专题08 二元一次方程组的压轴题（11大压轴题型）（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材人教版

专题08 二元一次方程组的压轴题（11大压轴题型） 题型1 含参二元一次方程组 题型7 行程问题 题型2 整数解问题 题型8 销售利润问题 题型3 错解问题 题型9 工程/配套问题 题型4 同解问题 题型10 几何面积问题 题型5 新定义问题 题型11 特殊解问题 题型6 方案选择 题型一 含参二元一次方程组 1．（21-22七年级下·浙江温州·期中）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解得到，即可得到答案。 【详解】解：方程组的解为， 故中， 解得． 2．（25-26八年级上·河南郑州·期中）若是二元一次方程组的解，则的值是（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 【答案】D 【分析】本题考查方程组的解，解二元一次方程组，将解代入方程组，得到关于m和n的方程，解出m和n后计算的值． 【详解】∵是方程组的解， ∴ 解得， ∴． 故选：D． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若关于，的方程组   的解为 则 的值为 ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求代数式的值，根据二元一次方程组的解的定义求出字母的值是解题的关键． 将方程组的解代入求出，的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，方程组的解为， 所以， 解得：； 故； 故答案为： 4．（24-25七年级下·四川德阳·期中）小亮解方程组 的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（　　） A．4和 B．和 C．2和8 D．8和 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解的定义．直接根据方程组解的定义把代入方程求出y的值，进而求出的值，由此即可得到答案． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴， ∴， ∴， ∴●和★分别表示8和， 故选：D． 5．（23-24八年级上·河南郑州·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为________． 【答案】2022 【分析】本题考查二元一次方程组的解，将原方程组中的两个方程相加可得，即，再将代入计算即可． 【详解】解：， 得，， 即， 又∵， ∴， 解得． 故答案为：2022． 题型二 整数解问题 6．（24-25七年级下·北京顺义·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 7．（25-26八年级上·重庆·期中）若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（   ） A．8 B．7 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求参数，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 通过消元法得到，由y为正整数可知为6的正约数，代入验证x是否为正整数，从而确定符合条件的a值，并求其和． 【详解】解：原方程组为： 得： 得：， ， ∵ y为正整数， ∴为6的正约数，即， ∴ a的值为：， 分别代入求x： 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合； 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合． ∴符合条件的整数a为0和2，其和为． 故选：D． 8．（23-24七年级下·浙江嘉兴·月考）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)请直接写出方程的所有正整数解； 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解二元一次方程： （1）根据题意可得方程组，解方程组得到，再把代入方程中求出m的值即可； （2）直接解方程，求出其正整数解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴x必须为正偶数， ∴或． 题型三 错解问题 9．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组看错系数问题，涉及解方程（组）、代数式求值等知识，根据题意，得到正确的方程求解即可得到答案．掌握二元一次方程组看错系数问题的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：甲将①中的看成了它的相反数解得，则②是正确的， ∴，且， 解得； 乙抄错②中的解得，则①是正确的， 即， ∴； 联立，解得， ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，，． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，代数式求值，分别把方程组的解代入没有看错的方程中，即可求出的值，然后再把的值代入代数式中计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将代入方程组中的得：，解得， 将代入方程组中的得：，解得， 当，时， ∴ ． 11．（24-25七年级下·四川泸州·期中）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了①方程中的a，解得，小童看错了②中的b，解得 (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意加减消元法的应用． （1）将小鑫的解代入②，小童的解代入①得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值； （2）应用加减消元法，求出原方程组的正确解是多少即可． 【详解】（1）根据题意，可得 ，解得； （2）由上题，得， ①②，得，即， 把代入②，可得：， 解得， 原方程组的正确解是 12．（24-25七年级下·江西宜春·期中）已知关于x、y的方程组，甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为．求原方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解问题．首先根据甲看错方程①中的说明甲所解出的结果满足方程②，所以把代入方程②可得：即可求出；而乙看错方程②中的说明乙所解出的结果满足方程①，所以把代入方程①可得：即可求出； 【详解】解：由题意可得： 把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组为， 解这个方程组得：． 题型四 同解问题 13．（24-25七年级下·重庆·期中）已知关于的方程和方程组有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组同解问题及代数式求值，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）因为两个方程及方程组有相同解，所以先联立不含的方程与，解方程组求相同解． （2）将（1）中求得的解代入含的方程，求出，再代入计算 ． 【详解】（1）解：联立方程 方程的两边同乘得 ① 方程的两边同乘得 ② 得： 把代入得： ∴相同的解为； （2）解：把代入得： ∴． 14．（24-25七年级下·四川乐山·期中）已知方程组和的解相同，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程组及解二元一次方程组，根据同解方程组建立方程组是解题的关键．将与联立得，得出，再将代入及中即可求出，的值，最后代入计算即可得出答案． 【详解】解：方程组和的解相同， 解得： 代入另外两个方程，得： 解得： ． 15．（24-25七年级下·四川内江·期中）关于，的方程组和的解相同，求，的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的同解方程，本题通过联立公共解的方程，求出，的具体值，再代入含参数的方程组，最终转化为关于，的方程组求解，体现了消元思想的应用． 【详解】解：联立不含，的方程， 将第一个方程组的第一个方程与第二个方程组的第一个方程联立，得到新的方程组： ， 解得：， 将代入第一个方程组的第二个方程和第二个方程组的第二个方程，得到： ， 解得：． 16．（24-25七年级下·四川德阳·期末）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求，的值； (2)证明：无论取何值，方程组的解都是关于，的方程的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键． （1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含，的方程，所求的解代入含，的方程，即得出关于，的方程组，解之即可； （2）将（1）所求的解代入方程的左边，再化简，即可得证． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得； 将代入含有m、n的方程得：， 解得：； （2）证明：当时，方程的左边 ， ∴无论取何值，方程组的解都是关于，的方程的解． 17．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求a，b的值； (3)请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)正确，理由见解析 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组． （1）联立，利用加减消元法解方程组即可； （2）将代入含有a，b的方程得到方程组再求解即可； （3）将代入原方程，可得恒等式，进而与m无关，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， 解得， 这个相同的解是； （2）解：将代入含有a，b的方程得： ， 解得：， ∴a，b的值分别为6，4； （3）解：正确，理由如下： 将代入中，得： ， ∴无论m取何值，都是方程的解． 题型五 新定义运问题 18．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 19．（24-25七年级下·山东淄博·期中）请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题．我们定义一个关于非零常数，的新运算，规定：○，例如：4○5． (1)如果，2〇，求的值； (2)若1〇，4〇，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次方程，结合已知条件列得正确的方程及方程组是解题的关键． （1）根据题意列得一元一次方程，解方程即可； （2）根据题意列得二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：； （2）解：由题意可得， 解得：， 即，． 20．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 【答案】(1) (2)m的值为405，n的值为405 【分析】（1）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是； （2）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是，结合二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值． 本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据“对称二元一次方程”的定义，找出给定二元一次方程的“对称二元一次方程”是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：二元一次方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：； （2）解：二元一次方程的“对称二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为， ∴， 解得：． 答：m的值为405，n的值为405． 21．（24-25七年级下·四川南充·期中）定义：当两个实数，满足，则称这两实数x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组中方程组的解与具有“友好关系”，试求出方程组的解及a，b的正整数值． 【答案】(1)方程组的解与具有“友好关系”，理由见解析 (2)；，或， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解二元一次方程，熟知解二元一次方程组和解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）把方程组中两个方程相减即可证明，据此可得结论； （2）根据题意可得，解方程组求出x、y的值，再把x、y的值代入方程中，并解方程求出a、b的正整数值即可得到答案． 【详解】（1）解：方程组的解与具有“友好关系”，理由如下： 得， ∴方程组的解与具有“友好关系”； （2）解：∵方程组中方程组的解与具有“友好关系”， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴是正整数，即b为正偶数， ∴当时，；当，； 题型六 方案选择 22．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践 素材1：学校组织爱心义卖，七年级(1)班选定一家商店采购义卖商品．该商店销售钥匙扣每个4元，玩偶每个2元． 素材2：为支持爱心事业，商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠． 方案二 购买玩偶满50个，立减10元． 问题1：若班委购买钥匙扣和玩偶各40个，一共花费多少元？ 问题2：班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，求钥匙扣和玩偶各购买了多少个？ 问题3：现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，通过计算设计购买方案． 【答案】问题1：元；问题2：钥匙扣购买了50个，玩偶购买了30个；问题3：方案一：当时，；方案二：当时，；方案三：当时，． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． 问题1：利用总价=单价×数量，结合题意即可求出结论； 问题2：设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共个，其中钥匙扣超过个，一共花费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 问题3：设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合“，均为正整数，且，”，即可得出各购买方案． 【详解】解：问题1：(元) 问题2：解：设购买钥匙扣个，玩偶个， 由题意，得， 解得． 答：钥匙扣购买了50个，玩偶购买了30个． 问题3：解：设购买钥匙扣个，玩偶个， 由题意得，， 则． 方案一：当时，； 方案二：当时，； 方案三：当时，． 23．（24-25九年级下·湖南永州·期中）某村为建设美丽乡村、为村民提供良好的休闲活动场所，采购了33吨路面砖准备铺设一个村民活动场所，现向某运输公司同时租赁A、B两种车型货车运送．已知用2辆A型车和1辆B型车装满一次可运11吨路面砖，1辆A型车和2辆B型车装满一次可运13吨路面砖． (1)求1辆A型车和1辆B型车都装满面砖一次可分别运多少吨？ (2)若A型车每辆租金为元/次，B型车每辆租金为元/次，33吨路面砖一次运完且恰好每辆车都装满．请求出较省钱的一种租车方案． 【答案】(1)1辆A型车一次可运3吨，1辆B型车一次可运5吨 (2)较省钱的一种租车方案为租A型车1辆，B型车6辆 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）根据设1辆A型车装满路面砖一次可运x吨，1辆B型车装满路面砖一次可运y吨，已知用2辆A型车和1辆B型车一次可运11吨路面砖，1辆A型车和2辆B型车一次可运13吨路面砖．列方程求解即可； （2）设计划同时租用A型车a辆，B型车b辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满一次可运x吨路面砖，1辆B型车装满一次可运y吨路面砖， 由题意得：，解得：， 答：1辆A型车装满一次可运3吨路面砖，1辆B型车装满一次可运5吨路面砖； （2）设租用A型车a辆，B型车b辆，由题意得：，整理得：， ∵a，b均为正整数，∴或，∴有2种租车方案： ①租A型车6辆，B型车3辆，方案租金：（元）， ②租A型车1辆，B型车6辆，方案租金：（元）， ∵， ∴较省钱的一种租车为方案②：A型车1辆，B型车6辆． 24．（24-25七年级下·广东广州·期中）学校计划将一批捐赠图书运往乡村小学．已知使用2辆型车和1辆型车满载时，可运输10吨图书；使用1辆型车和2辆型车满载时一次可运输11吨图书．现有31吨图书需要一次性运输完毕，学校计划同时租用型车辆和型车辆，且每辆车都满载．解答下列问题： (1)求出每辆，型车满载时分别可运输多少吨？ (2)租用一辆型车、型车分别需要300元、380元，请你帮学校设计最省钱租车方案． 【答案】(1)每辆A型车满载时一次可运输3吨，每辆B型满载时一次可运输4吨； (2)学校最省钱租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每辆A型车满载时一次可运输x吨，每辆B型满载时一次可运输y吨，使用2辆型车和1辆型车满载时，可运输10吨图书；使用1辆型车和2辆型车满载时一次可运输11吨图书．据此列方程组并接方程组即可； （2）根据现有31吨图书需要一次性运输完毕列方程，求出整数解，再求出方案的费用比较后即可得到答案． 【详解】（1）设每辆A型车满载时一次可运输x吨，每辆B型满载时一次可运输y吨， 由题意得： ， 解得：， 答：1辆A型车满载时一次可运输3吨，1辆B型满载时一次可运输4吨； （2）由题意得：， ∴， 又∵a、b均为非负整数， ∴或或， ∴该学校共有3种租车方案， 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车； 费用为（元） 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 费用为（元） 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 费用为（元） ∵， ∴学校最省钱租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车． 25．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）“洛阳牡丹甲天下”，牡丹是九朝古都洛阳的一张门票，为推动洛阳旅游业的发展，某校七年级5班举行“洛阳牡丹知多少”主题班会，张老师第一次购买奖品情况的明细表如表：因污损部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题： 商品名 单价（元） 数量（个） 金额（元） 签字笔 3 2 6 圆规 5 笔记本 4 HB铅笔 2 4 合计 7 23 (1)张老师购买圆规，笔记本个多少？ (2)若张老师再次购买笔记本和铅笔两种学习用品，共花费14元，则有哪几种不同的购买方案？ 【答案】(1)张老师买圆规1个，笔记本2个 (2)共有买笔记本1个和HB铅笔5支；买笔记本2个和HB铅笔3支；买笔记本3个和HB铅笔1支等三种购买方案 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找出等量关系，列出二元一次方程（组），是解题的关键． （1）设小陈购买圆规个，笔记本本，根据等量关系，列出关于，的二元一次方程组，即可求解； （2）设小陈第二次购买笔记本本，铅笔支，列出关于m，n的二元一次方程，结合为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：设小陈购买圆规个，笔记本本， 根据题意得：，解得， 答：小陈购买圆规1个，笔记本2本； （2）解：设张老师再次买笔记本m个和铅笔n支， 由题意可得，， 因为m为正整数，所以为正偶数， 所以，，， 答：共有买笔记本1个和铅笔5支；买笔记本2个和铅笔3支；买笔记本3个和铅笔1支等三种购买方案． 26．（24-25七年级下·福建漳州·期中）某汽车公司开发一款新能源汽车，计划一年生产240辆．为能按时完成计划，装配中心抽调一批工人进行组装．经调研，发现：1名高级装配工和2名初级装配工，每月可组装10辆；3名高级装配工和5名初级装配工每月可组装28辆．高级装配工每月工资6000元，初级装配工每月工资2500元． (1)每名高级装配工和初级装配工每月分别可以组装多少辆该款新能源汽车？ (2)若公司同时抽调的高级装配工和初级装配工刚好可以完成一年的组装任务，那么公司有哪几种抽调方案？ (3)在（2）的条件下，要使公司每月支出的工资总额尽可能少，那么公司应抽调多少名初级装配工？ 【答案】(1)每名高级装配工每月可以组装6辆该款新能源汽车，每名初级装配工每月可以组装2辆该款新能源汽车； (2)一共有三种抽调方案：方案一、抽调高级装配工1人，初级装配工7人；方案二、抽调高级装配工2人，初级装配工4人；方案三、抽调高级装配工3人，初级装配工1人 (3)1名 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程和算式是解题的关键． （1）设每名高级装配工每月可以组装x辆该款新能源汽车，每名初级装配工每月可以组装y辆该款新能源汽车，根据1名高级装配工和2名初级装配工，每月可组装10辆；3名高级装配工和5名初级装配工每月可组装28辆建立方程组求解即可； （2）设抽调高级装配工m人，抽调初级装配工n人，根据一年生产240辆列出方程，求出方程的正整数即可得到答案； （3）分配计算出三种方案的费用，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设每名高级装配工每月可以组装x辆该款新能源汽车，每名初级装配工每月可以组装y辆该款新能源汽车， 由题意得， 解得， 答：每名高级装配工每月可以组装6辆该款新能源汽车，每名初级装配工每月可以组装2辆该款新能源汽车； （2）解：设抽调高级装配工m人，抽调初级装配工n人， 由题意得，， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有三种抽调方案：方案一、抽调高级装配工1人，初级装配工7人；方案二、抽调高级装配工2人，初级装配工4人；方案三、抽调高级装配工3人，初级装配工1人； （3）解：选择方案一的费用为：元， 选择方案二的费用为：元， 选择方案三的费用为：元， ∵， ∴要使公司每月支出的工资总额尽可能少，那么公司应抽调1名初级装配工． 题型七 行程问题 27．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 28．（24-25七年级下·福建福州·期中）某市出租车起步价所包含的行驶里程不超过，超过的部分按一定标准另外收取里程费．张华乘坐出租车出行，她第一次乘车行驶的路程为，起步价和里程费共计元；第二次乘车行驶的路程为，起步价和里程费共计元．请计算出租车的起步价和超过后的里程费收费标准各是多少元？若她第三次乘车行驶的路程为，则需要支付的起步价和里程费共计多少元？ 【答案】出租车起步价3元，超过后每公里收费元；元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是准确列出方程组求解． 先设出租车的起步价为元，超过后每公里收费元，列出方程组求解，再求出她第三次乘车行驶的路程为，需要支付的起步价和里程费的费用． 【详解】解：设出租车的起步价为元，超过后每公里收费元， 依题意得： ， 解得：， 因为 所以总费用共计元． 答：出租车起步价3元，超过后每公里收费元，需要支付的起步价和里程费共计元． 29．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路，另一条是外环公路，这两条公路围成四边形，其中且外环公路比市区公路长．在上班高峰时，甲、乙两人驾车从A地出发去B地，甲沿市区公路行驶，汽车平均速度是；乙沿外环公路行驶，汽车平均速度是，结果乙比甲早到．求市区公路和外环公路的长． 小红看到题目后，想到用方程组解决问题： 第一步：设市区公路长为，外环公路的长． 第二步：利用列表法进行分析： 公路 速度 时间 路程 市区公路 40 a x 外环公路 80 b y 第三步：列方程组； 第四步：解方程组； 第五步：检验并作答． 问题解决： (1)请用含x，y的代数式分别表示a、b．则________，________； (2)请按小红的思路求市区公路和外环公路的长． (3)小红调查了市区公路的限速及非上班高峰的平均车速为，如果外环公路平均车速保持不变，所以她说无论哪个时段走外环公路用时都比走市区公路用时短，你同意她的说法吗，通过计算进行说理． 【答案】(1)， (2)市区公路的长为，外环公路的长为 (3)同意，理由见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，代数式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据“路程=速度乘以时间”，即可解答． （2）根据题意，列出二元一次方程组，解出方程组，即可解答． （3）分别求出各时间段的所需的时间，再比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：依题意，得， 解得， 答：市区公路的长为，外环公路的长为． （3）解：同意，理由如下： 在早高峰时由（2）可知走外环公路用时少， 在非高峰时，走市区路公路用时：， 走外环公路用时：， ， 无论哪个时段走外环公路都是用时都比走市区公路用时短． 30．（2025七年级下·全国·专题练习）小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 【答案】9千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可解答． 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意得：， 解得：， 则（千米）， 答：从出发点到景区的路程是9千米． 31．（23-24七年级下·重庆·月考）一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时． (1)求水流速度和AB两地之间的距离； (2)若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，问两地相距多少千米？ 【答案】(1)水流速度为5千米/时，两地相距120千米 (2)相距千米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程或方程组． （1）设水流速度为x千米/时，两地相距y千米，则轮船在顺水中的速度为千米/时，在逆水中的速度为千米/时，根据等量关系列出方程组，解方程组即可； （2）设相距m千米，根据轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设水流速度为x千米/时，两地相距y千米，则轮船在顺水中的速度为千米/时，在逆水中的速度为千米/时，根据题意得： ， 解得：， 答：水流速度为5千米时，两地相距120千米． （2）解：设相距m千米，根据题意得： 答：相距千米． 题型八 销售利润问题 32．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）某电器超市销售每台进价分别为80元、200元的A、B两种型号的电风扇，如表所示是四月份前2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 6 5 2100元 第二周 4 10 3400元 (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市一共采购这两种型号的电风扇共120台，且销售完后该超市要获得8000元的利润，求采购A、B两种型号的电风扇各多少台？ 【答案】(1)A种型号的电风扇的销售单价为100元，B种型号的电风扇的销售单价为300元 (2)采购A种型号的电风扇50台，B种型号的电风扇70台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元，利用销售收入=销售单价×销售数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设采购A种型号的电风扇m台，B种型号的电风扇n台，根据“超市一共采购这两种型号的电风扇共120台，且销售完后该超市要获得8000元的利润”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种型号的电风扇的销售单价为100元，B种型号的电风扇的销售单价为300元； （2）解：设采购A种型号的电风扇m台，B种型号的电风扇n台， 根据题意得：， 解得：． 答：采购A种型号的电风扇50台，B种型号的电风扇70台． 33．（24-25七年级下·云南昆明·期中）杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“莲莲”是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人某纪念品店购进了一批吉祥物，其中“宸宸”、“莲莲”共200个，花费8800元，这两种吉祥物的进价和售价如表： 吉祥物名称 宸宸 莲莲 进价（元/个） 50 40 售价（元/个） 80 60 (1)该纪念品店购进“宸宸”和“莲莲”，各多少个？ (2)龙老师有幸能参加本次亚运会，他想买20个“宸宸”，30个“莲莲”送给他的学生，现在有两个玩具店在做活动，甲商店打“八折”销售，乙商店总价“满3000元减400元”，请问龙老师会选择到哪个商店买更优惠？ 【答案】(1)该经销商购进“宸宸”和“莲莲”分别为 80 个， 120 个 (2)龙老师会选择到甲商店买更优惠 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的列出方程组，是解题的关键． （1）设该经销商购进“宸宸”和“莲莲”分别为个，个，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）根据两种优惠方案，列式计算出各个方案所需的费用，进行比较即可． 【详解】（1）解：设该经销商购进“宸宸”和“莲莲”分别为个，个， 由题意知：， 解得：， 答：该经销商购进“宸宸”和“莲莲”分别为 80 个， 120 个． （2）解：龙老师在甲商店购买需要的费用为：（元）， 在乙商店购买需要的费用为：（元））， ， ∴龙老师会选择到甲商店买更优惠． 34．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）某商店决定购进两种计算器，若购进种计算器7件，种计算器3件，需要640元；若购进种计算器3件，种计算器5件，需要590元． (1)求购进两种计算器每台需多少元？ (2)若该商店决定拿出1700元全部用来购进这两种计算器，钱正好用完，那么该商店共有几种进货方案？（允许只买种或只买种）． (3)若销售每件种计算器可获利润15元，每件种计算器可获利润10元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种计算机55元一台，B种计算机85元一台 (2)两种 (3)购进A种计算机17台，B种计算机9台利润大，利润为345元 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． （1）设种计算器单价元，种计算器单价元，根据“购进种计算器7件，种计算器3件，需要640元；若购进种计算器3件，种计算器5件，需要590元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A种计算机台，B种计算机台，正好用完1700元，根据总价单价数量结合（1）的结论，即可得出关于a、b的二元一次方程，再由a、b均为非负整数解，即可找出各进货方案； （3）由上述两个方案算出每种方案利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设种计算器单价元，种计算器单价元． 可列方程：， 解得：， 答：A种计算机55元一台，B种计算机85元一台． （2）解：设购进A种计算机台，B种计算机台． 由题意可得方程， 变形可得：， 则非负整数解为和， 答：有两种进货方案． （3）解：方案一：（元）， 方案二：（元）， 答：方案一的利润大，利润为345元． 35．（24-25七年级下·重庆万州·期中）亚洲冬季运动会于 2025 年 2 月 7 日在我国哈尔滨举行，某经销商销售带有“滨滨”吉祥物标志的甲、乙两种纪念品，已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如表： 种类 种类进价（元/件） 售价（元/件） 甲 50 80 乙 70 90 (1)经销商第一次购进甲类和乙类纪念品共 200 个，全部销售完后总利润（利润＝售价－进价）为 4700 元，求甲类和乙类纪念品分别购进多少个？ (2)经销商第二次购进了与第（1）问中第一次购进一样多的甲类和乙类纪念品，由于两类纪念品进价都比上次优惠了，甲类纪念品进行打折出售，乙类纪念品价格不变，全部销售完后总利润比上次还多赚 1400 元，求甲类纪念品打了几折？ 【答案】(1)70 ；130 (2)八折 【分析】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，明确题意，找准等量关系是解答本题的关键． （1）设甲类x个，则乙类个，根据题意列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解； （2）设甲类打y折，根据题意列出关于y的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设甲类x个，则乙类y个，由题意得： ， 解得： ∴（个）， 答：甲类纪念品购进70个，乙类纪念品购进130个． （2）设甲类打y折，由题意得： ， 解得：． 答：甲类纪念品打了八折． 题型九 工程/配套问题 36．（23-24八年级上·广东梅州·期中）为绿化祖国的大好河山，每年的3月日是全国的植树节活动，某学校组织一批树苗给学生栽种，绿化一片荒地，初一年级的同学接受这个光荣的任务，一班的同学若每人种6棵，则剩下棵树苗无人栽种，若每人种7棵，还能帮其他班级栽种棵，一班有多少个同学，领到有多少棵树苗？ 【答案】一班有个同学，领到有棵树苗； 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设一班有x个同学，领到有y棵树苗，根据数量列方程求解即可得到答案； 【详解】解：设一班有x个同学，领到有y棵树苗，由题意得， ， 解得， 答：一班有个同学，领到有棵树苗． 37．（24-25七年级下·重庆·期中）春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，沙坪坝区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 【答案】(1)该工厂有男工25人，女工65人 (2)安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设该工厂有男工x名，女工y名，根据题意列出方程组，即可得出答案； （2）设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套，根据题意列出方程组，即可得出答案． 【详解】（1）解：设该工厂有男工x名，女工y名， 根据题意，得， 解得：， 答：设该工厂有男工25人，女工65人． （2）解：设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套， 根据题意，得， 解得：， 答：安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套． 38．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践． 【素材1】某工厂计划日生产件零件． 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 日薪酬（元/人） 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划． 【问题】 (1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ (2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ (3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案． 【答案】(1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工 (2)需要安排初级工5人，高级工人 (3)应安排初级工名，高级工8名 【分析】本题考查了二元一次方程组得应用，二元一次方程的应用以及一元一次方程的应用．找准等量关系，列出正确的等式是解题的关键． （1）设需要安排名初级工，根据需要日生产件零件，可列出关于的一员一次方程，解之即可； （2）设需要安排初级工x人，高级工y人，根据日生产件零件且该工厂每日支付薪酬元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可； （3）设需要安排参与生产的初级工人，高级工人，根据日生产件零件，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，可得出各安排方案，结合每4名初级工生产时需要1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），可列表得出具体安排方案，再求出选择各方案需支出工人的总日薪酬，比较后即可得出答案． 【详解】（1）解：设需要安排名初级工， 根据题意得：， 解得：， 答：若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工． （2）解：设安排初级工x人，高级工y人 ，解得 答：需要安排初级工5人，高级工人． （3）解：设参与生产的初级工人，高级工人 则，化简得， 则为5的倍数，可列表如下： 0 5 5 参与指导的高级工人数 8 6 4 2 高级工人数 8 费用 ∴应安排初级工29名，高级工8名． 39．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)， (2)加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； (3)最多可加工铁盒19个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2张，即可求解； （2）设加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，根据题意列出方程组求解即可； （3）设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片张， 正方形铁片张； 故答案为：，； （2）解：设加工的竖式铁容器有m个，横式铁容器有n个，由题意得 ， 解得 故加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； （3）解：设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，由题意得 解得 ∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做（片）， 9张做正方形铁片可做（片）， 剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片， 共可做长方形铁片（片），正方形铁片（片） ∴可做铁盒（个） 答：最多可加工铁盒19个． 题型十 几何面积问题 40．（24-25七年级下·河南南阳·期中）小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图①所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图②所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为3 mm的小正方形！求每个小长方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设每个长方形的宽为，长为，据长和宽的关系得到二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设每个长方形的宽为，长为．根据题意，得 解得 ∴面积为， 答：每个小长方形的面积为． 41．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为． (1)求每块小长方形墙砖的长和宽； (2)求电视背景墙的面积． 【答案】(1)长为，宽为 (2) 【分析】本题考查二元一次方程组解实际应用题、长方形面积等知识，读懂题意列出方程是解决问题的关键． （1）设一块长方形墙砖的长为，宽为，列方程组求解即可得到答案； （2）利用面积公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设一块长方形墙砖的长为，宽为， 依题意得，解得， 答：一块长方形墙砖的长为，宽为； （2）解：求电视背景墙的面积为， 答：电视背景墙的面积为． 42．（22-23七年级下·河南新乡·月考）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)小长方形的长为，宽为； (2)． 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）由（）得：小长方形的长为，宽为， ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 题型十一 特殊解问题 43．（24-25七年级下·山东淄博·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②-①得：③ ③得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知求的值； （2）若关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解______． 【实际应用】 （3）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）18；（2），（3）450元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）对比两个方程组，利用换元、整体代换方法解方程组即可； （3）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）解： 关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴关于x、y的二元一次方程组中，， 解得：， （3）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 44．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）阅读材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以设，，则原方程组可以变形为，解得，将a、b转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法． 请用换元法解方程组： (1)若方程组的解是，则方程组的解是 ； A．       B．        C．        D． (2)已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中，，，都为常数） 【答案】(1)D (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握换元法是解此题的关键． （1）结合题干所给例子，利用换元法解方程组即可； （2）结合题干所给例子，利用换元法解方程组即可． 【详解】（1）解：设，，则方程组可变形为， ∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， ∴， ∴， 故选：D； （2）解：∵， ∴， 设，，则方程组可变形为， ∵关于x，y的方程组的解是， ∴， ∴， 解得． 45．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可转化为，运用以上知识解决下列问题： (1)解方程组； (2)关于x，y的二元一次方程组解为，求方程组的解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查换元法解分式方程，解二元一次方程组，二元一次方程组的，熟练掌握解方程及方程组的方法是解题的关键． （1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得答案. 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解：∵关于x，y二元一次方程组的解为， ，解得：. 46．（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么在关于a，b的二元一次方程组，中，______，______； (2)用材料中的方法解二元一次方程组． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键． （1）设，，原方程组可化为，根据的解为，即可求解； （2）设，，原方程组可化为，解得，即，即可求解． 【详解】（1）解：设，， 原方程组可化为， 的解为， ， 故答案为：，； （2） 设，， 原方程组可化为， 解得， 即， 解得， 原方程组的解为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二元一次方程组的压轴题（11大压轴题型） 题型1 含参二元一次方程组 题型7 行程问题 题型2 整数解问题 题型8 销售利润问题 题型3 错解问题 题型9 工程/配套问题 题型4 同解问题 题型10 几何面积问题 题型5 新定义问题 题型11 特殊解问题 题型6 方案选择 题型一 含参二元一次方程组 1．（21-22七年级下·浙江温州·期中）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南郑州·期中）若是二元一次方程组的解，则的值是（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若关于，的方程组   的解为 则 的值为 ______． 4．（24-25七年级下·四川德阳·期中）小亮解方程组 的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（　　） A．4和 B．和 C．2和8 D．8和 5．（23-24八年级上·河南郑州·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为________． 题型二 整数解问题 6．（24-25七年级下·北京顺义·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 7．（25-26八年级上·重庆·期中）若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（   ） A．8 B．7 C．3 D．2 8．（23-24七年级下·浙江嘉兴·月考）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)请直接写出方程的所有正整数解； 题型三 错解问题 9．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则________． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值． 11．（24-25七年级下·四川泸州·期中）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了①方程中的a，解得，小童看错了②中的b，解得 (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 12．（24-25七年级下·江西宜春·期中）已知关于x、y的方程组，甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为．求原方程组的正确解． 题型四 同解问题 13．（24-25七年级下·重庆·期中）已知关于的方程和方程组有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 14．（24-25七年级下·四川乐山·期中）已知方程组和的解相同，求代数式的值． 15．（24-25七年级下·四川内江·期中）关于，的方程组和的解相同，求，的值． 16．（24-25七年级下·四川德阳·期末）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求，的值； (2)证明：无论取何值，方程组的解都是关于，的方程的解． 17．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求a，b的值； (3)请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由． 题型五 新定义运问题 18．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 19．（24-25七年级下·山东淄博·期中）请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题．我们定义一个关于非零常数，的新运算，规定：○，例如：4○5． (1)如果，2〇，求的值； (2)若1〇，4〇，求，的值． 20．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 21．（24-25七年级下·四川南充·期中）定义：当两个实数，满足，则称这两实数x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组中方程组的解与具有“友好关系”，试求出方程组的解及a，b的正整数值． 题型六 方案选择 22．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践 素材1：学校组织爱心义卖，七年级(1)班选定一家商店采购义卖商品．该商店销售钥匙扣每个4元，玩偶每个2元． 素材2：为支持爱心事业，商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠． 方案二 购买玩偶满50个，立减10元． 问题1：若班委购买钥匙扣和玩偶各40个，一共花费多少元？ 问题2：班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，求钥匙扣和玩偶各购买了多少个？ 问题3：现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，通过计算设计购买方案． 23．（24-25九年级下·湖南永州·期中）某村为建设美丽乡村、为村民提供良好的休闲活动场所，采购了33吨路面砖准备铺设一个村民活动场所，现向某运输公司同时租赁A、B两种车型货车运送．已知用2辆A型车和1辆B型车装满一次可运11吨路面砖，1辆A型车和2辆B型车装满一次可运13吨路面砖． (1)求1辆A型车和1辆B型车都装满面砖一次可分别运多少吨？ (2)若A型车每辆租金为元/次，B型车每辆租金为元/次，33吨路面砖一次运完且恰好每辆车都装满．请求出较省钱的一种租车方案． 24．（24-25七年级下·广东广州·期中）学校计划将一批捐赠图书运往乡村小学．已知使用2辆型车和1辆型车满载时，可运输10吨图书；使用1辆型车和2辆型车满载时一次可运输11吨图书．现有31吨图书需要一次性运输完毕，学校计划同时租用型车辆和型车辆，且每辆车都满载．解答下列问题： (1)求出每辆，型车满载时分别可运输多少吨？ (2)租用一辆型车、型车分别需要300元、380元，请你帮学校设计最省钱租车方案． 25．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）“洛阳牡丹甲天下”，牡丹是九朝古都洛阳的一张门票，为推动洛阳旅游业的发展，某校七年级5班举行“洛阳牡丹知多少”主题班会，张老师第一次购买奖品情况的明细表如表：因污损部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题： 商品名 单价（元） 数量（个） 金额（元） 签字笔 3 2 6 圆规 5 笔记本 4 HB铅笔 2 4 合计 7 23 (1)张老师购买圆规，笔记本个多少？ (2)若张老师再次购买笔记本和铅笔两种学习用品，共花费14元，则有哪几种不同的购买方案？ 26．（24-25七年级下·福建漳州·期中）某汽车公司开发一款新能源汽车，计划一年生产240辆．为能按时完成计划，装配中心抽调一批工人进行组装．经调研，发现：1名高级装配工和2名初级装配工，每月可组装10辆；3名高级装配工和5名初级装配工每月可组装28辆．高级装配工每月工资6000元，初级装配工每月工资2500元． (1)每名高级装配工和初级装配工每月分别可以组装多少辆该款新能源汽车？ (2)若公司同时抽调的高级装配工和初级装配工刚好可以完成一年的组装任务，那么公司有哪几种抽调方案？ (3)在（2）的条件下，要使公司每月支出的工资总额尽可能少，那么公司应抽调多少名初级装配工？ 题型七 行程问题 27．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 28．（24-25七年级下·福建福州·期中）某市出租车起步价所包含的行驶里程不超过，超过的部分按一定标准另外收取里程费．张华乘坐出租车出行，她第一次乘车行驶的路程为，起步价和里程费共计元；第二次乘车行驶的路程为，起步价和里程费共计元．请计算出租车的起步价和超过后的里程费收费标准各是多少元？若她第三次乘车行驶的路程为，则需要支付的起步价和里程费共计多少元？ 29．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路，另一条是外环公路，这两条公路围成四边形，其中且外环公路比市区公路长．在上班高峰时，甲、乙两人驾车从A地出发去B地，甲沿市区公路行驶，汽车平均速度是；乙沿外环公路行驶，汽车平均速度是，结果乙比甲早到．求市区公路和外环公路的长． 小红看到题目后，想到用方程组解决问题： 第一步：设市区公路长为，外环公路的长． 第二步：利用列表法进行分析： 公路 速度 时间 路程 市区公路 40 a x 外环公路 80 b y 第三步：列方程组； 第四步：解方程组； 第五步：检验并作答． 问题解决： (1)请用含x，y的代数式分别表示a、b．则________，________； (2)请按小红的思路求市区公路和外环公路的长． (3)小红调查了市区公路的限速及非上班高峰的平均车速为，如果外环公路平均车速保持不变，所以她说无论哪个时段走外环公路用时都比走市区公路用时短，你同意她的说法吗，通过计算进行说理． 30．（2025七年级下·全国·专题练习）小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 31．（23-24七年级下·重庆·月考）一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时． (1)求水流速度和AB两地之间的距离； (2)若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，问两地相距多少千米？ 题型八 销售利润问题 32．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）某电器超市销售每台进价分别为80元、200元的A、B两种型号的电风扇，如表所示是四月份前2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 6 5 2100元 第二周 4 10 3400元 (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市一共采购这两种型号的电风扇共120台，且销售完后该超市要获得8000元的利润，求采购A、B两种型号的电风扇各多少台？ 33．（24-25七年级下·云南昆明·期中）杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“莲莲”是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人某纪念品店购进了一批吉祥物，其中“宸宸”、“莲莲”共200个，花费8800元，这两种吉祥物的进价和售价如表： 吉祥物名称 宸宸 莲莲 进价（元/个） 50 40 售价（元/个） 80 60 (1)该纪念品店购进“宸宸”和“莲莲”，各多少个？ (2)龙老师有幸能参加本次亚运会，他想买20个“宸宸”，30个“莲莲”送给他的学生，现在有两个玩具店在做活动，甲商店打“八折”销售，乙商店总价“满3000元减400元”，请问龙老师会选择到哪个商店买更优惠？ 34．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）某商店决定购进两种计算器，若购进种计算器7件，种计算器3件，需要640元；若购进种计算器3件，种计算器5件，需要590元． (1)求购进两种计算器每台需多少元？ (2)若该商店决定拿出1700元全部用来购进这两种计算器，钱正好用完，那么该商店共有几种进货方案？（允许只买种或只买种）． (3)若销售每件种计算器可获利润15元，每件种计算器可获利润10元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 35．（24-25七年级下·重庆万州·期中）亚洲冬季运动会于 2025 年 2 月 7 日在我国哈尔滨举行，某经销商销售带有“滨滨”吉祥物标志的甲、乙两种纪念品，已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如表： 种类 种类进价（元/件） 售价（元/件） 甲 50 80 乙 70 90 (1)经销商第一次购进甲类和乙类纪念品共 200 个，全部销售完后总利润（利润＝售价－进价）为 4700 元，求甲类和乙类纪念品分别购进多少个？ (2)经销商第二次购进了与第（1）问中第一次购进一样多的甲类和乙类纪念品，由于两类纪念品进价都比上次优惠了，甲类纪念品进行打折出售，乙类纪念品价格不变，全部销售完后总利润比上次还多赚 1400 元，求甲类纪念品打了几折？ 题型九 工程/配套问题 36．（23-24八年级上·广东梅州·期中）为绿化祖国的大好河山，每年的3月日是全国的植树节活动，某学校组织一批树苗给学生栽种，绿化一片荒地，初一年级的同学接受这个光荣的任务，一班的同学若每人种6棵，则剩下棵树苗无人栽种，若每人种7棵，还能帮其他班级栽种棵，一班有多少个同学，领到有多少棵树苗？ 37．（24-25七年级下·重庆·期中）春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，沙坪坝区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 38．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践． 【素材1】某工厂计划日生产件零件． 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 日薪酬（元/人） 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划． 【问题】 (1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ (2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ (3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案． 39．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 题型十 几何面积问题 40．（24-25七年级下·河南南阳·期中）小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图①所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图②所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为3 mm的小正方形！求每个小长方形的面积． 41．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为． (1)求每块小长方形墙砖的长和宽； (2)求电视背景墙的面积． 42．（22-23七年级下·河南新乡·月考）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 题型十一 特殊解问题 43．（24-25七年级下·山东淄博·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②-①得：③ ③得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知求的值； （2）若关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解______． 【实际应用】 （3）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 44．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）阅读材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以设，，则原方程组可以变形为，解得，将a、b转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法． 请用换元法解方程组： (1)若方程组的解是，则方程组的解是 ； A．       B．        C．        D． (2)已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中，，，都为常数） 45．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可转化为，运用以上知识解决下列问题： (1)解方程组； (2)关于x，y的二元一次方程组解为，求方程组的解． 46．（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么在关于a，b的二元一次方程组，中，______，______； (2)用材料中的方法解二元一次方程组． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $