专题 几何十二大模型（抢分专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题 几何十二大模型 抢分预测 抢分秘籍 抢分特训 题型 考情分析 考向预测 1.手拉手模型 2025年四川：27题考查了手拉手模型 2025年广东：23题考查了折叠模型 2025年淮安：27题考查了角平分线模型 2025年东营：24题考查了半角模型 2026年中考中基础模型全覆盖，压轴以旋转、相似、折叠、隐圆、瓜豆、将军饮马为主，多模型叠加考查；胡不归、费马点仅作为难题拓展出现 2. 一线三等角 3.半角模型 4.中点四大模型 5.将军饮马 6.胡不归基础 7.折叠模型 8.瓜豆原理 9.角平分线模型 10.子母相似 11.费马点模型 12.隐圆模型 题型1 手拉手模型 识别：共顶点、两个等腰 / 等边 / 正方形，旋转型 解题步骤: 1.找两组等线段：AB=AC，AD=AE 2.证夹角相等：∠BAD=∠CAE 3.证△ABD≌△ACE（SAS） 4.得线段相等、角相等、夹角等于顶角 【例1】（2026·广东深圳·一模）如图1为正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在（2）问的情况下，连接（点在上方），若，且，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由正方形证明，得到； （2）由矩形得到，结合，得到，即可得到，； （3）交于点，先求出，再由，得到，即可求出，，，最后根据勾股定理求即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式1-1】（2026·河南周口·一模）综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用证明，即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边成比例，令，利用勾股定理求出，即可求解； （3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的数量关系，证明，确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴令， 由勾股定理得， ∴； （3）解：①如图所示，，，三点共线， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ②如图所示，，，三点共线， 此时，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上，的长为． 【变式1-2】（2026·甘肃平凉·一模）解答下列各题： (1)如图，在正方形和正方形中，点在线段上，点在的延长线上，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，在正方形和正方形中，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，若四边形与四边形都为菱形，且，连接、．猜想线段与线段的数量关系及与线段所在直线所夹锐角的度数，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)，与所在直线所夹锐角的度数为，理由见解析． 【分析】（1）由正方形和正方形证得，即可求得； （2）由正方形和正方形证得，即可求得； （3）由菱形和菱形证得，可求得，，延长交的延长线于点，交于点，再求出即可． 【详解】（1）解：，理由： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ； （2）解：，理由： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，与所在直线所夹锐角的度数为，理由： 四边形和四边形是菱形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，，， ， 与所在直线所夹锐角的度数为． 题型2 一线三等角 识别：一条直线上三个角相等（多为直角） 解题步骤 1.标三个等角：∠1=∠2=∠3 2.倒角证两组角对应相等 3.得三角形相似 4.列比例式求边长 【例2】（2026·青海西宁·模拟预测）综合探究与应用 【模型呈现】 (1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：． 【模型应用】 (2)如图2，在矩形中，E为边上一点，连接DE，过点E作交于点F，若，，E为的中点，求的长． 【解决问题】 (3)如图3，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等腰三角形性质可以得到，，再用角度等量代换，可以证得，从而证得，得到，，用等量代换证得结论． （2）证明，根据相似三角形的性质求解即可； （3）如图，作轴于E，轴于F，由（1）同理可证，然后根据上述结论可以直接写出B点坐标为 ． 【详解】（1）证明：∵⊥直线l，直线l， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即：； （2）解：∵在矩形中，，，E为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得； （3）解：如图，作轴于E，轴于F，由（1）同理可证 ， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为． 【变式2-1】（2026·湖南娄底·一模）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】 (1)小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接、，则______； 【解决问题】 (2)将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接，，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点落在上时，连接交于点，求的长． 【答案】(1) (2)见解析； 【分析】（1）通过，得到，结合，继而得到是等腰直角三角形，即可得解： （2）根据矩形性质可得，继而得到，再利用等腰三角形性质得到，等量代换即可得证；过点作于点，根据勾股定理可得的长，进而得到的长，证明，进而得到、的长，，证明，得到，即可得解． 【详解】（1）解：长方形纸片和是两个完全相同的长方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ； （2）证明：， ， 四边形是矩形， ， ； ， 平分； 解：过点作于点， ，， ，， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ，，， ， ． 题型3 半角模型 识别：正方形 / 等边三角形内部出现半角 解题步骤 1.旋转构造全等（把半角外的三角形转过去） 2.证新三角形与半角三角形全等 3.得出线段和差关系：如 MN=BM+DN 【例3】（2026·江苏盐城·一模）主题式学习：实验初中九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动． 如图1，E、F分别为正方形的边上的动点，连接，且满足． (1)【常规探究】在图1中，线段之间的数量关系为____． (2)【变式思考】如图（2），正方形的边长为6，点E为边上的点，连接，取的中点G，F为边上的点，且，若，求的长． (3)【拓展应用】如图（3），点E，F为正方形的边所在直线上的动点，点E在点F的左侧，且满足，求的最大值，请直接写出结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）【常规探究】延长至G，使，连接，可证得，从而，，进而证得，从而，进一步得出结果； （2）【变式思考】延长，交的延长线于W，作于V，可得出，从而得出的值及，可证得，从而得出，根据勾股定理等知识求得，可证得，根据得出的值，进而得出的值，进一步得出结果； （3）【拓展应用】可判断当点E在的延长线上，点F在上时，存在最大值，作，交于G，作于W，则，，可证得，从而，从而得出，作的外接圆O，作于，交于，当G点在处时，最大，进一步得出结果 【详解】（1）解：【常规探究】如图1，，理由如下： 延长至G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：【变式思考】如图2， 延长，交的延长线于W，作于V， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，G是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （3）解：【拓展应用】如图3， 当点E在的延长线上，点F在上时，存在最大值， ， 作，交于G，作于W，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆O，作于，交于， 当点在处时，最大， 由得， ∴，，， ∴， ∴， ∴最大值． 【变式3-1】（2026·黑龙江·一模）已知：四边形是菱形，点分别在边上，，． (1)如图①，时，易证（不需要证明）； (2)如图②，时，线段之间有怎样的数量关系，并加以证明； (3)如图③，时，线段之间有怎样的数量关系，直接写出你的猜想，不用证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，交于N，过点F作直线于H，由“”可证，可得，，可证垂直平分，由直角三角形的性质可求，即可求解． （2）连接，交于N，过点F作直线于H，由“”可证，可得，，可证垂直平分，由直角三角形的性质可求，即可求解． （3）由“”可证，可得，，由直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：连接，交于N，过点F作直线于H， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴，，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 连接，交于N，过点F作直线于H，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴，，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图：连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】7．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图①，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 【实践探究】 (1)求证：．并直接写出，与之间的数量关系； (2)在图①条件下，若，，则正方形的边长是 ； (3)如图②，点、分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 (4)如图③，在矩形中，，，点、分别在边上，连接，，已知，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析，； (2)12 (3)，理由见解析； (4)4 【分析】（1）根据正方形和旋转的性质，先证明点、、三点共线，再利用“”可证明，从而得出，即可得解； （2）利用勾股定理可得，结合（1）所得结论，可得，即可求出正方形的边长； （3）将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接，根据正方形和旋转的性质可证明，再证明四边形是平行四边形，从而推出，最后结合勾股定理求解即可； （4）延长至点，使得，过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，连接，四边形是正方形，得到，证明，求出，，同（1）理可证，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：正方形， ， 由旋转的性质可知，，，，， ， 点、、三点共线， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：在中，，， ， 由（1）可知，， ， ， ，即正方形的边长是12； （3）解：，理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接， ，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在中，， ； （4）解：如图，延长至点，使得，过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，连接， 在矩形中，，， ，，， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 同（1）理可证， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即的长为4． 题型4 中点四大模型 ①倍长中线 1.延长中线至等长 2.连接造全等三角形 3.转移边与角 ②中位线 1.找双中点 2.得平行且一半 ③直角斜边中线 1.直角 + 斜边中点 2.中线 = 斜边一半 ④三线合一 1.等腰 + 顶角平分线 / 底边中点 / 高 2.三者互通 【例4】（2026·江西·模拟预测）【猜想探究】 如图1．在中，D、E分别为的中点，连接： 操作1．将绕点E按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点F，使，连接． 试探究与有怎样的位置关系和数量关系？ （1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理， ． 【结论应用】 （2）如图2，四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．若，，，求四边形的面积．    【问题解决】 （3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度．    【答案】（1）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；（2）；（3）5 【分析】（1）根据旋转性质或全等三角形的判定与性质证明，，进而证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得结论； （2）根据（1）中结论，得到，，，，从而可得四边形为平行四边形，再根据平行线的性质求得，过H作于M，利用正弦函数定义求得，然后根据平行四边形的面积公式求解即可； （3）连接，取的中点M，连接，，根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行线的性质和三角形的外角性质可推导出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）操作1：将绕点E按顺时针方向旋转到的位置，则，，， ∴，即， ∵D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； 操作2．延长到点F，使，连接． ∵E分别为的中点， ∴，又， ∴, ∴，， ∴，即， ∵D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； ∴三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半， 故答案为：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半 （2）∵四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形； ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， 过H作于M，则， ∴四边形的面积为； （3）连接，取的中点M，连接，， ∵点P和点Q分别为边和边的中点，，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 即小路的长度为5． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、矩形的判定、菱形的判定、解直角三角形、三角形的外角性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线是解答的关键． 【变式4-1】（2026·安徽淮南·一模）如图，在中，平分交于点交延长线于点为的中点，连接，则的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】延长交的延长线于点，证明，可得，，在中可求得，即可得的长，再可得为的中位线，即可求得的长． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴为的中位线， ∴． 【变式4-2】（2026·湖北襄阳·一模）探究：【证法回顾】 (1)证明：三角形中位线定理． 已知：是的中位线，求证：． 证明：添加辅助线，如图，在中，延长（点分别是的中点）至点，使得，连接．请继续完成证明过程； 【问题解决】 (2)如图，在正方形中，点为的中点，点分别为边上的点，若，求的长； 【拓展研究】 (3)如图，在四边形中，，点为的中点，点分别为边上的点，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）证明四边形是平行四边形即可求证； （）取的中点，连接，延长交于点，证明，得，，得到是中位线，再利用中位线的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可求解； （）取的中点，连接，延长到点，使得，连接，证明，得，，过点作，交的延长线于点，连接，由，可得，，得到是等腰直角三角形，再利用勾股定理可得，得到，即得到，最后利用中位线的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； （2）解：如图，取的中点，连接，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，取的中点，连接，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， ∴，， 过点作，交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 题型5 将军饮马模型 识别：求最短路径和 解题步骤 1.作对称点（同侧变异侧） 2.连接对称点与另一定点 3.交点即为所求点 4.最短距离 = 两点直线距离 【例5】（2026·四川南充·一模）如图，在中，，点C为的中点，点D是半径上一动点．若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，连接，连接交于点，根据轴对称的性质得出的最小值为的长度，求出相关角的度数，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，连接交于点， ∴，， 此时，的最小值为的长度， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 即的最小值为． 【变式5-1】（25-26八年级上·福建莆田·期末）如图，中，，为边上的中线，．E为边上的动点，F，G为上的动点，且的长为定值．连接，，当取最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，平移，作辅助线如解析图，可得，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合，进而问题可求解． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴， ∵， ∴， 平移，使得点F与点G重合，点C的对应点为P，作点P关于的对称点H，过点H作，交线段于点，线段交于点，连接，如图所示： 根据轴对称的性质可知：，由平移可知：， ∴，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当取最小值时，的度数为； 故选D． 【变式5-2】（2026·青海西宁·一模）如图，在等腰中，，点在边上且，点，分别为边，上的动点，连接，，得到，则周长的最小值为______． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，连接分别交于点，交于点，先证明点、、、在同一直线上，由题意可得，，由对称性可得：，，，，，求出，，由勾股定理可得，即可得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，连接分别交于点，交于点， ∵， ∴， ∴，即点、、、在同一直线上， ∵，， ∴，， 由对称性可得：，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 题型6 胡不归模型 识别：形如 PA+kPB（k<1） 解题步骤 1.以定点为顶点作特殊角，使 sinθ=k 2.将 k⋅PB 转化为垂线段 3.最短路径 = 点到直线垂线段长度 【例6】（2026·安徽马鞍山·一模）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】连接交于点，过点作于点，过点作于点，根据菱形的性质以及勾股定理求出相关线段的长度，得出，当三点共线且时，取最小值，则取最小值，最小值为，最后利用等面积法进行求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点，过点作于点，过点作于点， ∵四边形为菱形，边长为5，， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴当三点共线且时，取最小值，则取最小值，最小值为， ∵菱形的面积为， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式6-1】（2026·青海西宁·一模）如图，已知中，，，点P是上一个动点，从A点出发，沿着运动，的最小值是__________． 【答案】 【分析】在的下方作射线，使得，过点P作于点H，过点B作于点T，交于点K．连接，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再结合题意及三角形三边关系确定，则当点、、三点共线，且时，有最小值，为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，在的下方作射线，使得，过点P作于点H，过点B作于点T，交于点K．连接， ∵，， ∴， ∴， ∴当点、、三点共线，且时，有最小值，为的长， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴的最小值是． 【变式6-2】（2026·上海闵行区·四模）如图，等腰直角中，斜边，点、分别为线段和上的动点，则的最小值为______________. 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，线段的最值问题，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 作 并且使得，连接，证明，推出，则，可得当、、三点共线时，取到最小值，此时，反向延长，过点作于点，用勾股定理求解即可． 【详解】解：作 并且使得，连接， 根据题意可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 当、、三点共线时，取到最小值，此时， 延长，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 。题型7 折叠模型 解题步骤 1.折叠 = 全等 + 轴对称 2.对应边相等、对应角相等 3.设未知数，在直角三角形中用勾股定理 4.解方程求边长 【例7】（2026·甘肃·模拟预测）【综合与实践】主题：探究特殊四边形的折叠问题 情境：在数学活动课上，老师发给每位同学一张矩形纸片，引导同学们进行折叠探究． 操作一：如图，点为边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． （1）求证： 操作二：如图，将矩形纸片先沿对角线对折，再展开，折痕为．点为边上一点，将沿直线折叠，使点的对应点落在对角线上． （2）若，，当点为的三等分点时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）或 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）借助折叠的性质和矩形的直角特性，推导得出两组对应角相等，从而证明； （2）先求出矩形对角线的长度，再结合折叠后折痕垂直平分对应点连线的性质，构造相似三角形，然后针对为三等分点的两种位置情况，通过相似比建立方程，最终求出． 【详解】（1）证明：由折叠性质知，， ， 在矩形中，， ， ， 又 ， ． （2）解：如图，设与交于点． 已知在矩形中，，，则． 情形一：当点为靠近点的三等分点时，， 由折叠知，，， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 则， 解得． 情形二：当点为靠近点的三等分点时，． 同理建立方程，，解得． 故的长为或． 答：或． 【变式7-1】（2025·广东梅州·一模）（综合与实践）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，，． (1)操作发现：操作一：将矩形纸片折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平得到图1，则四边形是什么特殊四边形？（不用说明理由） (2)实践探究：操作二：如图2，在矩形纸片中，点G为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①判断与折痕的位置关系，并说明理由； ②求的长． (3)拓展应用：如图3，若M为上任意一点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接，当点A与点距离最小时，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形 (2)①，理由见解析，② (3) 【分析】（1）连接，，设与交于点O，由翻折可知，，是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，，由矩形的性质可得，推出，，证明得出，即可得证； （2）①连接交于点E，由翻折可知垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，证明是的中位线，得出，即可得解；②连接交于点E，由翻折可知垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，求出，由勾股定理可得，由等面积法求出，得出，最后再由勾股定理计算即可得解； （3）连接，由勾股定理可得，，得出当，，在同一条直线上时，点与点距离最小，最后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形． 理由如下：如图，连接，，设与交于点O， 由翻折可知：，，是的垂直平分线， 即有，， 因为四边形是矩形，有， 所以，， 所以， 于是，所以四边形是平行四边形， 又因为，因此四边形是菱形． （2）解：①， 理由如下：连接交于点E， 由翻折可知：垂直平分， 所以，， 因为点为的中点， 所以是的中位线， 因此，即； ②如图，连接交于点E， 由翻折可知：垂直平分， 所以，， 在矩形纸片中，，， 因为点为的中点，所以， 在中，， 因为， 所以， 而， 又因为，，所以， 所以， 所以． （3）解：如图，连接， 在矩形中，，， 于是， 因为， 当，，在同一条直线上时，点与点距离最小， 此时， 设，则， 由翻折可知：， ， ， 解得：，即． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理、矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式7-2】（2026·湖北·模拟预测）问题情境∶如图1，矩形中，M是边上一点，分别交，于点E，F． (1)探究发现：若 求的值； (2)探索研究∶如图2，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，，连接，与交于点G． ①求的长； ②连接，求的长； (3)探究拓展：如图3，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，若，，求y关于x的函数关系式． 【答案】(1) (2)①，② (3) 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，动点问题的函数关系式．添加相关辅助线，利用翻折的性质及相似三角形的性质是解题的关键． （1）过点E作于点Q，易得，由相似三角形的性质即可求解； （2）①过点E作于点Q，由翻折性质得，则由（1）的求解过程得的值，由勾股定理求得，即可求得的值； ②过G点作于点P，由相似三角形性质得，由勾股定理即可求得的长； （3）连接，过点E作于点Q，由翻折性质得，由（1）知，则有，则可得，从而得，；在中，由勾股定理建立关于x与y的关系式，整理后即可求得y与x的函数关系式． 【详解】（1）解∶如图1，过点E作于点Q，则， 在矩形中，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解∶①过点E作于点Q，如图， ∵矩形沿直线折叠， ∴； 由（1）知， 由勾股定理得 ∴；     ②如图，过G点作于点 P，则， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在 Rt△BPG中， （3）解∶如图，连接，过点E作于点Q， 由翻折性质得； 由（1）知，， ∵四边形是矩形， 在中，由勾股定理得 即 整理得： 即y与x的函数关系式为 题型8 瓜豆原理 识别：主动点动→从动点跟着动 解题步骤 1.确定定点、主动点、从动点 2.确定旋转角度、缩放比 3.从动点轨迹与主动点同形状 4.最值用：圆心距 ± 半径 【例8】（2026·安徽蚌埠·二模）如图，在矩形中，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以为边，在的右侧作等边，连接，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】以为边，在右侧作等边，连接并延长交于点，证明，在中，，求出，过点作的延长线于点，则是的最小值，根据即可得到答案． 【详解】解：如图，以为边，在右侧作等边，连接并延长交于点， ，是等边三角形， ， ， ， ， ∴点Q在与垂直的射线上运动， 在中，， ， ， 过点作的延长线于点，则是的最小值， 在中， ， ，即的最小值为． 【变式8-1】（2025·天津·一模）如图，是等边三角形的边的中点，为平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点之间的距离为1，则的最小值为_____________，最大值为_____________． 【答案】 / / 【分析】连接,将绕点逆时针旋转得到,连接,由等边三角形的性质和勾股定理求出,证明是等边三角形，得到,再证明,得到,得出点在以点 为圆心、1 为半径的圆上运动，由点圆位置关系即可得解． 【详解】解：如图所示，连接,将绕点逆时针旋转得到，连接， 点是等边三角形边的中点， ， ， 由旋转的性质可得, 是等边三角形， , , , , , 点在以点 为圆心、1 为半径的圆上运动， 如图， 当点在线段上时，的值最小，最小值为，当点在射线上时，有最大值，最大值为， 故答案为：，. 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，点圆位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 题型9 角平分线模型 解题步骤 1.见角平分线→向两边作垂线 2.垂线段相等，得全等 3.或用角平分线定理：ACAB​=DCBD​ 【例9】（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 【答案】(1)平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） (2)答案不唯一，见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题中证明过程填写依据即可； （2）根据题意，作角平分线即可； （3）过点作，交于点，则，进而证明，即可得出． 【详解】（1）解：平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）； （2）答案不唯一，如答图1，点即为所求.         （3）如答图2，过点作，交于点.     ，，.     平分， .             . .             . 【变式9-1】（2026·云南昭通·模拟预测）如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）因为平分，所以可得一组相等的角，结合上述平行线的角的关系，可推出；因为，可先证四边形是平行四边形，再结合，证得是菱形； （2）先根据的周长和的长度，求出的长度；因为菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求出对角线的一半长度，进而得到的长度；最后根据菱形的面积公式计算面积． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，． ∵，的周长为18， ∴，则． 在中，， ∴． ∴菱形的面积为． 【变式9-2】（2026·贵州黔东南·一模）如图，在中，平分于点，交于点，交的延长线于点． (1)写出与相等的一个角，即_________； (2)若，求的长． 【答案】(1)或（写其中一个即可） (2) 【分析】（1）利用平行线的性质及角平分线性质即可； （2）根据题意可证，进而得到，再根据求解． 【详解】（1）解： ， ∴， 又∵平分， ∴， ∴； （2）解：在中，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 题型10 子母相似 识别：大三角形套小三角形，共角公共边 解题步骤 1.找公共角 + 一组等角 2.证△ABD∽△ACB 3.用公共边平方 = 边 × 边：AB2=BD·BC 【例10】（2026·安徽宣城·一模）如图1，是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，平分，与交于点E，连接，交于点F． (1)求证：． (2)如图2，若，E为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）先由直径所对的圆周角是直角得到，再根据角平分线的定义得到，则，利用垂径定理的推论得到，进而利用平行线的判定可得结论； （2）先根据垂径定理得到，再根据三角形的中位线定理得到，证明得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴； （2）解：由（1）得垂直平分，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式10-1】（2026·安徽芜湖·一模）如图1，点P为圆O外一点，经过圆心O，且与圆交于另一点B，与圆O相切． (1)求证：； (2)如图2，点D在上，且，连接AD，若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，列出比例式即可得出结论； （2）连接交于点E，设圆O半径为R，根据，求出的值，证明，得到，求出的长，三角形的中位线求出的长即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接，则， ∵与圆O相切， ∴， ，， ， ， ， ． （2）解：如图2，连接交于点E，设圆O半径为R，则， ∴， 由（1）可知 ∴， ． ∵点C为中点， ，又， ，， ，即， ∴． 又为中点，， ． 【变式10-2】（2026·安徽·二模）如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，连接、相交于点，为延长线上一点，连接交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)如图2，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明，得出，根据角的和差关系即可得出，得出； （2）根据等腰三角形的性质得出，为的中点，利用直角三角形斜边上的中线的性质得出，进而得出，利用证明，得出，即可得出，利用三角函数的定义即可得答案； （3）先证明，得出，同理可得，，即可证明，根据等腰三角形的性质，结合平行线的性质得出，设，利用勾股定理可求出，证明，根据相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即． （2）解：∵，， ∴，为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， 在中，，即， 解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合，涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 题型11 费马点模型 识别：求 PA+PB+PC 最小值 解题步骤 1.以一边向外作等边三角形 2.连接外顶点与对顶点 3.线段长度即为最小值 4.交点就是费马点 【例11】（2026·安徽·一模）综合与实践 【活动背景】数学活动课上，老师问了这样一个问题：同学们，某小区有三栋居民楼，如图1是小区的居民楼分布示意图，其中，，，为了方便小区居民购物，社区有关部门决定在小区内修建一个超市，你们觉得超市应该如何选址呢？ 【方案讨论】 （1）初始方案：有部分同学提出，设超市的选址为点，为了体现公平性，点到三个顶点的距离应该要相等．此时，点应选择在 ① 处（从“内心”，“外心”，“重心”中选择一个填空）． （2）方案改进：很快同学们发现，初始方案的选址方式看起来比较公平，但是总路程较长，于是，同学们想找到一个点，使它到三个顶点的距离之和最小，结合所学知识，同学们进行了以下的探究过程： 探究：如图2，把绕点顺时针旋转得到，连接，则， ∵ ② ， ∴为等边三角形． ∴． 又∵， ∴ ③ ． 点可看成是线段绕点顺时针旋转而得的定点，为定长． ∴当，，四点在同一直线上时，最小， 即的最小值就是线段的长度． 【问题解决】 (1)请将上述【方案讨论】中横线上所缺内容补充完整：①_________；②_________；③_________； (2)由以上探究过程可知，如图3，我们只要以为边向外作等边三角形，连接，此时点位于线段上，请在此基础上通过尺规作图找出点的位置．（保留作图痕迹） (3)在图3的基础上求出的最小值． 【答案】(1)外心；； (2)见解析 (3) 【分析】（1）①根据垂直平分线的性质即可求解；②③根据题目所给的推理步骤即可解答； （2）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于两点，再以为圆心，半径不变画弧，交于点，接着以为圆心，的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接并延长，在射线上截取，连接，最后再连接，此时与相交于一点，这一点即是点；由等边三角形和等边三角形，可以证明，得到，再由三角形内角和为得到，可得作图正确． （3）过点作交延长线于点，由（1）得，的最小值就是线段的长度．先求出，在中，求出，的值，再在中，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴要使点到三个顶点的距离相等， 此时，点应选择在的外心处； 探究：如图2，把绕点顺时针旋转得到，连接，则， ∵， ∴为等边三角形． ∴． 又∵， ∴ ． 点可看成是线段绕点顺时针旋转而得的定点，为定长． ∴当，，四点在同一直线上时，最小， 即的最小值就是线段的长度． （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：过点作交延长线于点， 由（1）得，的最小值就是线段的长度． ∵是等边三角形，且， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中， 由勾股定理得，． ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等，对应边夹角等于旋转角，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 【变式11-1】（2025·广东深圳·模拟预测）【问题呈现】小华遇到这样一个问题，如图1，中，，，，在内部有一点，连接、、，求的最小值． 【问题解决】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． (1)请你写出图2中，的最小值为______； (2)【类比应用】如图3，直角坐标系中有菱形，点与原点重合，坐标为，，若在菱形内部有一动点，试求的最小值，并求出此时点的坐标是多少； (3)【生活实际】如图4，一个矩形菜地的三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点，经研究发现，运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，若，则此矩形菜地的面积至少为______平方千米． 【答案】(1) (2)的最小值为，此时 (3) 【分析】（1）结合旋转性质得，则，，，故，运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）模仿题干，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，当、、、四点共线时，值最小，最小值为线段的长，设交于点．得出是等边三角形，则，再根据菱形的性质得，同理得，故，结合解直角三角形的正列式，，整理得，即可作答． （3）如图4中，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于．当共线时，的值最小，最小值为线段的长．则，，因为运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，列式，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，如图2中， 将绕点顺时针旋转，得到， ， ，，， ， ， ． 在中， ，，， ， 即的最小值为． （2）解：如图3中，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，当、、、四点共线时，值最小，最小值为线段的长，设交于点． 将绕点顺时针旋转，得到， ， ，， 是等边三角形， ，． 菱形中，， ， ， ， 同理，， ． 连接，交于点， 则． 在中， ，，， ， ， ， ． 的最小值为， 此时． （3）解：如图4中，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于．当共线时，的值最小，最小值为线段的长． 设千米，则千米， 千米，，， ， （千米），（千米）， ， ∵运输点到三个菜窖的总路程至少为千米， ∴千米， ， ， ， 的最小值为2千米，的最小值为千米， 此矩形菜地的面积的最小值为平方千米． 【点睛】本题考查了最短路径，勾股定理，旋转性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型12 隐圆模型 解题步骤 1.找定点 + 定长或定角 + 定边 2.确定圆心、半径，画出轨迹圆 3.最值用：点到圆心距离 ± 半径 4.直角隐圆→以斜边为直径 【例12】（2026·江苏连云港·一模）如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】先求出，，则可判断点在的外接圆上，设圆心为，在优弧取点，连接，，，，，过作于，可求，利用等腰三角形的三线合一性质求出，，利用正弦定义求出，求出，可得，利用勾股定理求出，由，当、、三点共线时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， 点在的外接圆上， 设圆心为，在优弧取点，连接，，，，，过作于， ，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ∴当、、三点共线时，最小，最小值为． 【点睛】本题以半圆为载体，融合圆周角定理、动点轨迹、最值问题，通过确定的轨迹圆，利用“点到圆的最短距离为圆心距减半径”求解，体现转化化归、数形结合的核心数学思想． 【变式12-1】（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取的中点，连接，先判断出点在上运动，当共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， 由旋转的性质知：， ∴点在上运动， ∴当共线时，有最小值， 由旋转的性质知：，， ∴,， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【变式12-2】（2025·河南周口·二模）如图，在正方形中，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用可证，根据全等三角形对应角相等，可证，确定点在以为直径的圆弧上运动，然后利用勾股定理即可求出线段最小值． 【详解】解：如图所示，取线段的中点，以点为圆心，长为半径画圆，连接交于点， 在正方形中， ， ， 又，， ， , ， ， ∴点在以为直径的圆弧上运动， 如下图所示，当点与点重合，点与点重合时，最小， 四边形是正方形，， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、解决本题的关键是根据判断点在以为直径的圆弧上运动． 1．（2025·陕西渭南·一模）如图，在中，E是的中点，连接，延长至点H，连接分别交线段，边于点F，G，若，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，作交于点，则，由相似三角形的性质可得，由平行四边形的性质可得，，证明，由相似三角形的性质可得，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：作交于点， 则， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2025·四川南充·一模）如图，在中，，，点M为外部一点，，，则线段长度的最小值是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】将绕点顺时针旋转得到线段，连结，，作于，通过证明，，及求最小值即可，设，则，可求出，利用勾股定理可写出关于x的二次函数，利用二次函数性质求最值，进而可求出最小值． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，作于， ， ∵，， ， ， ∵， ∴， ∵， ， 在中， ∵， ∴， ， ∵， ， ∵， ∴设，则，． ， ， 当时，有最小值为48， 故的最小值为，即长度的最小值是． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，直角三角形性质，利用函数求最值，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 3．（2025·天津·一模）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，再证明，可得，然后由求解即可． 【详解】解：根据题意，可知平分， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（2025·四川雅安·一模）如图正方形的边长为4，E为中点，四边形为矩形，连接，，取中点N，中点M，连接，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，取中点H，连接，，构造和的中位线，再结合矩形、正方形和平行线的性质推出，求出，的长，最后勾股定理求出的长度． 【详解】解：如图，连接，取中点H，连接，， ∵正方形的边长为4， ∴，， ∵E为中点， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵中点N，中点M，中点H， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，． 故选： A． 【点睛】本题考查中位线的应用，平行线的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，解题的关键在于利用多个中点构造中位线． 5．（2026·广东珠海·一模）如图，在菱形中，，，，则周长的最小值为_____． 【答案】 【分析】作点F关于的对称点，在中，过点F作，求得，当E，G，三点共线时，最小，此时，据此求解即可． 【详解】解：如图，作点F关于的对称点， ∴，且，为定点， 在菱形中，，， ∵， ∴， ∴在中，过点F作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵周长为， 且， 当E，G，三点共线时，最小，此时， ∵，且菱形中，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴周长的最小值为． 6．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，是斜边的中点，以为边作正方形，与交于点．若是的中点，正方形的面积为7，则的值为____． 【答案】7 【分析】根据正方形的性质得出，，结合是的中点可得与的关系；根据直角三角形斜边中线的性质得出，；通过证明，利用相似三角形对应边成比例得出，代入计算即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，面积为 ，， 是的中点 ，是斜边 的中点 ，即 在和 中 ， ． 7．（2026·贵州黔东南·一模）综合与探究： 数学活动课上，同学们每人画了一个矩形，然后剪了一个直角三角形纸片并记为，，，将这个直角三角形纸片和矩形按图1摆放，使两个图形的点重合，点在上，点在上，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，观察图形的变化，完成探究活动． (1)【特例探究】如图2，某生画的矩形恰好是正方形，连接，则线段的数量关系是_________，位置关系是_________； (2)【问题解决】将图1中直角三角形纸片绕点顺时针旋转，位置如图3所示，连接、，（1）中与的位置关系是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； (3)【拓广探索】如图4，若矩形中，，直角三角形纸片中，，，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】(1)， (2)成立，证明见解析； (3)或． 【分析】（1）延长分别交、于点、，根据题意证明，得到，，再结合对顶角相等和三角形内角和定理可得，可得； （2）令与交于点，延长分别交、于点、，证明，得到，再结合对顶角相等和三角形内角和定理可得，可得； （3）连接，利用勾股定理求出，，分两种情况讨论：①当三点在同一直线上，且点在点、之间时，同（2）理可证，，则，再结合勾股定理列方程求解即可；②当三点在同一直线上，且点在点、之间时，同①理求解即可． 【详解】（1）解：如图2，延长分别交、于点、， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即； （2）解：成立，证明如下： 如图3，令与交于点，延长分别交、于点、， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：如图，连接， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ①如图，当三点在同一直线上，且点在点、之间时， 同（2）理可证，， ， ， ， 由（2）可知，， ， ， 整理得： 解得：或（舍）； ②如图，当三点在同一直线上，且点在点、之间时， 同①理可得，，， ， ， 整理得： 解得：或（舍）； 综上可知，的长为或． 8．（2026·陕西汉中·一模）问题提出 (1)如图1，在正方形中，E是上的一点，G是上的一点，且，求证：；（提示：延长至F，使，连接） 问题解决 (2)某城市老旧街区有一块四边形的临时施工区域，如图2，其中米，，，．因自来水管道抢修，需在边，上设置临时警示点E，F，并拉警示带形成区域．为避免阻碍交通，需控制为．试问区域面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，区域面积的最小值为平方米 【分析】（1）延长至F，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，根据，即可得证； （2）延长至点，使，连接，先证明，再证明，得到，进而得到当的面积最小时，的面积最小，作，作的外接圆，连接，作，设的半径为，根据圆周角定理和垂径定理，推出，在求出的长，进而得到，当最小时，的面积最小，根据，求出的最小值，即可得出结果． 【详解】（1）解：延长至F，使，连接， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：存在； 延长至点，使，连接， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴当的面积最小时，的面积最小， 作，作的外接圆，连接，作，设的半径为， 则，， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∵，即， ∴， ∴当时，的面积最小为， ∴区域面积的最小值为平方米． 9．（2026·陕西汉中·一模）如图，为的直径，C为上的一点，连接，，并延长至点D，使，过点C作的切线，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若D是的中点，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）连接，证明，等边对等角得到，三角形的外角结合角的和差关系，即可得出结论； （2）取的中点，连接，设交于点，连接，延长交于点，连接，证明，得到，中位线定理，结合勾股定理，求出的长，进而求出的长，线段的和差求出的长，再根据勾股定理即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵是切线，为直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：取的中点，连接，设交于点，连接，延长交于点，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 10．（2026·安徽合肥·一模）如图，为的直径，C为上一点，切线交的延长线于点D，过A点作交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求直径长． 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【分析】（1）利用圆的切线性质得到直角，再结合圆周角定理和直角三角形的性质来证明角相等； （2）根据已知条件，利用相似三角形和勾股定理设未知数列出方程即可求得结果． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵为的直径 ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴设，， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 11．（2026·河北石家庄·一模）【主题研究】利用正方形或矩形纸片折叠出特殊度数的角． 【操作1】如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点恰好落在折痕上的点处．结论是：，请你说明理由． 【操作2】如图2，已知正方形的边长为4．按与【操作1】相同的步骤得到折痕，连接，将沿折叠，使点落在正方形内的点处． (1)尺规作图：在图2中画出点的位置，连接并延长交于点，连接，． (2)求的度数与的长． 【答案】(1) (2)，的长为 【分析】操作1：先推导出，得到，求出，则，即可解答；         操作2：（1）以点A为圆心，为半径作弧，再以点F为圆心，为半径作弧，两弧的交点即为点M，连接并延长交于点，连接，，即可解答；        （2）先推导出，得到，，进而求出，设，则，，根据勾股定理得到，代入求出，即的长为，即可解答． 【详解】（1）解：由折叠可知：，，． 中，， ， ． ． （2）解：（1）如图所示，点M即为所求；         （2）四边形是正方形， ，， 由折叠可知：，， ，． ，，， 又， ， ，． ， 设，则，， ∵， ， 解得：，即的长为． 12．（2026·广西南宁·一模）相似的图形结构往往可借鉴相似的解法路径．某小组在进行“探秘正方形内的角”数学主题探究活动时发现：连结正方形的两条对角线即能产生许多角，以正方形的任一顶点为顶点在正方形内部构造一个角时，可以得到许多结论． 【探究活动】如图1，在正方形中，连接对角线、，、分别是、上的点，且，、分别与相交于点、． (1)证明：； (2)若，试求的值； (3)【拓展延伸】探究活动后，小组队员继续在正六边形中构造探索： 如图，在边长为的正六边形中，连接对角线，过点构造，当点落在边上时，点落在上，交于点．当为的三等分点时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质可得，结合，得出，即可证明； （2）根据正方形的性质得出，，结合得出，根据即可得答案； （3）连接，交于，根据正六边形的性质得出是等边三角形，，，，进而得出，根据可得，即可证明，得出，，根据为的三等分点得出或，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵在正方形中，、是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵在正方形中，、是角平分线， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：连接，交于， ∵在正六边形中，，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵G为的三等分点， ∴或， ∵， ∴或． 2 / 89 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 几何十二大模型 抢分预测 抢分秘籍 抢分特训 题型 考情分析 考向预测 1.手拉手模型 2025年四川：27题考查了手拉手模型 2025年广东：23题考查了折叠模型 2025年淮安：27题考查了角平分线模型 2025年东营：24题考查了半角模型 2026年中考中基础模型全覆盖，压轴以旋转、相似、折叠、隐圆、瓜豆、将军饮马为主，多模型叠加考查；胡不归、费马点仅作为难题拓展出现 2. 一线三等角 3.半角模型 4.中点四大模型 5.将军饮马 6.胡不归基础 7.折叠模型 8.瓜豆原理 9.角平分线模型 10.子母相似 11.费马点模型 12.隐圆模型 题型1 手拉手模型 识别：共顶点、两个等腰 / 等边 / 正方形，旋转型 解题步骤: 1.找两组等线段：AB=AC，AD=AE 2.证夹角相等：∠BAD=∠CAE 3.证△ABD≌△ACE（SAS） 4.得线段相等、角相等、夹角等于顶角 【例1】（2026·广东深圳·一模）如图1为正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在（2）问的情况下，连接（点在上方），若，且，，求的长． 【变式1-1】（2026·河南周口·一模）综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【变式1-2】（2026·甘肃平凉·一模）解答下列各题： (1)如图，在正方形和正方形中，点在线段上，点在的延长线上，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，在正方形和正方形中，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，若四边形与四边形都为菱形，且，连接、．猜想线段与线段的数量关系及与线段所在直线所夹锐角的度数，并说明理由． 题型2 一线三等角 识别：一条直线上三个角相等（多为直角） 解题步骤 1.标三个等角：∠1=∠2=∠3 2.倒角证两组角对应相等 3.得三角形相似 4.列比例式求边长 【例2】（2026·青海西宁·模拟预测）综合探究与应用 【模型呈现】 (1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：． 【模型应用】 (2)如图2，在矩形中，E为边上一点，连接DE，过点E作交于点F，若，，E为的中点，求的长． 【解决问题】 (3)如图3，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B坐标为________． 【变式2-1】（2026·湖南娄底·一模）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】 (1)小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接、，则______； 【解决问题】 (2)将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接，，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点落在上时，连接交于点，求的长． 题型3 半角模型 识别：正方形 / 等边三角形内部出现半角 解题步骤 1.旋转构造全等（把半角外的三角形转过去） 2.证新三角形与半角三角形全等 3.得出线段和差关系：如 MN=BM+DN 【例3】（2026·江苏盐城·一模）主题式学习：实验初中九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动． 如图1，E、F分别为正方形的边上的动点，连接，且满足． (1)【常规探究】在图1中，线段之间的数量关系为____． (2)【变式思考】如图（2），正方形的边长为6，点E为边上的点，连接，取的中点G，F为边上的点，且，若，求的长． (3)【拓展应用】如图（3），点E，F为正方形的边所在直线上的动点，点E在点F的左侧，且满足，求的最大值，请直接写出结果． 【变式3-1】（2026·黑龙江·一模）已知：四边形是菱形，点分别在边上，，． (1)如图①，时，易证（不需要证明）； (2)如图②，时，线段之间有怎样的数量关系，并加以证明； (3)如图③，时，线段之间有怎样的数量关系，直接写出你的猜想，不用证明． 【变式3-2】7．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图①，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 【实践探究】 (1)求证：．并直接写出，与之间的数量关系； (2)在图①条件下，若，，则正方形的边长是 ； (3)如图②，点、分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 (4)如图③，在矩形中，，，点、分别在边上，连接，，已知，，直接写出的长． 题型4 中点四大模型 ①倍长中线 1.延长中线至等长 2.连接造全等三角形 3.转移边与角 ②中位线 1.找双中点 2.得平行且一半 ③直角斜边中线 1.直角 + 斜边中点 2.中线 = 斜边一半 ④三线合一 1.等腰 + 顶角平分线 / 底边中点 / 高 2.三者互通 【例4】（2026·江西·模拟预测）【猜想探究】 如图1．在中，D、E分别为的中点，连接： 操作1．将绕点E按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点F，使，连接． 试探究与有怎样的位置关系和数量关系？ （1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理， ． 【结论应用】 （2）如图2，四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．若，，，求四边形的面积．    【问题解决】 （3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度．    【变式4-1】（2026·安徽淮南·一模）如图，在中，平分交于点交延长线于点为的中点，连接，则的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 【变式4-2】（2026·湖北襄阳·一模）探究：【证法回顾】 (1)证明：三角形中位线定理． 已知：是的中位线，求证：． 证明：添加辅助线，如图，在中，延长（点分别是的中点）至点，使得，连接．请继续完成证明过程； 【问题解决】 (2)如图，在正方形中，点为的中点，点分别为边上的点，若，求的长； 【拓展研究】 (3)如图，在四边形中，，点为的中点，点分别为边上的点，若，求的长． 题型5 将军饮马模型 识别：求最短路径和 解题步骤 1.作对称点（同侧变异侧） 2.连接对称点与另一定点 3.交点即为所求点 4.最短距离 = 两点直线距离 【例5】（2026·四川南充·一模）如图，在中，，点C为的中点，点D是半径上一动点．若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级上·福建莆田·期末）如图，中，，为边上的中线，．E为边上的动点，F，G为上的动点，且的长为定值．连接，，当取最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·青海西宁·一模）如图，在等腰中，，点在边上且，点，分别为边，上的动点，连接，，得到，则周长的最小值为______． 题型6 胡不归模型 识别：形如 PA+kPB（k<1） 解题步骤 1.以定点为顶点作特殊角，使 sinθ=k 2.将 k⋅PB 转化为垂线段 3.最短路径 = 点到直线垂线段长度 【例6】（2026·安徽马鞍山·一模）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C．10 D． 【变式6-1】（2026·青海西宁·一模）如图，已知中，，，点P是上一个动点，从A点出发，沿着运动，的最小值是__________． 【变式6-2】（2026·上海闵行区·四模）如图，等腰直角中，斜边，点、分别为线段和上的动点，则的最小值为______________. 。题型7 折叠模型 解题步骤 1.折叠 = 全等 + 轴对称 2.对应边相等、对应角相等 3.设未知数，在直角三角形中用勾股定理 4.解方程求边长 【例7】（2026·甘肃·模拟预测）【综合与实践】主题：探究特殊四边形的折叠问题 情境：在数学活动课上，老师发给每位同学一张矩形纸片，引导同学们进行折叠探究． 操作一：如图，点为边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． （1）求证： 操作二：如图，将矩形纸片先沿对角线对折，再展开，折痕为．点为边上一点，将沿直线折叠，使点的对应点落在对角线上． （2）若，，当点为的三等分点时，求的长． 【变式7-1】（2025·广东梅州·一模）（综合与实践）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，，． (1)操作发现：操作一：将矩形纸片折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平得到图1，则四边形是什么特殊四边形？（不用说明理由） (2)实践探究：操作二：如图2，在矩形纸片中，点G为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①判断与折痕的位置关系，并说明理由； ②求的长． (3)拓展应用：如图3，若M为上任意一点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接，当点A与点距离最小时，求的长． 【变式7-2】（2026·湖北·模拟预测）问题情境∶如图1，矩形中，M是边上一点，分别交，于点E，F． (1)探究发现：若 求的值； (2)探索研究∶如图2，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，，连接，与交于点G． ①求的长； ②连接，求的长； (3)探究拓展：如图3，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，若，，求y关于x的函数关系式． 题型8 瓜豆原理 识别：主动点动→从动点跟着动 解题步骤 1.确定定点、主动点、从动点 2.确定旋转角度、缩放比 3.从动点轨迹与主动点同形状 4.最值用：圆心距 ± 半径 【例8】（2026·安徽蚌埠·二模）如图，在矩形中，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以为边，在的右侧作等边，连接，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【变式8-1】（2025·天津·一模）如图，是等边三角形的边的中点，为平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点之间的距离为1，则的最小值为_____________，最大值为_____________． 题型9 角平分线模型 解题步骤 1.见角平分线→向两边作垂线 2.垂线段相等，得全等 3.或用角平分线定理：ACAB​=DCBD​ 【例9】（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 【变式9-1】（2026·云南昭通·模拟预测）如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 【变式9-2】（2026·贵州黔东南·一模）如图，在中，平分于点，交于点，交的延长线于点． (1)写出与相等的一个角，即_________； (2)若，求的长． 题型10 子母相似 识别：大三角形套小三角形，共角公共边 解题步骤 1.找公共角 + 一组等角 2.证△ABD∽△ACB 3.用公共边平方 = 边 × 边：AB2=BD·BC 【例10】（2026·安徽宣城·一模）如图1，是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，平分，与交于点E，连接，交于点F． (1)求证：． (2)如图2，若，E为的中点，求的长． 【变式10-1】（2026·安徽芜湖·一模）如图1，点P为圆O外一点，经过圆心O，且与圆交于另一点B，与圆O相切． (1)求证：； (2)如图2，点D在上，且，连接AD，若，，求长． 【变式10-2】（2026·安徽·二模）如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，连接、相交于点，为延长线上一点，连接交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)如图2，若，求的长． 题型11 费马点模型 识别：求 PA+PB+PC 最小值 解题步骤 1.以一边向外作等边三角形 2.连接外顶点与对顶点 3.线段长度即为最小值 4.交点就是费马点 【例11】（2026·安徽·一模）综合与实践 【活动背景】数学活动课上，老师问了这样一个问题：同学们，某小区有三栋居民楼，如图1是小区的居民楼分布示意图，其中，，，为了方便小区居民购物，社区有关部门决定在小区内修建一个超市，你们觉得超市应该如何选址呢？ 【方案讨论】 （1）初始方案：有部分同学提出，设超市的选址为点，为了体现公平性，点到三个顶点的距离应该要相等．此时，点应选择在 ① 处（从“内心”，“外心”，“重心”中选择一个填空）． （2）方案改进：很快同学们发现，初始方案的选址方式看起来比较公平，但是总路程较长，于是，同学们想找到一个点，使它到三个顶点的距离之和最小，结合所学知识，同学们进行了以下的探究过程： 探究：如图2，把绕点顺时针旋转得到，连接，则， ∵ ② ， ∴为等边三角形． ∴． 又∵， ∴ ③ ． 点可看成是线段绕点顺时针旋转而得的定点，为定长． ∴当，，四点在同一直线上时，最小， 即的最小值就是线段的长度． 【问题解决】 (1)请将上述【方案讨论】中横线上所缺内容补充完整：①_________；②_________；③_________； (2)由以上探究过程可知，如图3，我们只要以为边向外作等边三角形，连接，此时点位于线段上，请在此基础上通过尺规作图找出点的位置．（保留作图痕迹） (3)在图3的基础上求出的最小值． 【变式11-1】（2025·广东深圳·模拟预测）【问题呈现】小华遇到这样一个问题，如图1，中，，，，在内部有一点，连接、、，求的最小值． 【问题解决】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． (1)请你写出图2中，的最小值为______； (2)【类比应用】如图3，直角坐标系中有菱形，点与原点重合，坐标为，，若在菱形内部有一动点，试求的最小值，并求出此时点的坐标是多少； (3)【生活实际】如图4，一个矩形菜地的三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点，经研究发现，运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，若，则此矩形菜地的面积至少为______平方千米． 题型12 隐圆模型 解题步骤 1.找定点 + 定长或定角 + 定边 2.确定圆心、半径，画出轨迹圆 3.最值用：点到圆心距离 ± 半径 4.直角隐圆→以斜边为直径 【例12】（2026·江苏连云港·一模）如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为___________． 【变式12-1】（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2025·河南周口·二模）如图，在正方形中，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 1．（2025·陕西渭南·一模）如图，在中，E是的中点，连接，延长至点H，连接分别交线段，边于点F，G，若，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 2．（2025·四川南充·一模）如图，在中，，，点M为外部一点，，，则线段长度的最小值是（    ） A．8 B． C． D． 3．（2025·天津·一模）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（    ） A． B．6 C． D．9 4．（2025·四川雅安·一模）如图正方形的边长为4，E为中点，四边形为矩形，连接，，取中点N，中点M，连接，则的长度为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·广东珠海·一模）如图，在菱形中，，，，则周长的最小值为_____． 6．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，是斜边的中点，以为边作正方形，与交于点．若是的中点，正方形的面积为7，则的值为____． 7．（2026·贵州黔东南·一模）综合与探究： 数学活动课上，同学们每人画了一个矩形，然后剪了一个直角三角形纸片并记为，，，将这个直角三角形纸片和矩形按图1摆放，使两个图形的点重合，点在上，点在上，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，观察图形的变化，完成探究活动． (1)【特例探究】如图2，某生画的矩形恰好是正方形，连接，则线段的数量关系是_________，位置关系是_________； (2)【问题解决】将图1中直角三角形纸片绕点顺时针旋转，位置如图3所示，连接、，（1）中与的位置关系是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； (3)【拓广探索】如图4，若矩形中，，直角三角形纸片中，，，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 8．（2026·陕西汉中·一模）问题提出 (1)如图1，在正方形中，E是上的一点，G是上的一点，且，求证：；（提示：延长至F，使，连接） 问题解决 (2)某城市老旧街区有一块四边形的临时施工区域，如图2，其中米，，，．因自来水管道抢修，需在边，上设置临时警示点E，F，并拉警示带形成区域．为避免阻碍交通，需控制为．试问区域面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 9．（2026·陕西汉中·一模）如图，为的直径，C为上的一点，连接，，并延长至点D，使，过点C作的切线，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若D是的中点，且，求的长． 10．（2026·安徽合肥·一模）如图，为的直径，C为上一点，切线交的延长线于点D，过A点作交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求直径长． 11．（2026·河北石家庄·一模）【主题研究】利用正方形或矩形纸片折叠出特殊度数的角． 【操作1】如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点恰好落在折痕上的点处．结论是：，请你说明理由． 【操作2】如图2，已知正方形的边长为4．按与【操作1】相同的步骤得到折痕，连接，将沿折叠，使点落在正方形内的点处． (1)尺规作图：在图2中画出点的位置，连接并延长交于点，连接，． (2)求的度数与的长． 12．（2026·广西南宁·一模）相似的图形结构往往可借鉴相似的解法路径．某小组在进行“探秘正方形内的角”数学主题探究活动时发现：连结正方形的两条对角线即能产生许多角，以正方形的任一顶点为顶点在正方形内部构造一个角时，可以得到许多结论． 【探究活动】如图1，在正方形中，连接对角线、，、分别是、上的点，且，、分别与相交于点、． (1)证明：； (2)若，试求的值； (3)【拓展延伸】探究活动后，小组队员继续在正六边形中构造探索： 如图，在边长为的正六边形中，连接对角线，过点构造，当点落在边上时，点落在上，交于点．当为的三等分点时，求的值． 23 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $