专题4.4 三角形的中位线和反证法（高效培优讲义）数学浙教版新教材八年级下册

专题4.4 三角形的中位线和反证法 教学目标 1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理（中位线平行于第三边，且等于第三边的一半），能运用定理进行计算、证明。 2.理解反证法的概念，掌握反证法的一般步骤（反设、归谬、结论），能用反证法证明简单的几何命题。 3.能区分三角形中位线与中线，掌握中位线定理的常见应用场景。 教学重难点 1.重点 （1）三角形中位线定理的理解、证明与应用； （2）反证法的概念、一般步骤，用反证法证明简单命题。 2.难点 （1）中位线定理的灵活应用（尤其是构造中位线解决综合问题）； （2）反证法中 “反设” 的准确性、“归谬” 的逻辑推导，理解反证法的思维本质 知识点01 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【即学即练】 1．如图，为的中位线，点在上，平分，若，，的长为______． 2．如图，在中，点、分别为、的中点．若，则的度数为_____． 3．如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 知识点02 反证法 反证法：一种间接证明的数学方法，当直接证明一个命题有困难时，通过否定结论→推出矛盾→肯定原命题的逻辑来完成证明。 反证法的一般步骤（3 步核心） 反设（否定结论）：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立（需全面、准确，不能遗漏反面情况）。 归谬（推出矛盾）：从这个假设出发，结合已知条件、定理、公理等，通过逻辑推理，推出与已知条件、定理、公理、假设本身等相矛盾的结果。 结论（肯定原命题）：由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确 【即学即练】 1．用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（   ） A． B． C． D．且 题型01:利用三角形的中位线求角度 【典例1】如图，点D、E分别为三角形纸片两边的中点，沿裁剪得到，测量得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E，F分别是，的中点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，点D，E，F分别是的中点，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，A，E分别是的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 题型02:利用三角形的中位线求线段的长度 【典例2】如图，在中，点分别是的中点，以点为圆心，长为半径作圆弧交于点．若，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D．7 【变式1】如图，是的中位线，的角平分线交于点，连接并延长交于点，若，则的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式2】如图，在中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【变式3】如图，在中，，于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型03:利用三角形的中位线求周长 【典例3】如图，平行四边形的对角线、相交于点O，点E是的中点，的周长是10，则的周长为（   ） A．15 B．30 C．20 D．25 【变式1】如图，在中，分别是的中点，连接．若的周长是，则的周长是（    ）． A．12 B．16 C．20 D．24 【变式2】点分别为三边的中点，若的周长为20，则的周长为（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 【变式3】如图，在中，，点 D、E分别是，的中点，连接，过点E作交的延长线于F，若四边形的周长是，的长为8，则的周长是（　　）​ A． B． C． D． 题型04:利用三角形的中位线求面积 【典例4】如图，已知在中，点，分别是边，的中点若的面积等于，则三角形的面积等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1】如图，、、分别是三条边上的中点，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式2】如图，的面积为，点D，E，F分别是，，上的三个中点，则的面积是（      ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，已知点D为的中点，点在边上，且、相交于点，若的面积为 24 ，则四边形的面积是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 题型05:利用三角形的中位线求最值 【典例5】如图，在中，，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到点F，则长的最小值是（   ） A． B． C．3 D． 【变式1】如图，在中，，，D，E分别是边，上的动点，连接，F，M分别是，的中点，则长的最小值为（    ） A．4 B．8 C．4.8 D．9.6 【变式2】如图，在正方形中，，点是边的中点，，是对角线上的动点，且，连接，，当的值最小时，的面积为（   ）．      A． B． C． D． 题型06:与三角形中位线有关的规律探究 【典例6】依次连接周长为的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形，，按这样的规律，第个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是边长为1的等边三角形，分别取边的中点D，E，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，已知，，，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为______． 题型07:三角形中位线的实际应用 【典例7】【问题情境】 图形的分割：就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成两个或几个图形．图形的拼合：就是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，在保持面积不变的前提下，得到一个新的图形．图形分割与拼合问题，集趣味性、探索性、实验性于一体． 如图①，任意三角形通过分割后重新拼接，可以拼成平行四边形，方案设计：图形的分割：取中点，中点，连接，沿将分割成两个图形；图形的拼合：如图所示，将绕点旋转，与四边形拼接成平行四边形．此时，的面积与的面积相等． 【探究实践】仿照图示的方法，解答下列问题： 如图②，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与三角形等面积的矩形．请你写出方案设计． 【拓展应用】如图③，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．请你画出方案设计． 【变式1】（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    【变式2】如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连结并延长，使，连结并延长，使，连结．为的中点，连结．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的度数． 【变式3】如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 题型08 反证法证明中的假设 【典例8】用反证法证明命题“在中，，求证：”时，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【变式1】用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（   ） A．每一个内角都小于 B．每一个内角都大于 C．有一个内角大于 D．有一个内角小于 【变式2】如图，在中，，，求证：，当用反证法证明时，第一步应假设（　　） A． B． C． D． 【变式3】对于命题“如果，那么”用反证法证明，应假设（   ） A． B． C． D． 题型09用反证法证明命题 【典例9】如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点M与点D不重合． 【变式1】用反证法证明： (1)已知：，求证：a必为负数． (2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和． 【变式2】设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 【变式3】用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 1．如图，是的中位线，若，则的长为（    ）． A．2 B．4 C．5 D．8 2．如图，在中，平分，是的中点，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．用反证法证明命题：“在中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 4．如图，是的中位线，是的高，若，，则的长度为（    ） A． B．3 C． D．5 5．如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 6．如图，四边形中，，连接，，取的中点，的中点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，点，，分别是边，，的中点，连接，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 8．用反证法证明命题“在中，，则”时，第一步应先假设___________． 9．填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则，________________； ③假设不成立，所以一个三角形中________含有两个直角．（填“能”或“不能”） 10．如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为___________． 11．如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点（含端点，但点不与点重合），、分别是线段、的中点，则的最大值为_____________． 12．如图，点D，E，F分别是的三边的中点，．求四边形的周长． 13．在中，点M是边的中点，平分，的延长线交于点E，． (1)求证：； (2)求的长． 14．如图，在四边形中， ，，，分别为，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)若 ，平分，，求的长． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 三角形的中位线和反证法 教学目标 1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理（中位线平行于第三边，且等于第三边的一半），能运用定理进行计算、证明。 2.理解反证法的概念，掌握反证法的一般步骤（反设、归谬、结论），能用反证法证明简单的几何命题。 3.能区分三角形中位线与中线，掌握中位线定理的常见应用场景。 教学重难点 1.重点 （1）三角形中位线定理的理解、证明与应用； （2）反证法的概念、一般步骤，用反证法证明简单命题。 2.难点 （1）中位线定理的灵活应用（尤其是构造中位线解决综合问题）； （2）反证法中 “反设” 的准确性、“归谬” 的逻辑推导，理解反证法的思维本质 知识点01 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【即学即练】 1．如图，为的中位线，点在上，平分，若，，的长为______． 【答案】2 【分析】根据三角形中位线的性质可得，，，结合平行线的性质和角平分线的定义可得，则可得，进而可得． 【详解】解：∵为的中位线，且， ∴，， ∵D是的中点，且 ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，点、分别为、的中点．若，则的度数为_____． 【答案】/53度 【分析】根据三角形的中位线定理，可得，再根据平行线的性质，即得答案． 【详解】解：点、分别为、的中点， 是的中位线， ， ． 3．如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】延长交于H，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：延长交于H， ， ， ， 是的中位线， ． 知识点02 反证法 反证法：一种间接证明的数学方法，当直接证明一个命题有困难时，通过否定结论→推出矛盾→肯定原命题的逻辑来完成证明。 反证法的一般步骤（3 步核心） 反设（否定结论）：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立（需全面、准确，不能遗漏反面情况）。 归谬（推出矛盾）：从这个假设出发，结合已知条件、定理、公理等，通过逻辑推理，推出与已知条件、定理、公理、假设本身等相矛盾的结果。 结论（肯定原命题）：由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确 【即学即练】 1．用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（   ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据反证法的步骤，第一步需假设命题结论不成立，找到结论的反面即可求解． 【详解】解：用反证法证明命题时，需假设原结论不成立， ∵原命题结论为，它的反面是， ∴第一步应该假设，即选项A符合题意． 题型01:利用三角形的中位线求角度 【典例1】如图，点D、E分别为三角形纸片两边的中点，沿裁剪得到，测量得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中位线，得，继而得到，求解即可； 【详解】解：点D、E分别为三角形纸片两边的中点， 故， 故； 【变式1】如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E，F分别是，的中点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中位线定理和已知，易证明是等腰三角形． 【详解】解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是，的中点， ∴，分别是与的中位线， ∴，， ∵， ∴， 故是等腰三角形． ∵， ∴． 【变式2】如图，在中，点D，E，F分别是的中点，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由点D，E，F分别是的中点，可得都是的中位线，利用中位线的性质即可求解题目． 【详解】解：∵点D，E，F分别是的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， 同理， ∴． 故选：C． 【变式3】如图，在中，A，E分别是的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握等边对等角是解题的关键．利用等边对等角得到，再根据三角形外角的性质求出，由题意证明是的中位线，推出，进而得到，推出，进而求出，再利用三角形内角和定理求出，最后根据平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵A，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 题型02:利用三角形的中位线求线段的长度 【典例2】如图，在中，点分别是的中点，以点为圆心，长为半径作圆弧交于点．若，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D．7 【答案】D 【分析】利用三角形的中位线得到，进而求得即可求解． 【详解】解：∵在中，点D、E分别是、的中点，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵以A为圆心，为半径作圆弧交于点F， ∴． 【变式1】如图，是的中位线，的角平分线交于点，连接并延长交于点，若，则的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据中位线性质求出，，求出，然后由角平分线和平行线的性质推出，得到，，然后求出，证明出，得到． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∴ ∴ ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 【变式2】如图，在中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先由三角形的中位线的性质求得，再根据平行线的性质得到，，再根据平行线的性质与角平分线定义得到，从而得到，然后由求解即可． 【详解】解：∵，分别为和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，在中，，于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”得到，再根据三角形中位线定理计算得到答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ∵为的中点， 是的中位线， ． 题型03:利用三角形的中位线求周长 【典例3】如图，平行四边形的对角线、相交于点O，点E是的中点，的周长是10，则的周长为（   ） A．15 B．30 C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及线段中点的定义．关键是掌握平行四边形的基本性质：平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分． 根据平行四边形的性质可得，进而可得是的中位线，由三角形中位线定理得出，再根据平行四边形的性质可得，从而可得的周长为的周长的2倍． 【详解】解：∵平行四边形的对角线、相交于点O， ， ∴O为的中点， ∵点E是的中点， ∵四边形是平行四边形， 的周长为10， ， ， 的周长是， 故选：C． 【变式1】如图，在中，分别是的中点，连接．若的周长是，则的周长是（    ）． A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 由于分别是的中点，则是的中位线，那么，同理有，于是易求的周长． 【详解】解：∵分别是的边的中点， ， 同理，， 故选D． 【变式2】点分别为三边的中点，若的周长为20，则的周长为（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理，结合周长解答即可． 本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】∵点分别为三边的中点， ∴． ∵， ∴． 故选C． 【变式3】如图，在中，，点 D、E分别是，的中点，连接，过点E作交的延长线于F，若四边形的周长是，的长为8，则的周长是（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中位线，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，根据点 D、E分别是，的中点得是的中位线，则，，根据，得四边形为平行四边形，即，，即可得，在中，D是的中点，则，即可得，根据即可得；掌握中位线，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点 D、E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在中，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的周长：， 故选：C． 题型04:利用三角形的中位线求面积 【典例4】如图，已知在中，点，分别是边，的中点若的面积等于，则三角形的面积等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点，的面积等于， ， 故选：A． 【变式1】如图，、、分别是三条边上的中点，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积，理解题意是解决本题的关键． 设的面积分别为，根据D、E、F是三边的中点，可得，进而求解即可． 【详解】解：设的面积分别为， ∵D、E、F是三边的中点， ∴， ∵的面积是12， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积和是6， 故选B． 【变式2】如图，的面积为，点D，E，F分别是，，上的三个中点，则的面积是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中位线的性质，熟练掌握三角形中位线，是解题的关键．根据三角形中位线性质得出，，，证明，从而得出，同理，，即可得出答案． 【详解】解：∵点D，E，F分别是，，上的三个中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：，， ∵， ∴． 故选：B． 【变式3】如图，在中，已知点D为的中点，点在边上，且、相交于点，若的面积为 24 ，则四边形的面积是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查三角形面积的计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是构造三角形全等得到是的中点． 取的中点，连接，利用三角形中位线定理可得，，可证明，得到，因为的面积为 24 ，所以，，因为，根据四边形的面积，即可得出四边形的面积． 【详解】如图，取的中点，连接， ∵点是的中点，， ∴， ， ， ， ∵的面积为 24， ， ， ， ∴四边形的面积， 故选：C． 题型05:利用三角形的中位线求最值 【典例5】如图，在中，，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到点F，则长的最小值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理．将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上，得出点的运动轨迹为线段，当时，的长度最小，由直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上， ，，， ， ， 随着点的运动，总有，， ，即、、三点在同一直线上， 点的运动轨迹为线段， 当时，的长度最小， 在中，，，，， ， ， 故选：C． 【变式1】如图，在中，，，D，E分别是边，上的动点，连接，F，M分别是，的中点，则长的最小值为（    ） A．4 B．8 C．4.8 D．9.6 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过点B作于G，连接，由三线合一定理和勾股定理求出，进而求出，证明是的中位线，得到，则当时，最小，即此时最小，利用面积法求出，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于G，连接， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵F，M分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当时，最小，即此时最小， ∵当时，， ∴， ∴， ∴最小值为4.8， 故答案为：4.8． 【变式2】如图，在正方形中，，点是边的中点，，是对角线上的动点，且，连接，，当的值最小时，的面积为（   ）．      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，则是的中位线，有，，进一步求得和，即可判定四边形是平行四边形，那么，，连接，交于点，则当点位于点处时，的值最小，即的值最小，此时的点记为点，结合正方形的性质求得，，即可求得面积． 【详解】解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接，    ∵点是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 连接，交于点，当点位于点处时，的值最小，即的值最小，将此时的点记为点，由正方形的对称性可知， ∴， 又，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质，三角形三边关系的应用，解题的关键是利用几何图形的性质（中位线、平行四边形、等腰直角三角形）将“折线和”转化为“线段长”，再结合角度、边长计算面积． 题型06:与三角形中位线有关的规律探究 【典例6】依次连接周长为的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形，，按这样的规律，第个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理及应用，规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由题意可得第二个三角形的周长为，同理可得，第三个三角形的周长为，即可得到规律，从而可得第个等边三角形的周长． 【详解】解：如图所示： 、、分别为、、的中点， 、、都为的中位线， ，，， 的周长， 第二个三角形的周长为， 同理可得，第三个三角形的周长为， ， 第个等边三角形的周长为， 故选：B． 【变式1】如图，是边长为1的等边三角形，分别取边的中点D，E，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理、等边三角形的性质，证明四边形是菱形，可求出，进而得出的值，找出规律即可计算出的值． 【详解】解：∵点D、E是边的中点， ∴，且，， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理求得 ， …… ， ∴， 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理并能进行推理计算是解题关键． 【变式2】如图，在中，已知，，，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，三角形中位线定理，由再利用中位线的性质可得： 再总结规律可得：从而运用规律可得答案． 【详解】解：探究规律： ，，， 分别为的中点， 同理： 总结规律： 运用规律：当时，． 故答案为：． 题型07:三角形中位线的实际应用 【典例7】【问题情境】 图形的分割：就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成两个或几个图形．图形的拼合：就是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，在保持面积不变的前提下，得到一个新的图形．图形分割与拼合问题，集趣味性、探索性、实验性于一体． 如图①，任意三角形通过分割后重新拼接，可以拼成平行四边形，方案设计：图形的分割：取中点，中点，连接，沿将分割成两个图形；图形的拼合：如图所示，将绕点旋转，与四边形拼接成平行四边形．此时，的面积与的面积相等． 【探究实践】仿照图示的方法，解答下列问题： 如图②，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与三角形等面积的矩形．请你写出方案设计． 【拓展应用】如图③，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．请你画出方案设计． 【答案】见解析 【分析】本题考查图形设计，三角形中位线的性质，矩形的判定； 探究实践：参考问题情境中的操作，进行图形的分割和合并即可； 拓展应用：先过的垂线，即可得到两个直角三角形，参考探究实践中的思路进行图形的分割和合并． 【详解】探究实践： 图形的分割：取中点，中点，连接，延将分割成两个图形； 图形的拼合：如图②所示，将绕点旋转，与四边形拼接成矩形，此时，矩形的面积与的面积相等， 拓展应用：如图： 图形的分割：过作于，取中点，中点，连接交于，延，将分割成四个图形； 图形的拼合：如图③所示，将绕点旋转，将绕点旋转，与四边形拼接成矩形，此时矩形的面积与的面积相等． 【变式1】（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2），；详见解析；（3）18米 【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可； （2）过点作，与的延长线交于点，证明，再证四边形是平行四边形，即可证明结论； （3）直接利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半； （2）求证：，． 证明：∵点分别是的中点， ∴，， 过点作，与的延长线交于点． ∴， 在和中， ． ，． ，． 四边形是平行四边形， ，， 又， ，． 故答案为：，； （3）∵点分别是的中点，米， ∴，即：米 故答案为：18米． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题． 【变式2】如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连结并延长，使，连结并延长，使，连结．为的中点，连结．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明为的中位线，得出，，由为的中点，得到，由四边形为平行四边形，得到，从而得到，即可得证； （2）由平行四边形的性质得到，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，最后由，即可得出答案． 【详解】（1）证明： ，， 为的中位线， ，， 为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，是解题的关键． 【变式3】如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 对于，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进而得证； 对于，首先推导出，在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， 是的中位线， ， ， ， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由知，是的中位线，四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得： 题型08 反证法证明中的假设 【典例8】用反证法证明命题“在中，，求证：”时，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，找出原结论的否定即可． 【详解】解：∵ 反证法第一步需假设原结论不成立，原命题结论为， ∴ 结论的否定为，即第一步应假设． 【变式1】用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（   ） A．每一个内角都小于 B．每一个内角都大于 C．有一个内角大于 D．有一个内角小于 【答案】A 【分析】本题考查反证法的解题步骤，反证法证明命题时，首先要假设原结论不成立，即假设结论的反面成立，明确这一规则即可解答． 【详解】解：∵反证法证明命题，第一步需假设命题结论的反面成立. 原命题的结论为“三角形中至少有一个内角大于或等于”， 该结论的反面是“三角形中每一个内角都小于”， ∴应假设这个三角形中每一个内角都小于． 【变式2】如图，在中，，，求证：，当用反证法证明时，第一步应假设（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：假设结论不成立，则成立． 【变式3】对于命题“如果，那么”用反证法证明，应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用反证法证明命题时，应假设结论的否定成立，再由此推出矛盾． 【详解】解：由反证法可知，应假设． 题型09用反证法证明命题 【典例9】如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点M与点D不重合． 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法的应用，三角形的重要线段，全等三角形的判定和性质， 掌握倍长中线法是解题关键． 先假设重合，将中线延长到点N，使得，易证得，则有，．结合是的平分线，判断出，这与题意矛盾，说明假设不成立． 【详解】证明：假设点M与点D重合．延长到N，使，连接． ∵是边上的中线． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的平分线，点M与点D重合， ∴， ∴， ∴，这与题干相矛盾． ∴假设不成立， ∴点M与点D不重合． 【变式1】用反证法证明： (1)已知：，求证：a必为负数． (2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先假设，则，与已知矛盾，因此a必为负数． （2）假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，设这两个整数为，则有，因为，可得前后矛盾，因此假设结论不成立，进而得出答案． 【详解】（1）证明：假设，则，这与已知相矛盾， ∴假设不成立， ∴a必为负数； （2）证明：假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，不妨设这两个整数为， 则， ∵， ∴假设不成立， ∴的整数k不能化为两个整数的平方和． 【点睛】本题考查了反证法，注意逆命题的与原命题的关系是解题关键． 【变式2】设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 【答案】A 【分析】当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数，此时必定不满足，据此可判断A；根据可判断B、C、D． 【详解】解：当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数， ∴是偶数， ∴此时一定不满足， ∴不可能都是奇数，故A结论正确，符合题意； ∵，满足，本例中都是偶数，是偶数， ∴可能都是偶数，故B、C、D结论都错误，不符合题意； 【变式3】用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；已知；假设；直线与不平行 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法首先假设所求证的结论不成立，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线与不平行． 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 1．如图，是的中位线，若，则的长为（    ）． A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理，直接得出中位线与第三边的数量关系，进而求解．本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵ 是 的中位线， ∴ ∴ 故选：B． 2．如图，在中，平分，是的中点，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形． 延长交的延长线于点，证明是等腰三角形，则得的长，点E是的中点，求得的长，从而是中位线，即可求得的长． 【详解】延长交的延长线于点，如图， ， ， 平分， ， ， 是等腰三角形， ，点E是的中点， ，是的中位线， ． 故选：A． 3．用反证法证明命题：“在中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法的步骤可得第一步先假设结论不成立，进而问题可求解． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设； 故选：C． 4．如图，是的中位线，是的高，若，，则的长度为（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】利用三角形的中位线以及勾股定理进行求解． 【详解】解：∵是的高线， ∴， ∵是的中位线， ∴， 由勾股定理得， ∴． 5．如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得，由中位线得，再利用平行四边形周长公式求解． 【详解】解：∵，，．点F是中点， ∴， ∵把线段沿射线方向平移到，点D在上， ∴是的中位线， ∴， ∴线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是． 6．如图，四边形中，，连接，，取的中点，的中点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、三角形中位线定理，熟记三角形中位线平行于第三边是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，根据等边三角形的性质得到，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：在中，， 则， 在中，点是的中点， 则， 为等边三角形， ， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 7．如图，在中，，，点，，分别是边，，的中点，连接，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理得到，，由线段的中点等于得到，，即可求出四边形的周长． 本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半． 【详解】解：点，，分别是边，，的中点， 和是的中位线， ，， ，， ，， ，， 四边形的周长． 故选：C． 8．用反证法证明命题“在中，，则”时，第一步应先假设___________． 【答案】 【分析】根据反证法的步骤，第一步假设命题结论不成立，写出原结论的否定即可求解． 【详解】解：用反证法证明命题时，需先假设结论不成立，原命题结论为，其否定为， 因此第一步应先假设. 9．填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则，________________； ③假设不成立，所以一个三角形中________含有两个直角．（填“能”或“不能”） 【答案】 这与三角形内角和定理矛盾 不能 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 反证法通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原命题成立．本题假设三角形有两个直角，导致内角和大于，与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立． 【详解】解：假设中和都是直角， 则，，． 又， 则， 这与三角形内角和定理矛盾， 故假设不成立， 所以一个三角形中不能含有两个直角． 故步骤②填“这与三角形内角和定理矛盾”，步骤③填“不能”． 故答案为：这与三角形内角和定理矛盾，不能． 10．如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为___________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据平行四边形的性质得出相等的边，然后判定是的中位线，根据三角形中位线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，点F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3． 11．如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点（含端点，但点不与点重合），、分别是线段、的中点，则的最大值为_____________． 【答案】1 【分析】本题考查中位线的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，根据中位线的性质得到，进而得到最大时，最大，根据勾股定理求出的最大值，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接， 、分别是线段、的中点， ， 最大时，最大， 当点与重合时，最大，此时， ， 的最大值为1． 12．如图，点D，E，F分别是的三边的中点，．求四边形的周长． 【答案】10 【分析】利用三角形的中位线的判定定理和性质进行求解即可． 【详解】解：∵点D，E，F分别是的三边的中点，， ∴和是的中位线， ∴，，，． ∴四边形的周长为． 13．在中，点M是边的中点，平分，的延长线交于点E，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）证明，即可求证； （2）根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点M是边的中点，， ∴是的中位线， ∴． 14．如图，在四边形中， ，，，分别为，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)若 ，平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线定理、直角三角形线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题． （1）根据三角形中位线定理得，根据直角三角形斜边中线定理得，由此即可证明结论． （2）由角平分线的定义可得，再证明，根据勾股定理可得，据此即可解决问题． 【详解】（1）证明：、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，是中点， ， ， ； （2）解：，平分， ， 由（1）可知，， ， ∵， ， ， 由（1）可知， ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 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