精品解析：山西太原市第三实验中学校等校2026届高三下学期四月阶段练习数学试题

2026届高三年级四月阶段练习 数学 （满分：150分 用时：120分钟） 注意事项： 1.答题前，请将自己的学校､姓名等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的实部与虚部相等，则实数（ ） A. -3 B. C. D. 3 3. 已知数列的前项和，若为正整数，则（ ） A. 4052 B. 2026 C. D. 4. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 设分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线右支上一点，的平分线交轴于点，令，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 若事件，互斥，则 B. 若事件，互斥，则 C. 若事件，相互独立，则 D. 若，则 10. 已知在棱长为1的正方体中，为侧面内一点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则的最大值为 B. 若点在线段上，则的最小值为 C. 存在点，使得点和点到平面的距离相等 D. 三棱锥外接球的体积的最小值是 11. 已知三个不同的实数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为______. 13. 在平面直角坐标系中，函数的部分图象如图所示，若，则点的纵坐标为__________. 14. 已知数列的前项和为，若，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角三角形中，角所对的边分别为，且， （1）求角的取值范围； （2）求的取值范围. 16. 如图，在底面是菱形的直四棱柱中，，为线段上靠近的三等分点，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 17. 已知椭圆的上顶点为，右焦点为，右顶点为. （1）若椭圆的离心率为，且以原点为圆心，为半径的圆与直线相切，求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于另一点，设直线的斜率分别为，求的值（结果用离心率表示）. 18. 在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. （1）记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； （2）设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 19. 已知函数，若有三个实数根，，，且. （1）求实数的取值范围； （2）求证： ①； ②. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级四月阶段练习 数学 （满分：150分 用时：120分钟） 注意事项： 1.答题前，请将自己的学校､姓名等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因， 则. 2. 已知复数的实部与虚部相等，则实数（ ） A. -3 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】. ∵复数的实部与虚部相等，，解得. 3. 已知数列的前项和，若为正整数，则（ ） A. 4052 B. 2026 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据条件求解出的通项公式，然后表示出并结合即可求解出结果. 【详解】因为数列的前项和， 当时，， 当时，，符合的情况，所以， . 4. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】是定义在上奇函数， ∴当时，，解得， ∴当时，， . 5. 已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出在法向量上的投影向量，结合平行四边形法则得到答案 【详解】向量在法向量上的投影向量为 ， 设向量在平面上投影向量，由平行四边形法则可得， 故. 6. 已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据公切线条数判断两圆的位置关系，再根据圆心距列式求解. 【详解】∵圆的标准方程为，∴圆的圆心为，半径为. 又圆的圆心为，半径为. ∴两圆的圆心距为. ∵两圆有且仅有三条公切线，∴两圆外切， ，解得. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，利用不等式放缩进行分析求解即可. 【详解】在上为增函数，，，即. ，. 令，， ，， 当时，，所以在上单调递增. 又因为，所以当时，， 当时，. ， ，即. 8. 设分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线右支上一点，的平分线交轴于点，令，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的性质结合双曲线定义可得，.方法一：设，利用正弦定理可得，结合三角恒等变换可得，结合余弦定理运算求解；方法二：分析可得，作的平分线，交于点，可得，，，进而可得结果. 【详解】因为为的平分线，且，，， 则，即. 由双曲线定义可得，即，解得，. 方法一：设， 由正弦定理得，即， 在中，因为，则， 可得， 把代入得， 且，则，可得，即， 由得，即， 把代入得， 化简得，， 在中，由余弦定理得， 整理可得，解得或（舍去）， 方法二：因为， 则或， 即或， 又因为是的内角，则， 可得，则， 作的平分线，交于点， 则，是等腰三角形， 可得，，， 且，可得， 所以. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 若事件，互斥，则 B. 若事件，互斥，则 C 若事件，相互独立，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件的概率计算公式及条件概率、全概率公式求解即可. 【详解】选项A：若事件，互斥，则，A正确； 选项B：，. 若事件，互斥，事件，不一定互斥，因此. 实际（事件，互斥，），B错误； 选项C：若事件相互独立，则，C正确； 选项D：由得，， 所以，D正确. 10. 已知在棱长为1的正方体中，为侧面内一点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则的最大值为 B. 若点在线段上，则的最小值为 C. 存在点，使得点和点到平面的距离相等 D. 三棱锥外接球的体积的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据题意，点的轨迹为线段，再判断的最值即可；对于B，将沿翻折到与平面共面，再计算最值即可；对于C，易得点在线段上；对于D，设平面的中心为，平面的中心为，易知三棱锥外接球的球心在线段上，令，外接球半径为，利用勾股定理表示出，结合函数的性质求最值即可． 【详解】易知平面， 又点在侧面内， 点的轨迹为线段，当点在处时，取最大值为，故A正确； 将沿翻折到与平面共面，且在的异侧， 如图，连接，交于点， 则即为的最小值， 易知最小值为，故B错误； 由平分可知点和点到平面的距离相等， 若点和点到平面的距离相等，必有平面， 又，点线段上，故C正确； 设平面的中心为，平面的中心为， 易知三棱锥外接球的球心在线段上， 令，外接球半径为，则. 又，整理得， 当时，，此时外接球的体积为， 即点与点重合时，三棱锥外接球的体积取最小值，故D正确． 11. 已知三个不同的实数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】将两边平方后结合可判断A的正误，利用基本不等式以及可判断B，C的正误，最后利用，将变为关于的二次函数可判断D的正误. 【详解】对于A，由题意得 ，故A正确； 对于B，由题意得 ， 因为是不同实数，所以， 即， 整理得，解得. 同理可得，又因为，所以， 所以，即，解得或. 若，又，，所以， 与矛盾，故必有. 所以综上所述，，故B正确； 对于C，同理得，解得，故C正确； 对于D，， 代入， 得， 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴，且， 对称轴在区间内，所以最小值在处取得， 即最小值为，故D错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意转化为求的展开式中的系数，利用二项展开式求解. 【详解】的展开式中的系数即为的展开式中的系数， 又二项式的展开式的通项为， 令，可得的展开式中的系数为. 13. 在平面直角坐标系中，函数的部分图象如图所示，若，则点的纵坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】把函数图象进行平移，使得点与坐标系原点重合，得到，解得即可得到点的纵坐标． 【详解】如图，把函数图象进行平移，使得点与坐标系原点重合， 得函数的图象，点的对应点分别为， 依题意，可设，则， ， 解得（正值舍去）， ， 即点的纵坐标为. 14. 已知数列的前项和为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用与的关系得到数列通项的递推关系式，再利用递推关系式构造等比数列求解即可. 【详解】依题意得. 当时，，即. 设，则，即. 又是以4为首项，2为公比的等比数列， ，即. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角三角形中，角所对的边分别为，且， （1）求角的取值范围； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简等式，根据角的关系，再根据锐角三角形列式求解； （2）根据正弦定理由边的关系转化为角的关系，再根据三角恒等变换转化为的二次函数求解. 【小问1详解】 ，∴由正弦定理得， 即，为锐角三角形，,则 所以，即，， . 【小问2详解】 由正弦定理得 ， . 16. 如图，在底面是菱形的直四棱柱中，，为线段上靠近的三等分点，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明如下： 如图1，连接交线段于点，连接. . 又. 又平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接交线段于点，连接，证明可证平面； （2）以为原点，，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，连接四边形为菱形，2，则为等边三角形. 又为中点，. 又. 易知平面以为原点，，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 易知为上靠近的三等分点， . . 设平面的一个法向量为， 则 令，则，∴， ∴点到平面的距离. 17. 已知椭圆的上顶点为，右焦点为，右顶点为. （1）若椭圆的离心率为，且以原点为圆心，为半径的圆与直线相切，求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于另一点，设直线的斜率分别为，求的值（结果用离心率表示）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率、顶点以及直线与圆相切求解即可. （2）求出直线的方程，与椭圆方程联立表示求出点，表示出，再进行化简即可. 【小问1详解】 因为以原点为圆心，为半径的圆与直线相切， 所以. 联立，解得， ∴椭圆的标准方程为 【小问2详解】 点，所以直线的斜率，直线的斜率为. 直线的方程为. 联立消去，得，解得或. ∴点的坐标为. . 18. 在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. （1）记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； （2）设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）可知随机变量的可能值为0，1，2，3，分别求其概率，进而可得期望； （2）①根据题意结合全概率公式可得，利用构造法结合等比数列求通项公式；②分析可得，利用分组求和法结合等比数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：随机变量的可能值为0，1，2，3， 若，则3轮都失败，则； 若，则3轮中只有1轮成功，； 若，则3轮中只有2轮成功，； 若，则3轮都成功，； 所以. 【小问2详解】 ①设第轮试验使用A型号机器人为事件， 则，，， 由全概率公式可得， 即，则， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以； ②设第轮得分期望为，则， 所以前轮期望总得分为. 19. 已知函数，若有三个实数根，，，且. （1）求实数的取值范围； （2）求证： ①； ②. 【答案】（1） （2）证明如下： ①由（1）可知. 设， 则， 当时，因，则，故在区间上单调递增， 故，即，则. 又，故. 因， 由（1）知在区间上单调递减，则，即. ②过点和的直线的方程为， 由图知直线即为曲线的割线. 当时，， 则函数的图象总在直线上方. 过点且与函数的图象相切的直线的方程为. 当时，， 则函数的图象总在直线上方，如图所示. 设直线与直线交点横坐标分别为， 则可知， 故. 【解析】 【分析】（1）将方程的解的问题转化为函数与的交点问题，借助于求导判断函数的单调性，进而得到函数的简图，数形结合即得参数范围； （2）①构造函数，求导判断得到在区间上单调递增，推得，再由在区间上的单调性即可得证；②结合图形，判断函数的图象总在直线上方，的图象总在直线上方，设直线与直线的交点横坐标分别为，则得，即可得证. 【小问1详解】 令，可得. 设，则函数的图象与有三个交点. 当时，，则. 则函数在区间上单调递减； 当时，，则. 当时，；当时，， 则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则， 当时，，当时，， 函数的大致图象如图， 要使直线与函数的图象有三个交点，需使. 即实数的取值范围为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $