精品解析：浙江省宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟考试高三数学试题

宁波市2025学年第二学期高考模拟考试 高三数学试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”. 2，作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试题卷上的答案无效. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠､不要弄破. 选择题部分（共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法及虚部的概念求解即可． 【详解】解：， 故复数 的虚部为． 2. 集合，则中的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ， 则中的元素个数为3． 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】若，则，充分性成立； 若，取，满足条件， 则，不满足，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知正方形 的边长为1，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】在正方形 中， 所以， 则. 5. 某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（ ） A. 极差相同 B. 方差相同 C. 分位数相同 D. 平均数相同 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出数组A和数组B的极差、平均数、方差、分位数，即可得答案. 【详解】去掉最高分和最低分后，数组B的数据为， 选项A：数组A的极差为， 数组B的极差为，故A错误； 选项B、D：数组A的平均数， 数组B的平均数，故D正确； 数组A的方差为 ， 数组B的方差为，故B错误； 选项C：，则数组A的分位数为， ，则数组B的分位数为，故C错误. 6. 在钝角中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理，可得a值，分别检验，根据余弦定理及钝角三角形，可得a值，代入面积公式，即可得答案. 【详解】由余弦定理得，又， 所以，即，解得 或， 当 时，，则， 所以，则角B为钝角，符合题意； 当时，，则， 所以，不符合题意，故舍去，即 ， 所以的面积. 7. 已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析的图像及性质，依题意可知方程有三个不同的实根，结合图象可看出方程有三个不同的实根，当且仅当方程有两个不同的实根，结合等价于的等式可得到，最后即可推出 的最小值． 【详解】解：， 在和单调递增，其简要图形如下： 设，即方程有三个不同的实数解， 又当 时，有两个不同的实数解时，只有一个实数解， 所以有三个不同的实数解，当且仅当有两个不同的实数解， 且 ，，解得， 时，即， 不妨设， 则， 即，解得 ， 又在上单调递增， 时，． 8. 数列满足：为的前项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系，找到的周期，根据周期性，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由递推关系得，，， ，，， ，，， ，，， 所以的周期为12，则，故A正确，B错误； 一个周期内的和为， 则，故C、D错误. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是两个不相等的正实数，则双曲线与双曲线的（ ） A. 实轴长相等 B. 焦距相等 C. 离心率相同 D. 渐近线相同 【答案】BD 【解析】 【详解】，， 不妨设， 的实轴长分别为，不相等，故A错误； 的焦距分别为，相等，故B正确； 的离心率分别为，不相同，故C错误； 的渐近线分别为，相同，故D正确． 10. 定义在上的函数满足：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，令 ，再解方程即可；对于B，令，解得；对于C，令，即可得到，对于D，令，可得，进而可得． 【详解】解：令 ，则，解得，故A正确； 令，则，解得，故B错误； 令，则， ，故C正确； 令，则， 又， ，又不恒为零， ，即， ，即，故D错误． 11. 正四棱台的高为， ，，点均在平面 内，且直线 与夹角的正切值的最小值为，则（ ） A. 点的轨迹的长度为 B. 直线与 所成角的正切值的最小值为 C. 线段的长度的最小值为 D. 点到直线的距离大于 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由直线 与直线所成角正切值的最小值，判断点的轨迹，再分别验证四个选项是否正确. 【详解】在平面 内，在平面 外， 所以 平面 ， 因为直线与直线所成角范围为，正切函数 在上单调递增， 所以当直线 与直线所成角正切值最小时，直线 与直线所成角最小， 此时，直线 与直线所成角为直线 与平面 所成角， 设直线 与平面 所成角为，， 则 设 如图，以为原点，与平行的直线为轴，与平行的直线为轴，与平面 垂直的直线为 轴，建立空间直角坐标系. ，，，，， ，，， ，， 设平面 的法向量 则，解得 所以， 则， 所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆， 则点轨迹长度为，A正确； 因为在平面 内，设， ，， ， 所以， 化简得 设，其中 设直线与直线 所成角为， 则， 因为，所以， ，即， 当取最大值时，取最小值，即 取最小值， 此时，，， 所以直线与直线 所成角的正切值的最小值为，B错误； ， 所以 因为，，， ， 所以长度的最小值为，C正确； ，，同理 过作于，设 由正棱台性质可知：平面 ，平面 ， 所以， 因为，， 平面 ，平面 ， 所以平面 ， 因为 ，所以， 因为，，平面 ，平面 ， 所以平面 ，即与重合， 所以，则， 设点为中点，则，， ， 因为，所以， 点到直线的距离为， 则点到直线的距离为， 所以点到直线的距离的大于或等于，D正确. 非选择题部分（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则 __________. 【答案】 【解析】 【详解】，即，解得. 13. 在等差数列中，为其前项和，若，则__________. 【答案】42 【解析】 【分析】根据条件，代入等差数列求和公式中，可得的值，代入公式，即可得答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为d，则， 所以，解得， 所以. 14. 如图，已知定点轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点与相交于点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由可知，直线方程为，则设点， 所以，则直线方程为， 当时，可得，即点， 所以点的轨迹为抛物线，即，可得抛物线的准线为，焦点为， 如图所示，延长，交抛物线准线于点， 由抛物线概念可知， 则的最小值，即的最小值，可知当三点共线时，取得最小值， 此时. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最大值为1. （1）求常数 的值； （2）求使成立的的取值集合. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据两角和、差的正弦公式、降幂公式及辅助角公式，可得的解析式，根据的最大值，即可得m值. （2）由（1）得的解析式，根据正弦型函数的性质，代入求解，即可得答案. 【小问1详解】 由题意 ， 当时，有最大值 ， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得，所以， 解得， 故满足条件的的取值集合为. 16. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）已知点，斜率为的直线与椭圆交于两点.当 的面积最大时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式，可得a，b的关系，则，代入点坐标，求出b值，进而可得a值，即可得答案. （2）设出直线l的方程，与椭圆联立，根据韦达定理，可得表达式，根据弦长公式，可得的表达式，根据点到直线的距离，可得点P到直线AB的距离，即可得 的面积S的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率， 所以，则， 因为点在椭圆上，所以，解得. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线， 联立，化简得， ，解得. 由韦达定理得， 则， 所以， 又因为， 所以. 当时，即时， 的面积取到最大值， 此时，直线或. 17. 在中， 为 的中点，如图，沿将 翻折至 位置，满足. （1）证明：平面 平面 ； （2）线段上是否存在点，使得在平面 内的射影恰好落在直线上.若存在，求出 的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）在中，由余弦定理可得， 则，又为 的中点，则 . 取的中点，显然有 . 因为 ，则在 中，， 由余弦定理可得， 可得，所以 ， 所以 ， ， ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ， 所以平面 平面 （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，求出几何体各边长，再根据勾股定理证明线线垂直，进而根据面面垂直的判定定理，证明结果即可； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由向量共线的坐标表示，以及向量垂直的坐标表示，求出参数值，求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，连接，因为 ，所以 ， 由（1）可知， 两两相互垂直， 则以为坐标原点，以 为轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 故 . 记在上的射影点为， 设， 可得 ， 则，即，解得， 因为，且，所以； 所以存在符合题意，且. 18. 某自动文本生成工具存在两种常见状态：状态1为生成状态，在此状态下，工具根据用户输入的提示､主题或参数，利用预训练模型生成文本内容；状态2为优化状态，在此状态下，工具对已生成的文本进行校对､润色､改写或结构优化.已知该文本生成工具能自动进行状态切换或保持，每进行一次状态切换或保持称为一次自动操作.假设首次（第一次）自动操作后处于状态1和状态2的概率均为，且之后每次自动操作后所处的状态仅与操作前的状态有关，与更早的状态无关.表示从第二次自动操作开始，每次自动操作时从状态到状态 的概率，若，且 . （1）记前2次自动操作后的状态中状态为1的次数为， （i）求前2次自动操作后的状态中第一次状态为1，第二次状态为2的概率； （ii）求随机变量的期望； （2）记事件：前次自动操作后的状态中状态1和状态2均为 次，当 时，证明：. 【答案】（1）（i）；（ii） ； （2）事件表示发生且第 次操作后处于状态1，事件表示发生且第 次操 作后处于状态2，显然，且 ， 当 时，由， 得 ， 又 ， ， 而 ， 得 ， 所以 . 【解析】 【分析】（1）（i）利用条件概率的乘法公式求解； （ii）根据题意，的可能取值有，再分别求出对应概率并计算期望即可； （2）由题可知，再根据 ，且 进行计算求解． 【小问1详解】 记事件：前次操作后处于状态1，则事件：前次操作后处于状态2， 由已知得. （i）即求； （ii）的可能取值有， ， ， ， 所以 ； 【小问2详解】 略 19. 设 ，函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）若，若与的图象有两个公共点，求 的取值范围； （3）若存在，使得与的图象有三个公共点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）根据题意，令，则，结合函数单调性可得有2个不等实根，记，利用导数结合零点个数求参数即可； （3）记，再分、、三种情况，结合导数与零点的关系进行讨论求解． 【小问1详解】 解：，， 故切线方程为， 【小问2详解】 解：由，得， 所以，即， 记，则， 又，则在上单调递增， 所以有2个不等实根． 记，有， 得在上递减，在上递增. 又当时，，当时，， 故只需，即，得，故. 【小问3详解】 解：记， 记，注意到与的符号相反， ，可知在上递增，在上递减， 故， 记，则， 当 时，，故在上递增，在上递减， 所以， 若，即，则恒成立，恒成立，恒成立， 故单调递增，所以不可能有三个实数解，矛盾， 若，则，故存在，使得， 又当时，，当时，， 所以存在，使得， 故当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，在上递增. 当时，在上递增，当 时，，故存在，使得，即存在，使得， 又当时，，当时，， 所以存在，使得， 故当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减，在上递增. 下面证明：当时，命题成立. 当时，，当时，，所以只需证明. 由，得， 设， 在上递减，又，且当时，， 故存在，使得，所以， 因为， 又因为，故， 同理，所以， 所以，结合在上递减，可得， 又因为在上递减，所以，得证. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波市2025学年第二学期高考模拟考试 高三数学试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”. 2，作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试题卷上的答案无效. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠､不要弄破. 选择题部分（共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 集合，则中的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知正方形的边长为1，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 5. 某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（ ） A. 极差相同 B. 方差相同 C. 分位数相同 D. 平均数相同 6. 在钝角中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 数列满足：为的前项和，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是两个不相等的正实数，则双曲线与双曲线的（ ） A. 实轴长相等 B. 焦距相等 C. 离心率相同 D. 渐近线相同 10. 定义在上的函数满足：，则（ ） A. B. C. D. 11. 正四棱台的高为， ，，点均在平面 内，且直线 与夹角的正切值的最小值为，则（ ） A. 点的轨迹的长度为 B. 直线与 所成角的正切值的最小值为 C. 线段的长度的最小值为 D. 点到直线的距离大于 非选择题部分（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则 __________. 13. 在等差数列中，为其前项和，若，则__________. 14. 如图，已知定点轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点与相交于点，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最大值为1. （1）求常数的值； （2）求使成立的的取值集合. 16. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）已知点，斜率为的直线与椭圆交于两点.当 的面积最大时，求直线的方程. 17. 在中， 为的中点，如图，沿将 翻折至 位置，满足. （1）证明：平面 平面 ； （2）线段上是否存在点，使得在平面 内的射影恰好落在直线上.若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 18. 某自动文本生成工具存在两种常见状态：状态1为生成状态，在此状态下，工具根据用户输入的提示､主题或参数，利用预训练模型生成文本内容；状态2为优化状态，在此状态下，工具对已生成的文本进行校对､润色､改写或结构优化.已知该文本生成工具能自动进行状态切换或保持，每进行一次状态切换或保持称为一次自动操作.假设首次（第一次）自动操作后处于状态1和状态2的概率均为，且之后每次自动操作后所处的状态仅与操作前的状态有关，与更早的状态无关.表示从第二次自动操作开始，每次自动操作时从状态到状态 的概率，若，且 . （1）记前2次自动操作后的状态中状态为1的次数为， （i）求前2次自动操作后的状态中第一次状态为1，第二次状态为2的概率； （ii）求随机变量的期望； （2）记事件：前次自动操作后的状态中状态1和状态2均为次，当 时，证明：. 19. 设 ，函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）若，若与的图象有两个公共点，求的取值范围； （3）若存在，使得与的图象有三个公共点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $