性质，对四个点构成平行四边形的对角线组合进行分类，利用中点坐标公式建立方程求解，舍去无效解后得到符合条件的点的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴，即， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：∵点和是二次函数图象上的两点， ∴，， ∴， 结合，分三种情况讨论： ①当，即时，； ②当，即时，； ③当，即时，； （3）解：∵抛物线与轴交于点，顶点为点， ∴，， 设直线的解析式为，将，代入得 ， 解得， ∴直线解析式为， ∵点是直线上的动点， ∴设， ∵、关于直线对称， ∴垂直平分， 又， ∴， ∴到的平移规律，与到的平移规律完全一致， 设到中点的横坐标变化为，则纵坐标变化为， ∴， 如图，中点在对称轴上，且， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ， ， ∴， 整理得， ∵点和点重合时无法构成平行四边形，故， ∴两边同时除以，得 ， ∴， 设，则 ，， 化简得，， ∴， 若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下三种情况讨论： ①以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点， ∴横坐标相等，得， 解得， 纵坐标相等，得， 解得， ∴； ②以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点， ∴横坐标相等，得， 解得， 纵坐标相等，得， 解得， ∴此情况不成立； ③以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点， ∴横坐标相等，得， 解得， 纵坐标相等，得， 解得， ∴； 综上，点的坐标为和． 【变式5-1】（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）先求出直线的解析式为．求得面积的最大值即可求得结论； （3）利用分类讨论的方法分两种情况，结合平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1） 解：二次函数的图像经过点，点， ， 解得：， 该二次函数的解析式为， ， 顶点； （2）解：对称轴为直线，点，轴， ， ，， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 过作轴交于点， 设，则， ， ， ， 当时 ，为最大值， 四边形面积的最大值为； （3）解：当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或， 理由：①当四边形为平行四边形时，． 连接，过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴，， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ． 过点作轴于点， 设，则， ∵， ， ． ， ∴． ∴； ②当四边形为平行四边形时，．连接， 过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， 设，则， ∵， ∴， ， ． ∴，． 综上，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或． 【变式5-2】（2026·湖南怀化·一模）已知，二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接． (1)如图1，请判断的形状，并说明理由； (2)如图2，点D为线段上一动点，作交抛物线于点P，过点P作轴，垂足为点E，交于点F，过点F作，交于点G，连接，，求阴影部分面积S的最大值和点D的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线的方向移动个单位得到新的抛物线：，是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C， B， M， N为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)为直角三角形；见解析 (2)最大值为1， (3)存在，为或 【分析】（1）根据抛物线解析式，可以令和，分别求出C、A、B点坐标，继而求得、、长度，利用勾股定理逆定理，来判定三角形为直角三角形； （2）根据轴，判定轴，根据，判定轴，阴影部分面积可以看作与的面积之和，当底边为时，阴影部分面积转化为，由于长已知，所以当取最大值时，阴影部分面积最大，根据，可以得到，从而得到，设，则，得到的长度，继而得到长度，从而求得表达式，根据m的取值范围，确定函数在顶点处取得最大值； （3）根据三边关系，将斜向平移分解成两次平移，即水平移动和竖直移动，从而得到新抛物线解析式，由于为边，M在对称轴上，所以可以得到或者，根据分类，画出图形，利用直角，构造相似三角形，即可求得M点坐标． 【详解】（1）解：令，则， ∴ 令，则，解得：， ， 在中，， 同理，， 又 ， 即为直角三角形； （2）解：设直线的解析式为， 代入点得，， 直线为， 同理，直线为， 轴， 轴， 设，则 ， 轴， 轴，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 当最大时，取得最大值， ， 又， 当时，最大值为最大值为1， ， ， 可设直线为， 代入点，得， 直线为：， 令，解得， ， 此时最大值为1； （3）解：存在，或 存在这样的点，使以为顶点的四边形为正方形， ， 当抛物线沿射线方向平移个单位，可以分解为水平向右平移个单位，竖直向上平移1个单位， ， 平移后得抛物线为：， 对称轴为直线， ①当，为对角线，构成正方形时，如图1， 过作轴于点， ， 又， ， ， ， 又 ， ， 由坐标与平移关系可得，， ②当，为对角线，构成正方形时，如图2， ， ， ， ， ， ， ， ， 由坐标与平移关系可得，， 综上所述，为或． 题型6 图形变换・翻折平移+存在性探究 抛物线y=a(x−h)2+k 解题步骤： （1）原抛物线找顶点、a值 （2）按题意平移 / 翻折，求出变换后顶点与解析式 （3）设动点在新抛物线上，坐标化 （4）按等腰 / 直角 / 平行四边形分类列式 （5）验范围、舍增根、筛有效点 翻折规律： 沿x轴翻折：a变号，x不变，y全反 沿y轴翻折：h变号，a 不变 沿对称轴翻折：顶点对称，内部x替换 沿某直线翻折：抓关键点对称→求新顶点→写新抛物线 【例6】（2026·甘肃·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，当点在直线上方的抛物线上时，过点作轴交于点，求线段的最大值及此时点的坐标． (3)如图2，将该抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到一条新图象．当直线与新图象有且仅有三个公共点时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)有最大值，坐标为． (3)当直线与新图象有且仅有三个公共点时，m的取值范围为． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质等，解题关键是灵活运用二次函数的图象及性质并注意分类讨论思想的运用． （1）将点A，B的坐标代入，即可求出抛物线的解析式； （2）先求直线解析式，设，则，用含的代数式表示出的长，再利用二次函数的性质求解即可； （3）利用数形结合的思想，分别求出：①当过点时m的值，②当直线与抛物线只有1个交点时m的值即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由抛物线解析式得， 设直线解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ． ， 当时，有最大值． 此时点坐标为； （3）解：将的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，其顶点坐标为，如图：    ①当过点时，， 解得； ②当直线与抛物线只有1个交点时， 则方程有两个相等的实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 综上所述，当直线与新图象有且仅有三个公共点时，m的取值范围为． 【变式6-1】（2026·河北张家口·一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），当时，y的取值范围是． (1)求抛物线的解析式． (2)求k的值． (3)将抛物线在之间的函数图象记作，将在直线下方的部分向上翻折，其余部分不变，得到的新图象记作．设的最高点和最低点的纵坐标分别为和，若，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）由函数对称轴为直线,当时，y的取值范围是，可得是函数的最小值，即抛物线的顶点为，代入抛物线解析式可求得，即可得抛物线解析式； （2）由函数对称轴为直线,可得时，时对应的函数值为，即可求解； （3）依据题意，分在直线上或上方、在直线下方两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，当时，y的取值范围是， ∴是函数的最小值，即抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）可知抛物线对称轴为， ∵， ∴当时，取最大值， ∴， ∴k的值为8． （3）解：如图，设图象折叠后顶点M的对应点为，点H是图象上的点，图象为区域， 由（1）可知，由（2）可知，即点H在直线上， ∵点与点关于直线对称， ∴， 当点在直线上或上方时，的最高点为， 的最低点为， ∴，， 解得； 当点在直线下方时，的最高点为H， 的最低点为， ∴，， 解得； 综上所述，． 【变式6-2】（2024·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若点是线段上方抛物线上的一点，直线，分别与轴交于点 ，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形，如图．在图形上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， (3)存在，， 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可． （2）分别代入，，易得点坐标，点坐标，设点坐标为，过作轴，可得，，①当时，，即，所以，②当时，，即，所以，所以． （3）将延翻折至，延长与轴相交于点，可得，，设，，所以，在由，可得，带入数值可得：，，所以，，，G过点作的垂线，垂足为，所以按照面积法可得的面积为，代入数值可得，所以，所以，因为，故，根据题意易得图形的抛物线为，然后分成两种情况分析①当在原抛物线上时，②当在翻折后的抛物线上时，根据，可得点坐标为和． 【详解】（1）由题意可得抛物线，过点 ， 故代入上式：， 可得， 故抛物线的表达式为． （2）将，代入抛物线中，即， 解得：，， 故点坐标为，点的坐标为， 将，代入抛物线中， 解得：， 故点坐标为， 由题设点坐标为， 过作轴， ∴轴， ∴，， ①当时，， 即， ∴， ②当时，， 即， ∴， ∴． （3）将延翻折至，延长与轴相交于点，如图所示： 根据翻折的规律可得，， 设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 带入数值可得， 解得：，， ∴，，， G过点作的垂线，垂足为， ∴按照面积法可得的面积为， 代入数值可得， 解得， 故由勾股定理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 原抛物线解析式，可化为， 故抛物线顶点坐标为， ∵过点作轴的垂线：，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形， ∴翻折后抛物线解析式为 ，即 ， ∴图形的抛物线为， ①当在原抛物线上时，如图： 设点坐标为， ∴， 解得（舍），， ∴． ②当在翻折后的抛物线上时，如图： 设点坐标为， ∴， 解得，（舍）， ∴． 综上可得，点坐标为、． 题型7 含参二次函数・参数a分类讨论 解题步骤： 第一步：先定身份（必写，踩分点） 1.先判是不是二次函数： · 若 a≠0：是抛物线，有开口、对称轴、顶点 · 若 a=0：退化成一次 / 常数函数，单独讨论，排除二次情况 二、第二步：定开口方向（基础分类） 1.a>0：开口向上，顶点是最小值 2.a<0：开口向下，顶点是最大值 三、第三步：动对称轴 + 区间最值（核心大题） 对称轴：x=−2ab​拿对称轴和给定 x 取值区间【m，n】比对，分三类： 1.对称轴在区间左侧→最值全在区间端点取 2.对称轴落在区间内部→最值取顶点 3.对称轴在区间右侧→最值全在区间端点取 👉操作：代入端点 / 顶点算最值，列等式，反求a的范围。 四、第四步：判别式判交点个数 算 Δ=b2−4ac 1.若Δ=b2−4ac＞0，则与x轴有2个交点 2.若Δ=b2−4ac=0，则与x轴有2个交点 3.若Δ=b2−4ac=0，则与x轴无交点 五、第五步：图像限制条件 结合题干附加要求分类： · 过某定点、不经过某象限 · 顶点在 x 轴上方 / 下方 · 自变量范围内恒大于 / 小于某数逐条列不等式，收紧 a 的取值边界。 六、第六步：验根收尾（防扣分） 1.排除 a=0 不符合二次的情况 2.解集合并，区间端点能取 / 不能取严格区分 3.舍去矛盾、无解情况，规范写最终范围 【例7】（2026·江苏宿迁·三模）已知二次函数（，a，b，c为常数）经过点和点． (1) ， ；（用含a的代数式表示） (2)当抛物线开口向下，且时，y有最大值1，求a的值； (3)已知点，，若该抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）将点、代入，得方程组，进行求解即可； （2）根据题意可得，，对称轴为，分三类讨论：①对称轴时无解；②时，顶点纵坐标，进行求解即可；③时最大值在，进而求解，最后进行判断即可得解； （3）分与并结合函数图象进行讨论：时，时，得；时，顶点在线段上得，或时抛物线与线段仅一个交点，综上得取值范围． 【详解】（1）解：将点、代入中， 得：， 得： 解得， 将代入中， 得 解得； （2）解：∵抛物线开口向下 ∴， 由（1）得，， ∴对称轴为：， ①当对称轴在范围内时， 此时， 解得， 又∵， ∴此情况不存在； ②当对称轴在范围内时， 此时，且， 解得， 此时最大值在顶点， ∴顶点纵坐标为：， 解得，符合条件； ③当对称轴在范围内时， 此时，且， 解得， 此时最大值在， ∴ 解得，舍去； 综上所述，； （3）解：①当时，，， ∴ 解得，抛物线不经过点，如图①， 抛物线与线段只有一个交点，结合图象可知； ②当时，若抛物线的顶点在线段上时，则 解得，， 当时， ， 此时，顶点横坐标满足，符合题意，如图②，抛物线与线段只有一个交点； 如图③，当时， ， 此时顶点横坐标不满足，不符合题意，舍去； 若抛物线与线段有两个交点，且其中一个交点恰好为点时， 把代入解析式中，得 解得， 如图④，抛物线和线段有两个交点，且其中一个交点恰好为点， 结合图象可知当时，抛物线与线段有一个交点． 综上所述，的取值范围为或或． 【变式7-1】（2025·山东泰安·一模）已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． (1)若抛物线经过点； ①点的坐标为______； ②当时，抛物线取得最大值为，求的值； (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围； (3)已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②的值为或 (2) (3)或 【分析】（1）①先求出，当时，即，可解得； ②先由得抛物线开口向下，顶点坐标为，再分两种情况讨论：当时，得；当即时，，分别求解即可； （2）由点，在抛物线上，结合可得，计算求解即可； （3）求出抛物线对称轴为，顶点为，再抛物线与线段有且只有一个交点，分两种情况讨论：当抛物线的顶点在线段上时，即：；当抛物线顶点落在上方时，当时，，当时，，进而得，由抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），得与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧，进而得，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线与轴交于点坐标为， 当时，即， 解得：，， ∴点， 故答案为：； ②∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当时，在对称轴左侧，随增大而增大， ∴时，为最大值，即， 解得或（舍）； Ⅱ．当即时，在对称轴右侧，随增大而减小， 时，为最大值，即， 解得或（舍）， 综上所述，的值为或； （2）解：∵点，在抛物线上， ∴，， 当时，即， 即：， 解得：； （3）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为，顶点为， ∵点，，若抛物线与线段有且只有一个交点， 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当抛物线的顶点在线段上时， 即：， 解得：； Ⅱ．当抛物线顶点落在上方时， 当时，， 当时，， ∵，对称轴为， ∴， ∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、）， ∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ∴， 解得：， 综上，的取值范围是或． 【变式7-2】（2026·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为抛物线（a，b为常数且）上一点，抛物线G与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)用含a的代数式表示b； (2)若，求a的值； (3)连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段（点D为点A的对应点），若线段与抛物线G有交点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把点M的坐标代入抛物线的解析式中即可得到答案； （2）根据抛物线的解析式，可求出点A，点B和点C的坐标，进而得到和的长，根据建立方程求解即可； （3）当时，可推出点D在y轴的正半轴上，点E在x轴的正半轴上，且，当时，可推出点D在y轴的正半轴上，点E在x轴的负半轴上，据此分类讨论可得答案． 【详解】（1）解：∵点为抛物线（a，b为常数且）上一点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴抛物线G的解析式为， 在中，当时，，则， ∴， 当时，则，即， ∵， ∴或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知， 当时，则， ∴此时点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上， 由旋转的性质可得， ∴点D在y轴的正半轴上，点E在x轴的正半轴上； 如图1所示，当点C在点D下方时，则，解得， 此时线段与抛物线G一定有交点，故符合题意； 当点C与点D重合时，则，解得， 此时线段与抛物线G一定有交点，故符合题意； 如图2所示，当点C在点D上方，且点E在点B左侧时，则， ∴， 此时线段与抛物线G一定没有交点； 当点C在点D上方，且点E与点B重合时，则，解得， 此时线段与抛物线一定有交点，故符合题意； 如图3所示，当点C在点D上方，且点E在点B右侧时，则， ∴， 此时线段与抛物线G一定有交点，故符合题意； ∴当或时，线段与抛物线G一定有交点； 当时，则， ∴此时点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上， 由旋转的性质可得， ∴点D在y轴的正半轴上，点E在x轴的负半轴上； 如图4所示，当点E在点A右侧时，则，解得， ∴当时，线段与抛物线G一定没有交点； 当点E与点A重合时，则，解得， 此时线段与抛物线G一定有交点，故符合题意； 如图5所示，当点E在点A左侧时，则，解得， 此时线段与抛物线G一定有交点，故符合题意； ∴当时，线段与抛物线G一定有交点； 综上所述，或或． 题型8 函数+几何模型相似/全等/角度综合 解题步骤 一、前置打底 1.求抛物线、直线解析式，标出所有定点坐标； 2.把动点设为：抛物，全程坐标化、代数式化； 3.标出直角、等角、已知边长，锁定能用的几何模型。 二、相似压轴核心步骤（一线三等角 / 母子相似） 1.找等角看抛物线交点、直角、公共角、同余角，标出∠1=∠2； 2.套固定模型 · （1）一线三等角：横竖直角 + 共线三点，直接得两角相等→三角形相似； · （2）母子（射影）相似：直角斜高分割，直接锁定三组相似； 3.转比例式 相似→对应边成比例： 4.坐标代边长边长用坐标差表示，代入比例列方程； 三、全等题型标准步骤 1.先找一组角相等 + 一组边相等； 2.锁定判定：SAS/ASA/AAS/SSS； 3.边长全用坐标距离（平方防根号）列式； 4.分类对应顶点（防对应错漏解）； 5.验点：位置符合图形、不重合。 四、特殊角（45°/90°/60°）解题步骤 1.90°：勾股逆定理 / 斜率乘积 =-1； 2.45°：构造等腰直角三角形，边长 1:1:2​，或用一线三等角造等角； 3.60°：用等边三角形、三角函数比例转化边长； 4.把角度条件→边长关系→列方程求动点。 五、通用收尾（绝不扣分） 1.舍去三点共线、重合点、超出图像范围的解； 2.多解全部保留，按题意分类写全； 3.最终把 x 代回抛物线，写清完整点坐标。 【例8】（2026·四川内江·一模）如图，抛物线交轴于，，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； (3)如图2，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，可知只存在和这两种情况，据此利用相似三角形的性质讨论求解即可； （3）求出直线的解析式为；证明，可推出；设，则，则可得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 【变式8-1】（2026·安徽阜阳·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，经过、两点的抛物线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的函数关系式； (2)求抛物线的函数关系式； (3)如图2，点为第一象限内抛物线上一点，作于点，设的长为，点的横坐标为，求的最大值，及取得最大值时点的坐标． 【答案】(1)直线的函数关系式为 (2)抛物线的函数关系式为 (3)的最大值为，当取得最大值时，点的坐标为 【分析】（1）由一次函数和抛物线的图象都与轴交于点，则由抛物线解析式求出点的坐标代入一次函数解析式求出即可； （2）由一次函数求出点的坐标，再由可得点的坐标，把点，的坐标代入抛物线解析式即可求解； （3）过点作于点，交于点，由点的横坐标为，可得点，的坐标，可得，再证明，则，可得，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点， ∴当时，，即点， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数关系式为． （2）解：当时，，解得， ∴点， ∵，且点在轴负半轴上， ∴，即点， ∵抛物线过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数关系式为． （3）解：如图，过点作于点，交于点， ∵点的横坐标为， ∴点，． ∴， ∵点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，代入，得， ∴的最大值为，当取得最大值时，点的坐标为． 【变式8-2】（2026·江苏苏州·模拟预测）抛物线过点，顶点为，与轴交于、两点（在点左侧），且． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)若点在抛物线上且，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点的坐标为； (2)点的坐标或； (3)点的坐标． 【分析】1）先求得，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得点的坐标为，在线段上取点，使，此时，求得，则，分点在轴上方和下方时，两种情况讨论，分别求得直线的解析式，联立解一元二次方程即可求解； （3）作交的延长线于点，过点作轴，分别过点和作的垂线，垂足分别为和，证明，求得点的坐标为，求得直线的解析式，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：令，则， 解得或， ∴点的坐标为， 在线段上取点，使，此时， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 则， ∴， ∵， ∴， 当点在轴上方时，设交轴于点， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标； 当点在轴下方时，设交轴于点， ∴，解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标； 综上，点的坐标或； （3）解：如图，作交的延长线于点，过点作轴，分别过点和作的垂线，垂足分别为和， ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标． 题型9 区间限定・整点/交点/范围计数 审题第一步（踩分起点） 锁定固定 x/y 取值区间、网格范围、封闭图形区域； 明确对象：抛物线 / 直线 / 翻折平移后的图像； 分清考点：数整点个数、判交点数量、求参数临界范围。 题型 1：整点问题（格点计数）解题步骤 画边界：标出区间左右端点、上下 y 值限制； 描范围：画出函数在区间内的图像走势（最高点 / 最低点）； 定整数：找出区间内所有整数 x，代入算对应 y； 判整点：满足「x 整数、y 整数，且点在图形内部 / 线上」才算； 逐一枚举标记，统计总数，不漏不重。 ⚠️抢分关键：线上整点要算，空心边界点不算。 题型 2：交点个数判定（直线 & 抛物线）步骤 联立解析式：直线 = 抛物线，化成一元二次方程； 算判别式Δ：定相切、2 交点、无交点基础情况； 卡区间：Δ 合格后，再看根是否落在指定 x 范围内； 临界卡位：盯住端点刚好相交、刚好相切的特殊位置； 分类统计：区间内几个有效交点，精准计数。 题型 3：参数临界范围（压轴拉分）步骤 设含参解析式，固定区间； 找临界状态：刚好过整点、刚好相切、刚好贴边界； 代入临界点坐标，反求参数a的临界值； 比对图像增减、开口方向，锁定a的取值区间； 严格区分：能不能取等号（端点含不含） 【例9】（2026·河北邢台·一模）已知，抛物线（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． (1)抛物线的对称轴为直线_____（用含有的式子表示）； (2)若，函数值随着的增大而减小，求的取值范围； (3)如图，当时． ①将抛物线向左平移个单位长度后，当时，若抛物线对应的函数最大值与最小值的差为6，请求出的值； ②点为第四象限内抛物线上的一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点．以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围为或 (3)①的值为② 【分析】（1）直接根据抛物线对称轴公式求解即可； （2）分两种情况：若，若，运用二次函数的性质分别求得a的取值范围即可； （３）①求出平移后抛物线解析式，得对称轴为，再分、和三种情况讨论求解即可； ②根据图象折叠的对称性，得点，根据翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴的正半轴，可得且，即可求得答案． 【详解】（1）解：的对称轴为：， 所以，对称轴为直线； （2）解：抛物线的对称轴为，开口方向由决定： 当时，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随增大而减小； 要使时，y随增大而减小，需满足，即； 当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随增大而减小； 要使时，y随增大而减小，需满足，即． 综上，的取值范围为或． （3）解：当时，抛物线的解析式为． ①抛物线向左平移个单位后，解析式为，对称轴为； 当时，即，在上随的增大而增大， 当时，取最大值； 当时，取最小值， 差值为：， 解得：（不合题意，舍去）； 当时，即，函数最小值为，最大值为或时的较大值， 此时，时，值较大，为， 所以，， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，即，在上，随的增大而减小， 当时，取最大值； 当时，取最小值， 差值为：， 解得：（不合题意，舍去）； 综上，的值为； ②∵， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线, ∵点为第四象限内抛物线上的一点，且轴， ∴、关于对称轴对称，且, 以直线（即直线）为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，原顶点关于直线的对称点即为翻折后图象的顶点．则， 设翻折后函数解析式为， 令，得： ∴ ∴，且， ∴，且， 设两个交点的横坐标为，则或， ∵， ∴，则恒为正数； 要使交点都位于轴上正半轴上，则， ∴ 解得， ∴． 【变式9-1】（2026·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若点，，抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围； (3)，是抛物线上两点，若，直接写出m取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或或 (3) 【分析】（1）利用对称轴公式进行求解； （2）求出抛物线与轴的交点坐标，然后根据交点情况进行分析即可； （3）根据函数解析式判定出的值最小，得出，然后利用二次函数的性质以及图象得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， 抛物线与轴的交点为和，点在线段上，要使抛物线与线段只有一个交点，则另一个交点需要在线段之外，或与重合， 当交点在线段之外时，或， 解得或； 当交点与重合时，， 解得； ∴或或； （3）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，且解析式，抛物线开口向上， ∴为抛物线的顶点坐标， ∴的值最小， ∵，， ∴， ∴由得， ， 整理得， 令， 当时， 解得或， ∴． 【变式9-2】（2026·广东·一模）已知抛物线过点，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上任意一点，其横坐标为t，过点P作轴，点Q的横坐标为． ①当线段与抛物线有两个交点时，求t的取值范围； ②过点Q作轴交抛物线于点N，点P在y轴左侧的抛物线上运动的过程中，若线段的长随t的增大而减小，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】（1）先根据对称轴公式求得b的值，再代入点A的坐标求得c的值，即可解答； （2）①分或两种情况讨论，当线段与抛物线有两个交点时，点P和点Q分别在对称轴的两侧，且的长度大于等于点P到对称轴距离的2倍，列出不等式组，解不等式组即可； ②根据题意，易得点Q和点N的纵坐标，从而表示出的长度，根据二次函数的性质结合图象讨论，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 代入得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵抛物线的对称轴为直线，点P为抛物线上任意一点，其横坐标为t，轴，点Q的横坐标为， ∴当时，点Q在点P的左侧，当线段与抛物线有两个交点时， 则， 解得； 当时，点Q在点P的右侧，当线段与抛物线有两个交点时， 则， 解得； 综上所述，当线段与抛物线有两个交点时，或； ②∵点P为抛物线上任意一点，其横坐标为t， ∴， ∵轴，点Q的横坐标为，轴交抛物线于点N， ∴点N的横坐标为，纵坐标为， ∴， 令，解得或0，且对称轴为直线， 如图所示，的图象， 又∵点P在y轴左侧的抛物线上运动， ∴， ∴当或时，y随t的增大而减小， 即当或时，线段的长随t的增大而减小． 。 1．（2026·宁夏银川·一模）如图，抛物线与直线相交于，两点，与x轴相交于另一点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E． ①当时，求P点坐标； ②是否存在点P使的面积等于面积的？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点P的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、动点问题和三角形面积的计算，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理将面积比转化为线段比，从而简化问题． （1）利用待定系数法将两点坐标代入抛物线方程求解即可； （2）①设出点坐标，表示出的长度，根据建立方程求解；②过点作交轴于点，过点作于交于点利用平行线分线段成比例定理，由面积关系得出与的比例关系，求出点坐标，再通过联立方程求出点坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ， 抛物线过， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：①设，则， 在直线上，直线方程为， ， ， ， ， ， 或, ， ， ， ． ②存在，点P的坐标为．理由如下： 如图，过点作交轴于点，过点作于交于点． 令， 解得，， ， ,且与有公共底边， 的高的高， 即， ， ， ， ， 点坐标为， 即， ，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入上式，， 解得， 直线的解析式为， 与抛物线联立，得， 解得， 点的坐标为． 2．（2026·河南周口·一模）如图1，在中，，，，点P从点A出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动．当点P到达点C时，P、Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中，直接画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是________． 【答案】(1) (2)图见解析，性质：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小．（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）描点法画出函数图象，根据图象写出性质即可； （3）求出时的函数值，进而求出直线经过点和时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：点运动到点时，所用时间为秒；运动到点时，所用时间为秒； 当时，， ∴； 当时，， ∴， 综上： （2）解：列表如下： 0 1 2 3 4 0 5 4.5 0 画出函数图象如下： 性质：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小．（答案不唯一） （3）解：当时，， 当经过点时，，解得， 当经过点时，，解得， 故的函数图象与直线有两个交点时，． 3．（2026·福建三明·一模）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点A，且与y轴交于点C． (1)若，，求此二次函数的表达式； (2)在（1）的条件下，将二次函数的图象向右平移m个单位长度，得到新的二次函数的图象，当时，求新的二次函数的最小值； (3)设一次函数（n是常数）．若二次函数y1的表达式还可以表示为的形式，当函数的图象经过点时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）确定平移后的解析式，根据抛物线的性质得到对称轴为直线，分类讨论即可得解．（3）把，代入中，得出关于，的关系式，把代入求解即可； 【详解】（1）二次函数的图象经过，， ， 解得：， 此二次函数的表达式为； （2） ，且向右平移m个单位长度， 新的二次函数可表示为， 对称轴为， ①当，即时， 当时，有， ②当时，即时， 当时，有， ③当，即时， 当时，有； （3） ，， ， ， ， 又图象经过点， ， 或， 或． 4．（2026·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过和． (1)求该抛物线的解析式． (2)将线段平移，平移后对应点和都落在抛物线上，求点的坐标． (3)当时，二次函数的最小值为，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】（1）将和代入求解即可； （2）设，由可知，再将代入函数解析式求解即可； （3）分，，三种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过和， ， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：设， ， ， ， 点落在抛物线上， ， 解得， ， ； （3）解：， 抛物线的对称轴是直线， 若，即， 当时，二次函数的最小值为， ， 解得，（舍去）； 若，即， 当时，二次函数的最小值为，不合题意，舍去； 若， 当时，二次函数的最小值为， ， 解得，（舍去）； 综上所述，t的值为或1． 【点睛】此类问题通常要根据对称轴与、t的不同位置进行分类讨论． 5．（2026·河南驻马店·模拟预测）抛物线交轴于，两点（点在点的左边且点在轴负半轴上），交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中绘制出函数图象（省略列表、描点，直接画图）； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析 (3) 【分析】（1）求出点坐标，代入求出的值，即可求解； （2）将函数解析式化为顶点式，即可得顶点坐标；用描点法画出函数图像即可； （3）平移后的抛物线解析式为，则抛物线的对称轴为直线，根据题意得到，即可求得． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线与轴交点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴， 把代入抛物线解析式， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：， ∴抛物线顶点坐标为； 绘制函数图象如下： （3）解：平移后的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向上， ∵，抛物线开口向上时，函数值越大，对应点到对称轴的距离越远， ∴， 解得， ∵， ∴的取值范围为． 【点睛】在求点坐标时，不能漏掉点在轴负半轴上这个条件；抛物线平移遵循左加右减（只对自变量操作），平移只改变对称轴位置，开口方向和形状不变，因此平移后对称轴为；开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越远，函数值越大，因此​可以直接等价为“到对称轴的距离到对称轴的距离”，据此列绝对值不等式即可的取值范围． 6．（2026·河北秦皇岛·一模）已知二次函数的最大值是，其图象记为抛物线． (1)求出的对称轴及的值； (2)当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； (3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②点在轴的负半轴上，过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的横坐标． 【答案】(1)对称轴为直线， (2) (3)； 或 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线计算即可，再根据当时，，列式即可得出的值； （2）先得到当和对应的的值，再得到二次函数图象在时的增减性，即可得到、的值，最后根据列式计算即可； （3）先将抛物线的解析式表示为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，得到平移后的抛物线的解析式；设点，即可得到点，，的坐标，进而可表示出，的长，最后根据列式计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， 当时，函数的最大值是，最小值是， 当时，取最大值，当时，取最小值， 即，， ， ， 解得，（负值舍去）， ； （3）解：， 则 ， 设点，则点，，， ， ， 当时，即， 解得或或（不合题意，舍去）， 当时，点的横坐标为或． 7．（2026·四川绵阳·一模）如图，直线交轴于点，交轴于点．对称轴为直线的抛物线经过，两点，交轴负半轴于点，为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作轴的垂线，垂足为点，直线交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）根据，分在内部与外部两种情况讨论，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， 点，点， 设抛物线的表达式为， 把点，点的坐标分别代入，得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：存在． 抛物线的对称轴为直线，点的坐标为， 点的横坐标为， ，， ①如图， ，即是的中点，点在直线上 ， 点在直线上， 可得， 解得或（舍去）， 故此时的值为． ②如图， 设点的坐标为，则， M， ， ① ②， 联立①②， 解得（舍去）或 综上，的值为或． 8．（2026·山东枣庄·一模）已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最小值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 (3)当时，n有最小值 【分析】（1）利用待定系数法即可得到函数解析式，即可得到顶点坐标； （2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； （3）由题意得：，仅存在一个点，使得，即抛物线与直线仅有一个交点，得到，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点两点， ∴设， 又∵抛物线，即， 解得， 故抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）知抛物线解析式为， 则， 设与y轴交于点D， ， 又，对称轴为直线， ， 或， 设直线，由得， 解得 ∴， 当时，， ∴； 由同理可得，得到 综上，P点的坐标为或； （3）解：由题意得：， 仅存在一个点，使得， 抛物线与直线仅有一个交点， ， 整理得， ， ， ， 又，当时，随着的增大而减小， ∴时，n最小为． ∴当时，即当时，n有最小值． 9．（2026·安徽蚌埠·一模）已知抛物线 （a，b是常数， ）与x轴交于点A，B，点A在点B 的左侧． (1)当抛物线L经过点时， （i）若 ，求抛物线L的顶点坐标； （ii）若 求a的值． (2)当 时，抛物线L经过 两点 若 求证： 【答案】(1)（i）抛物线L的顶点坐标为，（ii）a的值为或 (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）（i）先理解题意，当时，把代入解得，即，故抛物线L的顶点坐标为； （ii）依题意，把代入得则抛物线L的对称轴为直线，再进行分类讨论，根据，列式计算，即可作答． （2）当时，则，结合，故，得，再整理得，因为，，即． 【详解】（1）解：（i）当时，把代入 得， 解得， ∴抛物线L的顶点坐标为． （ii）将代入得， ∴， ∴ ∴抛物线L的对称轴为直线． 当点A在y轴左侧时，设，其中， ∵， 则， ∴ 将代入得， 解得 当点A在y轴右侧时， 设，其中， ∵ 则， ∴ 将代入得 解得 综上，a的值为或； （2）证明：当时，则 10．（2026·陕西·一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，点为抛物线上一动点（不与点重合），图中虚线是抛物线的对称轴． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）求解抛物线的对称轴为直线，设，，再分类讨论即可 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，则， ∴, 设， 如图， 当时，则且 解得：， ∴ 当时，则且 解得：， ∴ 综上：点M坐标为或 11．（2026·甘肃平凉·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，当点F为抛物线顶点时，过点F作轴，垂足为点E，交于点D，连接，求的面积； (3)如图2，连接，点E是线段上（不与点O、B重合）的点，过点E作轴，交抛物线于点F，交于点D，点P是线段上一动点，过P作轴，垂足为Q，点G为线段的中点，连接．当线段的长度取得最大值时，求的最小值． 【答案】(1) (2)4 (3)8 【分析】（1）根据题意，利用等腰直角三角形的性质，得到，再利用待定系数法求解析式即可； （2）先利用待定系数法求出的解析式，再利用求面积； （3）设，则，利用两点间的距离公式得到，进而得到的最大值及条件，再根据进行求解． 【详解】（1）在中，当时，， ∴．在中，， ∴，即， 将分别代入中，得 ，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）∵， ∴， 设所在直线的函数表达式为， 将分别代入中， 得解得 ∴所在直线的函数表达式为， 当时，， ∴． ∴， ∴． （3）设，其中， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时， ∴， ∴， 如图3，连接，易得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当E、Q、G共线时，取最小值，即取最小值， 如图3，过点G作于点H，易得，，则， ∴， ∴当线段的长度取得最大值时，的最小值为． 12．（2026·河北邯郸·一模）已知二次函数的最大值是5，其图象记为抛物线． (1)直接写出的对称轴及的值； (2)当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； (3)如图，将抛物线：先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②已知直线与轴交于点，与直线：交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)对称轴为直线， (2) (3)； 或 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线计算即可得到对称轴，再根据当时，，列式即可得出的值； （2）先得到当和对应的的值，再得到二次函数图象在时的增减性，即可得到、的值，最后根据列式计算即可； （3）先将抛物线的解析式表示为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，得到平移后的抛物线的解析式；根据题意得到点，，，的坐标，进而可表示出，的长，最后根据列式计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的最大值是5， ∴当时，， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下， 当时，随的增大而减小， 当时，函数的最大值是，最小值是， 当时，取最大值，当时，取最小值， 即，， ， ， 解得，（负值舍去）， ； （3）解：， 则 ， 解：由题意点，则点，，， ， ， 当时，即， 解得或或（不合题意，舍去）， 当时，点的坐标为或． 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $