期中真题百练通关易错14大题型（期中专项训练）高二数学下学期沪教版

期中真题百练通关（易错） 题型一、直线的方程 题型八、双曲线的性质 题型二、两条直线的位置关系 题型九、抛物线的标准方程 题型三、点到直线的距离 题型十、抛物线的性质 题型四、圆的一般方程 题型十一、曲线与方程 题型五、直线与圆的位置关系 题型十二、空间向量基本定理 题型六、椭圆的性质 题型十三、空间向量在立体几何中的应用 题型七、双曲线的标准方程 题型十四、数列 题型一、直线的方程 1．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线的一个法向量可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】点法向式方程 【分析】由题意根据所给的直线方程利用直线的法向量的意义即可得出，从而可以得出结果 【详解】直线化为，斜率为，一个法向量可以是. 故答案为：.(答案不唯一) 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知直线经过点，且与直线的夹角为，则直线的一般式方程为________． 【答案】或 【知识点】反三角函数、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、直线的一般式方程及辨析 【分析】设直线的倾斜角为，两直线夹角为，可得，分类讨论的斜率是否存在，结合两直线的夹角公式分析求解. 【详解】由题意可知：直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 则，解得， 设两直线夹角为，则， 可得，所以. 设直线的倾斜角为，则，， ①当时，， 此时，则轴，直线的方程为； ②当时，显然直线的斜率存在， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即； 综上所述：的方程为或． 故答案为：或． 3．（24-25高二下·上海·期中）已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为______． 【答案】或， 【知识点】求平面两点间的距离、直线的点斜式方程及辨析、基本不等式求和的最小值 【分析】表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，即可得到直线方程. 【详解】因为直线与轴、轴分别交于点、点， 所以直线的斜率存在，可设直线的方程为， 所以，，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 此时直线的方程为或， 故答案为：或， 4．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线两点式方程及辨析、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）根据向量知识推出重心的坐标公式，求出顶点C坐标，再写出边所在直线的方程. （2）通过讨论截距为0和不为0两种情况即可求解. 【详解】（1）设交于，则为的中点，设， 因为点是三角形的重心， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以 ， 故，解得. 边所在直线的方程为，即. （2）当在轴、轴上的截距为0时，易知直线方程为：， 当截距不为0时， 设直线方程为：，因为点在直线上， 所以，可得， 即直线方程为：； 综上所述：直线方程为或. 题型二、两条直线的位置关系 5．（24-25高二下·上海徐汇·期中）在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为________． 【答案】 【知识点】求直线交点坐标、直线两点式方程及辨析、已知直线垂直求参数、直线综合 【分析】联立的平分线直线方程和边上的高所在直线方程可求出点坐标，利用角平分线的性质结合点关于直线的对称点的计算可求出直线的方程，再利用边上的高所在直线的斜率以及点坐标求出直线的方程，联立求解即可得到点的坐标. 【详解】由解得，所以. 因为的平分线所在直线方程是，所以点关于直线的对称点在所在直线上， 所以直线的方程为，整理得. 又边上的高所在直线是，其斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得. 由，解得，所以则点的坐标为. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知直线，若，则实数______ 【答案】 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】运用一般式下的平行判定计算即可. 【详解】将直线化成一般式，， 根据一般式下直线的平行判定，知道，且，解得. 故答案为：. 7．（24-25高二下·上海静安·期中）两直线与的夹角为____________．（结果用反三角表示） 【答案】 【知识点】两条直线的到（夹）角公式 【分析】确定斜率，，根据夹角公式计算得到答案. 【详解】因为直线的斜率为， 直线的斜率为， 设两条直线的夹角为，则， 因为，所以． 故答案为： 8．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为_____. 【答案】 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】将问题转化成直线与直线平行，进而可求解. 【详解】方程组无解， 等价于直线与直线平行， 可得：， 解得：或， 当时，直线方程分别为：和重合舍去， 当时，直线方程分别为：和，平行， 故， 故答案为： 题型三、点到直线的距离 9．（24-25高二下·上海杨浦·期中）在平面上的线段及点，在上取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. 设是长为2的线段，则点集所表示图形的面积是_____. 【答案】 【知识点】距离新定义 【分析】先分析出该集合所对应的图形形状，再分别计算各部分图形的面积，最后将各部分面积相加得到总面积. 【详解】已知集合所表示的图形是一个边长为的正方形和两个半径是的半圆.如图所示. 将正方形面积和圆的面积相加，可得点集所表示图形的面积. 故答案为：. 10．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于______． 【答案】 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线间的距离公式计算得到所求距离. 【详解】由题意，直线，则且，所以. 所以：与直线：之间的距离. 故答案为：. 11．（24-25高二下·上海青浦·期中）在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是_____. 【答案】/ 【知识点】直线围成图形的面积问题、直线综合 【分析】分直线位于直线的同侧还是两侧分类讨论，确定直线的轨迹，则面积可求得 【详解】①位于直线的同侧，如左图所示，，正方形边长为， 直线是与正方形的边平行的直线， 到直线的距离之差的绝对值为， 即正方形外与正方形各边平行的直线均符合题意; ②位于直线的异侧，如右图所示，和是半径为的圆上的两段弧， 其中， 直线是或的切线，到直线的距离之差绝对值为， 即或的切线均符合题意. 不在任何一条直线上的点组成的图形如下图阴影所示， 其面积. 故答案为：. 12．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离、求直线交点坐标、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）确定直线的方程及，利用点到直线的距离求三角形的高，再求三角形面积； （2）的斜率求得高线的斜率，再根据B的坐标，写出高线方程，求出的中点，即可求出边上的中线，然后联立高线方程和中线方程，求交点坐标即可. 【详解】（1）因为，所以直线的方程为，即. 所以点到直线的距离. 因为， 所以. （2）因为，所以AC边上的高的斜率为， 所以AC边上的高线的方程为，即. 因为、的中点为，又，所以边上的中线方程为， 由，解得， 所以边上的中线与AC边上的高的交点坐标为. 题型四、圆的一般方程 13．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 14．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由标准方程确定圆心和半径、将军饮马问题求最值 【分析】作出圆关于轴对称的圆，利用对称的性质、圆的性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 作圆关于轴对称的圆，其圆心 因此， 当且仅当是线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 15．已知，方程表示圆，则圆心坐标是_______． 【答案】 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】由条件结合圆的一般方程的特点列关系式求，再确定圆心坐标. 【详解】因为方程表示圆， 所以①，②， 由①可得或． 当时，，不满足要求，舍去， 当时，，满足要求， 所以圆的方程为， 即，圆心为； 故答案为：. 题型五、直线与圆的位置关系 16．（24-25高二下·上海·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是_______. 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据直线与圆相切时满足的关系，以及点到直线的距离公式，准确画出曲线方程所表示曲线形状解决问题. 【详解】曲线即, 如图所示，当即时，直线与曲线有两个公共点， 直线向左上移动，当直线与曲线相切时，有一个公共点， 原点到直线的距离为半径，即，解得， 所以，当有两个公共点时. 故答案为：. 17．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线与圆在第一象限有交点，则的范围是________． 【答案】 【知识点】两条直线的到（夹）角公式、直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由直线方程可得其所过定点，由圆的方程可得其与坐标轴正半轴的交点，由题意可直观想象直线的位置，进而可得斜率的范围，可得答案. 【详解】由直线，整理可得，则直线过定点， 由圆，则圆与坐标轴正半轴的交点分别为与， 由题意可得直线在点与连线与点与连线之间， 由直线斜率为，则或，解得或. 故答案为：. 18．（24-25高二下·上海宝山·期中）若直线 上有且仅有一点 ，使得 ，则直线 被圆 截得的弦长为_____ 【答案】 【知识点】圆的弦长与中点弦、由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】先根据直线上有且仅有一点使得，得出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长计算公式求出弦长. 【详解】因为直线上有且仅有一点，使得，这意味着直线与以原点为圆心，半径为的圆相切. 则原点到直线的距离为： 由于直线与以原点为圆心，半径为的圆相切，所以，即. 已知圆，其圆心为，半径. 由前面可知圆心到直线的距离. 根据圆的弦长计算公式，可得直线被圆截得的弦长为： . 故答案为：. 19．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是________． 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】画出图象，数形结合，求出直线与半圆恰好相切时的值，再求出临界值，即可得解. 【详解】由，则，且， 所以表示以为圆心，为半径的圆在及直线右侧部分， 直线是与平行的直线， 如图所示： 当直线与曲线相切时，则（正值舍去）， 当直线过点时，，结合图形分析得的取值范围是. 故答案为：. 20．（24-25高二下·上海浦东新·期中）上海市实验学校高二理科班学习创新小组在一次偶然情况下发现：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”其诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.上实高二理科班创新学习小组做了两种假设：（1）若军营所在区域为：；（2）若军营所在区域为：；试问军营在（1）（2）两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程的相差值为__________. 【答案】 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】若军营所在区域为，利用圆的方程的知识画出军营区域及河岸线，作出关于河岸线的对称点，根据对称性质和圆的性质即可求得；若军营所在区域为，先画出在第一象限的军营区域，再利用对称性画出运营区域，注意观察军营区域内哪一个到最近，即可求得. 【详解】（1) 若军营所在区域为， 圆：的圆心为原点，半径为1，作图1如下： 设将军饮马点为，到达营区点为，设为关于直线的对称点， 因为，所以线段的中点为，则， 又，联立解得：，即. 所以总路程，要使得总路程最短，只需要最短， 即点到圆上的点的最短距离，即为.      （2）军营所在区域为， 对于，在，时为，令，得，令，则， 图形为连接点和的线段，根据对称性得到的图形为图2中所示的菱形， 容易知道：为这个菱形的内部(包括边界). 由图2可知，最短路径为线段，连接交直线于点， 则饮马最佳点为点Q，所以点到区域最短距离. 即“将军饮马”最短总路程为. 综上：两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程相差值为. 故答案为：. 21．（24-25高二下·上海·期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则________． 【答案】/0.96 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、两条直线的到（夹）角公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据圆的切线的求解方法可求得切线斜率，利用直线夹角公式可求得，再结合同角三角函数关系可求得结果. 【详解】由得：，则圆心为，半径； 则过点作圆的切线，切线斜率必存在，可设切线方程为：，即， 圆心到切线的距离，解得：，， ，又，. 故答案为：. 22．（24-25高二下·上海浦东新·期中）过圆外一点任意作一条割线交圆于、两点. (1)若割线的方程为，求的值； (2)求弦的中点的轨迹. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】圆的弦长与中点弦、轨迹问题——圆、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得的值； （2）设点，由化简可得出点的轨迹方程，结合实际条件可得出点的轨迹. 【详解】（1）圆的圆心为原点，半径为， 圆心到直线的距离为，所以. （2）设点，当直线不过原点时，连接，则， 且，， 由题意可得，化简得， 当直线过原点时，点与点重合，此时点的坐标也满足方程， 所以点的轨迹是点为圆心，半径为，且位于圆内的一段弧. 题型六、椭圆的性质 23．（24-25高二下·上海·期中）已知曲线：的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线上的任意一点， 设点C满足，且的最大值为7，则的值是__________． 【答案】7或 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆中的最值问题、由向量共线（平行）求参数 【分析】设，写出两点间的距离公式，分类利用配方法求最值，可得m值，结合，求得的值． 【详解】由曲线：，得，则， 设，则，得， 设，则 ， 若，则，得， 即，解得或（舍去）． 此时，则，由，得； 若，，得， 即，解得或（舍去）． 此时，则，由，得 故的值为7或． 故答案为：7或    24．（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆过点，其右焦点为．过点作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与直线交于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、由弦中点求弦方程或斜率、由斜率判断两条直线垂直 【分析】（1）将已知点的坐标代入题干中所给的方程，可得答案； （2）根据向量的数乘，可得中点的横坐标，利用点差法，建立直线斜率与中点坐标的等量关系，结合直线斜率的公式，建立方程，解得中点坐标以及斜率，再利用点斜式方程，可得答案 （3）由（2）可得直线的斜率与直线斜率的等量关系，求得点的坐标，从而求得直线的斜率，根据垂直直线的斜率关系，可得直线与直线的位置关系，根据向量加减法的几何意义，可得答案. 【详解】（1）将点代入，可得，解得，故. （2）设，，，由为的中点，则， 分别将，代入，则， 两式相减可得，整理可得， 由，则，设直线的斜率为， 由图可知直线过，由（1）易知，则， 可得，解得，则， 所以直线的方程为. （3）由（2）易知，则，即， 故直线的方程为，将代入，可得， 由，则直线的斜率为，由，则， 由，则易知，即. 25．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B． (1)求的方程； (2)若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求此时直线的方程； (3)在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中存在定点满足某条件问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由已知条件列出方程组解出即可求解； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立消元，设，，，由四边形为平行四边形得，由韦达定理得点的坐标，又点在椭圆上，代入椭圆方程即可求解； （3）由，得，即化简整理有，由韦达定理即可求解. 【详解】（1）由椭圆的离心率为得：，即有， 由以C的短轴为直径的圆与直线相切得：， 联立解得，，所以的方程是. （2）设直线的方程为，联立，消去得， ， 则恒成立， 设，，，由四边形为平行四边形， ， ， 点P在椭圆上，，解得，即， 当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的方程为. （3）由，则，即， 则，则， 由（2），， 所以， 化简得，又，故. 26．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆（）的长轴长为，离心率为.直线与椭圆有两个不同的交点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求点关于直线的对称点、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）先求出关于直线的对称点，再利用对称点在椭圆上，代入椭圆方程，即可求解. 【详解】（1）由题意得，所以，又因为，所以， 又，所以椭圆的标准方程为. （2）设关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 又点在椭圆上，所以， 化简得 ，解得或，当时，与点M重合，舍去， 所以. 27．（24-25高二下·上海·期中）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，直线l的方程为．过原点O作直线l的平行线与椭圆Γ交于M、N两点． (1)求证：直线l与椭圆Γ有且仅有一个公共点，并求该公共点的坐标； (2)记（1）中的公共点为P，求证：P、M、、N四个点在同一圆C上，并求圆C的一般方程． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析， 【知识点】求直线与椭圆的交点坐标、判断点与圆的位置关系、求圆的一般方程 【分析】（1）联立Γ与l的方程，求解方程组得解； （2）设圆的方程为，代入、P、M，可得圆的方程，再验证点N在圆上. 【详解】（1）联立Γ与l的方程， 得，该方程仅有一解． 故Γ与l有且仅有一个公共点． （2）依题意，直线的方程为， 联立椭圆可得，即， 于是，，，． 设圆的方程为，代入、P、M，可得： ，解得， 解得，，，此时圆方程为， 将点代入上述方程，得， 所以点N也在此圆上，故P、M，，N四点共圆． 28．（24-25高二下·上海黄浦·期中）已知椭圆，依次连接椭圆的四个顶点构成的四边形面积为． (1)若，求椭圆的标准方程； (2)当时，设直线与椭圆交于、两点，设的中点为为坐标原点，直线的斜率分别为、，求证：为定值； (3)在第（2）小题的前提下，设点为椭圆的右焦点，，若与的交点、均不与点重合，直线的斜率分别为，若，求的周长． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)8 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）直接利用四边形面积可知，由即可求出值，即可求得椭圆方程； （2）设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理计算斜率计算求出定值； （3）设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理及可求出直线方程，得出直线恒过定点，即可求出三角形的周长. 【详解】（1）由已知得椭圆四个顶点构成的四边形面积为， 即， ∵，∴， ∴椭圆的标准方程为； （2）设直线的方程为，，，的中点为， 将椭圆方程与直线方程联立可得， ，即， ，， ； （3）设直线的方程为，，， 则，，故， 则 ， 当时椭圆的方程为， 将椭圆方程与直线方程联立可得， ，即， ，， 即 ， 故或，此时均满足， 若，则直线的方程为，此时直线恒过， 若，则直线的方程为，此时直线恒过，与题意矛盾， 点为椭圆的左焦点， 故的周长为. 29．（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆：，过点的直线：与椭圆交于、两点（点在点的上方），与轴交于点． (1)当时，求的长； (2)设，，求证：为定值，并求出该值； (3)点和点关于坐标原点对称，若的内切圆面积等于，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3)． 【知识点】椭圆中向量共线比例问题、椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的弦长 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，求出交点的纵坐标，再利用弦长公式求解. （2）联立直线与椭圆方程，利用共线向量坐标关系及韦达定理计算得证. （3）根据给定条件，求出的面积，再结合椭圆定义及（2）求出直线方程. 【详解】（1）当时，直线，由消去并整理得， 解得或，所以. （2）直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，设， 由消去并整理得，， ，由，得，则，同理， 所以为定值，该定值为. （3）依题意，点是椭圆的左焦点，则是该椭圆的右焦点， 因此的周长为，由的内切圆面积等于，得该圆半径为， 则的面积，整理得， 即，由（2）得，解得，即， 所以直线的方程为. 题型七、双曲线的标准方程 30．若椭圆（）和双曲线（）有相同的焦点和，而P是这两条曲线的一个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解 【分析】利用椭圆与双曲线的定义得出与的和与差，变形求得积． 【详解】设为半焦距， 由题意知不妨设点是两曲线在第一象限内的交点，可得： ，解得：， 则，故A项正确. 故选：A. 31．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】联立方程，消得，再由题设条件即可求出结果. 【详解】联立可得，由题意可知，关于x的方程无实数解， 则，解得， 故答案为：． 32．（24-25高二下·上海·期中）学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆M、半圆N拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有P、Q两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求P、Q的距离尽可能远． (1)P、Q两位同学应处在什么位置？请说明理由； (2)若要在操场边界上关于中轴线对称的两点R、S处分别放置两个音箱（R、S两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时P、Q两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒（声音在空气中的传播速度为340米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到0.1米）． 【答案】(1)P、Q分别在圆弧的中点，理由见解析 (2)36.8 【知识点】利用双曲线定义求方程、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】（1）根据，当P、M、N、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大； （2）如图所示，以所在的直线为x轴，以中轴线为y轴建立平面直角坐标系，则A、B两点在以C、D为焦点的双曲线上，根据双曲线性质得解. 【详解】（1）由题意可得 ， 当P、M、N、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大， 此时P、Q两点分别在圆弧的中点，距离为160米． （2）如图所示，以所在的直线为x轴，以中轴线为y轴建立平面直角坐标系， 则，． 根据题意可得， 则C、D两点在以A、B为焦点的双曲线上，，即． 设双曲线方程为，则， 解得， 所以，即． 因此音箱距中轴线距离约为36.8时为最佳放置点． 题型八、双曲线的性质 33．（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线（）的左､右焦点分别为､.经过且倾斜角为的直线与交于第一象限的点，延长至，使.若的面积是，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，得出点坐标，再结合双曲线的定义可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则，， 则，， 设，则，解得， 由题意可得直线的斜率，则方程为， 将代入上式，则，解得，即， 由题意可得， 则，. 故答案为： 34．（24-25高二下·上海嘉定·期中）以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为_______. 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由已知可得右焦点坐标，渐近线方程，由点到直线的距离公式求得圆的半径，根据圆的标准方程即可求解. 【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为，即， 所以点到直线的距离为， 所以圆心为，半径为的圆的方程为. 故答案为：. 35．（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为_________． 【答案】 【知识点】已知直线垂直求参数、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】因为直线的斜率为， 则与直线垂直的渐近线的斜率为， 所以，所以. 故答案为：. 36．（24-25高二下·上海宝山·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是__． 【答案】 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线的切线方程、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先将方程转化为函数形式，把方程有解的问题转化为函数图象有交点的问题，即等轴双曲线位于轴上方的部分与经过定点的动直线有交点的问题.通过计算直线与双曲线相切时的值，再结合双曲线渐近线的知识，从而确定实数的取值范围. 【详解】已知，两边同时平方可得，即. 因为根号下的数非负，所以，那么原问题就转化为等轴双曲线位于轴 上方的部分与经过定点的动直线有交点的问题. 将代入中，可得： 则则 因为直线与双曲线相切，所以此一元二次方程的判别式， 即 ，解得. 等轴双曲线的渐近线方程为. 当直线与双曲线有交点时，结合图象（如图所示）， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 37．（24-25高二下·上海徐汇·期中）如图，已知，为双曲线的左、右焦点，，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】利用双曲线的定义、对称性，以及平行四边形的性质和圆的直径性质，结合勾股定理列方程即可求解. 【详解】设，则. 由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：. 连接，则有，. ∵点在以为直径的圆周上，∴. ∵四边形为平行四边形，∴，∴. 在中，由勾股定理可知，即， 整理得：，∴，. 在中，由勾股定理可知，即， ∴. 故答案为：. 38．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【知识点】根据韦达定理求参数、双曲线中的参数及范围、利用双曲线定义求方程、求平面轨迹方程 【分析】（1）利用双曲线的定义和之间的关系即可求出轨迹方程； （2）当时，符合题意，时，设是轨迹上关于对称的两点，设直线方程为，中点为，根据该中点在直线上以及在直线上，可得①式，联立直线与双曲线，结合韦达定理以及根的判别式，可得②③式，三个式子联立即得相关的不等式，求解即可. 【详解】（1）由题知，点到两定点之间距离之差的绝对值为， 所以动点的轨迹为以为焦点的双曲线， 其中焦距，实轴长， 所以， 所以动点的轨迹方程为. （2）当时，直线，符合题意； 当时，设是轨迹上关于对称的两点， 则，设直线方程为，中点为， 则，又， 可得，① 联立，可得， 则该方程必有两个不同的根， 即， 可得，② 又，，③ 联立①③，可得，， 代入②，解得， 解得或，所以或或， 综上，的取值范围为. 题型九、抛物线的标准方程 39．（24-25高二下·上海金山·期中）在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则__________． 【答案】或 【知识点】根据抛物线的方程求参数、抛物线的焦半径公式 【分析】设点，得到，根据题意，结合焦半径公式和抛物线的方程，列出方程组，求得的值. 【详解】由抛物线上点的纵坐标比横坐标大4， 设点，其中，抛物线的焦点为，则， 因为点到焦点的距离为，可得，解得或， 所以实数的值为或． 故答案为： 或． 40．已知是抛物线上一点，则的最小值为__________． 【答案】/ 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线上的点到定点的距离及最值、抛物线定义的理解、求点到直线的距离 【分析】过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，根据点到直线距离公式及抛物线的定义得，，则进而求解． 【详解】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点， 由，得，所以，则，如图所示， 则，动点到轴的距离为， 所以， 当且仅当三点共线时，有最小值， 所以，（为点到直线的距离）， 因为到直线的距离为， 所以要求的最值为， 故答案为：．    41．（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点且斜率为的直线与曲线交于M、N两点，求的面积； (3)过点作两条互相垂直的直线，直线与曲线交于A、B两点，直线与曲线交于D、E两点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线的焦半径公式、利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】（1）先判断曲线的类型，再确定其解析式. （2）根据抛物线的焦点弦公式求弦长，点到直线的距离求高，可求出三角形的面积. （3）根据焦点弦公式分别求弦长和，再结合基本不等式和换元法求的最小值. 【详解】（1）由题意：曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等， 所以曲线为抛物线，且为焦点，为准线，所以. 所以曲线的方程为：. （2）直线方程为：，代入， 整理得：， 由韦达定理得：. 所以. 又点到直线：的距离为：. 所以. （3）如图：    设直线：，代入抛物线得：， 整理得：. 由韦达定理：. 所以. 用代替，可得. 所以. 设，则，当且仅当时取“”. 则. 题型十、抛物线的性质 42．（24-25高二下·上海徐汇·期中）拱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为________． 【答案】 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】先建立平面直角坐标系，再设直线方程并联立，得到点坐标关系，结合三角形面积公式，将面积之比转化为高之比，最后求解直线斜率可得结论 【详解】分别以直线为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线方程为，则焦点， 设直线，，， 联立，可得， 则，． 因为，所以． 则，， 则， 即，解得， 结合图象可得，则， 因为直线与直线的夹角与直线的倾斜角互余，且， 所以直线与直线的夹角的正切值为． 故答案为： 43．（24-25高二下·上海徐汇·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若、的横坐标之和为5，则直线最多有________条． 【答案】 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】设出直线的方程，联立抛物线方程，根据已知条件，求得参数之间的关系，结合一元二次方程根的情况，即可判断结果. 【详解】抛物线的焦点， 设直线方程为，，， 联立，整理可得， 则，所以，解得：， 当时，无解，此时直线不存在； 当时，，此时直线只有条； 当时，此时直线有条； 故当时，直线条数为条；当时，直线条数为条；当时，直线条数为条， 所以直线最多有条. 故答案为： 44．（24-25高二下·上海黄浦·期中）探照灯，汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程为_____． 【答案】20 【知识点】抛物线定义的理解、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】根据抛物线的光学性质以及焦半径公式，结合抛物线定义计算可得结果. 【详解】设入射光线和反射光线与抛物线的交点分别为，显然直线过焦点， 分别从向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，如下图所示： 由抛物线方程可知准线方程为， 再由抛物线定义可得， 因此光线从点到点经过的总路程为. 故答案为：20 45．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点. (1)若直线过抛物线的焦点，求弦的长； (2)若以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、直线与抛物线相交求直线方程、根据抛物线方程求焦点或准线、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）由已知可得直线的方程，与抛物线方程联立，设，，由韦达定理可得，，根据弦长公式即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，由韦达定理结合直线方程可得，，根据已知可知，利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）因为，所以，所以焦点坐标为， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即， 联立，整理得， 设，，所以，， 所以； （2） 由已知可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为， 联立，整理得， 因为直线与抛物线有两个交点，所以， 所以且， 所以，， 所以， 因为以为直径的圆过坐标原点，所以, 又，，所以，即， 解得，满足且， 所以直线的方程为，即. 46．（24-25高二下·上海·期中）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中存在定点满足某条件问题、求平面轨迹方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）将点代入抛物线方程计算可得，即可求出结果； （2）设点，，根据中点坐标公式进行代换可得点的轨迹方程； （3）联立直线方程并利用垂直关系的向量表示，结合向量数量积的坐标运算即可求得结果. 【详解】（1）已知点在抛物线上 代入得 所以抛物线方程为 （2）易知抛物线焦点为， 设动点，中点的坐标为 显然； 且， ； 即点的轨迹方程为； （3）设点在抛物线上，则 直线的方程为，如下图： 联立，解得，； 所以， 因此 依题意可得 可得 整理可得，即， 解得或或或； 显然当或时，与重合，不合题意； 所以存在，满足题意. 题型十一、曲线与方程 47．（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为________． 【答案】 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】利用中点坐标公式，设出线段中点的坐标以及点的坐标，再根据点在已知曲线上，将点的坐标代入曲线方程，进而得到中点的轨迹方程. 【详解】设线段的中点为，点的坐标为. 因为是的中点，所以可得，即. 因为点在曲线上，所以将代入曲线方程可得.化简得： 故答案为：. 48．曲线为到两定点、距离乘积为常数16的动点的轨迹．以下结论正确的编号为______． ①曲线一定经过原点； ②曲线关于轴对称，但不关于轴对称； ③的面积不大于8； ④曲线在一个面积为的矩形范围内． 【答案】③④ 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】求出动点轨迹方程，由方程确定轨迹的性质，判断各结论． 【详解】设，则， 对于①，原点代入方程，得，即方程不成立，曲线一定不经过原点，命题①错误； 对于②以代替，可得成立， 以代替，可得成立， 即曲线关于、轴对称，命题②错误； 对于③，显然、、三点不共线， 设，，，则， 由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，则为锐角，所以， 则的面积为，命题③正确； 对于④，， 可得，得，解得， 由③知，得，即 曲线在一个面积为的矩形内，命题④正确. 综上，正确的命题有③④. 故答案为：③④ 49．（24-25高二下·上海徐汇·期中）椭圆中，动弦长为． (1)请写出椭圆的参数方程； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用圆锥曲线的参数方程求最值问题、普通方程化为参数方程、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）整理椭圆方程，结合同角三角函数的平方式，可得答案； （2）利用参数方程设出动点坐标，根据两点距离公式以及三角函数的恒等式，写出直线方程，根据点到直线距离，结合三角函数面积公式，可得答案. 【详解】（1）由，则，令，则. （2）设，，， 则， 所以， 所以， 从而，由， 可得，则 又直线的方程为， 所以点到的距离， 所以. 题型十二、空间向量基本定理 50．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算、空间共面向量定理的推论及应用、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】利用向量运算，确定的位置，结合棱锥的体积与棱锥的体积关系，即可求得结果. 【详解】因为，所以， ， 令，则， 又，故点共面， 所以. 故选：B. 51．（24-25高二下·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则________.    【答案】 【知识点】空间向量共面求参数、用空间基底表示向量 【分析】由，结合已知可得，利用共面向量基本定理求解. 【详解】因为， 因为，所以， 所以，又， 所以，所以，因为共面， 所以，解得. 故答案为： 题型十三、空间向量在立体几何中的应用 52．（24-25高二下·上海·期中）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，点为线段上一动点，则异面直线与所成角的最小值为_____．(结果用反余弦表示) 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用异面直线夹角的向量求法将用一元函数进行表示，再对是否为进行分类讨论，求出的最大值，进而找到的最小值即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 在棱长为4的正方体中，得到，， ，，，， 因为为的中点，所以由中点坐标公式得， 则，，设，， 得到，， 即，，，解得， 故，则， 设异面直线与所成角为，， 则， ， 令，当时，， 当时，， 令，则可化为， 由二次函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递增， 故在上单调递减，则，得到， 若异面直线与所成角最小，则最大， 此时，故. 故答案为： 53．（24-25高二下·上海宝山·期中）如图（1），在 中， 分别是 上的点，且 ，将沿折起到的位置，使，如图（2）. 设点为的中点.    (1)求证：平面 ； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）由条件得到平面，再结合，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入距离公式求解即可. 【详解】（1）， ，， 又平面，，平面， 又平面， ， 又 ，，平面， 平面 . （2）如图：    以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 在中，因， ，则，即，得，， 则在中，， 则，， ， 设平面法向量为， 则，可得：， 取，可得，， ， 则， 即点到平面的距离. 54．（24-25高二下·上海杨浦·期中）如图，已知正方体的棱长为2，点为棱所在直线上一点，直线与所成角为 . (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据已知条件求出相关点的坐标. 利用向量垂直的性质求出点的坐标，进而得到直线的方向向量.求出平面的法向量，利用线面角的向量公式求解与平面所成角的正弦值. （2）分别求出平面与平面的法向量，利用二面角的向量公式求解二面角的余弦值. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 已知正方体棱长为，则，，，， 设.所以，. 因为直线与所成角为，即. 根据向量垂直的性质，则， 即，解得，所以，那么. 设平面的法向量为，，. 由，可得. 令，则，，所以. 设与平面所成角为. 根据线面角的向量公式. ，，. 所以. （2）对于平面，其法向量已求得为. 平面的法向量：因为平面，所以可作为平面的一个法向量. 设二面角为，根据二面角的向量公式. ，，. 所以，观察图形可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 55．（24-25高二下·上海·期中）如图，三棱柱中，底面是的中点. (1)求证：平面； (2)若，三棱柱的体积为8，求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明线面垂直、求异面直线所成的角、柱体体积的有关计算 【分析】（1）利用线面垂直和等腰三角形性质分别证得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角， 【详解】（1）底面，底面， ， 是的中点, ， 则平面，平面， 平面. （2）因为，所以， 则三棱柱的体积，所以. 如图，以点为坐标原点，以直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与所成角为， 则， 所以. 56．（24-25高二下·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，分别为棱的中点. (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）根据线线平行的传递性及线面平行的判定定理即可证明； （2）取线段中点，由面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法即可求解. 【详解】（1）因为分别为棱的中点， 所以，又因为， 所以， 平面，平面， 所以直线平面. （2）取线段中点，连接，则正三角形中有， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，分别以向量，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，则， 设直线与平面所成的角为， . 所以直线AM与平面PBC所成角的正弦值为. 57．（24-25高二下·上海杨浦·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，D是棱的中点. (1)求证：平面BCD； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明、证明线面垂直 【分析】（1）以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.利用空间向量的方法证明，，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由（1）知是平面DBC的一个法向量，求出平面ABD的法向量，利用空间向量的方法即可求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则，，， 故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示. 由题知，可得点，，，，，， ，， 则，，， 所以，， 所以，. 又，平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，， 设是平面ABD的法向量， 则，即， 令，可得，，， 即平面ABD的一个法向量是. 由（1）知，是平面DBC的一个法向量，记与的夹角为， 则. 又，∴. 结合三棱柱可知，二面角是锐角， ∴所求二面角的大小是. 58．（24-25高二下·上海宝山·期中）如图，在平面 中， ，在四棱锥 中， 平面 为 的中点， 在 上，且 . (1)求证: ； (2)求点到平面的距离 ； (3)求平面与平面所成的二面角大小； 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或. 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由直线方向向量的共线即可证明； （2）由点到平面距离的向量公式即可求解. （3）先求得平面法向量，利用向量夹角的向量公式计算即可. 【详解】（1）由于平面，，建立如图所示的空间直角坐标系，    由，得， 则，，，，， 设点， 由，得， 解得，即， 所以，， 所以，又，所以. （2）由（1）得，则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，， ，又， 所以点到平面的距离为. （3）由（2）得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成的二面角大小为或. 题型十四、数列 59．（24-25高二下·上海·期中）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：①的第2项小于1；②为等差数列；③为严格减数列；④中存在小于的项.其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、求等差数列前n项和、等差中项的应用、判断数列的增减性 【分析】令求出，进而令，求出，①正确； 假设为等差数列，由等差中项得到，代入验证，故②错误； 逻辑分析及反证可得，③④正确. 【详解】对于①，当时，， 因为数列的各项均为正数，所以， 当时，， 由数列的各项均为正数，解得：，①正确； 对于②，若为等差数列，则，解得：， 将代入， 故不是等差数列，②错误； 对于③，因为数列的各项均为正数，故必单调递增，而， 所以单调递减，③正确； 对于④，假设的所有项大于等于，取，则，， 则与已知矛盾，故④正确. 故选：C 60．（24-25高二下·上海·期中）已知数列中，，且（n为正整数），则的最小值为__________. 【答案】/ 【知识点】确定数列中的最大（小）项、累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】利用累加法得，进而得，利用单调性即可求解. 【详解】由题意有：，， 上式相加得， 所以，所以， 因为在单调递减，在单调递增， 所以， 故答案为：. 61．（24-25高二下·上海·期中）设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为________． 【答案】 【知识点】数列的概念及辨析 【分析】设，，，，分析可得出的最大值为16，最小值为，列表分析能取到区间内的所有偶数，即可得出集合中所有元素之和. 【详解】对于集合中的元素，不妨设，，，， 则 为偶数， 根据题意可知，，，，， 则， 不妨取，此时，取最小值， 当取最小值时，最大，且的最小值为， 则的最大值为，接下来验证可取内的所有偶数， 对取特殊值进行验证，列表如下： 因此，集合的所有元素之和为. 故答案为： . 62．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列中，满足，前项和为，若对于所有，则的最大值是__． 【答案】 【知识点】确定数列中的最大（小）项、判断数列的增减性 【分析】根据题意，由数列的通项公式可得，即可得到的最大值是，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由，可得或，即， 又函数的图象开口向下，对称轴为， 所以数列的前项为负数，，当时，数列中的项均为负数， 所以前项或前项和最大，且， 又，的最大值是， 又，所以， 故答案为：. 2 / 61 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题百练通关（易错） 题型一、直线的方程 题型八、双曲线的性质 题型二、两条直线的位置关系 题型九、抛物线的标准方程 题型三、点到直线的距离 题型十、抛物线的性质 题型四、圆的一般方程 题型十一、曲线与方程 题型五、直线与圆的位置关系 题型十二、空间向量基本定理 题型六、椭圆的性质 题型十三、空间向量在立体几何中的应用 题型七、双曲线的标准方程 题型十四、数列 题型一、直线的方程 1．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线的一个法向量可以是________． 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知直线经过点，且与直线的夹角为，则直线的一般式方程为________． 3．（24-25高二下·上海·期中）已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为______． 4．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 题型二、两条直线的位置关系 5．（24-25高二下·上海徐汇·期中）在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为________． 6．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知直线，若，则实数______ 7．（24-25高二下·上海静安·期中）两直线与的夹角为____________．（结果用反三角表示） 8．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为_____. 题型三、点到直线的距离 9．（24-25高二下·上海杨浦·期中）在平面上的线段及点，在上取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. 设是长为2的线段，则点集所表示图形的面积是_____. 10．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于______． 11．（24-25高二下·上海青浦·期中）在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是_____. 12．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 题型四、圆的一般方程 13．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 15．已知，方程表示圆，则圆心坐标是_______． 题型五、直线与圆的位置关系 16．（24-25高二下·上海·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是_______. 17．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线与圆在第一象限有交点，则的范围是________． 18．（24-25高二下·上海宝山·期中）若直线 上有且仅有一点 ，使得 ，则直线 被圆 截得的弦长为_____ 19．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是________． 20．（24-25高二下·上海浦东新·期中）上海市实验学校高二理科班学习创新小组在一次偶然情况下发现：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”其诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.上实高二理科班创新学习小组做了两种假设：（1）若军营所在区域为：；（2）若军营所在区域为：；试问军营在（1）（2）两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程的相差值为__________. 21．（24-25高二下·上海·期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则________． 22．（24-25高二下·上海浦东新·期中）过圆外一点任意作一条割线交圆于、两点. (1)若割线的方程为，求的值； (2)求弦的中点的轨迹. 题型六、椭圆的性质 23．（24-25高二下·上海·期中）已知曲线：的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线上的任意一点， 设点C满足，且的最大值为7，则的值是__________． 24．（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆过点，其右焦点为．过点作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与直线交于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 25．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B． (1)求的方程； (2)若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求此时直线的方程； (3)在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 26．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆（）的长轴长为，离心率为.直线与椭圆有两个不同的交点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值. 27．（24-25高二下·上海·期中）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，直线l的方程为．过原点O作直线l的平行线与椭圆Γ交于M、N两点． (1)求证：直线l与椭圆Γ有且仅有一个公共点，并求该公共点的坐标； (2)记（1）中的公共点为P，求证：P、M、、N四个点在同一圆C上，并求圆C的一般方程． 28．（24-25高二下·上海黄浦·期中）已知椭圆，依次连接椭圆的四个顶点构成的四边形面积为． (1)若，求椭圆的标准方程； (2)当时，设直线与椭圆交于、两点，设的中点为为坐标原点，直线的斜率分别为、，求证：为定值； (3)在第（2）小题的前提下，设点为椭圆的右焦点，，若与的交点、均不与点重合，直线的斜率分别为，若，求的周长． 29．（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆：，过点的直线：与椭圆交于、两点（点在点的上方），与轴交于点． (1)当时，求的长； (2)设，，求证：为定值，并求出该值； (3)点和点关于坐标原点对称，若的内切圆面积等于，求直线的方程． 题型七、双曲线的标准方程 30．若椭圆（）和双曲线（）有相同的焦点和，而P是这两条曲线的一个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是________． 32．（24-25高二下·上海·期中）学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆M、半圆N拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有P、Q两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求P、Q的距离尽可能远． (1)P、Q两位同学应处在什么位置？请说明理由； (2)若要在操场边界上关于中轴线对称的两点R、S处分别放置两个音箱（R、S两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时P、Q两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒（声音在空气中的传播速度为340米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到0.1米）． 题型八、双曲线的性质 33．（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线（）的左､右焦点分别为､.经过且倾斜角为的直线与交于第一象限的点，延长至，使.若的面积是，则双曲线的离心率为______. 34．（24-25高二下·上海嘉定·期中）以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为_______. 35．（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为_________． 36．（24-25高二下·上海宝山·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是__． 37．（24-25高二下·上海徐汇·期中）如图，已知，为双曲线的左、右焦点，，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为________. 38．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 题型九、抛物线的标准方程 39．（24-25高二下·上海金山·期中）在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则__________． 40．已知是抛物线上一点，则的最小值为__________． 41．（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点且斜率为的直线与曲线交于M、N两点，求的面积； (3)过点作两条互相垂直的直线，直线与曲线交于A、B两点，直线与曲线交于D、E两点，求的最小值. 题型十、抛物线的性质 42．（24-25高二下·上海徐汇·期中）拱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为________． 43．（24-25高二下·上海徐汇·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若、的横坐标之和为5，则直线最多有________条． 44．（24-25高二下·上海黄浦·期中）探照灯，汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程为_____． 45．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点. (1)若直线过抛物线的焦点，求弦的长； (2)若以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程. 46．（24-25高二下·上海·期中）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 题型十一、曲线与方程 47．（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为________． 48．曲线为到两定点、距离乘积为常数16的动点的轨迹．以下结论正确的编号为______． ①曲线一定经过原点； ②曲线关于轴对称，但不关于轴对称； ③的面积不大于8； ④曲线在一个面积为的矩形范围内． 49．（24-25高二下·上海徐汇·期中）椭圆中，动弦长为． (1)请写出椭圆的参数方程； (2)求面积的取值范围． 题型十二、空间向量基本定理 50．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 51．（24-25高二下·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则________.    题型十三、空间向量在立体几何中的应用 52．（24-25高二下·上海·期中）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，点为线段上一动点，则异面直线与所成角的最小值为_____．(结果用反余弦表示) 53．（24-25高二下·上海宝山·期中）如图（1），在 中， 分别是 上的点，且 ，将沿折起到的位置，使，如图（2）. 设点为的中点.    (1)求证：平面 ； (2)求点到平面的距离. 54．（24-25高二下·上海杨浦·期中）如图，已知正方体的棱长为2，点为棱所在直线上一点，直线与所成角为 . (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值. 55．（24-25高二下·上海·期中）如图，三棱柱中，底面是的中点. (1)求证：平面； (2)若，三棱柱的体积为8，求异面直线与所成角的大小. 56．（24-25高二下·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，分别为棱的中点. (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 57．（24-25高二下·上海杨浦·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，D是棱的中点. (1)求证：平面BCD； (2)求二面角的大小. 58．（24-25高二下·上海宝山·期中）如图，在平面 中， ，在四棱锥 中， 平面 为 的中点， 在 上，且 . (1)求证: ； (2)求点到平面的距离 ； (3)求平面与平面所成的二面角大小； 题型十四、数列 59．（24-25高二下·上海·期中）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：①的第2项小于1；②为等差数列；③为严格减数列；④中存在小于的项.其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 60．（24-25高二下·上海·期中）已知数列中，，且（n为正整数），则的最小值为__________. 61．（24-25高二下·上海·期中）设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为________． 62．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列中，满足，前项和为，若对于所有，则的最大值是__． 2 / 61 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $