10.1-10.2二元一次方程组、二元一次方程组的概念强化提升专练2025-2026学年苏科版数学七年级下册

10.1-10.2二元一次方程组、二元一次方程组的概念强化提升专练 （一）二元一次方程的概念 1. 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做二元一次方程。 2. 核心特征（3个，缺一不可）： · 含两个未知数（通常用x、y表示，也可用其他字母，如m、n）； · 未知数的次数都是1（注意：是“未知数的次数”，不是“含未知数项的次数”，如，含两个未知数，但xy的次数是2，不是二元一次方程）； · 方程是整式方程（分母中不含未知数，如，分母含未知数x，不是整式方程，因此不是二元一次方程）。 4. 一般形式：（其中a、b、c为常数，且a≠0，b≠0，）示例： · 符合要求：、、（整式方程、两个未知数、次数均为1）； · 不符合要求：（x的次数是2）、（分母含未知数）、（只有1个未知数）。 （二）二元一次方程组的概念 1. 定义：由两个含有两个相同未知数的二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 2. 核心特征（3个，缺一不可）： · 由两个方程组成（通常用“{”联立，表示一组方程）； · 两个方程都含有两个相同的未知数（如两个方程都含x和y，不能一个含x、y，一个含x、z）； · 每个方程都是二元一次方程（若其中一个方程不是二元一次方程，整个方程组就不是二元一次方程组）。 3. 一般形式：（其中a、b、d、e均为常数，且a≠0、b≠0，d≠0、e≠0，保证每个方程都是二元一次方程）。 （三）二元一次方程组的解 1. 定义：使二元一次方程组中两个方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解（需同时满足两个方程，缺一不可）。 2. 表示方法：通常用“”表示（m、n为具体数值），如是方程组的解。 3. 核心要点：一个二元一次方程组的解，必须同时满足方程组中的两个方程；若只满足其中一个方程，不是方程组的解。 记忆口诀：二元一次方程，两元一次整式型；方程组要两个，同元同次才可行；解要同时满足，两式成立才管用。 强化提升专练 一、单选题 1．若方程组，是二元一次方程组，则“…”可以是（   ） A． B． C． D． 2．若关于，的二元一次方程的一组解为，则的值为（  ） A． B． C．1 D．2 3．若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为（    ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 4．已知是二元一次方程的解，则的值是（    ） A．1 B． C． D．7 5．在二元一次方程中，若均为非负整数，则该方程的解的组数有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 6．今年，明华中学开展了以迎接新生为主题的演讲活动，计划拿出240元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 7．若方程组的解为，则被“◯”和“■”遮挡的两个数分别是（  ） A．7，9 B．9，7 C．1， D．，1 8．小明用表格求代数式和代数式的值，观察表格里面的数据．其中既是方程的解，也是方程的解的是（   ） x … 0 1 2 3 … … 1 … … 2 1 0 … A． B． C． D． 9．某校为加强爱读书、读好书、善读书的阅读氛围，准备用720元购买图书展示架，可供选择的有A种展示架120元/个，B种展示架180元/个，在资金用尽且可以只买其中一种展示架的情况下，购买方案共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 10．已知x和y的方程组的解是，则x和y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值为______． 12．若关于，的二元一次方程有一个解是，则_____． 13．已知二元一次方程．当时，________；当时，________． 14．写出关于的二元一次方程的所有正整数解___________． 15．若是方程的解，则的值为___________． 16．若是二元一次方程的解，则________． 17．盒子里有三种球，分别标有数字和，贝贝从中摸出个球，它们的数字之和是，贝贝摸出了______个标有数字的球． 18．《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲、乙的钱数分别为x、y，则可列方程组为________． 三、解答题 19．有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 20．根据题意分别设合适的未知数，列出二元一次方程： (1)甲数的2倍比乙数的多2； (2)将一摞笔记本分给若干个同学，若每个同学分8本，则差1本． 21．是否存在m，使方程是关于x，y的二元一次方程？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 22．方程组，小明本应该解出，由于看错了系数c，从而得到解，试求出的值 23．定义：若，则称x与y是关于m的好数． (1)若5与a是关于2的好数，则_____； (2)若，，判断b与c是否是关于3的好数，并说明理由： (3)若，，且e与d是关于3的好数，若x为正整数，求非负整数k的值． 24. 下表是某校七～九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同，文艺小组每次活动时间比科技小组每次活动时间多小时．设文艺小组每次活动时间为x小时，请根据表中信息完成下列解答． (1)科技小组每次活动时间为 小时（用含x的式子表示）； (2)求八年级科技小组活动次数a的值； (3)直接写出 ， ． 课外小组活动总时间（小时） 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 4 3 八年级 3 a 九年级 7 m n 试卷第2页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C B C D B C C 1．A 【详解】解：A、与组成的方程组是二元一次方程组，故此选项符合题意； B、是二元二次方程，与组成的方程组是二元二次方程组，故此选项不符合题意； C、是分式方程，与组成的方程组不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； D、是二元二次方程，与组成的方程组是二元二次方程组，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．B 【详解】解：把x＝3，y＝2代入方程x＋my＝2，得：3＋2m＝2， 解得：， 故选：B． 3．C 【详解】解：∵关于x，y的方程是二元一次方程， ∴且， 解得：m=1， 故选C． 4．C 【详解】解：已知是二元一次方程的解， ∴， ∵， ∴原式， 故选：C ． 5．B 【详解】解：∵， ∴变形得 ， 依次枚举的取值： 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合条件； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合条件； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合条件； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合条件； ∴ 符合条件的解共有组． 6．C 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品，，均为正整数， 根据题意得 整理得 . ∵，均为正整数， ∴，，，，，， ∴购买方案共有种． 7．A 【详解】解：∵方程组的解为， ∴将代入，得， 解得：，即， 再将代入，得， ∴被遮挡的两个数分别是和． 8．B 【详解】解：观察表格中的数据，可得出：当时，，此时， ∴既是方程的解，也是方程的解的是． 故选：B． 9．C 【详解】解：设购买A种展示架x个，B种展示架y个，由题意可分： 当只购买A种展示架时，则有，解得：； 当只购买B种展示架时，则有，解得：； 当购买A和B一起时，则，解得：； 综上所述：一共有3种购买方案； 故选：C． 10．C 【详解】解：方程组的解是， 方程组， 的解为，即， 故选：C． 11． 1 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴， 故答案为：1． 12． 【详解】把，代入方程， 得， 即， 移项得， 即， 两边同除以， 得． 故答案为：． 13． 1 2 【详解】解：当时，代入方程，得：，解得：； 当时，代入方程，得：，解得：； 故答案为1；2． 14． 【详解】解：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴所有正整数解为， 故答案为： ． 15．． 【详解】解：由题意可得：， ∴． 故答案：． 16． 【详解】解：由题意可知，将代入得：， ∴ ∴ 故答案为：． 17． 【详解】解：设摸出标有数字和球的个数分别为个，个，则标有数字的球有个， ∴，整理得：， ∵，为正整数， ∴， ∴标有数字的球有个， 故答案为：． 18． 【详解】解：设甲持钱为x，乙持钱为y，由题意得： ， 故答案为：． 19． 【详解】解：小恒的解答过程是错误的． 理由如下： 将代入方程中， 左边=，右边， 左边=右边； 将代入方程中， 左边=，右边=5. 左边≠右边； 不是方程组的解． 20．【详解】（1）设甲数为，乙数为， 根据题意得，； （2）设有x个同学、y本笔记本， 根据题意得，． 21．存在， 【详解】解：存在． ∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴，，，解得． 故当时，方程是关于x，y的二元一次方程． 22． 【详解】解：把代入，得，解得， 把代入，得①， 把代入，得②， ①，②联立方程组，得 解得， ∴． 23．(1) (2)b与c是关于3的好数； (3)k的值为0或1或3或7． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 故答案为：； （2）解： ， ∴b与c是关于3的好数； （3）解：∵e与d是关于3的好数， ∴， ∴， ∴， ∵x为正整数，k是非负整数， ∴或或或， ∴k的值为0或1或3或7． 24. 【详解】（1）解：∵文艺小组每次活动时间为小时，文艺小组每次活动时间比科技小组每次活动时间多小时， ∴科技小组每次活动时间为小时； 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得：， 即文艺小组、科技小组每次活动时间分别为2小时、小时； 根据题意得：， 解得：， 答：八年级科技小组活动次数a的值是3； （3）解：∵九年级课外小组活动总时间为7小时， ∴， ∵m与n是自然数， ∴，． 故答案为：2，2． $