8.4 第2课时 平方差公式-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（苏科版·新教材）

该初中数学课件聚焦“平方差公式”，通过图形面积验证（如硬纸片拼图）和实例引入，前承整式乘法基础，后接公式综合应用，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解公式推导与应用脉络。 其亮点在于融合数形结合（阴影部分面积推导公式）、整体思想（设a²+b²为整体解题）和代数推理（两个奇数平方差证明），体现几何直观、抽象能力和推理意识。含中考真题及变式题，助力学生提升运算与探究能力，为教师提供多样化教学资源。

第8章　整式乘法 8.4　乘法公式 第2课时　平方差公式 初中数学培优课堂  　平方差公式 1.(2025江苏镇江期末)下列各式可以用平方差公式计算的是  ( ) A.(-x+2)(x-2) B.(x+2)(x-2) C.(x+2)(x-3) D.(x-2)(x-2)     B     解析    (x+2)(x-2)是两个数的和与这两个数的差相乘,可以用 平方差公式计算.故选B. 初中数学培优课堂 2.(2025江苏常州金坛期中)下面的计算正确的是 ( ) A.(x+2)(x-2)=x2-2 B.(x+y)(y-x)=x2-y2 C.(x-y)2=x2-y2 D.(-x+y)2=x2-2xy+y2     D     解析    (x+2)(x-2)=x2-4,故A不符合题意;(x+y)(y-x)=y2-x2,故B不 符合题意;(x-y)2=x2-2xy+y2,故C不符合题意;(-x+y)2=x2-2xy+y2,故 D符合题意.故选D. 初中数学培优课堂 3.【学科特色·教材变式P39活动】(2025江苏徐州期末)我们 可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式. 观察下图,通过面积的计算,可以验证的恒等式是 ( )       C     A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.a(a+b)=a2+ab C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.(a+b)2=a2+2ab+b2 解析　题图中左边图形的面积为(a+b)(a-b),右边图形的面积 为a2-b2,所以(a+b)(a-b)=a2-b2. 初中数学培优课堂 4.(2024上海中考)计算:(a+b)(b-a)=__________.     b2-a2     解析    (a+b)(b-a)=(b+a)(b-a)=b2-a2.故答案为b2-a2. 初中数学培优课堂 5.(2024四川凉山州中考)已知a2-b2=12,且a-b=-2,则a+b=______.      　-6 解析　∵a2-b2=12,∴(a+b)(a-b)=12. ∵a-b=-2,∴a+b=-6.故答案为-6. 初中数学培优课堂 6.(2025江苏淮安金湖月考)计算: =_________.     2 025 解析　原式=  = =2 025. 故答案为2 025. 初中数学培优课堂 7.【学科特色·整体思想】(2025江苏扬州江都期中)如果(a2+b2+ 1)(a2+b2-1)=120,那么a2+b2的值为__________.     11     解析　∵(a2+b2+1)(a2+b2-1)=120, ∴(a2+b2)2-1=120,∴(a2+b2)2=121, ∴a2+b2=11(负值舍去).故答案为11. 方法解读　本题中含有结构比较复杂的式子a2+b2,把它看成 一个整体,使复杂的问题简单化,但需注意这个整体(即换元后 的新元)有新的范围,本题中a2+b2的值为非负数. 初中数学培优课堂 8.(2025江苏无锡江阴期中)一个正方形的边长增加了3 cm,面 积相应增加了39 cm2,则原来这个正方形的边长为______cm.     5     解析　设原来正方形的边长是x cm. 根据题意,得(x+3)2-x2=39, ∴(x+3+x)(x+3-x)=3(2x+3)=39, 解得x=5.∴原来正方形的边长为5 cm. 初中数学培优课堂 9.(2025江苏镇江月考)如图,大正方形与小正方形的面积之差 是48,则阴影部分的面积是__________.       24     初中数学培优课堂 解析　设大正方形的边长为a,小正方形的边长为b, ∵大正方形与小正方形的面积之差是48,∴a2-b2=48, 由题图可得S阴影=S△ACE+S△AED= AE·BC+ AE·BD=  AE(BC+BD)= (a-b)(a+b)= (a2-b2)= ×48=24.故答案为24. 初中数学培优课堂 10.利用乘法公式计算: (1)(a+1)(a-1)+1. (2)(2x+1)2-(2x+3)(2x-3). (3)(a+2)(a-2)-a(a-3). (4)(2x-3y)(2x+3y)-(2x-3y)2. 初中数学培优课堂 解析    (1)原式=a2-1+1=a2. (2)原式=4x2+4x+1-4x2+9=4x+10. (3)原式=a2-4-a2+3a=3a-4. (4)原式=4x2-9y2-4x2+12xy-9y2=12xy-18y2. 方法解读　学习了乘法公式后,遇到计算题时应先观察能否 运用乘法公式.若能运用公式,则直接运用公式写出结果,这样 既可以简化计算过程,减少解题步骤,又可以避免错误,缩短做 题的时间. 初中数学培优课堂 11.(2024山东济宁中考)先化简,再求值:x(y-4x)+(2x+y)(2x-y), 其中x= ,y=2. 解析　原式=xy-4x2+(4x2-y2) =xy-4x2+4x2-y2=xy-y2. 当x= ,y=2时, 原式= ×2-22=1-4=-3. 初中数学培优课堂   12.【学科特色·数形结合思想】(2025江苏镇江句容期中,★ ★☆)在数学实践课上,“智慧小组”将大正方形的阴影部分 裁剪下来重新拼成一个图形,下图的4种拼法中,能够验证平方 差公式的是 ( )            C     初中数学培优课堂     A.①②　　　     B.①③ C.①②③　　　    D.①②④ 初中数学培优课堂 答案　C 解析　①左边阴影部分的面积为a2-b2,右边平行四边形的底 边长为a+b,高为a-b,面积为(a+b)(a-b),可得(a+b)(a-b)=a2-b2,能 够验证平方差公式,符合题意;②左边阴影部分的面积为a2-b2, 右边大长方形的长为a+b,宽为a-b,面积为(a+b)(a-b),可得(a +b)·(a-b)=a2-b2,能够验证平方差公式,符合题意;③左边阴影部 分的面积为a2-b2,右边平行四边形的底边长为a+b,高为a-b,面 积为(a+b)(a-b),可得(a+b)(a-b)=a2-b2,能够验证平方差公式,符 初中数学培优课堂 合题意;④左边阴影部分的面积为(a+b)2-(a-b)2,右边大长方形 的面积为2a·2b=4ab,不能验证平方差公式,不符合题意. ∴能够验证平方差公式的是①②③.故选C. 初中数学培优课堂 13.【新考向·代数推理】(2024江苏南京中考,★★★)任意两 个奇数的平方差总能 ( ) A.被3整除　　　    B.被5整除 C.被6整除　　　    D.被8整除     D     初中数学培优课堂 解析　设这两个奇数分别为2m+1和2n+1, 则(2m+1)2-(2n+1)2=(2m+1+2n+1)(2m+1-2n-1) =(2m+2n+2)(2m-2n) =2(m+n+1)×2(m-n) =4(m+n+1)(m-n), ∵m-n和m+n+1中必有一个为偶数, ∴(2m+1)2-(2n+1)2是8的倍数,即任意两个奇数的平方差总能 被8整除.故选D. 初中数学培优课堂 方法解读　本题应用乘法分配律逆运算进行代数推理.可以 通过对m,n的奇偶性进行分类讨论得出m-n和m+n+1中必有一 个为偶数的结论. 初中数学培优课堂 14.(2025江苏无锡积余教育集团期中,★☆☆)利用平方差公 式计算 + + +…+ 的结果为 ___________. -1 012     解析　原式= + + +…+   =(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1) =(-1)×1 012=-1 012. 初中数学培优课堂 15.【新考向·规律探究题】(2025江苏无锡期中,★★★)观察 下列各式,回答相关问题: (x-1)(x+1)=x2-1. (x-1)(x2+x+1)=x3-1. (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1. (x-1)(x4+x3+x2+x+1)=x5-1. …… 初中数学培优课堂 (1)计算:(x-1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=_______. (2)根据规律可得(x-1)(xn-1+xn-2+…+x2+x+1)=_______(其中n为 正整数). (3)求22 022+22 021+22 020+…+22+2+1的值. 解析    (1)x6-1. (2)xn-1. (3)根据(2)中的公式,可得22 022+22 021+22 020+…+22+2+1= (2-1)×(22 022+22 021+22 020+…+22+2+1)=22 023-1. 初中数学培优课堂   16.【新课标·抽象能力】(2025江苏苏州高新区一中月考) 【观察】(2+3)2-22=7×3.(4+3)2-42=11×3. 嘉嘉发现规律:比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能 被3整除. 初中数学培优课堂 【验证】 (1)(6+3)2-62的结果是3的_____倍. (2)设偶数为2n(n为整数),试说明比2n大3的数与2n的平方差 能被3整除. 【延伸】 (3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数 是几? 初中数学培优课堂 解析    (1)15. 详解:原式=81-36=45=3×15, ∴(6+3)2-62是3的15倍. (2)根据题意可知,比偶数2n大3的数为2n+3, 由题意得(2n+3)2-(2n)2 =(2n+3+2n)(2n+3-2n)=3(4n+3). ∵4n+3为整数,∴3(4n+3)能被3整除. ∴比2n大3的数与2n的平方差能被3整除. 初中数学培优课堂 (3)根据题意可设这个整数为n,则比n大3的数为n+3, 由题意得(n+3)2-n2 =(n+3+n)(n+3-n) =6n+9=6n+6+3, ∵6n+6能被6整除, ∴6n+6+3被6除的余数为3. 初中数学培优课堂 $