期中真题百练通关常考18大题型（期中专项训练）高二数学下学期沪教版

期中真题百练通关（常考） 题型一、直线的倾斜角与斜率 题型十、双曲线的标准方程 题型二、直线的方程 题型十一、双曲线的性质 题型三、两条直线的位置关系 题型十二、抛物线的标准方程 题型四、点到直线的距离 题型十三、抛物线的性质 题型五、圆的一般方程 题型十四、曲线与方程 题型六、直线与圆的位置关系 题型十五、空间向量的坐标表示 题型七、圆与圆的位置关系 题型十六、空间向量在立体几何中的应用 题型八、椭圆的标准方程 题型十七、等比数列 题型九、椭圆的性质 题型十八、数列 题型一、直线的倾斜角与斜率 1．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 2．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线的倾斜角是________． 【答案】/ 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据直线倾斜角定义可得结果. 【详解】易知直线是垂直于轴的竖线，因此倾斜角是. 故答案为： 3．（24-25高二下·上海·期中）已知一条直线经过点 、 ，则直线 的倾斜角是_____. 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】根据斜率公式，即可求解. 【详解】，所以. 故答案为： 4．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线过点和，则的斜率为__． 【答案】 【知识点】已知两点求斜率 【分析】根据斜率的计算公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 题型二、直线的方程 5．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线的一个法向量可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】点法向式方程 【分析】由题意根据所给的直线方程利用直线的法向量的意义即可得出，从而可以得出结果 【详解】直线化为，斜率为，一个法向量可以是. 故答案为：.(答案不唯一) 6．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知点、，则直线的方程是___________. 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】先根据两点求直线的斜率，再由点斜式方程即可求解. 【详解】设直线的斜率为，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 7．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知直线经过点，且与直线的夹角为，则直线的一般式方程为________． 【答案】或 【知识点】反三角函数、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、直线的一般式方程及辨析 【分析】设直线的倾斜角为，两直线夹角为，可得，分类讨论的斜率是否存在，结合两直线的夹角公式分析求解. 【详解】由题意可知：直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 则，解得， 设两直线夹角为，则， 可得，所以. 设直线的倾斜角为，则，， ①当时，， 此时，则轴，直线的方程为； ②当时，显然直线的斜率存在， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即； 综上所述：的方程为或． 故答案为：或． 8．（24-25高二下·上海·期中）已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为______． 【答案】或， 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线的点斜式方程及辨析、求平面两点间的距离 【分析】表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，即可得到直线方程. 【详解】因为直线与轴、轴分别交于点、点， 所以直线的斜率存在，可设直线的方程为， 所以，，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 此时直线的方程为或， 故答案为：或， 题型三、两条直线的位置关系 9．（24-25高二下·上海·期中）已知向量为直线的一个法向量，则a的值为________． 【答案】976 【知识点】根据直线的法向量求直线方程 【分析】根据直线法向量定义计算求参. 【详解】因为向量为直线的一个法向量， 则，所以. 故答案为：976. 10．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则________． 【答案】 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】讨论直线斜率存在与否，再根据直线垂直的性质，即可求解. 【详解】由题知，斜率为， 若，则，，不垂直； 若，则，，不垂直； 若，则斜率为， 所以，解得. 故答案为： 11．（24-25高二下·上海徐汇·期中）在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为________． 【答案】 【知识点】直线综合、已知直线垂直求参数、直线两点式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】联立的平分线直线方程和边上的高所在直线方程可求出点坐标，利用角平分线的性质结合点关于直线的对称点的计算可求出直线的方程，再利用边上的高所在直线的斜率以及点坐标求出直线的方程，联立求解即可得到点的坐标. 【详解】由解得，所以. 因为的平分线所在直线方程是，所以点关于直线的对称点在所在直线上， 所以直线的方程为，整理得. 又边上的高所在直线是，其斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得. 由，解得，所以则点的坐标为. 故答案为：. 12．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若两条直线 与 垂直，则 的值为_____. 【答案】/ 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据题意，由直线垂直的判断方法，分析可得，解可得的值； 【详解】根据题意，直线． 若与垂直，必有，解得. 故答案为： 13．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知直线过点，且被两平行直线和截得的线段长度为5，求直线的方程． 【答案】或 【知识点】求直线交点坐标、求平面两点间的距离 【分析】设出直线与直线的交点坐标，根据给定条件列式探求两个交点坐标间的关系，求出直线方程作答. 【详解】设直线与直线分别交于点， 则，两式相减得：，而， 即，解得或， 由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意， 由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意， 所以直线l的方程为或. 题型四、点到直线的距离 14．（24-25高二下·上海杨浦·期中）在平面上的线段及点，在上取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. 设是长为2的线段，则点集所表示图形的面积是_____. 【答案】 【知识点】距离新定义 【分析】先分析出该集合所对应的图形形状，再分别计算各部分图形的面积，最后将各部分面积相加得到总面积. 【详解】已知集合所表示的图形是一个边长为的正方形和两个半径是的半圆.如图所示. 将正方形面积和圆的面积相加，可得点集所表示图形的面积. 故答案为：. 15．（24-25高二下·上海宝山·期中）点到直线的距离为________． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离 【分析】由点到线的距离公式即可求解. 【详解】点到直线的距离为， 故答案为： 16．（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为________； 【答案】或 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式求出值. 【详解】直线，即与直线之间的距离为， 则，解得或，经验证，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或 17．（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示A、B、C到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为． (1)已知定点，，，直线l的方程为，求的值； (2)已知，，为给定的不共线的三点，若直线使得，求证：直线过的重心； (3)若对于，满足的不同直线l至少有两条，试判断的形状，并予以证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)等边三角形，证明见解析 【知识点】辅助角公式、直线过定点问题、求点到直线的距离、距离新定义 【分析】（1）根据定义及点到直线距离公式即可求解； （2）设，，，直线，根据定义得出，由二次函数的性质得，，代入直线方程即可证明； （3）不妨设，，，，l的方程为，，得出，由反证法得出，即可证明． 【详解】（1），，， 故． （2）设，，，直线， 对任意固定的a、b，要使得 ，最小， 那么由二次函数的性质可得，， 此时直线方程为， 过的重心，因此过的重心． （3）由（2）知，取最小值时，l过的重心，不失一般性， 不妨设，，，其中， 此时l的方程为，这里θ表示直线l的倾斜角， 此时 ， 此时为关于θ的函数、定义域为的函数， 令，，， 则， 若或，那么函数在上有且仅有一个最小值，这与已知条件取最小值至少有两条直线满足条件矛盾． 因此必须有且，即， 由得， 不妨取， 所以，，， 所以，即， 所以为等边三角形． 18．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标、求平面两点间的距离、求点到直线的距离 【分析】（1）确定直线的方程及，利用点到直线的距离求三角形的高，再求三角形面积； （2）的斜率求得高线的斜率，再根据B的坐标，写出高线方程，求出的中点，即可求出边上的中线，然后联立高线方程和中线方程，求交点坐标即可. 【详解】（1）因为，所以直线的方程为，即. 所以点到直线的距离. 因为， 所以. （2）因为，所以AC边上的高的斜率为， 所以AC边上的高线的方程为，即. 因为、的中点为，又，所以边上的中线方程为， 由，解得， 所以边上的中线与AC边上的高的交点坐标为. 题型五、圆的一般方程 19．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 20．（24-25高二下·上海·期中）圆的圆心坐标为________． 【答案】 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】化一般方程为标准方程，得到圆心坐标. 【详解】圆， 得， 得圆心坐标为. 故答案为： 21．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为________． 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】利用对称求出圆心坐标和半径即得所求圆的方程. 【详解】圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径， 而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等， 即圆心，半径， 所以圆的标准方程为：. 故答案为： 22．（24-25高二下·上海徐汇·期中）圆的圆心坐标是________． 【答案】 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出圆心坐标. 【详解】圆的标准方程为，故该圆的圆心坐标为. 故答案为：. 题型六、直线与圆的位置关系 23．（24-25高二下·上海·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是_______. 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据直线与圆相切时满足的关系，以及点到直线的距离公式，准确画出曲线方程所表示曲线形状解决问题. 【详解】曲线即, 如图所示，当即时，直线与曲线有两个公共点， 直线向左上移动，当直线与曲线相切时，有一个公共点， 原点到直线的距离为半径，即，解得， 所以，当有两个公共点时. 故答案为：. 24．（24-25高二下·上海徐汇·期中）平面直角坐标系中，已知圆与圆交于点、两点，其中．两圆半径之积为，若两圆均与直线和轴相切，则直线的方程为________． 【答案】 【知识点】二倍角的正切公式、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】设两个圆的方程为，依题意可得且，根据圆过点得到，设的倾斜角为，则，令，则，代入前述方程，利用韦达定理求出，最后由二倍角公式计算可得. 【详解】由题意设两个圆的方程为， 依题意可得且． 因为两圆均过点，所以①， 设的倾斜角为，则，． 令，则．将其代入式①整理得． 由韦达定理可得，从而（负值已舍去）， 所以， 故直线的方程为． 故答案为： 25．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线与圆在第一象限有交点，则的范围是________． 【答案】 【知识点】两条直线的到（夹）角公式、直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由直线方程可得其所过定点，由圆的方程可得其与坐标轴正半轴的交点，由题意可直观想象直线的位置，进而可得斜率的范围，可得答案. 【详解】由直线，整理可得，则直线过定点， 由圆，则圆与坐标轴正半轴的交点分别为与， 由题意可得直线在点与连线与点与连线之间， 由直线斜率为，则或，解得或. 故答案为：. 26．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是________． 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】画出图象，数形结合，求出直线与半圆恰好相切时的值，再求出临界值，即可得解. 【详解】由，则，且， 所以表示以为圆心，为半径的圆在及直线右侧部分， 直线是与平行的直线， 如图所示： 当直线与曲线相切时，则（正值舍去）， 当直线过点时，，结合图形分析得的取值范围是. 故答案为：. 27．（24-25高二下·上海浦东新·期中）上海市实验学校高二理科班学习创新小组在一次偶然情况下发现：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”其诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.上实高二理科班创新学习小组做了两种假设：（1）若军营所在区域为：；（2）若军营所在区域为：；试问军营在（1）（2）两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程的相差值为__________. 【答案】 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】若军营所在区域为，利用圆的方程的知识画出军营区域及河岸线，作出关于河岸线的对称点，根据对称性质和圆的性质即可求得；若军营所在区域为，先画出在第一象限的军营区域，再利用对称性画出运营区域，注意观察军营区域内哪一个到最近，即可求得. 【详解】（1) 若军营所在区域为， 圆：的圆心为原点，半径为1，作图1如下： 设将军饮马点为，到达营区点为，设为关于直线的对称点， 因为，所以线段的中点为，则， 又，联立解得：，即. 所以总路程，要使得总路程最短，只需要最短， 即点到圆上的点的最短距离，即为.      （2）军营所在区域为， 对于，在，时为，令，得，令，则， 图形为连接点和的线段，根据对称性得到的图形为图2中所示的菱形， 容易知道：为这个菱形的内部(包括边界). 由图2可知，最短路径为线段，连接交直线于点， 则饮马最佳点为点Q，所以点到区域最短距离. 即“将军饮马”最短总路程为. 综上：两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程相差值为. 故答案为：. 题型七、圆与圆的位置关系 28．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【知识点】求平面两点间的距离、由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系 【分析】由圆的标准方程可知圆心坐标与半径，比较圆心距与半径和差的大小，可得答案. 【详解】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 则，，， 由，则两圆相交. 故选：C. 29．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【答案】C 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、判断圆与圆的位置关系 【分析】求解两圆的圆心和半径，计算圆心距和两半径之间的关系，即可求解. 【详解】， 故的圆心为，半径为， ， 故的圆心为，半径为， 故，当且仅当时，等号成立，而， 当时，两圆外离或相交，时，两圆内切， 故两圆不可能内含. 故选：C 30．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知圆与圆内切，则实数______． 【答案】 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据两圆内切列方程，求解即可解答. 【详解】，故圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为2， 因为两圆内切，所以两圆圆心距离为两半径之差，故，解得. 故答案为： 31．（24-25高二下·上海静安·期中）若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】求出圆心距满足的范围，得到答案. 【详解】设圆心距为，由于两圆相交，故，即， 所以ABD错误，C正确. 故选：C 32．（24-25高二下·上海徐汇·期中）两圆和的公共弦长为________． 【答案】 【知识点】两圆的公共弦长 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再两圆方程作差得到公共弦方程，求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 又，所以，即两圆相交， 两圆方程作差得到公共弦方程为， 又圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 题型八、椭圆的标准方程 33．（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆的左焦点为F，A、B为椭圆上两点，且直线经过椭圆的右焦点，则的周长为________． 【答案】8 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】根据椭圆定义得出焦点三角形周长即可. 【详解】因为椭圆，所以，设椭圆右焦点为， 由椭圆定义得 则的周长为． 故答案为：8. 34．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若对任意实数 ，直线 与焦点在 轴上的椭圆 至少有一个交点，则实数 的取值范围是_____. 【答案】 【知识点】直线过定点问题、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】先求得直线过的定点坐标，再根据直线与椭圆总有公共点，由点P在椭圆上或在椭圆的内部求解. 【详解】直线，即，直线恒过定点， 直线与椭圆至少有1个公共点等价于点在椭圆内或在椭圆上． 所以，即，又，故． 故答案为：. 35．（24-25高二下·上海静安·期中）设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________． 【答案】 【知识点】椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦点的位置列出关于的不等式组，求解即可. 【详解】由题意可得： ，解得：. 所以的取值围为：. 故答案为：. 题型九、椭圆的性质 36．（24-25高二下·上海·期中）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据椭圆的对称性，找到、、与地球半径之间关系，求解即可. 【详解】由题知，记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为、、，由题可知， 由题意可得， 上述两个等式相乘可得， 因此，卫星运行的轨道的短轴长为千米. 故选：A. 37．（24-25高二下·上海·期中）已知曲线：的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线上的任意一点， 设点C满足，且的最大值为7，则的值是__________． 【答案】7或 【知识点】由向量共线（平行）求参数、根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆中的最值问题 【分析】设，写出两点间的距离公式，分类利用配方法求最值，可得m值，结合，求得的值． 【详解】由曲线：，得，则， 设，则，得， 设，则 ， 若，则，得， 即，解得或（舍去）． 此时，则，由，得； 若，，得， 即，解得或（舍去）． 此时，则，由，得 故的值为7或． 故答案为：7或    38．（24-25高二下·上海徐汇·期中）一个顶点是，长轴长是短轴长2倍的椭圆标准方程是________． 【答案】或 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的长轴、短轴 【分析】依题意分别讨论椭圆焦点在轴，轴上时的长轴、短轴的长，代入标准方程即可. 【详解】当是短轴端点时，可知椭圆焦点在轴上， 此时短轴长为，长轴长，即， 所以椭圆方程为； 当是长轴端点时，可知椭圆焦点在轴上， 此时长轴长为，短轴长，即， 所以椭圆方程为； 故答案为：或. 39．（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆过点，其右焦点为．过点作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与直线交于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【知识点】由斜率判断两条直线垂直、根据椭圆过的点求标准方程、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）将已知点的坐标代入题干中所给的方程，可得答案； （2）根据向量的数乘，可得中点的横坐标，利用点差法，建立直线斜率与中点坐标的等量关系，结合直线斜率的公式，建立方程，解得中点坐标以及斜率，再利用点斜式方程，可得答案 （3）由（2）可得直线的斜率与直线斜率的等量关系，求得点的坐标，从而求得直线的斜率，根据垂直直线的斜率关系，可得直线与直线的位置关系，根据向量加减法的几何意义，可得答案. 【详解】（1）将点代入，可得，解得，故. （2）设，，，由为的中点，则， 分别将，代入，则， 两式相减可得，整理可得， 由，则，设直线的斜率为， 由图可知直线过，由（1）易知，则， 可得，解得，则， 所以直线的方程为. （3）由（2）易知，则，即， 故直线的方程为，将代入，可得， 由，则直线的斜率为，由，则， 由，则易知，即. 40．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B． (1)求的方程； (2)若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求此时直线的方程； (3)在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中存在定点满足某条件问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由已知条件列出方程组解出即可求解； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立消元，设，，，由四边形为平行四边形得，由韦达定理得点的坐标，又点在椭圆上，代入椭圆方程即可求解； （3）由，得，即化简整理有，由韦达定理即可求解. 【详解】（1）由椭圆的离心率为得：，即有， 由以C的短轴为直径的圆与直线相切得：， 联立解得，，所以的方程是. （2）设直线的方程为，联立，消去得， ， 则恒成立， 设，，，由四边形为平行四边形， ， ， 点P在椭圆上，，解得，即， 当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的方程为. （3）由，则，即， 则，则， 由（2），， 所以， 化简得，又，故. 题型十、双曲线的标准方程 41．（24-25高二下·上海浦东新·期中）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是_____.      【答案】 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】设双曲线的标准方程为，分析可知，该双曲线的焦点在轴，且其实轴长为，点上该双曲线上，由此可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由此可得出双曲线的标准方程. 【详解】以双曲线最小口径所在直线为轴，轴与该双曲线两交点连线线段的中点为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，    由题意可知，该双曲线的焦点在轴，且其实轴长为，点上该双曲线上， 设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，因此，该双曲线的标准方程为. 故答案为：. 42．（24-25高二下·上海·期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为________． 【答案】 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解. 【详解】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即， 实轴长，即， 于是虚半轴长， 所以所求双曲线方程为． 故答案为： 43．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】联立方程，消得，再由题设条件即可求出结果. 【详解】联立可得，由题意可知，关于x的方程无实数解， 则，解得， 故答案为：． 44．（24-25高二下·上海·期中）学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆M、半圆N拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有P、Q两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求P、Q的距离尽可能远． (1)P、Q两位同学应处在什么位置？请说明理由； (2)若要在操场边界上关于中轴线对称的两点R、S处分别放置两个音箱（R、S两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时P、Q两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒（声音在空气中的传播速度为340米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到0.1米）． 【答案】(1)P、Q分别在圆弧的中点，理由见解析 (2)36.8 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、利用双曲线定义求方程 【分析】（1）根据，当P、M、N、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大； （2）如图所示，以所在的直线为x轴，以中轴线为y轴建立平面直角坐标系，则A、B两点在以C、D为焦点的双曲线上，根据双曲线性质得解. 【详解】（1）由题意可得 ， 当P、M、N、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大， 此时P、Q两点分别在圆弧的中点，距离为160米． （2）如图所示，以所在的直线为x轴，以中轴线为y轴建立平面直角坐标系， 则，． 根据题意可得， 则C、D两点在以A、B为焦点的双曲线上，，即． 设双曲线方程为，则， 解得， 所以，即． 因此音箱距中轴线距离约为36.8时为最佳放置点． 题型十一、双曲线的性质 45．（24-25高二下·上海·期中）双曲线的渐近线方程为_____. 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线方程直接代入渐近线方程计算可得结果. 【详解】由双曲线可得其标准方程为； 所以渐近线方程为； 故答案为： 46．（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则__________． 【答案】 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据双曲线的方程写出渐近线方程，对照条件可求答案． 【详解】因为双曲线为，所以它的渐近线方程为， 因为有一条渐近线方程为，所以． 故答案为：. 47．（24-25高二下·上海嘉定·期中）以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为_______. 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由已知可得右焦点坐标，渐近线方程，由点到直线的距离公式求得圆的半径，根据圆的标准方程即可求解. 【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为，即， 所以点到直线的距离为， 所以圆心为，半径为的圆的方程为. 故答案为：. 48．（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为_________． 【答案】 【知识点】已知直线垂直求参数、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】因为直线的斜率为， 则与直线垂直的渐近线的斜率为， 所以，所以. 故答案为：. 49．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线过点，则双曲线的渐近线方程为________． 【答案】 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】代入点的坐标求出，即可求出双曲线方程，从而求出渐近线方程 【详解】因为双曲线过点， 所以，解得，所以双曲线， 则双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 题型十二、抛物线的标准方程 50．（24-25高二下·上海·期中）以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为______. 【答案】 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由抛物线方程得焦点坐标、准线方程，进一步得所求圆的半径即可得解. 【详解】因为抛物线的焦点，准线， 所求圆的圆心半径为， 所以圆的方程为. 故答案为： 51．（24-25高二下·上海金山·期中）在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则__________． 【答案】或 【知识点】抛物线的焦半径公式、根据抛物线的方程求参数 【分析】设点，得到，根据题意，结合焦半径公式和抛物线的方程，列出方程组，求得的值. 【详解】由抛物线上点的纵坐标比横坐标大4， 设点，其中，抛物线的焦点为，则， 因为点到焦点的距离为，可得，解得或， 所以实数的值为或． 故答案为： 或． 52．（24-25高二下·上海·期中）准线为直线且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为_______. 【答案】 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】根据准线方程即可求解. 【详解】由题意可得， 故答案为： 53．（24-25高二下·上海·期中）抛物线上一点到准线的距离与到轴的距离相等，则______. 【答案】/ 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义及已知条件可知轴，且垂足为点，即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 因为由抛物线的定义可知，点到准线的距离与到焦点的距离相等， 又点到准线的距离与到轴的距离相等，所以轴，且垂足为点，即. 故答案为： 54．（24-25高二下·上海·期中）已知拋物线，则其准线方程为______. 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据题意，利用抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】由抛物线的方程为，可得，解得，且抛物线的开口向下， 所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 题型十三、抛物线的性质 55．（24-25高二下·上海徐汇·期中）拱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为________． 【答案】 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】先建立平面直角坐标系，再设直线方程并联立，得到点坐标关系，结合三角形面积公式，将面积之比转化为高之比，最后求解直线斜率可得结论 【详解】分别以直线为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线方程为，则焦点， 设直线，，， 联立，可得， 则，． 因为，所以． 则，， 则， 即，解得， 结合图象可得，则， 因为直线与直线的夹角与直线的倾斜角互余，且， 所以直线与直线的夹角的正切值为． 故答案为： 56．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线被曲线截得的线段的长是________． 【答案】/ 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】联立方程，利用弦长公式计算即可. 【详解】设直线与曲线交于点， 将代入整理得：， 则有， 故. 故答案为： 57．（24-25高二下·上海徐汇·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若、的横坐标之和为5，则直线最多有________条． 【答案】 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】设出直线的方程，联立抛物线方程，根据已知条件，求得参数之间的关系，结合一元二次方程根的情况，即可判断结果. 【详解】抛物线的焦点， 设直线方程为，，， 联立，整理可得， 则，所以，解得：， 当时，无解，此时直线不存在； 当时，，此时直线只有条； 当时，此时直线有条； 故当时，直线条数为条；当时，直线条数为条；当时，直线条数为条， 所以直线最多有条. 故答案为： 58．（24-25高二下·上海·期中）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】求平面轨迹方程、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中存在定点满足某条件问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）将点代入抛物线方程计算可得，即可求出结果； （2）设点，，根据中点坐标公式进行代换可得点的轨迹方程； （3）联立直线方程并利用垂直关系的向量表示，结合向量数量积的坐标运算即可求得结果. 【详解】（1）已知点在抛物线上 代入得 所以抛物线方程为 （2）易知抛物线焦点为， 设动点，中点的坐标为 显然； 且， ； 即点的轨迹方程为； （3）设点在抛物线上，则 直线的方程为，如下图： 联立，解得，； 所以， 因此 依题意可得 可得 整理可得，即， 解得或或或； 显然当或时，与重合，不合题意； 所以存在，满足题意. 59．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点. (1)若直线过抛物线的焦点，求弦的长； (2)若以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、直线与抛物线相交求直线方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）由已知可得直线的方程，与抛物线方程联立，设，，由韦达定理可得，，根据弦长公式即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，由韦达定理结合直线方程可得，，根据已知可知，利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）因为，所以，所以焦点坐标为， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即， 联立，整理得， 设，，所以，， 所以； （2） 由已知可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为， 联立，整理得， 因为直线与抛物线有两个交点，所以， 所以且， 所以，， 所以， 因为以为直径的圆过坐标原点，所以, 又，，所以，即， 解得，满足且， 所以直线的方程为，即. 题型十四、曲线与方程 60．（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为________． 【答案】 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】利用中点坐标公式，设出线段中点的坐标以及点的坐标，再根据点在已知曲线上，将点的坐标代入曲线方程，进而得到中点的轨迹方程. 【详解】设线段的中点为，点的坐标为. 因为是的中点，所以可得，即. 因为点在曲线上，所以将代入曲线方程可得.化简得： 故答案为：. 61．（24-25高二下·上海杨浦·期中）舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的 一种作图工具，如图 ， 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处的铰链与 道接， 上的栓子 可沿滑槽 滑动，当点 在滑槽 内作往复移动时，带动点 绕 转动，点 也随之而运动，记点 的运动轨迹为 ，点 的运动轨迹为 . 以 为坐标原点， 方向为 轴正方向，如图建立平面直角坐标系，若 ，且 ，则 的方程为_____. 【答案】 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，直接写出方程即可. 【详解】如图，以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系， 因为，所以点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 则其方程为. 故答案为：. 62．（24-25高二下·上海徐汇·期中）椭圆中，动弦长为． (1)请写出椭圆的参数方程； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、普通方程化为参数方程、利用圆锥曲线的参数方程求最值问题 【分析】（1）整理椭圆方程，结合同角三角函数的平方式，可得答案； （2）利用参数方程设出动点坐标，根据两点距离公式以及三角函数的恒等式，写出直线方程，根据点到直线距离，结合三角函数面积公式，可得答案. 【详解】（1）由，则，令，则. （2）设，，， 则， 所以， 所以， 从而，由， 可得，则 又直线的方程为， 所以点到的距离， 所以. 63．（24-25高二下·上海·期中）如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点是角α终边上的点（异于原点），设，将点P绕O逆时针旋转θ后得到． (1)求证：． (2)已知曲线是函数的图象，曲线绕原点O逆时针旋转后得到，求的标准方程； (3)已知曲线表示一个中心在原点的椭圆，Q为第一象限内一点，且在椭圆的长轴上，满足，过点Q作直线交曲线于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交曲线于点G、H，试判断：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)是，定值为 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、求平面轨迹方程、椭圆中的定值问题、圆锥曲线新定义 【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简得证； （2）设曲线上一点为，表达出，，利用代入法求曲线的方程； （3）方法一：设长轴在x轴上的椭圆一点为，根据题意先求得，分直线旋转后斜率不存在和存在两种情况，设出直线旋转后的方程，直线旋转后的方程，联立椭圆，结合韦达定理可得； 方法二：设长轴在x轴上的椭圆一点为，根据题意先求出，故，分斜率不存在，斜率为且0和斜率存在且不为0三种情况，设出直线方程，联立，可得. 【详解】（1）点是角α终边上的点（异于原点），设， 则， 经过逆时针旋转θ到后，角终边与重合， 所以， ，得证． （2）设曲线上一点为， 逆时针旋转后的点在的图像上， 由（1）知：，， 代入得， 化简即得曲线的方程为． （3）方法一：设长轴在x轴上的椭圆一点为， 逆时针旋转得到点在的图像上， 由（1）知，，满足， 于是得． 因此且， 由不等式可得，故， 由此得，所以， ，故． 点Q旋转后的坐标为． 当直线旋转后斜率不存在时，中，令得， 解得，则， 此时直线为轴，故，， 当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为，直线旋转后为， 旋转后，，． 与椭圆方程联立，即， 可得， 则由韦达定理得，， 故 ， 将代入椭圆方程中，有，， 故， 则． 方法二：设长轴在x轴上的椭圆一点为， 逆时针旋转得到点在的图像上， 由（1）知，，满足， 于是得． 因此且， 由不等式可得，故， 由此得， 又，故，当斜率不存在时，直线方程为， 中，令得， 此时、满足，故， 于是， 此时直线为，中，令， 解得，故， 此时． 当斜率为0时，直线方程为，此时同理得； 当斜率存在且不为0时，设直线，． 设，，联立与得， 故， 则联立椭圆联立得， 有， 故， 则， 故． 题型十五、空间向量的坐标表示 64．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_____. 【答案】 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】由有，即，进而得解出即可. 【详解】由有，即，即， 故答案为：. 65．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为__． 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示 【分析】依题意且与不共线（反向），结合数量积的坐标表示得到不等式，解得即可. 【详解】因为，且的夹角为钝角， 所以且与不共线（反向）， 由，则，解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 66．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知空间向量，，若，则实数的值为______． 【答案】 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量平行的坐标表示 【分析】利用向量共线定理求解. 【详解】根据题意，因为，设，则有， 可得，所以. 故答案为：. 题型十六、空间向量在立体几何中的应用 67．（24-25高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平面的法向量 【分析】先求出和，然后求出平面的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可. 【详解】因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误， 对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确， 对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误. 故选：B 68．（24-25高二下·上海·期中）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，点为线段上一动点，则异面直线与所成角的最小值为_____．(结果用反余弦表示) 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用异面直线夹角的向量求法将用一元函数进行表示，再对是否为进行分类讨论，求出的最大值，进而找到的最小值即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 在棱长为4的正方体中，得到，， ，，，， 因为为的中点，所以由中点坐标公式得， 则，，设，， 得到，， 即，，，解得， 故，则， 设异面直线与所成角为，， 则， ， 令，当时，， 当时，， 令，则可化为， 由二次函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递增， 故在上单调递减，则，得到， 若异面直线与所成角最小，则最大， 此时，故. 故答案为： 69．（24-25高二下·上海奉贤·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面是的中点，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用向量法求出线面角. 【详解】（1）    取的中点，连接，因是的中点，则且， 在直角梯形中，，，，则且. 故且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2）由（1）知，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为. 70．（24-25高二下·上海宝山·期中）如图（1），在 中， 分别是 上的点，且 ，将沿折起到的位置，使，如图（2）. 设点为的中点.    (1)求证：平面 ； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）由条件得到平面，再结合，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入距离公式求解即可. 【详解】（1）， ，， 又平面，，平面， 又平面， ， 又 ，，平面， 平面 . （2）如图：    以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 在中，因， ，则，即，得，， 则在中，， 则，， ， 设平面法向量为， 则，可得：， 取，可得，， ， 则， 即点到平面的距离. 题型十七、等比数列 71．（24-25高二下·上海·期中）已知等比数列的首项为1，公比为，则__________. 【答案】2 【知识点】无穷等比数列各项的和、求等比数列前n项和 【分析】应用等比数列求和公式结合极限计算求解. 【详解】等比数列的首项为1，公比为，则. 故答案为：2. 72．（24-25高二下·上海宝山·期中）设为等比数列的前项和，已知，则公比_____ 【答案】2 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】将给定的两个等式相减求出公比，再验证得解. 【详解】由，得，则， 等比数列的公比， 所以. 故答案为：2 73．（24-25高二下·上海·期中）已知数列是等比数列，其前n项和为，若，则公比=______． 【答案】或 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由可知公比不为1， 当时，,符合题意； 当时，，故， 故答案为：或 74．（24-25高二下·上海·期中）________. 【答案】 【知识点】无穷等比数列各项的和、求等比数列前n项和 【分析】根据等比求和公式即可求解. 【详解】， 故. 故答案为： 题型十八、数列 75．（24-25高二下·上海·期中）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：①的第2项小于1；②为等差数列；③为严格减数列；④中存在小于的项.其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】判断数列的增减性、等差中项的应用、求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】令求出，进而令，求出，①正确； 假设为等差数列，由等差中项得到，代入验证，故②错误； 逻辑分析及反证可得，③④正确. 【详解】对于①，当时，， 因为数列的各项均为正数，所以， 当时，， 由数列的各项均为正数，解得：，①正确； 对于②，若为等差数列，则，解得：， 将代入， 故不是等差数列，②错误； 对于③，因为数列的各项均为正数，故必单调递增，而， 所以单调递减，③正确； 对于④，假设的所有项大于等于，取，则，， 则与已知矛盾，故④正确. 故选：C 76．（24-25高二下·上海·期中）已知数列中，，且（n为正整数），则的最小值为__________. 【答案】/ 【知识点】确定数列中的最大（小）项、累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】利用累加法得，进而得，利用单调性即可求解. 【详解】由题意有：，， 上式相加得， 所以，所以， 因为在单调递减，在单调递增， 所以， 故答案为：. 77．（24-25高二下·上海·期中）设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为________． 【答案】 【知识点】数列的概念及辨析 【分析】设，，，，分析可得出的最大值为16，最小值为，列表分析能取到区间内的所有偶数，即可得出集合中所有元素之和. 【详解】对于集合中的元素，不妨设，，，， 则 为偶数， 根据题意可知，，，，， 则， 不妨取，此时，取最小值， 当取最小值时，最大，且的最小值为， 则的最大值为，接下来验证可取内的所有偶数， 对取特殊值进行验证，列表如下： 因此，集合的所有元素之和为. 故答案为： . 78．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列中，满足，前项和为，若对于所有，则的最大值是__． 【答案】 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项 【分析】根据题意，由数列的通项公式可得，即可得到的最大值是，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由，可得或，即， 又函数的图象开口向下，对称轴为， 所以数列的前项为负数，，当时，数列中的项均为负数， 所以前项或前项和最大，且， 又，的最大值是， 又，所以， 故答案为：. 2 / 54 1 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题百练通关（常考） 题型一、直线的倾斜角与斜率 题型十、双曲线的标准方程 题型二、直线的方程 题型十一、双曲线的性质 题型三、两条直线的位置关系 题型十二、抛物线的标准方程 题型四、点到直线的距离 题型十三、抛物线的性质 题型五、圆的一般方程 题型十四、曲线与方程 题型六、直线与圆的位置关系 题型十五、空间向量的坐标表示 题型七、圆与圆的位置关系 题型十六、空间向量在立体几何中的应用 题型八、椭圆的标准方程 题型十七、等比数列 题型九、椭圆的性质 题型十八、数列 题型一、直线的倾斜角与斜率 1．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线的倾斜角是________． 3．（24-25高二下·上海·期中）已知一条直线经过点 、 ，则直线 的倾斜角是_____. 4．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线过点和，则的斜率为__． 题型二、直线的方程 5．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线的一个法向量可以是________． 6．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知点、，则直线的方程是___________. 7．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知直线经过点，且与直线的夹角为，则直线的一般式方程为________． 8．（24-25高二下·上海·期中）已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为______． 题型三、两条直线的位置关系 9．（24-25高二下·上海·期中）已知向量为直线的一个法向量，则a的值为________． 10．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则________． 11．（24-25高二下·上海徐汇·期中）在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为________． 12．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若两条直线 与 垂直，则 的值为_____. 13．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知直线过点，且被两平行直线和截得的线段长度为5，求直线的方程． 题型四、点到直线的距离 14．（24-25高二下·上海杨浦·期中）在平面上的线段及点，在上取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. 设是长为2的线段，则点集所表示图形的面积是_____. 15．（24-25高二下·上海宝山·期中）点到直线的距离为________． 16．（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为________； 17．（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示A、B、C到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为． (1)已知定点，，，直线l的方程为，求的值； (2)已知，，为给定的不共线的三点，若直线使得，求证：直线过的重心； (3)若对于，满足的不同直线l至少有两条，试判断的形状，并予以证明． 18．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 题型五、圆的一般方程 19．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高二下·上海·期中）圆的圆心坐标为________． 21．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为________． 22．（24-25高二下·上海徐汇·期中）圆的圆心坐标是________． 题型六、直线与圆的位置关系 23．（24-25高二下·上海·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是_______. 24．（24-25高二下·上海徐汇·期中）平面直角坐标系中，已知圆与圆交于点、两点，其中．两圆半径之积为，若两圆均与直线和轴相切，则直线的方程为________． 25．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线与圆在第一象限有交点，则的范围是________． 26．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是________． 27．（24-25高二下·上海浦东新·期中）上海市实验学校高二理科班学习创新小组在一次偶然情况下发现：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”其诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.上实高二理科班创新学习小组做了两种假设：（1）若军营所在区域为：；（2）若军营所在区域为：；试问军营在（1）（2）两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程的相差值为__________. 题型七、圆与圆的位置关系 28．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 29．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 30．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知圆与圆内切，则实数______． 31．（24-25高二下·上海静安·期中）若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 32．（24-25高二下·上海徐汇·期中）两圆和的公共弦长为________． 题型八、椭圆的标准方程 33．（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆的左焦点为F，A、B为椭圆上两点，且直线经过椭圆的右焦点，则的周长为________． 34．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若对任意实数 ，直线 与焦点在 轴上的椭圆 至少有一个交点，则实数 的取值范围是_____. 35．（24-25高二下·上海静安·期中）设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________． 题型九、椭圆的性质 36．（24-25高二下·上海·期中）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 37．（24-25高二下·上海·期中）已知曲线：的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线上的任意一点， 设点C满足，且的最大值为7，则的值是__________． 38．（24-25高二下·上海徐汇·期中）一个顶点是，长轴长是短轴长2倍的椭圆标准方程是________． 39．（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆过点，其右焦点为．过点作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与直线交于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 40．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B． (1)求的方程； (2)若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求此时直线的方程； (3)在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 题型十、双曲线的标准方程 41．（24-25高二下·上海浦东新·期中）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是_____.      42．（24-25高二下·上海·期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为________． 43．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是________． 44．（24-25高二下·上海·期中）学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆M、半圆N拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有P、Q两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求P、Q的距离尽可能远． (1)P、Q两位同学应处在什么位置？请说明理由； (2)若要在操场边界上关于中轴线对称的两点R、S处分别放置两个音箱（R、S两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时P、Q两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒（声音在空气中的传播速度为340米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到0.1米）． 题型十一、双曲线的性质 45．（24-25高二下·上海·期中）双曲线的渐近线方程为_____. 46．（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则__________． 47．（24-25高二下·上海嘉定·期中）以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为_______. 48．（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为_________． 49．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线过点，则双曲线的渐近线方程为________． 题型十二、抛物线的标准方程 50．（24-25高二下·上海·期中）以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为______. 51．（24-25高二下·上海金山·期中）在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则__________． 52．（24-25高二下·上海·期中）准线为直线且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为_______. 53．（24-25高二下·上海·期中）抛物线上一点到准线的距离与到轴的距离相等，则______. 54．（24-25高二下·上海·期中）已知拋物线，则其准线方程为______. 题型十三、抛物线的性质 55．（24-25高二下·上海徐汇·期中）拱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为________． 56．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线被曲线截得的线段的长是________． 57．（24-25高二下·上海徐汇·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若、的横坐标之和为5，则直线最多有________条． 58．（24-25高二下·上海·期中）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 59．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点. (1)若直线过抛物线的焦点，求弦的长； (2)若以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程. 题型十四、曲线与方程 60．（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为________． 61．（24-25高二下·上海杨浦·期中）舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的 一种作图工具，如图 ， 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处的铰链与 道接， 上的栓子 可沿滑槽 滑动，当点 在滑槽 内作往复移动时，带动点 绕 转动，点 也随之而运动，记点 的运动轨迹为 ，点 的运动轨迹为 . 以 为坐标原点， 方向为 轴正方向，如图建立平面直角坐标系，若 ，且 ，则 的方程为_____. 62．（24-25高二下·上海徐汇·期中）椭圆中，动弦长为． (1)请写出椭圆的参数方程； (2)求面积的取值范围． 63．（24-25高二下·上海·期中）如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点是角α终边上的点（异于原点），设，将点P绕O逆时针旋转θ后得到． (1)求证：． (2)已知曲线是函数的图象，曲线绕原点O逆时针旋转后得到，求的标准方程； (3)已知曲线表示一个中心在原点的椭圆，Q为第一象限内一点，且在椭圆的长轴上，满足，过点Q作直线交曲线于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交曲线于点G、H，试判断：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 题型十五、空间向量的坐标表示 64．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_____. 65．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为__． 66．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知空间向量，，若，则实数的值为______． 题型十六、空间向量在立体几何中的应用 67．（24-25高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 68．（24-25高二下·上海·期中）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，点为线段上一动点，则异面直线与所成角的最小值为_____．(结果用反余弦表示) 69．（24-25高二下·上海奉贤·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面是的中点，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 70．（24-25高二下·上海宝山·期中）如图（1），在 中， 分别是 上的点，且 ，将沿折起到的位置，使，如图（2）. 设点为的中点.    (1)求证：平面 ； (2)求点到平面的距离. 题型十七、等比数列 71．（24-25高二下·上海·期中）已知等比数列的首项为1，公比为，则__________. 72．（24-25高二下·上海宝山·期中）设为等比数列的前项和，已知，则公比_____ 73．（24-25高二下·上海·期中）已知数列是等比数列，其前n项和为，若，则公比=______． 74．（24-25高二下·上海·期中）________. 题型十八、数列 75．（24-25高二下·上海·期中）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：①的第2项小于1；②为等差数列；③为严格减数列；④中存在小于的项.其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 76．（24-25高二下·上海·期中）已知数列中，，且（n为正整数），则的最小值为__________. 77．（24-25高二下·上海·期中）设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为________． 78．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列中，满足，前项和为，若对于所有，则的最大值是__． 2 / 54 1 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $