专题10 条件概率、全概率与递推模型（4大题型，压轴题专项训练）2026年高考数学(全国通用)

专题10 条件概率、全概率与递推模型 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 条件概率及其应用 题型02 全概率公式及其应用 题型03 概率与数列结合的递推模型（马尔可夫链） 题型04 分布列与数学期望综合题 模块三、综合实战演练 一、概率与数列结合问题解题策略： 一、解题核心四步曲（标准化流程，所有题型通用） 步骤1：明状态，设数列——定核心变量 1. 分析试验的核心状态：通常为2类对立状态（如“成功/失败”“在A位置/在B位置”“发生/不发生”），是概率递推的基础； 1. 设概率数列：令为第次试验后处于目标状态的概率，直接定义为处于对立状态的概率（二状态模型为高考高频，多状态可类比设多个数列）； 1. 求初始条件：根据“第一次试验”的题意，直接计算初始概率，是数列求通项的关键（如第一次试验目标状态概率为，则）。 步骤2：析关联，建递推——搭概率与数列的桥梁 核心方法：全概率公式，利用“第次状态仅由第次状态决定”（马尔可夫链核心性质），拆分第次目标状态的所有可能前提，建立与的线性递推关系（高考均为一阶线性递推：，为常数）。 二状态模型递推式通用推导： 设=第次在目标状态的概率，=在对立状态的概率； =从保持到的概率，=从转到的概率； 则第次在第次在， 即，整理得一阶线性递推：。 步骤3：解递推，求通项——用数列方法解概率数列 将步骤2得到的一阶线性递推式，通过配凑构造等比数列求解的通项公式（高考唯一考法，无需复杂数列方法），核心步骤： 1. 对递推式（），设配凑式：； 2. 求待定系数：展开得，对比原式得； 3. 定等比数列：是首项为、公比为的等比数列； 4. 求通项：先求的通项，再移项得的最终表达式（验证是否成立）。 步骤4：用通项，答问题——回归概率本质求解 根据题目问题，利用的通项公式计算结果，高频考法分3类： 1. 求某具体次数的概率：直接代入，计算； 2. 求极限概率（稳定概率）：当时，数列收敛，令，代入递推式直接求解（无需通项，简化计算）； 3. 求与次数相关的期望/概率和：结合数列求和（如裂项、等比求和）与期望公式计算。 二、高频模型解题模板（二状态马尔可夫链，高考90%考法） 模型特征：试验只有2种对立状态，状态转移概率固定，下一次状态仅与当前有关。 模板示例：设每次试验中，从状态转到的概率为，转到的概率为；从转到的概率为，转到的概率为；令为第次在的概率，。 1. 建递推：； 2. 求：； 3. 定等比：是首项为、公比为的等比数列； 4. 求通项：； 5. 极限概率：令，得。 三、关键解题抓手（避坑+提速） 1. 状态设定要唯一：优先设“题目最终要求的状态”为，减少后续计算，对立状态直接用表示，无需额外设数列； 1. 递推式建立靠全概率：必须拆分“第次目标状态的所有前提”，避免遗漏某一种转移路径（如仅考虑从到，忽略从到）； 1. 一阶线性递推是核心：高考所有概率数列递推均为，只需掌握配凑构造等比一种方法，无需其他数列技巧； 1. 极限概率可直接求：若题目只求稳定后的概率，无需求通项，直接令代入递推式，一步求解，大幅提速； 1. 验证概率范围：解出的必须满足，若超出范围，说明状态设定或递推式建立错误，及时检查。 题型01 条件概率及其应用 1．湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作、、三幅不同的湘绣作品，已知、、三幅作品通过设计图案环节相互独立，且通过的概率依次为、、. (1)求、、三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率； (2)若已知、、三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将所求的“恰有一幅通过设计”事件分解为三个互斥的独立事件组合，分别用独立事件概率乘法计算每个组合的概率，再相加得到最终结果； （2）明确所求为条件概率，找出对应分子和分母，代入条件概率公式计算得结果. 【详解】（1）设分别表示通过设计图案环节， 由题得，且三个事件相互独立. 恰有一幅通过设计环节可分解为仅通过、仅通过、仅通过三个互斥事件， 设仅通过为事件： 仅通过为事件： 仅通过为事件： 由互斥事件概率加法公式，恰有一幅通过的概率： （2）设事件为“三幅中恰有一幅通过设计环节”，事件为“通过设计的作品为”， 由条件概率公式： 其中即“仅通过设计环节”， 故， 由（1）知， 所以 2．某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 (1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 【答案】(1)7.7分钟 (2)（i）证明见解析（ii）元 【分析】（1）利用组中值法计算样本均值即可. （2）（i）根据条件概率公式证明即可. （ii）结合指数分布的数学期望计算即可. 【详解】（1）平均时间. （2）（i）证明：由题意知，， 分别记已经等待s分钟和已经等待分钟为事件A和事件B， 则 . 所以对于任意的，有. （ii）由（i）知， ， 所以费用的期望是（元）. 3．某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为，乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关. (1)求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率； (2)记为甲同学的总得分，求的分布列及期望； (3)已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率. 【答案】(1) (2) 0 2 3 5 7 8 10 期望为 (3) 【分析】（1）根据条件，利用互斥事件和相互独立事件的概率公式，即可求解； （2）根据条件，求出可能的取值及相应的概率，即可得分布列，再由期望的计算公式，即可求解； （3）先求出乙同学的总得分的可能取值及相应的概率，设事件表示乙获胜，事件表示甲的总分不低于5分，利用相互独立事件同时发生的概率公式求出，再由条件概率公式，即可求解. 【详解】（1）设事件D表示乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确， . （2）可能的取值有, 所以的分布列为： 0 2 3 5 7 8 10 （3）记为乙同学的总得分，可能的取值有， 则,，， ，， ， 设事件表示乙获胜，事件表示甲的总分不低于5分， 法一：因为， 则. 法二：， ， 4．一种加密传输信号发出信号“11”的概率为，发出信号“2”“3”“4”三个信号的概率均为．某次传输信号过程中，传输器一共发出了次信号，信号接收人员按照传输先后顺序依次记录得到信号序列．例如，当时，“1123”为一个发出的信号序列，共有四个数字． (1)若，记信号序列中数字2的个数为，求的数学期望和方差； (2)若，记信号序列中第个数为的概率为，求： （i）； （ii）． 【答案】(1)， (2)（i） （ii） 【分析】（1）根据二项分布的期望和方差公式即可求解； （2）（i）法一:利用全概率公式，建立起与的递推公式，构造等比数列即可求解；法二：通过构造互补事件加递推数列求解，设事件：在某一次发出信号后，信号序列共有个数；事件：任意一次发出信号后，信号序列都不可能有个数，设为事件的概率，为信号序列的所有数字，构造等比数列可求出，将第个数为1的概率按照初始信号分为两类，代入计算即可求解； （ii）由信号转移规则推出来，当时由（i）知，验证当上式成立，再根据条件概率公式即可求解. 【详解】（1）易知符合二项分布， 所以． （2）（i）若一开始发出的信号为“11”，即最左边两个数为“11”， 则对于前个数，在剩下个数中，第个数为1的概率为； 若一开始发出的信号为“2”或“3”或“4”， 则对于前个数，在剩下个数中，第个数为1的概率为； 所以， 故 且 而，， 故，， 故为等比数列且首项为，公比为， 为常数列，且该常数为， 故且， 故. （ii）， ， 当时，同（i）可知 ， 同（i）， 故， 故． 5．在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问．对一些敏感性问题，更要精心设计问卷及调查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的80名初中生和120名高中生进行了调查.调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球和20个黑球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生若吸烟，则写下①，若不吸烟，则写下②；摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①．由于问题的答案只有①和②，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．设事件“被调查者吸烟”，“被调查者写下①”． (1)为了进一步了解学生的吸烟情况，从被调查的初中生和高中生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3名学生进行问卷调查，记抽取的3名学生中初中生的人数为，求的分布列和数学期望； (2)用频率估计概率，若200名学生中有130人写下①，试估计的值； (3)若，求的最小值并求出此时的值． 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)， 【分析】（1）先根据初中生和高中生的总人数比例，计算抽取的10名学生中初中生和高中生的人数，判断X服从超几何分布，再根据超几何分布的相关公式求解分布列和数学期望； （2）利用全概率公式，结合已知的写下①的人数对应的频率作为，建立关于的方程，进而求解； （3）首先利用条件概率公式，分别表示出和，再将它们相加化简得到关于的表达式，再利用函数求最值的方法进行求解，同时结合的条件确定此时的值. 【详解】（1）抽取的10名学生中有4名初中生，6名高中生 的可能取值为0，1，2，3． ，， ，． 的分布列为 0 1 2 3 ； （2）设事件“被调查者摸到白球” ， 当时， （3）， ， 当时，的最小值为. 1. 核心公式： - 定义式：（），核心是求积事件和条件事件的概率； - 古典概型简化：若为古典概型，（为事件包含的基本事件数），无需先求总概率，直接数个数比。 2. 标准化步骤： - 定事件：明确条件事件（“前提”事件）和目标事件； - 求基础概率：计算（或）和（或）； - 代公式求解：代入定义式/简化式计算，若有多个条件，分步用条件概率递推。 3. 关键抓手： - 区分“发生后发生”（条件概率）与“同时发生”（积事件）； - 若事件互斥/独立，结合互斥事件加法公式、独立事件积公式简化计算（独立时）。 题型02 全概率公式及其应用 1．春节期间某商场举行购物抽奖活动，活动设置了两种抽奖方式（方式一和方式二），规则如下：凡在商场消费满200元的顾客都可以通过掷一枚质地均匀的骰子来确定抽奖方式，若掷出5点或6点，则采用方式一抽奖，否则采用方式二抽奖．活动期间顾客甲在该商场多次购物，其中有3次购物消费满200元，均参与抽奖活动． (1)求顾客甲在3次抽奖中恰有2次采用方式一抽奖的概率； (2)方式一：从装有4个红球，6个白球（所有球除颜色外完全相同）的箱子中随机摸一个球，摸到红球即为中奖；方式二：“大转盘”，中奖的概率为．求顾客甲抽奖一次中奖的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助独立重复试验的概率公式计算即可得； （2）借助全概率公式计算即可得. 【详解】（1）记事件为“顾客甲采用方式一抽奖”，则， 所以顾客甲在3次抽奖中恰有2次采用方式一抽奖的概率为； （2）记事件为“顾客甲中奖”，事件为“顾客甲采用方式二抽奖”， 则，，，， 所以， 所以顾客甲抽奖一次中奖的概率为. 2．某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励. (1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率； (2)若甲先抽取了k（，且）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（，）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张. （ⅰ）若，当时，求甲获得最大金额奖励M的概率p； （ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若，请估计p的最大值，并求此时k的值. （估值参考：当时，，，，.） 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）所以的最大值约为0.3679，此时． 【分析】（1）合理设出事件，再根据全概率公式即可得到答案； （2）（i）设：抽到的第张奖券金额为，再利用全概率公式求出概率通式，再代入即可； （ii）根据估值参考公式得，再设函数，求导得其最值，从而得到的估计值，最后结合其整数范围即可得到答案. 【详解】（1）设抽到的第张奖券的金额为． 设甲获得最大金额奖励． 注意到． 则． （2）（i）仍设：甲获得最大金额奖励， 若，则，故只需考虑的情况． 设：抽到的第张奖券金额为． 由于是随机抽取，抽到的每张奖券为最大金额的机会均等，则． 只有当是前张奖券中的最大金额，甲才会保留第张奖券，则． 则． 若，当时，． （ii）由估值参考得，则． 令，则． 当时，． 当时，单调递增； 当时，单调递减， 因此，当时，取得最大值． 此时，不是整数， 又， 所以的最大值约为0.3679，此时． 3．在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数. (1)求的分布列和数学期望； (2)另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值； 【答案】(1)分布列为： 2 3 4 (2) 【分析】（1）由题设随机变量服从超几何分布，并求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列或超几何分布的期望求法求期望； （2）应用全概率公式求概率即可； 【详解】（1）由题意知随机变量服从超几何分布，其中，，， 且的所有可能取值为2，3，4，，，， 故的分布列为： 2 3 4 法一：所以的数学期望. 法二：根据超几何分布的期望公式知. （2）记“下达的动作指令表述清晰”为事件， 记“下达的动作指令表述模糊”为事件， 记“机器人成功完成指令”为事件. 由已知得，，，，. 因为， 所以. 4．托马斯.贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：设，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有.这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理）.其中称为事件的全概率. (1)假设这3台车床型号相同，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是0.3，设同时发生故障的车床数为随机变量，求的分布列和数学期望； (2)假设该车间生产了两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中等可能地随机挑选一箱，然后从该箱中随机取一个零件.已知取出的是次品，求它是从第二箱中取出的概率. 【答案】(1) 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 期望 (2) 【分析】（1）由题意确定服从二项分布，即可求解； （2）设“任取一个零件为次品”“零件是从第箱取出的”，由全概率公式求得，再由贝叶斯公式即可求解. 【详解】（1）设，由题意知： 所以的分布列为 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 . （2）设“任取一个零件为次品”， “零件是从第箱取出的”，则且， 由题意知：，， 由全概率公式： ， 由贝叶斯公式知： . 5．甲、乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜．比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)求比赛结束时甲胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设结合全概率公式可得答案； （2）按结束的局数分类，可能是，分别计算每种局数下甲胜的概率，再求和可得答案. 【详解】（1）设表示甲第局获胜， 由题可得，， 由全概率公式可得：； （2）若，甲获胜对局胜者序列为：甲甲，对应概率为：； 若，甲获胜对局胜者序列为：乙甲甲，对应概率为：； 若，甲获胜对局胜者序列为：甲乙甲甲，对应概率为：； 若，甲获胜对局胜者序列为：乙甲乙甲甲或甲乙甲乙甲， 对应概率为：. 则甲获胜概率为：. 1. 核心公式： 若事件是样本空间的一个划分（互斥且并为样本空间，），则对任意事件，有 。 高频二划分模型：（与为对立事件，最常用）。 2. 标准化步骤： - 拆划分：找到样本空间的互斥划分事件（即导致发生的所有前提情况）； - 求两概率：对每个划分事件，计算（前提事件概率）和（发生后的条件概率）； - 累加求和：代入全概率公式，将所有累加得。 3. 关键抓手： - 划分事件的核心要求：互斥+全覆盖，无遗漏、不重复； - 优先用对立事件划分（二划分），简化计算，避免多划分的复杂累加； - 与贝叶斯公式联动：若求“发生后某发生的概率”，先由全概率求，再用贝叶斯公式。 题型03 概率与数列结合的递推模型（马尔可夫链） 1．在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）可知随机变量的可能值为0，1，2，3，分别求其概率，进而可得期望； （2）①根据题意结合全概率公式可得，利用构造法结合等比数列求通项公式；②分析可得，利用分组求和法结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：随机变量的可能值为0，1，2，3， 若，则3轮都失败，则； 若，则3轮中只有1轮成功，； 若，则3轮中只有2轮成功，； 若，则3轮都成功，； 所以. （2）①设第轮试验使用A型号机器人为事件， 则，，， 由全概率公式可得， 即，则， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以； ②设第轮得分期望为，则， 所以前轮期望总得分为. 2．某智慧城市在主干道部署了个独立边缘计算节点．初始时有个节点在线（假设在线的不再宕机），个为宕机（停摆，不能正常工作）．每个月系统随机等概率地巡查个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护．用表示第个月后在线节点数，表示其数学期望． (1)当时，求； (2)证明：； (3)已知每个宕机节点每个月会造成万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)（万元） 【分析】（1）根据题意求出的所有可能取值及相应的概率，分析的可能情况，进而运算求解； （2）分析可知随机变量的可能取值有、、、，利用全概率公式求出随机变量在不同取值下的概率，再结合期望公式可证得结论成立； （3）分析可知数列是以为公比的等比数列，求出的表达式，于是可得出第个月的期望宕机节点数为，据此可得出第个月的经济损失的期望，再利用等比数列求和公式可求得从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 【详解】（1）初始状态，即个在线、个宕机． 第个月选中在线节点的概率为，此时； 选中宕机节点的概率为，其中修复成功的概率为，此时； 修复失败的概率为，此时． 所以，． ，． 所以 ， 故当时，． （2）由题意知的可能取值有、、、， 所以， ， ， ， 所以 ． 因为， 所以， 所以 ， 所以． （3）因为，设， 所以， 所以，，， 所以是以为公比的等比数列， ，，, 故， 所以， 所以， 第个月的期望宕机节点数的期望为． 每台宕机节点每月损失万元，故第个月的经济损失的期望为． 设从第个月开始的个月的经济损失的总期望为， 故（万元）. 3．东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立． (1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差； (2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）． ①求，； ②求． 【答案】(1) X 0 1 2 3 P ， (2)①；；② 【分析】（1）分析可知，结合二项分布求X的分布列、均值和方差； （2）①分析人气值1点或2点所对应的可能性情况，结合独立事件概率的乘法公式运算求解；②分析可得，利用构造法和累加法，结合等比数列求. 【详解】（1）由题意可知：， 则，， ，， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的均值，且方差. （2）①因为每位游客选择东门入园的概率是，则选择其他门入园的概率是， 若人气值为1点，则仅有1人入园且选择其他门入园，所以； 若人气值为2点，则仅有1人且选择东门入园，或仅有2人入园且均选择其他门入园， 所以； ②若人气值为点，可知在人气值为点的前提下仅有1人且选择东门入园，或在人气值为点的前提下仅有1人且选择其他门入园， 则，可得， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则， 当时，则 ， 且符合上式，所以. 4．教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内､校外各1小时体育活动时间，每天统一安排30分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有的人满分，而该校有的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为. (1)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列和期望； (2)现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率； (3)体育测试前甲､乙､丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第1次由甲将球传出，求第次传球后球在乙手中的概率. 【答案】(1)分布列见解析，； (2)； (3). 【分析】（1）根据题设有并求出对应概率，写出分布列，进而求期望； （2）应用条件概率和全概率公式求概率； （3）记表示事件“经过次传球后，球在乙的手中”，次传球后球在乙手中的概率为，则，即，根据等比数列的定义写出通项公式，即可得. 【详解】（1）该校随机抽取三人，每个人满分的概率为，设抽取的三人中满分人数为， 则，则 则的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以数学期望. （2）用表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”，则， 用表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”，则，且， 又， 所以，故， 所以. （3）记表示事件“经过次传球后，球在乙的手中”， 设次传球后球在乙手中的概率为，则有， 所以， 所以 ， 即， 所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 即第次传球后球在乙手中的概率为. 5．在一个人工智能研发团队中，三个小组进行了一种算法模型的优化传递，每次传递由小组长根据模型的特点随机安排.由于A小组中人数较多，故当模型在A小组时，优化一次后，有的概率在本小组互传，的概率传给B小组；当模型在B小组时，优化一次后，有的概率传给A小组，的概率传给C小组；当模型在C小组时，优化一次后，传给小组的概率均为．假设每次传递都是独立事件，且项目开始时，模型在A小组． (1)求两次传递后模型在B小组的概率，以及三次传递后模型在C小组的概率； (2)记次传递后，模型在A小组的概率为，在B小组的概率为． （i）证明：数列是等比数列． （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）， 【分析】（1）分析两次传递后模型在B小组以及三次传递后模型在C小组的情况，根据独立事件概率的乘法公式计算可得结果. （2）（i）根据题意列出与的关系式，通过构造法可证明结论. （ii）利用（i）中结论可得结果. 【详解】（1）依题意，两次传递后模型在B小组的情况只有一类：，概率为． 三次传递后模型在C小组的情况只有一类：，概率为． （2）（i）由题意知，次传递后，模型在C小组的概率为，且， 第次传递后，模型在A小组的概率为，在B小组的概率为， 由题意得，则， 由，得， 所以是以为公比，为首项的等比数列． （ii）由（i）知，所以， ， 由满足上式，得， 综上得，，. 1. 核心建模思路： - 设状态：设为“第次试验后处于目标状态（如成功、在某位置、发生某事件）”的概率； - 建递推：分析第次状态与第次状态的关系，用全概率公式建立与的线性递推式（如，为常数）； - 求通项：将递推式转化为等差/等比数列（如一阶线性递推配凑构造等比），结合初始条件求的通项公式； - 解问题：由通项求某次数的概率、极限概率（时的稳定概率）。 2. 高频模型（二状态马尔可夫链）： 设为第次在状态的概率，为在状态的概率，递推式多为（为保持的概率，为转到的概率），整理为，配凑构造等比即可求解。 3. 关键抓手： - 初始条件必求：为第一次试验的初始概率，是求通项的关键； - 递推式建立靠全概率：明确“当前状态的所有可能”，用全概率拆分递推； - 验证极限：若求稳定概率，令时，代入递推式直接求解。 题型04 分布列与数学期望综合题 1．某篮球比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛规则如下： 第一阶段由参赛队中一名队员投篮2次，记投中次数为m． 第二阶段由另一名队员投篮3次，每次投中得1分，没有投中得0分；但如果3次全中，得5分，记这名队员的得分为，那么该队的比赛总得分为． 某队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，甲参加第一阶段比赛，求该队的比赛成绩为0分的概率． (2)假设，为使得该队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)甲 【分析】（1）利用独立事件概率公式进行求解即可； （2）利用独立事件概率、互斥事件的概率公式、数学期望公式，运用分类讨论思想进行求解即可. 【详解】（1）甲参加第一阶段比赛，则乙参加第二阶段比赛， 所以该队的比赛成绩为0分的概率为 . （2）因为，， 所以， 当甲参加第一阶段比赛，乙参加第二阶段比赛时， 则， ， ， ， ， ， 所以该队的比赛成绩的数学期望为 ， 化简，得； 同理，当乙参加第一阶段比赛，甲参加第二阶段比赛时，该队的比赛成绩的数学期望为， 则， 因为， 所以， 因此为使得该队的比赛成绩的数学期望最大，应该由甲参加第一阶段比赛. 2．从萍乡方向登武功山有多条路线，某游客准备从其中的两条路线中选一条登顶．路线一为“从游客中心出发，乘坐中庵索道直达半山腰，随后步行经紫极宫、许愿桥、吊马桩抵达金顶”，这条路线中，该游客在紫极宫、许愿桥、吊马桩三个补给站需要补给的概率均为；路线二为“从游客中心出发，步行经紫极宫、吊马桩抵达金顶”，这条路线中，该游客在紫极宫、吊马桩两个补给站需要补给的概率分别为，.该游客在各补给站是否需要补给互不影响． (1)若该游客走路线一，求最多需要一次补给的概率； (2)按照“平均补给次数最少”的原则，该游客应该选择那条路线登顶，请说明理由． 【答案】(1)； (2)选择路线二，理由见解析 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式，分别计算补给0次和补给1次的概率，再求和即可； （2）根据题意，路线一的补给次数服从二项分布，根据公式计算期望即可，再列分布列，计算路线二的补给次数的期望，最后比较即可. 【详解】（1）解：设“该游客走路线一最多需要一次补给”为事件，包括0次补给和1次补给两种情况， 则， 所以所求的概率为； （2）解：设“该游客走路线一需要补给的次数”为，则，故， 设“该游客走路线二需要补给的次数”为，则的可能取值为0，1，2， ， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 所以， 因为， 所以，按照“平均补给次数最少”的原则，应该选择路线二． 3．某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性.从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如图所示： 日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修.对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）： 操作经济损失设备状态 保留观察 停机更换 检查维修 完好 0 10 5 损坏 12 5 7 假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立. (1)已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率； (2)该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修,记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望； (3)该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况.下面有三种维护这2台设备的操作方案： 发热情况操作方案编号 发热 未发热 ① 检查维修 保留观察 ② 停机更换 检查维修 ③ 停机更换 保留观察 如果你是该工厂的老板，你如何决策? 【答案】(1)； (2)分布列见解析，； (3)①，理由见解析. 【分析】（1）利用频率计算概率即可； （2）利用二项分布概率公式来计算概率，但总经济损失为的取值是； （3）利用分类讨论，研究三个方案的总经济损失的期望，通过对比来作出决策. 【详解】（1）设“一台设备未出现发热情况，设备损坏”为事件，则； （2）依题意，一台设备出现发热情况，设备损坏的概率为，设备正常的概率为， 由题意知，. 离散型随机变量的分布列为： 10 12 14 （3）使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号为①，理由如下： 记采用不同方案，这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元， 采用方案①：的取值为：5，7，17，19， ，， ，， 故采用方案①，总经济损失的期望 采用方案②：的取值为：10，12，15，17， ，， ，， 故采用方案②，总经济损失的期望 采用方案③：的取值为：5，10，17，22， ，， ，， 故采用方案③：总经济损失的期望. 综上，，故采用方案①，可使得总经济损失的期望最小 4．在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为． (1)求每次测试结果为语音识别成功的概率； (2)若每次测试相互独立，且每次测试成本固定，现有两种测试方案： 方案一：测试4次结束测试； 方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次后结束测试，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？请说明理由． 【答案】(1)0.8 (2)选择方案二，理由见解析 【分析】（1）根据全概率公式进行求解即可； （2）根据相互独立事件的概率公式求解方案二的分布列，即可求解期望，比较期望大小即可求解. 【详解】（1）记事件“安静环境”，“嘈杂环境”，“语音识别成功”， 则,，，， ，且，互斥， 所以． 即测试结果为语音识别成功的概率为． （2）因为每次测试成本固定，所以测试次数越少，测试成本越低． 设方案一和方案二测试成本分别为X，Y， 方案一：测试4次，则； 方案二：Y可取3，5， ， ， 随机变量Y的分布列如下表所示： Y 3 5 P 0.512 0.488 所以；所以， 即方案一测试次数的期望值大于方案二测试次数的期望值，所以应选择方案二． 5．某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响. (1)已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； (2)记小王总得分为. （i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望； （ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量） 【答案】(1)小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略 (2)（i）分布列见解析；；（ii）当时，无论小王如何调整A、B组题目数量，其总得分X的期望均为20分；理由见解析 【分析】（1）小王两组题目均有选择的方案有两种，1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目，分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，，求得，，可得结论； （2）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，，（i）由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为，利用超几何分布求得分布列，可求数学期望；（ii）设小王选择的3个题目中A组题目数量为，B组题目数量为，其中，则服从超几何分布，，计算数学期望可得结论. 【详解】（1）小王两组题目均有选择的方案有两种， 1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目， 分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，， ， ， 因为，所以， 以至少答对1个题目的概率为依据，小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略. （2）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，， （i）由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为， 则，，， 故的分布列为： 10 20 30 故， （ii）设小王选择的3个题目中组题目数量为，组题目数量为，其中， 则服从超几何分布，，，， ， 当时，的值与无关， 即当时，无论小王如何调整组题目数量，其总得分的期望均为20分. 步骤1：定变量与取值 设离散型随机变量，根据题意确定的所有可能取值（如），取值要无遗漏、不重复。 步骤2：求各取值的概率 针对每个取值，结合古典概型、条件概率、全概率公式、排列组合求，核心要求：（概率和为1，可验证计算是否正确）。 高频模型概率公式： - 二项分布：，； - 超几何分布：，。 步骤3：构造分布列 列二维表格，第一列为的取值，第二列为对应概率，确保格式规范、概率和为1。 步骤4：求数学期望（与方差） - 期望核心公式：（直接法）； - 期望性质简化：，（独立时）； - 方差（常考）：，性质，二项分布。 1．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件的概率关系求出，由条件概率公式求得，根据全概率公式求得，再由条件概率公式求得. 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 2．将4个黑球和6个红球随机排成一列，事件“第k个球是黑球”，则下列正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，结合独立事件、互斥事件，以及条件概率的计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由题意知，事件“第k个球是黑球”，可得， 对于A，事件表示第1和第2个球是黑球，可得， 因为，所以，所以A错误； 对于B，事件表示第1或第2个球是黑球， 可得， 因为，所以，所以B错误； 对于C，由B项知：，所以C正确； 对于D，由条件概率的计算公式，可得，所以D错误. 3．景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（   ） A．该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为 B．该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小 C．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 D．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 【答案】BCD 【分析】设相应事件，利用全概率公式求，即可判断B，结合条件概率公式判断ACD. 【详解】设该游客第一次选择套餐为事件，第二次选择套餐为事件， 则，，且，， 可得，. 对于选项A：该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐为事件， 其概率为，故A错误； 对于选项B：因为， 即，所以该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小，故B正确； 对于选项C：因为， 所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故D正确. 4．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的命中率均为 .由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为 ，记“第i次投篮的人是甲”为事件，前3次中甲投篮的次数为X，则以下结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，表示在第1次投篮的人是乙的条件下，第2次投篮的人的概率为甲的概率， 因为乙投篮未命中则换甲投篮，乙每次命中率均为，所以乙未命中的概率为， 所以，故A正确； 对于B，表示在第1次投篮的人是甲的条件下，第2次投篮的人的概率为甲的概率， 因为甲每次命中率均为，所以， ，故B错误； 对于C，表示前3次中甲投篮的次数为1次的概率，有三种情况： 第一种情况是第一次甲投篮未中，第二次乙投篮命中，其概率为； 第二种情况是第一次乙投篮命中，第二次乙投篮未命中，其概率为； 第三种情况是第一次乙投篮未命中，第二次甲投篮未命中， 其概率为； 所以，故C正确； 对于D，的可能取值为， ，由C选项可知， ，， 所以，故D正确. 5．小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且，事件:吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子，事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，利用条件概率公式计算、全概率公式逐项判断即可. 【详解】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，， 事件：吃到的前个饺子均为玉米肉馅饺子. 则，A正确； ，，B错误； ， 当时，， 由题知，， 所以，C正确； 又， 所以.D正确. 6．设，为一次随机试验中的两个事件．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由对立事件概率可得A；利用条件概率公式可求B；根据可得C；由全概率公式可判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，根据乘法公式得，，故C正确； 由全概率公式可得，，故D错误， 故选：ABC． 7．已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式求解判断AC；利用概率的基本性质及概率加法公式求解判断BD. 【详解】对于A，由，，得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD. 8．某地区有A、B两个城区，人口比例为，由于人口密度不同，A、B两地的流感感染率分别为、.若随机选取A地区的3名市民进行该流感检测，至少1人感染的概率为________；若该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为__________. 【答案】 【详解】第一空，A地流感感染率为，那么A地流感未感染率为， 考虑至少一人感染的对立事件为3人都未感染，那么人都未感染的概率为. 所以至少一人感染的概率为. 第二空，因为A、B两个城区，人口比例为，所以人口占比分别为， 由全概率公式，该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为. 9．某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________. 【答案】 【分析】根据全概率公式计算即可求解. 【详解】由题意可知顾客在区进行付款的概率分别为， 设顾客从该超市购买了环保购物袋为事件， 由题意可知 ， 则 ，解得. 10．某信息源仅发射信息A，B，C，且第n次发射的概率分别为，，，首次发射概率由二项分布生成，，，，第一次信息发射后遵循下表规则： 第n次发射的信息 第次发射信 息的概率 A B C A的概率 B的概率 C的概率 当发射信息的次数足够多后，若该信息源发射信息A，B，C的概率分别趋近于定值a，b，c，则称该信息源存在发射稳定期． (1)写出，，的值（用p表示）． (2)当时，证明：． (3)当时，该信息源是否存在发射稳定期？若存在，求a，b，c的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据条件，利用二项分布的概率公式，即可求解； （2）根据条件，利用全概率公式得，从而可得，进而可得，再由，即可求解； （3）根据条件，由（2）可得， ，进而可得，再由极限思想，即可求解；法二，直接利用极限思想得，即可求解. 【详解】（1）因为，则，，. （2）若，则，，所以， 由题知，即， 则， 又，， ， 所以，又，所以， 所以． （3）由题知，，，则， 又因为，则恒成立， 又，则， 所以， 则，所以 则，则， 所以. 法二，，，， 所以，解得. 11．某科研团队研发的两款AI围棋机器人（Alpha星，Beta翼）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，Alpha星获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局． (1)当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)当时，若两款机器人共进行且局比赛，记事件表示“在前局比赛中Alpha星赢了局”．事件表示“Alpha星最终获胜”.求值； (3)若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为．证明：当时，． 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据二项分布的概念和性质，判断随机变量可能的取值，并根据二项分布概率公式，求出分布列，进而求出数学期望； （2）根据比赛最终获胜的条件，判断在不同情况下，最后的两局胜负情况，根据条件概率计算公式，求出结果即可； （3）根据比赛最终获胜的条件，分析两者之间的递推关系，根据全概率公式，求出递推公式，根据的范围以及作商法比较两者之间的大小关系，进而证明结果. 【详解】（1）（1）两款机器人共进行5局比赛，两款机器人所赢局数之差的绝对值可能的取值有， 则， ， ， 的分布列为 1 3 5 数学期望. （2）在前局比赛中Alpha星赢的局数时，第局全胜，最终也无法获胜，所以； 当时，仅当第局全胜，最终才能赢得比赛，即； 当时，第局至少胜一场，就能最终赢得比赛，即； 当时，无论第局什么结果，都能最终赢得比赛，即； 综上所述，. （3）由全概率公式可知 所以， 当时，， 又因为 ， 因为，所以，即. 12．某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可. （2）利用贝叶斯公式计算求解即可. （3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得. 【详解】（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为， 则且两两互斥， 依题意，，， 且， 由全概率公式得. （2）由贝叶斯公式，得所求概率为. （3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立， 从而选择篮球的概率为， 当时，由全概率公式，得的递推关系为， 而，，化简得，. 13．在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)1 【分析】（1）根据全概率公式可求； （2）根据全概率公式构建递推关系后可得，利用构造法可证明是等比数列且可求的通项公式； （3）根据题意可得，故可求. 【详解】（1）由题意得. （2）当时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为， 则没有“黑币”的概率为， ， 故. 又，故为等比数列,故, . （3）由题的可能取值为0，1，2，其概率分布列为： 0 1 2 依题意，即.于是 故. 14．某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B两类关卡，A，B两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，B类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会. (1)已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率； (2)若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望. 【答案】(1) (2)96000元 【分析】（1）根据全概率公式求解甲第一次闯关成功的概率，进而利用条件概率公式即可求解； （2）先求解一个参与者得分大于等于40分的概率，即可根据，由二项分布的期望公式求解. 【详解】（1）设事件表示“第i次选择的是A”事件表示“第i次选择的是B”， 设事件表示“第i次闯关成功” ， ， ， 第一次闯关成功，参与者甲选择的是A类关卡的概率为； （2）一个参与者得分大于等于40分有两类情形： 第一关选择A成功，第二关继续选择A也成功； 第一关选择B失败，第二关换为A成功，第三关继续选择A也成功. 故 ， 设1000人中获得现金奖励的人数为X，则商场支出的现金奖励Y＝1000X元. 由题知，， 故 ， 所以， 商场支出的现金奖励总金额的期望为96000元. 15．某自动文本生成工具存在两种常见状态：状态1为生成状态，在此状态下，工具根据用户输入的提示､主题或参数，利用预训练模型生成文本内容；状态2为优化状态，在此状态下，工具对已生成的文本进行校对､润色､改写或结构优化.已知该文本生成工具能自动进行状态切换或保持，每进行一次状态切换或保持称为一次自动操作.假设首次（第一次）自动操作后处于状态1和状态2的概率均为，且之后每次自动操作后所处的状态仅与操作前的状态有关，与更早的状态无关.表示从第二次自动操作开始，每次自动操作时从状态到状态的概率，若，且. (1)记前2次自动操作后的状态中状态为1的次数为， （i）求前2次自动操作后的状态中第一次状态为1，第二次状态为2的概率； （ii）求随机变量的期望； (2)记事件：前次自动操作后的状态中状态1和状态2均为次，当时，证明：. 【答案】(1)（i）；（ii）； (2)证明见解析 【分析】（1）（i）利用条件概率的乘法公式求解； （ii）根据题意，的可能取值有，再分别求出对应概率并计算期望即可； （2）由题可知，再根据，且进行计算求解． 【详解】（1）记事件：前次操作后处于状态1，则事件：前次操作后处于状态2， 由已知得. （i）即求； （ii）的可能取值有， ， ， ， 所以； （2）事件表示发生且第次操作后处于状态1，事件表示发生且第次操 作后处于状态2，显然，且， 当时，由， 得， 又 ， ， 而 ， 得 ， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 条件概率、全概率与递推模型 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 条件概率及其应用 题型02 全概率公式及其应用 题型03 概率与数列结合的递推模型（马尔可夫链） 题型04 分布列与数学期望综合题 模块三、综合实战演练 一、概率与数列结合问题解题策略： 一、解题核心四步曲（标准化流程，所有题型通用） 步骤1：明状态，设数列——定核心变量 1. 分析试验的核心状态：通常为2类对立状态（如“成功/失败”“在A位置/在B位置”“发生/不发生”），是概率递推的基础； 1. 设概率数列：令为第次试验后处于目标状态的概率，直接定义为处于对立状态的概率（二状态模型为高考高频，多状态可类比设多个数列）； 1. 求初始条件：根据“第一次试验”的题意，直接计算初始概率，是数列求通项的关键（如第一次试验目标状态概率为，则）。 步骤2：析关联，建递推——搭概率与数列的桥梁 核心方法：全概率公式，利用“第次状态仅由第次状态决定”（马尔可夫链核心性质），拆分第次目标状态的所有可能前提，建立与的线性递推关系（高考均为一阶线性递推：，为常数）。 二状态模型递推式通用推导： 设=第次在目标状态的概率，=在对立状态的概率； =从保持到的概率，=从转到的概率； 则第次在第次在， 即，整理得一阶线性递推：。 步骤3：解递推，求通项——用数列方法解概率数列 将步骤2得到的一阶线性递推式，通过配凑构造等比数列求解的通项公式（高考唯一考法，无需复杂数列方法），核心步骤： 1. 对递推式（），设配凑式：； 2. 求待定系数：展开得，对比原式得； 3. 定等比数列：是首项为、公比为的等比数列； 4. 求通项：先求的通项，再移项得的最终表达式（验证是否成立）。 步骤4：用通项，答问题——回归概率本质求解 根据题目问题，利用的通项公式计算结果，高频考法分3类： 1. 求某具体次数的概率：直接代入，计算； 2. 求极限概率（稳定概率）：当时，数列收敛，令，代入递推式直接求解（无需通项，简化计算）； 3. 求与次数相关的期望/概率和：结合数列求和（如裂项、等比求和）与期望公式计算。 二、高频模型解题模板（二状态马尔可夫链，高考90%考法） 模型特征：试验只有2种对立状态，状态转移概率固定，下一次状态仅与当前有关。 模板示例：设每次试验中，从状态转到的概率为，转到的概率为；从转到的概率为，转到的概率为；令为第次在的概率，。 1. 建递推：； 2. 求：； 3. 定等比：是首项为、公比为的等比数列； 4. 求通项：； 5. 极限概率：令，得。 三、关键解题抓手（避坑+提速） 1. 状态设定要唯一：优先设“题目最终要求的状态”为，减少后续计算，对立状态直接用表示，无需额外设数列； 1. 递推式建立靠全概率：必须拆分“第次目标状态的所有前提”，避免遗漏某一种转移路径（如仅考虑从到，忽略从到）； 1. 一阶线性递推是核心：高考所有概率数列递推均为，只需掌握配凑构造等比一种方法，无需其他数列技巧； 1. 极限概率可直接求：若题目只求稳定后的概率，无需求通项，直接令代入递推式，一步求解，大幅提速； 1. 验证概率范围：解出的必须满足，若超出范围，说明状态设定或递推式建立错误，及时检查。 题型01 条件概率及其应用 1．湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作、、三幅不同的湘绣作品，已知、、三幅作品通过设计图案环节相互独立，且通过的概率依次为、、. (1)求、、三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率； (2)若已知、、三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率. 2．某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 (1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 3．某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为，乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关. (1)求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率； (2)记为甲同学的总得分，求的分布列及期望； (3)已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率. 4．一种加密传输信号发出信号“11”的概率为，发出信号“2”“3”“4”三个信号的概率均为．某次传输信号过程中，传输器一共发出了次信号，信号接收人员按照传输先后顺序依次记录得到信号序列．例如，当时，“1123”为一个发出的信号序列，共有四个数字． (1)若，记信号序列中数字2的个数为，求的数学期望和方差； (2)若，记信号序列中第个数为的概率为，求： （i）； （ii）． 5．在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问．对一些敏感性问题，更要精心设计问卷及调查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的80名初中生和120名高中生进行了调查.调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球和20个黑球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生若吸烟，则写下①，若不吸烟，则写下②；摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①．由于问题的答案只有①和②，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．设事件“被调查者吸烟”，“被调查者写下①”． (1)为了进一步了解学生的吸烟情况，从被调查的初中生和高中生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3名学生进行问卷调查，记抽取的3名学生中初中生的人数为，求的分布列和数学期望； (2)用频率估计概率，若200名学生中有130人写下①，试估计的值； (3)若，求的最小值并求出此时的值． 1. 核心公式： - 定义式：（），核心是求积事件和条件事件的概率； - 古典概型简化：若为古典概型，（为事件包含的基本事件数），无需先求总概率，直接数个数比。 2. 标准化步骤： - 定事件：明确条件事件（“前提”事件）和目标事件； - 求基础概率：计算（或）和（或）； - 代公式求解：代入定义式/简化式计算，若有多个条件，分步用条件概率递推。 3. 关键抓手： - 区分“发生后发生”（条件概率）与“同时发生”（积事件）； - 若事件互斥/独立，结合互斥事件加法公式、独立事件积公式简化计算（独立时）。 题型02 全概率公式及其应用 1．春节期间某商场举行购物抽奖活动，活动设置了两种抽奖方式（方式一和方式二），规则如下：凡在商场消费满200元的顾客都可以通过掷一枚质地均匀的骰子来确定抽奖方式，若掷出5点或6点，则采用方式一抽奖，否则采用方式二抽奖．活动期间顾客甲在该商场多次购物，其中有3次购物消费满200元，均参与抽奖活动． (1)求顾客甲在3次抽奖中恰有2次采用方式一抽奖的概率； (2)方式一：从装有4个红球，6个白球（所有球除颜色外完全相同）的箱子中随机摸一个球，摸到红球即为中奖；方式二：“大转盘”，中奖的概率为．求顾客甲抽奖一次中奖的概率． 2．某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励. (1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率； (2)若甲先抽取了k（，且）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（，）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张. （ⅰ）若，当时，求甲获得最大金额奖励M的概率p； （ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若，请估计p的最大值，并求此时k的值. （估值参考：当时，，，，.） 3．在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数. (1)求的分布列和数学期望； (2)另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值； 4．托马斯.贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：设，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有.这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理）.其中称为事件的全概率. (1)假设这3台车床型号相同，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是0.3，设同时发生故障的车床数为随机变量，求的分布列和数学期望； (2)假设该车间生产了两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中等可能地随机挑选一箱，然后从该箱中随机取一个零件.已知取出的是次品，求它是从第二箱中取出的概率. 5．甲、乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜．比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)求比赛结束时甲胜的概率． 1. 核心公式： 若事件是样本空间的一个划分（互斥且并为样本空间，），则对任意事件，有 。 高频二划分模型：（与为对立事件，最常用）。 2. 标准化步骤： - 拆划分：找到样本空间的互斥划分事件（即导致发生的所有前提情况）； - 求两概率：对每个划分事件，计算（前提事件概率）和（发生后的条件概率）； - 累加求和：代入全概率公式，将所有累加得。 3. 关键抓手： - 划分事件的核心要求：互斥+全覆盖，无遗漏、不重复； - 优先用对立事件划分（二划分），简化计算，避免多划分的复杂累加； - 与贝叶斯公式联动：若求“发生后某发生的概率”，先由全概率求，再用贝叶斯公式。 题型03 概率与数列结合的递推模型（马尔可夫链） 1．在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 2．某智慧城市在主干道部署了个独立边缘计算节点．初始时有个节点在线（假设在线的不再宕机），个为宕机（停摆，不能正常工作）．每个月系统随机等概率地巡查个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护．用表示第个月后在线节点数，表示其数学期望． (1)当时，求； (2)证明：； (3)已知每个宕机节点每个月会造成万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 3．东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立． (1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差； (2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）． ①求，； ②求． 4．教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内､校外各1小时体育活动时间，每天统一安排30分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有的人满分，而该校有的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为. (1)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列和期望； (2)现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率； (3)体育测试前甲､乙､丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第1次由甲将球传出，求第次传球后球在乙手中的概率. 5．在一个人工智能研发团队中，三个小组进行了一种算法模型的优化传递，每次传递由小组长根据模型的特点随机安排.由于A小组中人数较多，故当模型在A小组时，优化一次后，有的概率在本小组互传，的概率传给B小组；当模型在B小组时，优化一次后，有的概率传给A小组，的概率传给C小组；当模型在C小组时，优化一次后，传给小组的概率均为．假设每次传递都是独立事件，且项目开始时，模型在A小组． (1)求两次传递后模型在B小组的概率，以及三次传递后模型在C小组的概率； (2)记次传递后，模型在A小组的概率为，在B小组的概率为． （i）证明：数列是等比数列． （ii）求． 1. 核心建模思路： - 设状态：设为“第次试验后处于目标状态（如成功、在某位置、发生某事件）”的概率； - 建递推：分析第次状态与第次状态的关系，用全概率公式建立与的线性递推式（如，为常数）； - 求通项：将递推式转化为等差/等比数列（如一阶线性递推配凑构造等比），结合初始条件求的通项公式； - 解问题：由通项求某次数的概率、极限概率（时的稳定概率）。 2. 高频模型（二状态马尔可夫链）： 设为第次在状态的概率，为在状态的概率，递推式多为（为保持的概率，为转到的概率），整理为，配凑构造等比即可求解。 3. 关键抓手： - 初始条件必求：为第一次试验的初始概率，是求通项的关键； - 递推式建立靠全概率：明确“当前状态的所有可能”，用全概率拆分递推； - 验证极限：若求稳定概率，令时，代入递推式直接求解。 题型04 分布列与数学期望综合题 1．某篮球比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛规则如下： 第一阶段由参赛队中一名队员投篮2次，记投中次数为m． 第二阶段由另一名队员投篮3次，每次投中得1分，没有投中得0分；但如果3次全中，得5分，记这名队员的得分为，那么该队的比赛总得分为． 某队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，甲参加第一阶段比赛，求该队的比赛成绩为0分的概率． (2)假设，为使得该队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 2．从萍乡方向登武功山有多条路线，某游客准备从其中的两条路线中选一条登顶．路线一为“从游客中心出发，乘坐中庵索道直达半山腰，随后步行经紫极宫、许愿桥、吊马桩抵达金顶”，这条路线中，该游客在紫极宫、许愿桥、吊马桩三个补给站需要补给的概率均为；路线二为“从游客中心出发，步行经紫极宫、吊马桩抵达金顶”，这条路线中，该游客在紫极宫、吊马桩两个补给站需要补给的概率分别为，.该游客在各补给站是否需要补给互不影响． (1)若该游客走路线一，求最多需要一次补给的概率； (2)按照“平均补给次数最少”的原则，该游客应该选择那条路线登顶，请说明理由． 3．某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性.从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如图所示： 日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修.对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）： 操作经济损失设备状态 保留观察 停机更换 检查维修 完好 0 10 5 损坏 12 5 7 假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立. (1)已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率； (2)该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修,记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望； (3)该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况.下面有三种维护这2台设备的操作方案： 发热情况操作方案编号 发热 未发热 ① 检查维修 保留观察 ② 停机更换 检查维修 ③ 停机更换 保留观察 如果你是该工厂的老板，你如何决策? 4．在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为． (1)求每次测试结果为语音识别成功的概率； (2)若每次测试相互独立，且每次测试成本固定，现有两种测试方案： 方案一：测试4次结束测试； 方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次后结束测试，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？请说明理由． 5．某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响. (1)已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； (2)记小王总得分为. （i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望； （ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量） 步骤1：定变量与取值 设离散型随机变量，根据题意确定的所有可能取值（如），取值要无遗漏、不重复。 步骤2：求各取值的概率 针对每个取值，结合古典概型、条件概率、全概率公式、排列组合求，核心要求：（概率和为1，可验证计算是否正确）。 高频模型概率公式： - 二项分布：，； - 超几何分布：，。 步骤3：构造分布列 列二维表格，第一列为的取值，第二列为对应概率，确保格式规范、概率和为1。 步骤4：求数学期望（与方差） - 期望核心公式：（直接法）； - 期望性质简化：，（独立时）； - 方差（常考）：，性质，二项分布。 1．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 2．将4个黑球和6个红球随机排成一列，事件“第k个球是黑球”，则下列正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（   ） A．该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为 B．该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小 C．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 D．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 4．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的命中率均为 .由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为 ，记“第i次投篮的人是甲”为事件，前3次中甲投篮的次数为X，则以下结论正确的是（  ） A． B． C． D． 5．小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且，事件:吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子，事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 6．设，为一次随机试验中的两个事件．若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 8．某地区有A、B两个城区，人口比例为，由于人口密度不同，A、B两地的流感感染率分别为、.若随机选取A地区的3名市民进行该流感检测，至少1人感染的概率为________；若该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为__________. 9．某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________. 10．某信息源仅发射信息A，B，C，且第n次发射的概率分别为，，，首次发射概率由二项分布生成，，，，第一次信息发射后遵循下表规则： 第n次发射的信息 第次发射信 息的概率 A B C A的概率 B的概率 C的概率 当发射信息的次数足够多后，若该信息源发射信息A，B，C的概率分别趋近于定值a，b，c，则称该信息源存在发射稳定期． (1)写出，，的值（用p表示）． (2)当时，证明：． (3)当时，该信息源是否存在发射稳定期？若存在，求a，b，c的值；若不存在，请说明理由． 11．某科研团队研发的两款AI围棋机器人（Alpha星，Beta翼）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，Alpha星获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局． (1)当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)当时，若两款机器人共进行且局比赛，记事件表示“在前局比赛中Alpha星赢了局”．事件表示“Alpha星最终获胜”.求值； (3)若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为．证明：当时，． 12．某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 13．在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 14．某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B两类关卡，A，B两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，B类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会. (1)已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率； (2)若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望. 15．某自动文本生成工具存在两种常见状态：状态1为生成状态，在此状态下，工具根据用户输入的提示､主题或参数，利用预训练模型生成文本内容；状态2为优化状态，在此状态下，工具对已生成的文本进行校对､润色､改写或结构优化.已知该文本生成工具能自动进行状态切换或保持，每进行一次状态切换或保持称为一次自动操作.假设首次（第一次）自动操作后处于状态1和状态2的概率均为，且之后每次自动操作后所处的状态仅与操作前的状态有关，与更早的状态无关.表示从第二次自动操作开始，每次自动操作时从状态到状态的概率，若，且. (1)记前2次自动操作后的状态中状态为1的次数为， （i）求前2次自动操作后的状态中第一次状态为1，第二次状态为2的概率； （ii）求随机变量的期望； (2)记事件：前次自动操作后的状态中状态1和状态2均为次，当时，证明：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $