专题11 立体几何中的动点轨迹、截面最值与球体问题（4大题型，压轴题专项训练）2026年高考数学(全国通用)

专题11 立体几何中的动点轨迹、截面最值与球体问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 空间动点轨迹判断 题型02 截面图形与面积/周长最值 题型03 几何体外接球问题 题型04 几何体内切球问题 模块三、综合实战演练 一、空间动点轨迹问题解题策略： 一、核心第一步：析约束，定平面（关键前提） 根据动点的空间约束条件（距离、角度、线面平行/垂直、几何体边界等），利用空间几何定理（线面平行/垂直判定、面面相交等），证明动点必落在某一固定平面内（空间轨迹均为平面曲线，无空间曲线）。 常见定平面依据： 1. 动点到两定点的距离和/差/比为定值→在过两定点的固定平面内； 2. 动点连线与定线/定面平行/垂直→在过定点且与定线/定面垂直的平面内； 3. 动点对定线段的视角为定值→在过定线段的固定平面内； 4. 动点在定几何体表面+某约束→在几何体的某一截面平面内。 二、核心第二步：转平面，定形状（几何定性） 将空间约束条件等价转化为第一步确定的平面内的几何条件，直接利用平面解析几何的轨迹定义，判定轨迹形状（优先几何法，无需建系，提速关键）。 高考高频轨迹形状及判定（平面内）： 1. 圆：到定点距离为定值、对定线段视角为直角、到两定点距离平方和为定值； 2. 椭圆：到两定点距离和为定值，且定值大于两定点间距离； 3. 双曲线：到两定点距离差的绝对值为定值，且定值小于两定点间距离； 4. 抛物线：到定点与到定直线的距离相等（定点不在定直线上）； 5. 直线/线段：到两定点距离相等（中垂线）、与定直线平行；受几何体边界约束时，直线缩为线段； 6. 圆弧/曲线段：轨迹为圆/椭圆/双曲线的一部分，受空间几何体边界剔除超出范围的部分。 三、核心第三步：建系列式，求轨迹（代数定量） 在轨迹所在的固定平面内建平面直角坐标系（优先选，减少变量，简化计算），若空间结构对称，可建空间直角坐标系（再消去一个变量转化为平面坐标），按步骤求轨迹： 1. 设坐标：平面内设定点为已知坐标，动点设为；空间建系则设，利用轨迹平面方程消去一个变量； 2. 列等式：将空间约束转化为坐标运算（距离公式、向量数量积、平行/垂直的坐标条件）； 3. 化简求解：消去参数，整理为平面轨迹的标准方程/一般方程，标注变量取值范围（结合空间约束剔除无效部分）。 四、三大常用方法（按需选用，适配不同题型） 1. 定义法（首选）：若平面内的约束条件直接符合圆、椭圆、抛物线等轨迹定义，直接判定形状，无需建系列方程，快速求解轨迹参数（如圆的半径、椭圆的长半轴）； 1. 坐标法（通用兜底）：适用于所有题型，尤其是约束条件复杂、无法直接用定义判定的问题，核心是降维建系，将空间问题转化为平面解析几何计算； 1. 向量法（适配位置约束）：针对含线线/线面平行、垂直、角度约束的问题，设动点向量，将位置关系转化为向量数量积（垂直为0）、共线向量（平行），列等式后化简求解。 二、几何体外接球问题常见模型 一、规则几何体模型（基础核心，直接套用） 1. 正方体/长方体模型 模型特征：6个面均为矩形，体对角线为外接球直径（天然有外接球，球心为体对角线中点）。 - 球心定位：体对角线的中点； - 半径公式：若正方体棱长为，；若长方体长宽高为，； - 拓展：直棱柱、正棱柱可补形为长方体，按长方体模型求半径。 2. 正棱锥模型（正三棱锥/正四棱锥） 模型特征：底面为正多边形，顶点在底面的投影为底面正多边形的中心（垂心/重心/外心重合）。 - 球心定位：在顶点到底面的垂线上（高所在直线上），设高为，球心到地面距离为，则球心距顶点为，距底面顶点为； - 半径求解：设底面正多边形外接圆半径为，由勾股定理得，解方程得。 3. 直棱柱模型（直三棱柱/直四棱柱） 模型特征：侧棱垂直于底面，底面为任意多边形（有外接圆）。 - 球心定位：上下底面外接圆圆心连线的中点（连线垂直于底面，与侧棱平行）； - 半径公式：设底面外接圆半径为，棱柱的高（侧棱长）为，则； - 关键：先求底面多边形的外接圆半径（如正三角形，直角三角形）。 二、棱锥类特殊模型 1. 正四面体模型 模型特征：四个面均为全等的正三角形，所有棱长均为。 - 球心定位：高的四等分点（距底面高，距顶点高）； - 半径公式：直接套用（无需推导，直接记）； - 拓展：正四面体可补形为正方体，正方体棱长，再按正方体求半径，结果一致。 2. 对棱相等的三棱锥模型 模型特征：三棱锥三组对棱分别相等（如，，）。 - 核心技巧：补形为长方体，将三棱锥的对棱作为长方体面对角线，设长方体长宽高为，列方程，求解后按长方体求； - 半径公式：。 三、拼接/组合几何体模型 1. 棱锥+棱柱拼接模型（同底面） 模型特征：棱锥与棱柱共用一个底面，且棱柱为直棱柱、棱锥顶点在棱柱上底面正上方。 - 球心定位：按直棱柱模型找（上下底面外接圆圆心连线中点），棱锥顶点为棱柱上底面顶点，共享外接球； - 半径求解：同直棱柱模型，（为底面外接圆半径，为棱柱高）。 2. 两个规则几何体拼接模型（相切/共面） 模型特征：两个有外接球的规则几何体（如正方体+正四棱锥、直三棱柱+三棱锥）相切或共面，且顶点共球。 - 核心技巧：找所有顶点的公共外接球球心（到各顶点距离相等），优先找几何对称中心，再用勾股定理验证； - 关键：若几何体对称，球心在对称线上；无对称则建空间直角坐标系，设球心坐标，列方程求坐标再算半径。 五、通用兜底模型（建系法，适配所有几何体） 模型特征：不规则几何体（无两两垂直棱、无正多边形底面、无对称中心），无法用补形/找垂面法找球心。 - 核心技巧：建立空间直角坐标系，设几何体各顶点坐标，设外接球球心为； - 半径求解：由（为几何体顶点），列方程组求解，再计算任意顶点到球心的距离得； - 适用：所有模型均可用，计算稍复杂，作为补形法/公式法的兜底方案。 题型01 空间动点轨迹判断 1．如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，，且． (1)求三棱锥的体积； (2)已知点在侧面及其边界上运动，若平面，求点的轨迹长度． 2．如图，在长方体中，，是的中点，是的中点，是底面的中心． (1)证明：平面． (2)若是侧面上的一个动点，且点到平面的距离为，证明点的轨迹为一条线段，并求该线段的长度. 3．如图，在三棱台中，，，，点在底面的投影是的重心． (1)证明：平面平面； (2)已知空间直角坐标系中的方程：，它表示球心为，半径为的球面．，是棱上两点，，是三棱台表面上一点，且．求满足条件的点轨迹的长度． 4．已知双曲线的离心率为，且过点，渐近线分别为，，其中经过第一、三象限. (1)求双曲线的渐近线的方程； (2)设动点在第一象限内，且不在直线上，过点分别作的平行线，交轴于，两点，且，为坐标原点. ①求动点的轨迹方程； ②求面积的最小值. 5．如图，在四面体中，点在平面内的射影恰在棱上，为的中点，，，和的面积均为． (1)若，且与均为锐角，证明：平面； (2)若将，，三点在空间中的位置固定，试分析点的轨迹是什么曲线； (3)求的最小值． 核心：先定轨迹所在平面，再降维为平面解析几何问题，空间轨迹均为平面曲线，通过几何约束定型，代数方法验证，不盲目建空间系。 1. 核心步骤： - 析约束定平面：根据距离、角度、线面平行/垂直等约束，利用空间几何定理（面面相交、线面垂直判定），确定动点落在唯一固定平面内； - 转平面定形状：将空间约束等价转化为平面内条件，用平面解析几何轨迹定义判定形状（圆/椭圆/双曲线/抛物线/直线/线段）； - 建系验证（可选）：在轨迹平面建平面直角坐标系，列坐标等式化简，验证轨迹形状并标注空间约束下的有效范围（如圆弧、线段）。 2. 关键抓手： - 常用轨迹判定：到定点距离定→圆，到两定点距离和定→椭圆，对定线段视角为直角→以该线段为直径的圆，线面平行约束→直线/线段； - 球面上动点：满足平面约束时，轨迹为球面与平面的交线（圆），用球心到平面距离求交线圆半径。 3. 常用方法：定义法（首选，几何定型）、坐标法（通用，代数验证）、向量法（适配平行/垂直约束）。 题型02 截面图形与面积/周长最值 1．在直四棱柱中，，，点，在以线段为直径的圆上运动，且，，三点共线，点，分别是线段，的中点，则下列说法中正确的是（    ）    A．平面平面 B．当四棱柱的体积最大时， C．当时，过的平面截该四棱柱的外接球所得截面面积的最小值为 D．当时，过点，，的平面截该四棱柱所得的截面周长为 2．在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，给出的四个结论，正确的是（） A．对于任意的点， B．存在点，使得平面 C．存在点，使直线与直线共面 D．存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值 3．如图，在三棱锥中，，，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)若平面，平面，且平面将三棱锥截为两部分，求截面面积的最大值； (3)若二面角的余弦值为，求. 4．在学习立体几何的过程中，无数公理的直观体现和定理应用都在正方体ABCD-A1B1C1D1中展开. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a 性质1：正方体的体积与表面积之比为________. 性质2：对角线A1B与BC所成夹角大小为________. 性质3：体对角线BD1的长度为________. 性质4：连接所有对角线后，图中有_____对互相垂直的线段 …… (1)请直接完成上方正方体性质表格的填写； (2)求证：线段被平面与平面三等分； (3)若正方体ABCD-A1B1C1D1每条棱所在直线与平面所成的角都相等，求：截此正方体所得截面面积的最大值并在上方性质卡片图中画出此时与正方体的截面. 5．如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60°的角，且，平行于AD与BC截面分别交AB、AC、CD、BD于点E、F、G、H. (1)求证：截面EFGH为平行四边形； (2)当点E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？ 一、截面作图核心方法（必考前提） 利用空间基本公理（两点确定一条直线、线面相交唯一点），三步作截面： 1. 定交点：找已知直线/面与几何体棱的交点，确定截面的顶点； 2. 连直线：连接相邻顶点，保证连线在几何体的面内/棱上，形成封闭平面图形； 3. 验形状：根据顶点位置判定截面形状（三角形/四边形/五边形/六边形，特殊的正多边形/直角多边形）。 二、面积/周长最值求解 1. 定变量：设截面的一个核心变量（如棱上的点到顶点的距离、截面的一个内角/边长），将截面的面积/周长表示为该变量的函数； 2. 求范围：根据几何体边界确定变量的取值范围（如）； 3. 求最值： - 规则图形：用公式表示面积/周长（如三角形面积，矩形周长），结合基本不等式（和定积最大、积定和最小）或三角函数有界性（）求最值； - 不规则图形：将其拆分为多个规则图形（如分割为三角形），表示为单变量函数后，用导数/二次函数单调性求最值。 4. 关键抓手： - 正方体/长方体中，截面最多为六边形，过中心的截面常为对称图形（最值多在对称位置取到）； - 面积最值常与夹角正弦值相关（正弦值最大为1时面积最大），周长最值常与线段长度的线性关系相关。 题型03 几何体外接球问题 1．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 核心：找球心、求半径（球心到各顶点距离相等，半径为球心到任意顶点的距离），优先模型匹配，补形法/公式法提速，建系法兜底。 1. 核心原则：球心在几何体的对称线/面的垂线上，规则几何体有固定模型，不规则几何体补形为规则体（正方体/长方体）。 2. 高频模型+解题技巧： - 正方体/长方体/墙角模型（三条棱两两垂直）：体对角线为外接球直径，（为长宽高/两两垂直棱的长度）； - 直棱柱模型：球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，（为底面外接圆半径，为侧棱长）； - 正棱锥模型：球心在顶点到底面的垂线上，设底面外接圆半径、锥高，由解方程求； - 对棱相等的三棱锥/正四面体：补形为长方体，正四面体直接套用（为棱长）； - 共斜边的直角几何体：球心为公共斜边中点，。 3. 兜底方法：空间建系法，设球心坐标，由球心到各顶点距离相等列方程组，求解坐标后计算半径。 4. 关键抓手：补形法仅适用于有两两垂直棱、对棱相等的几何体，所有模型均需验证球心到各顶点距离相等。 题型04 几何体内切球问题 1．已知圆锥的轴截面是边长为的正三角形，从该圆锥内挖去圆锥的内切球后剩余部分的体积为（     ） A． B． C． D． 2．某圆锥的底面半径与高之比为，其内切球与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 3．如图是棱长为2的正方体，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 4．如图是一个圆台的侧面展开图是一个半圆扇环（为扇形所在圆的圆心，圆心角为），若该圆台存在内切球，记该圆台的内切球表面积为，该圆台的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 5．在正四面体中，各棱长均为2，则该正四面体内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 1. 核心公式（体积法，通用所有几何体）： 设内切球半径为，几何体体积为，表面积（所有面的面积和）为，则，变形得（核心，必考）。 2. 规则几何体模型（直接套公式，提速）： - 正方体/长方体：内切球与各面相切，直径等于几何体的最短棱长，； - 正棱柱/正棱锥/正四面体：球心在几何体的几何中心（高的中点/四等分点），正四面体棱长为时，（也可由体积法推导）； - 圆柱/圆锥：内切球与底面和侧面相切，圆柱内切球直径等于高（且等于底面直径），圆锥内切球半径由轴截面相似三角形求（轴截面为等腰三角形，内切圆半径即内切球半径）。 3. 解题步骤： - 规则几何体：直接匹配模型，套半径公式； - 不规则几何体（如三棱锥、拼接几何体）：① 计算几何体的总体积（分割法/补形法）；② 计算几何体所有面的面积和；③ 代入体积法公式求。 4. 关键抓手： - 内切球仅存在于凸几何体中，球心在几何体的内部，且到各面距离相等； - 拼接几何体的内切球：需保证球心到拼接后所有面的距离相等，再用体积法（总体积=各部分体积和，总表面积=各部分表面积和-拼接面面积×2）。 1．图1是陕西大荔中学花园中的一座仿古亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示．已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正四面体中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 3．四面体的各顶点均在同一个球面上，且，当四面体的体积最大时，该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高之和为10，底面半径为4，且两个圆锥的顶点和底面圆周在同一个球的球面上.在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．已知在正四棱锥中，，Q为平面内一点，则（   ） A．四棱锥的体积为 B．当时，面积的最小值为 C．当（）时，存在使 D．当时，点Q的轨迹为抛物线 6．如图，平面平面为线段的中点，，直线与平面所成角的大小为为平面内的动点，则下列说法正确的是（   ） A．球心为、半径为的球面被平面截得的圆周长为 B．若点到点和点的距离相等，则点的轨迹是抛物线 C．若点到直线的距离为，则的最大值为 D．满足的点的轨迹是椭圆 7．已知正三棱台，上底面边长为2，下底面ABC边长为6，侧棱长为4，点在侧面内（包含边界）运动，且，Q为上一点，且，则下列说法正确的是（   ） A．正三棱台的高为 B．高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内 C．点P的轨迹长度为 D．过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 8．在棱长为的正四面体中，，分别为棱和（包括端点）的动点，直线与平面、平面所成角分别为，，则（   ） A．点到平面和平面的距离之和是定值 B．的正负由点位置确定，与点位置无关 C．的最大值为 D．正四面体顶点在球的球面上，当时，则过点截球的截面面积最小值为 9．如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 10．已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 11．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，为线段上的动点（含端点），若． (1)求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围； (2)设四棱锥的外接球球心为， （ⅰ）求球的半径； （ⅱ）当为线段中点时，求到平面的距离． 12．在四棱锥中，底面为正方形，平面. (1)求证：平面； (2)求钝二面角的余弦值； (3)若存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球，求该球体的体积和表面积；若不存在，请说明理由. 13．如图所示的空间直角坐标系A-xyz中，所有坐标均为整数的点称为整点；已知正方体的棱长为a，点P满足，其中，； (1)若，且直线与平面所成角大小为，求点P的轨迹长度； (2)若，，求正方体经过点的截面面积S的取值范围； (3)若，求三棱锥内（不包括表面边界）整点的个数. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11立体几何中的动点轨迹、截面最值与球体问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 空间动点轨迹判断 题型02 截面图形与面积/周长最值 题型03 几何体外接球问题 题型04 几何体内切球问题 模块三、综合实战演练 一、空间动点轨迹问题解题策略： 一、核心第一步：析约束，定平面（关键前提） 根据动点的空间约束条件（距离、角度、线面平行/垂直、几何体边界等），利用空间几何定理（线面平行/垂直判定、面面相交等），证明动点必落在某一固定平面内（空间轨迹均为平面曲线，无空间曲线）。 常见定平面依据： 1. 动点到两定点的距离和/差/比为定值→在过两定点的固定平面内； 2. 动点连线与定线/定面平行/垂直→在过定点且与定线/定面垂直的平面内； 3. 动点对定线段的视角为定值→在过定线段的固定平面内； 4. 动点在定几何体表面+某约束→在几何体的某一截面平面内。 二、核心第二步：转平面，定形状（几何定性） 将空间约束条件等价转化为第一步确定的平面内的几何条件，直接利用平面解析几何的轨迹定义，判定轨迹形状（优先几何法，无需建系，提速关键）。 高考高频轨迹形状及判定（平面内）： 1. 圆：到定点距离为定值、对定线段视角为直角、到两定点距离平方和为定值； 2. 椭圆：到两定点距离和为定值，且定值大于两定点间距离； 3. 双曲线：到两定点距离差的绝对值为定值，且定值小于两定点间距离； 4. 抛物线：到定点与到定直线的距离相等（定点不在定直线上）； 5. 直线/线段：到两定点距离相等（中垂线）、与定直线平行；受几何体边界约束时，直线缩为线段； 6. 圆弧/曲线段：轨迹为圆/椭圆/双曲线的一部分，受空间几何体边界剔除超出范围的部分。 三、核心第三步：建系列式，求轨迹（代数定量） 在轨迹所在的固定平面内建平面直角坐标系（优先选，减少变量，简化计算），若空间结构对称，可建空间直角坐标系（再消去一个变量转化为平面坐标），按步骤求轨迹： 1. 设坐标：平面内设定点为已知坐标，动点设为；空间建系则设，利用轨迹平面方程消去一个变量； 2. 列等式：将空间约束转化为坐标运算（距离公式、向量数量积、平行/垂直的坐标条件）； 3. 化简求解：消去参数，整理为平面轨迹的标准方程/一般方程，标注变量取值范围（结合空间约束剔除无效部分）。 四、三大常用方法（按需选用，适配不同题型） 1. 定义法（首选）：若平面内的约束条件直接符合圆、椭圆、抛物线等轨迹定义，直接判定形状，无需建系列方程，快速求解轨迹参数（如圆的半径、椭圆的长半轴）； 1. 坐标法（通用兜底）：适用于所有题型，尤其是约束条件复杂、无法直接用定义判定的问题，核心是降维建系，将空间问题转化为平面解析几何计算； 1. 向量法（适配位置约束）：针对含线线/线面平行、垂直、角度约束的问题，设动点向量，将位置关系转化为向量数量积（垂直为0）、共线向量（平行），列等式后化简求解。 二、几何体外接球问题常见模型 一、规则几何体模型（基础核心，直接套用） 1. 正方体/长方体模型 模型特征：6个面均为矩形，体对角线为外接球直径（天然有外接球，球心为体对角线中点）。 - 球心定位：体对角线的中点； - 半径公式：若正方体棱长为，；若长方体长宽高为，； - 拓展：直棱柱、正棱柱可补形为长方体，按长方体模型求半径。 2. 正棱锥模型（正三棱锥/正四棱锥） 模型特征：底面为正多边形，顶点在底面的投影为底面正多边形的中心（垂心/重心/外心重合）。 - 球心定位：在顶点到底面的垂线上（高所在直线上），设高为，球心到地面距离为，则球心距顶点为，距底面顶点为； - 半径求解：设底面正多边形外接圆半径为，由勾股定理得，解方程得。 3. 直棱柱模型（直三棱柱/直四棱柱） 模型特征：侧棱垂直于底面，底面为任意多边形（有外接圆）。 - 球心定位：上下底面外接圆圆心连线的中点（连线垂直于底面，与侧棱平行）； - 半径公式：设底面外接圆半径为，棱柱的高（侧棱长）为，则； - 关键：先求底面多边形的外接圆半径（如正三角形，直角三角形）。 二、棱锥类特殊模型 1. 正四面体模型 模型特征：四个面均为全等的正三角形，所有棱长均为。 - 球心定位：高的四等分点（距底面高，距顶点高）； - 半径公式：直接套用（无需推导，直接记）； - 拓展：正四面体可补形为正方体，正方体棱长，再按正方体求半径，结果一致。 2. 对棱相等的三棱锥模型 模型特征：三棱锥三组对棱分别相等（如，，）。 - 核心技巧：补形为长方体，将三棱锥的对棱作为长方体面对角线，设长方体长宽高为，列方程，求解后按长方体求； - 半径公式：。 三、拼接/组合几何体模型 1. 棱锥+棱柱拼接模型（同底面） 模型特征：棱锥与棱柱共用一个底面，且棱柱为直棱柱、棱锥顶点在棱柱上底面正上方。 - 球心定位：按直棱柱模型找（上下底面外接圆圆心连线中点），棱锥顶点为棱柱上底面顶点，共享外接球； - 半径求解：同直棱柱模型，（为底面外接圆半径，为棱柱高）。 2. 两个规则几何体拼接模型（相切/共面） 模型特征：两个有外接球的规则几何体（如正方体+正四棱锥、直三棱柱+三棱锥）相切或共面，且顶点共球。 - 核心技巧：找所有顶点的公共外接球球心（到各顶点距离相等），优先找几何对称中心，再用勾股定理验证； - 关键：若几何体对称，球心在对称线上；无对称则建空间直角坐标系，设球心坐标，列方程求坐标再算半径。 五、通用兜底模型（建系法，适配所有几何体） 模型特征：不规则几何体（无两两垂直棱、无正多边形底面、无对称中心），无法用补形/找垂面法找球心。 - 核心技巧：建立空间直角坐标系，设几何体各顶点坐标，设外接球球心为； - 半径求解：由（为几何体顶点），列方程组求解，再计算任意顶点到球心的距离得； - 适用：所有模型均可用，计算稍复杂，作为补形法/公式法的兜底方案。 题型01 空间动点轨迹判断 1．如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，，且． (1)求三棱锥的体积； (2)已知点在侧面及其边界上运动，若平面，求点的轨迹长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等体积法即可求出三棱锥的体积. （2）分别取靠近点的三等分点，连接， 由题意可证得线线平行，由面面平行的判定定理即可证得平面与平面平行，再由面面平行的性质定理即可证得线面平行.进而求得动点轨迹长度； 【详解】（1）由题意可知为等边三角形， 因为底面，平面，故， 又平面平面，所以平面平面ADEF， 如图，过点作于点，所以平面 因为为等边三角形，所以，则点到平面的距离， 过点作于点，所以， 所以． （2）取靠近点的三等分点，连接， 因为，且，则，所以． 又平面，平面，所以平面． 因为，，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以，又平面，平面， 所以平面，且，平面， 所以平面平面， 由题意知在线段上时，平面． 所以点的轨迹长度为． 2．如图，在长方体中，，是的中点，是的中点，是底面的中心． (1)证明：平面． (2)若是侧面上的一个动点，且点到平面的距离为，证明点的轨迹为一条线段，并求该线段的长度. 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析；线段长度为 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直，结合线面垂直的判断定理，即可证明； （2）利用坐标法，结合点到平面的距离公式，求出点满足的轨迹方程，即可证明，并求线段长度. 【详解】（1）如图，以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，，，，，， ，，， ，， 所以，，，平面， 所以平面 （2）由（1）可知平面，则是平面的一个法向量 所以平面的一个法向量为， 设，， 则点到平面的距离， 则，得或， 直线与侧面没有交点，故舍去， 所以， 如图，直线与棱交于，所以点的轨迹是线段 ,，. 3．如图，在三棱台中，，，，点在底面的投影是的重心． (1)证明：平面平面； (2)已知空间直角坐标系中的方程：，它表示球心为，半径为的球面．，是棱上两点，，是三棱台表面上一点，且．求满足条件的点轨迹的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，取的中点为，连接，由题意得平面，由几何性质可证得，从而得平面，由面面垂直的判定定理即可得结论； （2）建立空间直角坐标系，从而可得点轨迹表示球心在，半径的球面，计算可得结论. 【详解】（1）连接并延长交于点，连接，取的中点为，连接， 因为点在底面的投影是的重心，则平面，， 因为为中点，为中点，则， 由题得，，，所以， 所以四边形是平行四边形，则， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系， 则，，设， 由，得， 整理得， 所以点轨迹表示球心在，半径的球面， 又是棱台表面上的点，所以点轨迹是球面与棱台表面的交线， 由题得，，则， 所以， 又，，则，，， 所以球面只与棱台侧面，侧面，底面相交， 因为 所以， ， ， 从而可得，，， 因此所求交线长度为． 4．已知双曲线的离心率为，且过点，渐近线分别为，，其中经过第一、三象限. (1)求双曲线的渐近线的方程； (2)设动点在第一象限内，且不在直线上，过点分别作的平行线，交轴于，两点，且，为坐标原点. ①求动点的轨迹方程； ②求面积的最小值. 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）由，以及，得到，从而写出渐近线方程； （2）①根据题意，写出，的直线方程，从而得到，，再根据得到轨迹方程； ②利用面积公式，分析出点到直线的距离最短时，面积最小，再通过直线与曲线的位置关系解决曲线中的最值问题. 【详解】（1）由，得， 因此，； （2）①过点且与平行的直线方程为：， 过点且与平行的直线方程为：， 求得， 所以动点的轨迹方程为， ②在中，因为， 所以要使的面积最小，只要使点到直线的距离最短， 设过点且与平行的直线， 又因为点在点轨迹的渐近线的下方， 所以当直线与曲线相切的时候，点到直线的距离最短， 联立，消去得， ，解得， 当时，求得，不满足条件， 当时，求得，符合题意， 易求得点到直线的距离为，且， 因此，面积的最小值为. 5．如图，在四面体中，点在平面内的射影恰在棱上，为的中点，，，和的面积均为． (1)若，且与均为锐角，证明：平面； (2)若将，，三点在空间中的位置固定，试分析点的轨迹是什么曲线； (3)求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)椭圆（直线与此椭圆的两个交点除外） (3) 【分析】（1）根据几何知识得，再利用三角形面积公式得，进而利用余弦定理得，则有，最后利用线面垂直的性质定理证明即可； （2）根据面积得点D到直线AB的距离为1，进而有在以直线为轴，底面半径为1的圆柱的侧面上运动，结合线面角的概念即可求出点的运动轨迹； （3）建立空间直角坐标系，求出椭圆方程及焦点坐标，设，在中，由余弦定理得，同理可得.方法一：结合，利用基本不等式中常数代换技巧求解最小值；方法二：先求得，令，令，利用导数法求解最小值即可. 【详解】（1）因为点在平面内的射影恰在棱上，所以， 又因为，所以， 因为和的面积均为，所以因为与均为锐角，所以， 再根据余弦定理可知，所以， 又，平面，所以平面； （2）因为的面积为，，所以点D到直线AB的距离为1， 因此在以直线为轴，底面半径为1的圆柱的侧面上运动. 由题意知平面，，所以直线与平面所成的角为. 如图，平面与圆柱斜交，则平面与圆柱侧面的交线就是点的运动轨迹， 易知该交线为椭圆（直线与此椭圆的两个交点除外）. （3）以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 下面求椭圆方程：由圆柱的底面半径，可知椭圆的短半轴长为1， 由，可知椭圆的长半轴长， 所以椭圆方程为，记该椭圆为. 又，即，所以为的一个焦点， 设的另一个焦点为，则， 设，在中，由余弦定理知， 解得. 直线与的另一个交点即为，同理可得. 下面求的最值： 方法一：注意到， 所以， 当且仅当时等号成立， 因此. 方法二：，令，令， 则，设，则（另一值舍去）. 当时，，当时，， 因此为的极小值点，也是最小值点，故. 核心：先定轨迹所在平面，再降维为平面解析几何问题，空间轨迹均为平面曲线，通过几何约束定型，代数方法验证，不盲目建空间系。 1. 核心步骤： - 析约束定平面：根据距离、角度、线面平行/垂直等约束，利用空间几何定理（面面相交、线面垂直判定），确定动点落在唯一固定平面内； - 转平面定形状：将空间约束等价转化为平面内条件，用平面解析几何轨迹定义判定形状（圆/椭圆/双曲线/抛物线/直线/线段）； - 建系验证（可选）：在轨迹平面建平面直角坐标系，列坐标等式化简，验证轨迹形状并标注空间约束下的有效范围（如圆弧、线段）。 2. 关键抓手： - 常用轨迹判定：到定点距离定→圆，到两定点距离和定→椭圆，对定线段视角为直角→以该线段为直径的圆，线面平行约束→直线/线段； - 球面上动点：满足平面约束时，轨迹为球面与平面的交线（圆），用球心到平面距离求交线圆半径。 3. 常用方法：定义法（首选，几何定型）、坐标法（通用，代数验证）、向量法（适配平行/垂直约束）。 题型02 截面图形与面积/周长最值 1．在直四棱柱中，，，点，在以线段为直径的圆上运动，且，，三点共线，点，分别是线段，的中点，则下列说法中正确的是（    ）    A．平面平面 B．当四棱柱的体积最大时， C．当时，过的平面截该四棱柱的外接球所得截面面积的最小值为 D．当时，过点，，的平面截该四棱柱所得的截面周长为 【答案】ABD 【分析】对A：借助线面垂直判定定理先证平面，再借助面面垂直判定定理即可得；对B：利用基本不等式可得时，四棱柱的体积最大时，则可建立适当空间直角坐标系求证；对C：求出球心到直线的距离后借助垂径定理计算即可得；对D：作出所需平面计算周长即可得. 【详解】对A：由直四棱柱性质可得，由为直径，则， 又，、平面，故平面， 又平面，故平面平面，故A正确； 对B：由，则， 则， 当且仅当时，等号成立， 即四棱柱的体积最大时，，同理， 则此时四棱柱为正方体， 则可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，    有、、、、， 则，，有， 故，故B正确； 对C：当时，则由B可得此时四棱柱为正方体， 有、，则， 由正方体性质可得该正方体的外接球球心为，设为， 则，外接球半径为. 则点到直线的距离， 又该截面面积取最小时，点到该截面的距离为， 则，故C错误； 对D：取中点，连接、、、、， 则且，又，故， 故、、、四点共面，即所求截面为四边形， 则截面周长为 ，故D正确. 故选：ABD 2．在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，给出的四个结论，正确的是（） A．对于任意的点， B．存在点，使得平面 C．存在点，使直线与直线共面 D．存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值 【答案】ABD 【分析】对于A，由面面平行的性质定理可得；对于B，当点为的中点时，有平面；对于C，易知直线与直线是异面直线；对于D，利用侧面展开图可求解最短周长. 【详解】对于A，因为平面平面， 平面平面， 平面平面， 由面面平行的性质定理得，故A正确； 对于B，当点为的中点时，有平面，证明如下： 由A可知，当点为的中点时，为的中点， 此时，，故四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，不论点在何位置，直线与直线永远为异面直线， 故直线与直线不可能共面，故C错误； 对于D，由A可知，同理可知，故四边形为平行四边形， 所以四边形的周长， 将矩形绕棱向内旋转90度，使矩形和矩形共面， 连接交于点，如下图所示： 故存在唯一的点E，使得最小，此时截面四边形的周长取得最小值，故D正确. 故选：ABD 3．如图，在三棱锥中，，，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)若平面，平面，且平面将三棱锥截为两部分，求截面面积的最大值； (3)若二面角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由已知得，再由面面垂直的性质定理及判定定理，即可证结论； （2）若分别是上的点，且，得为平行四边形，利用线面平行的判定及已知得可由平面平移得到，令平移后则，求平行四边形截面的边长，进而写出面积表达式，即可得； （3）构建合适的空间直角坐标系，设并标注出相关点坐标，求出相关平面的法向量，根据二面角的余弦值及夹角的向量公式列方程求参数，即可得. 【详解】（1）由，则，即， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则平面平面. （2）若分别是上的点，且，显然为平行四边形， 由平面，平面，则平面， 由平面，平面，则平面， 因为平面，平面，且为异面直线， 故平面与平面平行或重合，所以可由平面平移得到， 令平移后则，所以，， 又截面始终为平行四边形，所以， 要使截面的面积最大，只需且，此时最大； （3）由（1）平面，在平面内作，如下图示， 可构建如图示的空间直角坐标系，设，则，，， 故，，，， 若是平面的一个法向量，则，可取， 若是平面的一个法向量，则，可取， 由二面角的余弦值为，则， 所以，可得，解得或（舍）， 所以. 4．在学习立体几何的过程中，无数公理的直观体现和定理应用都在正方体ABCD-A1B1C1D1中展开. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a 性质1：正方体的体积与表面积之比为________. 性质2：对角线A1B与BC所成夹角大小为________. 性质3：体对角线BD1的长度为________. 性质4：连接所有对角线后，图中有_____对互相垂直的线段 …… (1)请直接完成上方正方体性质表格的填写； (2)求证：线段被平面与平面三等分； (3)若正方体ABCD-A1B1C1D1每条棱所在直线与平面所成的角都相等，求：截此正方体所得截面面积的最大值并在上方性质卡片图中画出此时与正方体的截面. 【答案】(1)，，a，132 (2)证明见解析 (3)，图象见解析 【分析】（1）根据正方体的几何性质即可逐一求解, （2）根据等体积法求解点到面的距离即可求解， （3）平面PQR与正方体过顶点A的三条棱所成角相等，根据平面EFGHMN平面PQR，且六边形EFGHMN为正六边形，即可求解最值， 【详解】（1）正方体的体积为，表面积为，故正方体的体积与表面积之比为， 由于平面，平面，故，故对角线A1B与BC所成夹角大小为， 体对角线BD1的长度为, 棱与棱垂直：任何两条不平行的棱（即沿不同坐标轴的棱）都垂直. 有4条棱沿x轴、4条沿y轴、4条沿z轴，因此棱与棱垂直对数为对. 棱与面对角线垂直：每条棱垂直于4条面对角线（位于与棱垂直的两个面上，每个面有2条面对角线）. 因此棱与面对角线垂直对数为12条棱 × 4条面对角线 = 48对. 面对角线与面对角线垂直：包括同一面内的两条面对角线垂直（6个面，每面1对，共6对）和平行面上的面对角线垂直（3对平行面，每对2对，共6对），总12对. 面对角线与空间对角线垂直：每条面对角线垂直于2条空间对角线， 因此面对角线与空间对角线垂直对数为12条面对角线 × 2条空间对角线 = 24对. 空间对角线与空间对角线垂直：无垂直对. 棱与空间对角线垂直：无垂直对. 综上可得：共对. 故答案为：；；；. （2）设正方体的棱长为1，则， 设点到平面的距离为，由于，故， 所以，则， 由（1）知，是平面内的相交直线， 所以平面，且， 同理点到平面的距离也是，是的， 所以线段被平面与平面三等分. （3）如图所示： ， 若此正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，只需平面与过同一顶点的三条棱所成的角相等， 设，则平面与正方体过顶点的三条棱所成角相等， 若点E，F，G，H，M，N分别为相应棱的中点， 可得平面平面PQR，且六边形为正六边形， 正方体的棱长为，则正六边形的边长为，此时正六边形的面积为， 根据正方体的对称性可知当截面为正六边形时，面积最大，且最大面积为 5．如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60°的角，且，平行于AD与BC截面分别交AB、AC、CD、BD于点E、F、G、H. (1)求证：截面EFGH为平行四边形； (2)当点E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质即可推出截面为平行四边形. （2）首先确定截面面积取最大值时的点的位置，然后根据边角关系和基本不等式的性质可求得截面面积的最大值. 【详解】（1）由题意知，平面，平面， 因为平面平面，平面平面， 所以，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以，所以. 所以截面为平行四边形. （2）因为成角为60°，所以或，设， 因为，， 所以，由，得. 所以平行四边形的面积为. 当且仅当，即时等号成立，即为的中点时，截面的面积最大为. 一、截面作图核心方法（必考前提） 利用空间基本公理（两点确定一条直线、线面相交唯一点），三步作截面： 1. 定交点：找已知直线/面与几何体棱的交点，确定截面的顶点； 2. 连直线：连接相邻顶点，保证连线在几何体的面内/棱上，形成封闭平面图形； 3. 验形状：根据顶点位置判定截面形状（三角形/四边形/五边形/六边形，特殊的正多边形/直角多边形）。 二、面积/周长最值求解 1. 定变量：设截面的一个核心变量（如棱上的点到顶点的距离、截面的一个内角/边长），将截面的面积/周长表示为该变量的函数； 2. 求范围：根据几何体边界确定变量的取值范围（如）； 3. 求最值： - 规则图形：用公式表示面积/周长（如三角形面积，矩形周长），结合基本不等式（和定积最大、积定和最小）或三角函数有界性（）求最值； - 不规则图形：将其拆分为多个规则图形（如分割为三角形），表示为单变量函数后，用导数/二次函数单调性求最值。 4. 关键抓手： - 正方体/长方体中，截面最多为六边形，过中心的截面常为对称图形（最值多在对称位置取到）； - 面积最值常与夹角正弦值相关（正弦值最大为1时面积最大），周长最值常与线段长度的线性关系相关。 题型03 几何体外接球问题 1．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可知顶点在底面的投影为的外心（正三角形的中心），外接球的球心在过该中心且垂直于底面的直线上，通过勾股定理建立方程求解半径. 【详解】如图，设点为底面的投影，因为， 则为正三角形的中心，计算可得， 则平面，连接 在中，： ， 设外接球的球心为，半径为，则在直线上. 设，则， 在中：解得：， 所以，即. 所以三棱锥外接球的半径为. 2．已知三棱锥的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先找到的外接圆圆心位置，结合三棱锥的体积确定外接球半径及外接球球心的位置，并利用勾股定理建立关于的方程求解，最后用球的表面积公式计算求解. 【详解】 已知，，所以的面积. ，直角三角形外接圆圆心为斜边中点， 设中点为，则. 因为三棱锥体积，代入得，， 又，为中点，由等腰三角形三线合一得， 且 ， 因此平面，即在底面投影为. 设，球半径为，则. ，， 联立得，解得，因此. 即球的表面积. 3．在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，则，所以， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示：    所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为． 4．已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆台体积公式求出高，再根据外接球球心在上下底面圆心连线上，由球心到两底面圆周的距离相等列方程求出外接球半径，代入球的体积公式计算结果. 【详解】设该圆台的上､下底面的圆心分别为，高为，则圆台的体积为 ，求解可得， 设该圆台外接球的球心为，则在上，设，所以， 设该圆台外接球的半径为，所以，求解可得， 所以该圆台外接球的体积为. 5．如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先建立空间直角坐标系，求出上下底面正方形的顶点坐标、中心坐标，再设外接球球心，利用球心到上下底面顶点距离均为半径列方程，解出半径后计算外接球表面积. 【详解】取下底面正方形的中心为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 因为下底面边长为，几何体的高为， 故，，， ，，，，. 设几何体外接球的球心为，外接球半径为. 在中，， 在中， 则，解得. 所以. 故该几何体的外接球的表面积 故选：B. 核心：找球心、求半径（球心到各顶点距离相等，半径为球心到任意顶点的距离），优先模型匹配，补形法/公式法提速，建系法兜底。 1. 核心原则：球心在几何体的对称线/面的垂线上，规则几何体有固定模型，不规则几何体补形为规则体（正方体/长方体）。 2. 高频模型+解题技巧： - 正方体/长方体/墙角模型（三条棱两两垂直）：体对角线为外接球直径，（为长宽高/两两垂直棱的长度）； - 直棱柱模型：球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，（为底面外接圆半径，为侧棱长）； - 正棱锥模型：球心在顶点到底面的垂线上，设底面外接圆半径、锥高，由解方程求； - 对棱相等的三棱锥/正四面体：补形为长方体，正四面体直接套用（为棱长）； - 共斜边的直角几何体：球心为公共斜边中点，。 3. 兜底方法：空间建系法，设球心坐标，由球心到各顶点距离相等列方程组，求解坐标后计算半径。 4. 关键抓手：补形法仅适用于有两两垂直棱、对棱相等的几何体，所有模型均需验证球心到各顶点距离相等。 题型04 几何体内切球问题 1．已知圆锥的轴截面是边长为的正三角形，从该圆锥内挖去圆锥的内切球后剩余部分的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取圆锥的轴截面，计算出内切球的半径，再结合锥体和球体的体积公式可求得结果. 【详解】取圆锥的轴截面等边，设该圆锥的内切球球心为， 由题意可知，球心在线段上，且为等边的中心， 为等边外接圆的半径，所以，可得， 又因为，且切圆于点，所以， 故，即内切球半径为， 由题意可知，圆锥的底面半径为，高为， 故从该圆锥内挖去圆锥的内切球后剩余部分的体积为. 故选：C. 2．某圆锥的底面半径与高之比为，其内切球与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的半径与高的关系，利用相似三角形求得内切球半径，进而由体积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，内切球的半径为，体积为， 则，所以，所以，    由有，即， 所以，又， 化简整理得：，解得（舍）， 所以， 故选：A. 3．如图是棱长为2的正方体，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体，再利用截面图，根据等面积法即可求解． 【详解】连接它们的交线后如下图所示， 即两个三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体， 作的中点M，N，设内切球的半径为r， 所以，， 所以，，，又， 所以，即表面积为． 故选：C． 4．如图是一个圆台的侧面展开图是一个半圆扇环（为扇形所在圆的圆心，圆心角为），若该圆台存在内切球，记该圆台的内切球表面积为，该圆台的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，内切球半径为，高为，根据圆台的侧面展开图，求得，，从而进行求解. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，内切球半径为，高为， 则， 而， 得， 又因为， 得， 得， 则， 得该圆台的内切球表面积为， 该圆台的表面积为， 则 故选：B 5．在正四面体中，各棱长均为2，则该正四面体内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四面体的性质，求出四面体的体积和表面积，进而求出内切球的半径，求出结果. 【详解】如图所示， 设底面正三角形中心为，连接（高），则， 由勾股定理得， 可知四面体底面积，体积， 可知正四面体表面积， 设内切球半径为，由，解得. 根据球的体积公式，代入， 解得. 故选：C. 1. 核心公式（体积法，通用所有几何体）： 设内切球半径为，几何体体积为，表面积（所有面的面积和）为，则，变形得（核心，必考）。 2. 规则几何体模型（直接套公式，提速）： - 正方体/长方体：内切球与各面相切，直径等于几何体的最短棱长，； - 正棱柱/正棱锥/正四面体：球心在几何体的几何中心（高的中点/四等分点），正四面体棱长为时，（也可由体积法推导）； - 圆柱/圆锥：内切球与底面和侧面相切，圆柱内切球直径等于高（且等于底面直径），圆锥内切球半径由轴截面相似三角形求（轴截面为等腰三角形，内切圆半径即内切球半径）。 3. 解题步骤： - 规则几何体：直接匹配模型，套半径公式； - 不规则几何体（如三棱锥、拼接几何体）：① 计算几何体的总体积（分割法/补形法）；② 计算几何体所有面的面积和；③ 代入体积法公式求。 4. 关键抓手： - 内切球仅存在于凸几何体中，球心在几何体的内部，且到各面距离相等； - 拼接几何体的内切球：需保证球心到拼接后所有面的距离相等，再用体积法（总体积=各部分体积和，总表面积=各部分表面积和-拼接面面积×2）。 1．图1是陕西大荔中学花园中的一座仿古亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示．已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由体积关系可知正四棱柱和正四棱锥的高相等，结合图形可得，即可求解． 【详解】因为正四棱柱和正四棱锥的体积之比为， 所以正四棱柱和正四棱锥的高相等，设为，如图， 则， 则其外接球的半径为, 解得，所以， 2．如图，在正四面体中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及表面积即可. 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 则，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 因此最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以5个球的表面积之和为. 3．四面体的各顶点均在同一个球面上，且，当四面体的体积最大时，该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先取中点O，分析、与的垂直关系，确定四面体体积的表达式，因为四面体体积最大时，需高最大，所以当平面平面时，体积取得最大值，建立空间直角坐标系，求出外接球的球心坐标，计算外接球半径，最后利用球的表面积公式求解. 【详解】取的中点为O，连接， 由于，故， 平面，故平面， 设，则，， 设，则四面体的体积， 要使得四面体的体积最大，必有，即此时平面平面， 则此时，令，， 则，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故时，取得最大值，此时取得最大值， 即得， 以O为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设四面体的外接球的球心为，则， 即， 解得，即外接球球心为， 故外接球半径为， 故外接球的表面积为. 4．如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高之和为10，底面半径为4，且两个圆锥的顶点和底面圆周在同一个球的球面上.在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，该容器外接球的半径为5，且外接球的球心为两圆锥顶点连线的中点. 因为圆锥的底面半径为,所以外接球的球心到底面的距离为，则两个圆锥的高分别为和. 所以这两个圆锥对应的母线分别为和. 该容器内放置的球的半径的最大值即为该容器轴截面的内切圆半径，设为. 则，解得. 此时，这个球的表面积最大，最大值为. 5．已知在正四棱锥中，，Q为平面内一点，则（   ） A．四棱锥的体积为 B．当时，面积的最小值为 C．当（）时，存在使 D．当时，点Q的轨迹为抛物线 【答案】BD 【分析】求出体积判断A；确定点到直线距离的最小值，进而求出面积最小值判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示判断C；利用空间向量夹角的坐标表示判断D. 【详解】在正四棱锥中，，令，连接，则平面， 对于A，，四棱锥的体积，A错误； 对于B，当且仅当点直线时，点到直线的距离最小，为， 而，因此面积的最小值为，B正确； 显然直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系。 则， 对于C，由（），得， 则， 若存在使，则， 此方程无解，因此不存在使，C错误； 对于D，设，则，由， 得，整理得，因此点Q的轨迹为抛物线，D正确. 6．如图，平面平面为线段的中点，，直线与平面所成角的大小为为平面内的动点，则下列说法正确的是（   ） A．球心为、半径为的球面被平面截得的圆周长为 B．若点到点和点的距离相等，则点的轨迹是抛物线 C．若点到直线的距离为，则的最大值为 D．满足的点的轨迹是椭圆 【答案】AC 【分析】A利用可求；B、D建立坐标系，利用关系式求得点轨迹即可；C利用已知信息，求点轨迹，得出椭圆，再转化为椭圆内焦点三角形的顶角最大问题； 【详解】对于A，因为直线与平面所成角的大小为，所以点到平面的距离， 球心为、半径的球面被平面截得的图形为圆，圆的半径， 所以圆的周长为，故A正确； 对于B，由于平面平面，所以以所在直线为轴，在平面内过作轴，平面内作轴， 建立如图1所示的空间直角坐标系， 则,， 设，则，即化简得， 故到点和点的距离相等，则点的轨迹是一条直线,故B错误； 对于C，， 所以到直线的距离为， 化简可得， 所以点的轨迹是平面内的椭圆上一点， 如图2，当在短轴的端点时，最大， 由于，故是正三角形，因此，故C正确； 对于D，， 若， 则， 化简得且， 故满足的点的轨迹是双曲线的一部分，D错误． 7．已知正三棱台，上底面边长为2，下底面ABC边长为6，侧棱长为4，点在侧面内（包含边界）运动，且，Q为上一点，且，则下列说法正确的是（   ） A．正三棱台的高为 B．高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内 C．点P的轨迹长度为 D．过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 【答案】ABD 【分析】延长正三棱台侧棱相交于点，分析可知三棱锥为正四面体，对于A：根据正四面体的高以及棱台的性质分析求解；对于B，根据三棱台的高及上底面内切圆的半径即可判断；由得到，进而根据等边三角形的内切圆半径为求得点的轨迹，再求轨迹长度判断C；设正四面体的内切球的半径为，利用等体积法得到，再结合题意可知过点，，的平面正好过该内切球的球心，进而得到截面面积即可判断D． 【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，由题意可知：， 在等腰梯形中，因为，，，则. 即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且. 对于A：设为等边的中心， 由正四面体的性质可知：侧面，且， 即点到底面的距离为， 又因为，，所以正三棱台的高为，故A正确； 对于B，设的内切圆的半径为，则根据等面积法有：，解得， 因为正三棱台的高为，的内切圆的半径为，且， 所以高为、底面半径为的圆柱可以放进该棱台内，故B正确； 对于C，由A选项知，侧面，且， 因为点在侧面内（包含边界）运动，且 所以， 因为等边三角形的内切圆的半径为， 又，， 所以，点在侧面内的轨迹为弧和， 而,故，故为等边三角形， 所以，所以点的轨迹长度为，故C错误； 对于D，设正四面体的内切球的半径为， 由等体积法可得，解得， 因为，所以该棱台内最大的球即正四面体的内切球， 又因为，，， 所以为的中点，过点，，的平面正好过该内切球的球心， 所以截面面积为，故D正确． 8．在棱长为的正四面体中，，分别为棱和（包括端点）的动点，直线与平面、平面所成角分别为，，则（   ） A．点到平面和平面的距离之和是定值 B．的正负由点位置确定，与点位置无关 C．的最大值为 D．正四面体顶点在球的球面上，当时，则过点截球的截面面积最小值为 【答案】ABD 【分析】设正四面体的面面角为，根据其性质可知，对于，设，则可表示出，进而可表示出，则可判断；对于，根据线面角的定义可求出线面角，以及可用线段表示出，可以看出其只与点到面和平面的距离有关，则可判断；对于，由选项可求出的，根据正四面体的性质可知异面直线的距离是最短的，继而可判断；对于，正四面体的外接球球心，过点截球的截面面积最小的条件是截面与线段，根据外接球的半径可以求出横截面积. 【详解】设正四面体的面面角为，根据其性质可知， 对于，做分别垂直平面和平面，设， 作分别垂直，因为， 则可表示出， 进而可表示出， 则，故正确； 对于，根据线面角的定义可求出线面角， 则，所以正负由点位置确定，与点位置无关，故正确； 对于，由选项可求出的， 当最大时即取最小时，由正四面体的性质可知异面直线的距离最小， 最小值为，所以，故错误； 对于，正四面体的外接球球心，过点截球的截面面积最小的条件是截面与线段垂直， 由正四面体的性质可知其外接球的半径为，是正四面体高，则垂直平面， 由正四面体性质可知其高为，且点是的重心，则有 则球心到平面距离为，又因，则， 由余弦定理得： ， 则， 故截面的半径的平方为，截面面积，故正确. 故选： 9．如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 【答案】 【分析】分别求出和外接圆的圆心，利用几何关系寻找外接球球心和外接圆圆心的数量关系，即可得到外接球的半径. 【详解】 因为是等腰直角三角形，设的外接圆圆心为，因为，，则的外接圆半径， 因为侧面是等边三角形，设其外接圆圆心为，半径为， 由正弦定理可得，解得， 因为平面平面， 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 两垂线的交点即为四面体外接球的球心， 设球心到平面的距离为，则等于的外接圆的圆心到的距离， 在等边三角形中，到的距离为，即， 所以外接球的半径， 所以. 10．已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 【答案】 【分析】设外接球球心为，、的外心分别为点、，取线段的中点，连接、、、，则，，由二面角的定义结合余弦定理求出的长，进而可求得的长，利用勾股定理可求出球的半径，再利用球体表面积公式可得结果. 【详解】设外接球球心为，、的外心分别为点、， 取线段的中点，连接、、、，则，， 因为是边长为的等边三角形，所以， 所以，， 因为，则为的中点， 又因为，故，故， 因为，，所以二面角的平面角为， 易知，， 所以、、、四点共圆， 由余弦定理可得， 所以，由正弦定理可得， 所以， 故球的半径为， 故四面体的外接球的表面积为. 11．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，为线段上的动点（含端点），若． (1)求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围； (2)设四棱锥的外接球球心为， （ⅰ）求球的半径； （ⅱ）当为线段中点时，求到平面的距离． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设点E的坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得平面PAD与平面PEC的夹角的取值范围. （2）（ⅰ）根据球的性质设出球心的坐标，利用距离坐标公式列方程求得的坐标，即可求解半径； （ⅱ）先求出，然后利用公式求出球心到截面的距离即可. 【详解】（1）因为平面ABCD，底面ABCD为正方形， 所以以O为原点，以过O且与直线CD平行的直线为y轴，建立如图空间直角坐标系. 设，则， 所以， 设平面的法向量为，则， 所以， 令，则， 取平面的法向量， 又平面与平面的夹角为， 所以， 因为， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 所以， 所以. （2）（ⅰ）因为四棱锥的外接球球心为，满足， 所以点在平面ABCD上的射影为正方形ABCD的中心，故设， 因为，所以，解得， 则，所以球的半径为； （ⅱ）由（ⅰ）知，，则， 由为线段中点，所以，此时平面的法向量， 所以M到平面的距离为 12．在四棱锥中，底面为正方形，平面. (1)求证：平面； (2)求钝二面角的余弦值； (3)若存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球，求该球体的体积和表面积；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由已知得出，，再利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）以为坐标原点，建空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，再利用向量法即可求解； （3）利用反证法证明即可. 【详解】（1）因为底面为正方形， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. （2）如图，以为原点，为轴， 为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 则，， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 则， 因为二面角为钝二面角，二面角大小为法向量夹角的补角， 所以钝二面角的余弦值为. （3）不存在，理由如下： 假设存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球， 则， 因为底面为正方形， 所以为对角线与的交点， 因为平面，平面， 所以，即， 所以，与矛盾，故假设不成立， 所以不存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球. 13．如图所示的空间直角坐标系A-xyz中，所有坐标均为整数的点称为整点；已知正方体的棱长为a，点P满足，其中，； (1)若，且直线与平面所成角大小为，求点P的轨迹长度； (2)若，，求正方体经过点的截面面积S的取值范围； (3)若，求三棱锥内（不包括表面边界）整点的个数. 【答案】(1)， (2)， (3). 【分析】（1）根据线面角的定义确定直线与平面所成角的平面角，由此确定点的轨迹及其长度， （2）作出正方体中经过点的截面，利用向量知识求得截面面积的表达式，求其范围； （3）结合图形分类确定内的整点个数. 【详解】（1）连接, 因为平面，为在平面上的射影， 所以直线与平面所成角的平面角为， 由已知, 则，故P点轨迹为以为圆心，1为半径的圆在正方形内的部分， 所以点P的轨迹长度为， （2）在正方体中，以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以，， 因为，， 所以，即， 所以点在上运动，则, 过点作，交与点，连接， 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，又， 所以在正方体中经过点的截面为平行四边形（如图）， 则， 所以，， 故点P到的距离为 , 因为，故当取0或1时，d取到最大值， 此时截面面积的最大值为, 当时，d取到最小值，此时截面面积的最小值为， 即当时，在正方体中经过点的截面面积的取值范围为， （3）如图：过轴上的点，，，，， ，，作三棱锥平行于底面的截面， 则三棱锥内（不包括表面边界）整点一定位于各截面内， 截面内的整点个数为， 截面内的整点个数为， 截面内的整点有，个数为， 截面内的整点有，个数为， 截面内的整点有，个数为， 截面内的整点有， ，个数为， 截面内的整点有 ，个数为， 所以三棱锥内（不包括表面边界）整点个数为， 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $