专题09 数列中求通项、求和与不等式证明的综合问题（5大题型，压轴题专项训练）2026年高考数学(全国通用)

专题09 数列中求通项、求和与不等式证明的综合问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 已知递推关系求通项公式 题型02 裂项相消法求数列前n项和 题型03 错位相减法求数列前n项和 题型04 分组（并项）求和法求数列前n项和 题型05 数列放缩问题与数列不等式的证明 模块三、综合实战演练 一、已知递推关系求通项公式的解题策略： 已知递推关系求通项公式的核心解题策略是先判断递推式结构，通过变形、配凑、换元将陌生递推转化为等差/等比这两种基础数列模型，再用对应公式求解，所有推导均需验证首项，不一致则分段表示，具体按递推式类型精准选法，步骤清晰且优先级明确，具体如下： 1. 若为差型递推（，可求和），用累加法：列相邻项差值等式，连加消去中间项，结合首项化简得通项； 2. 若为商型递推（，可求积），用累乘法：列相邻项比值等式，连乘消去中间项，结合首项化简得通项； 3. 若为一阶线性递推（，为常数且），用配凑构造等比法：设，求待定系数，将数列转化为等比数列，先求新数列通项再回代得原通项；拓展型含或指数式时，可通过同除指数式再构造； 4. 若递推式含与前项和，用消和留项法：利用时消去，转化为纯的递推关系，求解后验证是否成立； 5. 若为分式线性递推（，），用取倒数法：对递推式两边取倒数，化简为的线性递推关系，换元后按一阶线性递推求解，再回代取倒数得原通项； 6. 若为含一次/二次多项式的复杂线性递推（如），用待定系数法：按多项式次数设配凑式，求待定系数后构造等比数列，再求解通项； 7. 若为二阶线性递推（，为常数），用特征方程法：列对应特征方程求根，根据根的相异/重根情况，代入首项求系数，直接写出通项； 所有方法求解时，若推导过程从开始，必须验证时通项是否成立：成立则直接写统一通项，不成立则分和两段表示；变形过程中注意符号、系数的准确性，换元后勿忘回代原变量。 二、求数列前n项和的解题策略： 1. 公式法（基础首选）：若数列为纯等差数列/纯等比数列，或可直接化为常数列、正整数列/平方列等已知求和公式的数列，直接套用对应公式。 - 等差数列：； - 等比数列：时，时； 2. 裂项相消法（高频必考）：若数列通项为分式形式，且能拆分为相邻两项的差值（拆后消去中间项仅剩首尾），用裂项相消法。 - 核心步骤：将通项（或）精准拆分，列出前项和的各项表达式，逐项抵消后化简首尾剩余项； - 常见模型：、。 3. 错位相减法（高频必考）：若数列通项为“等差数列×等比数列”的乘积型（如，），用错位相减法。 - 核心步骤：设，两边同乘等比数列的公比得，将两式错位相减，消去中间等比项，剩余部分化为等比数列求和，再整理求解； - 关键注意：相减时项数对齐，最后一项的符号易出错，需仔细验证，化简后注意约分。 4. 分组求和法（通用适配）：若数列通项为多个基础可求和数列的和/差形式（如等差+等比、等差+常数列），用分组求和法。 - 核心步骤：将通项拆分为，其中均为等差/等比/可直接求和的数列，分别求各部分的前项和，再按符号合并结果。 5. 倒序相加法（特征适配）：若数列满足首末等距两项的和为定值（如对称型数列、含三角函数/组合数的特征数列），用倒序相加法。 - 核心步骤：设，再倒序写为，将两式相加，每一组等距项的和为定值，统计组数后化简求解。 6. 并项求和法（特殊适配）：若数列为摆动数列、相邻几项和为定值/成规律数列（如含的数列），用并项求和法。 - 核心步骤：将相邻2项/3项合并为一组，计算每组的和，判断合并后的新数列是否为等差/等比数列，再求新数列的和，注意项数为奇数时需单独保留最后一项。 题型01 已知递推关系求通项公式 1．已知数列和满足：，，且． (1)求和的通项公式； (2)①求数列的前n项和； ②求集合． 【答案】(1)， (2)①  ② 【分析】（1）利用累加法求的通项公式，利用作商的方法求的通项公式； （2）①由于，利用裂项相消法求和； ②当时，通过列举可得，3，4时，，当时，，通过适当放缩可证得. 【详解】（1）由，得，，，……，， 累加得，得，， 又满足上式，因此有． 所以，则，相除得，， 又满足上式，因此有． （2）①由，得， ． ②因为，，所以， 因为，，所以， 因为，，所以， 因为，，所以， 当时，．下面证明， ， 所以，集合. 2．已知在数列中， (1)求数列的通项公式. (2)记，在数列中，是否存在三项能构成等差数列?若存在，求出该三项;若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】(1)由题可得，即数列是首项分别为公差均为的等差数列，分别求出数列的通项公式即可求解. (2) 假设数列中存在三项 (其中)成等差数列，可得，代入通项化简即可求解. 【详解】（1）令，则由得 　①，　②， 由得， 数列是首项分别为公差均为的等差数列. . 综上，数列的通项公式为 （2）由(1)可知，，假设数列中存在三项 (其中)成等差数列， 则即， 两边同时除以，得. 为偶数，为奇数， 等式不成立， 数列中不存在三项构成等差数列. 3．已知数列的首项，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式及前10项的和． 【答案】(1)证明见解析 (2)，2036 【分析】（1）利用递推证明等比数列即可； （2）利用等比数列通项公式和求和公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，， 所以，即是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）得，即， 设数列的前项和为， 所以． 4．已知数列满足， (1)证明：数列为等比数列并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由已知通分化简得，由此能证明数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出； （2）由，利用错位相减法和公式法求出. 【详解】（1）由，通分化简可得 得， 又，所以=2， 故是首项2，公比2的等比数列． 所以，即． （2）由，可得， 所以 设，两边同时乘2得 两式相减可得 ，又因为 所以 5．已知数列的前n项和，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）当时，可得，当时，，即可推出，可得，即可求证数列是等差数列，求出的通项公式，进而可得数列的通项公式； （2）由（1）知，求出，利用错位相减法和分组求和法即可求解. 【详解】（1）由，得（）， 当时，（）， ∴，化为， ∵，∴， 即当时，， 令，可得，即． 又， ∴数列是首项和公差均为1的等差数列． 于是，∴． （2）由（1）知，∴， 故. 令， ∴， ∴， ∴，∴. 1. 判类型定方法： - 差型（）→累加法，商型（）→累乘法，连加/连乘消中间项； - 一阶线性（）→配凑构造等比，求待定系数，转化为； - 与共存→消和留项，利用时消，转化为纯递推； - 分式递推（）→取倒数，换元后转化为线性递推； - 复杂线性（含）→待定系数法，按多项式次数配凑构造等比； - 二阶线性（）→特征方程法，求根后按根的异同写通项。 2. 通用步骤：变形转化→求新数列通项→回代得原通项→验证，不一致则分段表示。 题型02 裂项相消法求数列前n项和 1．设为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的基本量运算列方程求出首项与公差即得其通项公式； （2）先求出数列的通项，裂项后求和即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由条件可知， 解得，， 所以的通项公式为． （2）因为， 所以数列的前项和为. 2．已知首项为2的数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前n项和为Tn，若，求. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）利用的关系，转化为与的递推关系，再用累乘法求通项； （2）先对进行裂项，再用裂项相消法求和，最后解方程求. 【详解】（1）由，当时，得， ，，，……，，，，. 且当时，也符合上式，故. （2），. ，，即. 3．已知数列、的前n项和分别为、，，，为等比数列且，. (1)求、； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先由的递推关系式可构造一个等差数列，进而可得，再根据与的关系可得，对于求可用等比数列的前n项和性质解得，也可根据前n项和公式解得； （2）直接裂项求和可得，即可按裂项，也可按裂项可得. 【详解】（1）由得，即， 又，是以为首项，2为公差的等差数列， ，， 时，， 时，，符合上式， 综上， 求方法一： 设公比为，由，得， ，.. 求方法二： 若，则.， ，. （2）由（1）知，， （拆项方法二）：， 4．已知数列满足，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项的性质，可得为等差数列，根据条件，求出和公差d，代入通项公式，即可得答案. （2）由（1）得，代入可得通项公式，根据裂项相消求和法，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以为等差数列，设公差为d， 则，解得， 又，可得， 所以，解得，则. （2）由（1）得， 所以， 则. 5．已知数列的前n项和为，且，. (1)求 (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知数列是以首项为，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式运算求解； （2）根据与之间的关系可得，进而可得，结合裂项相消法运算求解. 【详解】（1）因为，且， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. （2）由（1）可知：， 当时，则， 且符合上式，所以， 可得， 设数列的前n项和为， 则， 所以数列的前n项和为. 1. 适用场景：通项为分式/根式形式，可拆成（或）的形式。 2. 核心步骤： - 精准裂项：按常见模型拆通项，补全系数（如、）； - 列项抵消：写出的各项表达式，逐项消去中间重复项，保留首尾剩余项； - 化简收尾：合并剩余项，整理得最终和式。 3. 关键抓手：裂项后验证拆分等价性，注意消项后剩余项的项数与符号，避免漏项/多项。 题型03 错位相减法求数列前n项和 1．已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用与关系化简可得，结合等比数列的通项公式求解即可； （2）由（1）可得，利用错位相减法求出即可证明结论. 【详解】（1）因为在数列中，，当时，， 两式相减得，可得， 又因为时，，可得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故； （2）由（1）知， 所以数列的前n项和为，① ，② ① ②得 ， 所以. 又因为，所以，所以. 2．已知数列的前n项和为，且，数列为递增的等比数列，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式； （2）利用（1）的结论，进一步利用错位相减法求出数列的和． 【详解】（1）已知数列前项和，根据与的关系： 当时，； 当时，， 验证时，也满足上式，因此； 设等比数列公比为，由， 得：， 因为是递增等比数列，且，所以， 因此； （2）由，得： ①， 两边同乘公比： ②， ①-②得：， 整理得：. 3．已知等差数列满足　　　　． 从中任选一个填在题中的横线上，并解答下列问题． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 注:如果选择两个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公差为，由等差数列的基本量计算得出，再根据等差数列通项公式即可求解； （2）由错位相减法即可求解． 【详解】（1）若选①，设数列的公差为， 因为， 所以，解得，所以． 若选②，设数列的公差为， 因为，所以，解得，所以． （2）由已知得，则①， ②， 由①②得， 整理得，所以． 4．已知数列，，． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】(1)通过配凑可得到；(2)依据数列的特征，用错位相减法即可求得. 【详解】（1），且 因此，是以为首项，为公比的等比数列 （2）由（1）：，因此 令 两式相减得： 所以，. 5．已知正项数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可用与的关系消去，求出数列的通项公式； （2）是比较常见的等差数列与等比数列乘积的形式，用错位相减法求解即可. 【详解】（1）由，当时，， 则，即， 所以，即， 由数列为正项数列，所以，从而有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，． （2）由（1）知，所以， ，则， 从而， 即， 所以. 1. 适用场景：通项为（为常数，），即等差数列×等比数列形式。 2. 标准化步骤： - 写原式：设； - 乘公比：两边同乘等比数列公比，得； - 错位相减：将两式错位对齐（同类项对齐），相减得，消去中间等比项； - 化简求和：剩余部分为“首项+等比数列和+末项”，套用等比求和公式化简，解出； - 验证约分：整理后约去系数，代入验证结果。 3. 关键抓手：相减时注意末项符号，项数较多时标注项数，避免对齐错误。 题型04 分组（并项）求和法求数列前n项和 1．已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用与关系即可求出数列的通项公式； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【详解】（1）因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 2．已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用等差数列的等差中项性质，结合已知条件建立方程求解基本量和公差，再利用因式分解处理数列递推关系，根据正项数列确定等比关系，从而得到通项公式； （2）数列按奇偶项分组求和，奇数项直接利用等比数列求和，偶数项通过裂项相消法化简求和，最终将两部分相加得到前项和. 【详解】（1）是等差数列，由等差中项性质得：，得， 又，所以，公差， 所以； ， 因为数列各项为正数，，故， 即是首项、公比为的等比数列，则通项公式：； （2）由的定义，前项和可分为奇数项和与偶数项和两部分： 设奇数项和为，设偶数项和为， ， 为奇数时，奇数项为，是首项为、公比为的等比数列， 共项，故， 为偶数时，设，则：， 裂项相消求和：， 所以. 3．已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据的关系求的通项公式；根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出数列的通项公式; （2）分为偶数，奇数，分组后由等差、等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式， 所以； 由得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； （2）当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以 4．已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)求. 【答案】(1)，. (2) (3) 【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求得数列的通项公式； （2）利用分组求和法可求得； （3）若为偶数，由（2）可求得，为奇数，利用，可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ， 解得 ，. （2） （3）由（2）可知 若为偶数，则 若为奇数，若 若，则 综上，. 5．若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 【答案】(1), (2) (3) 【分析】（1）将变形后可得，据此可求的通项，再结合累加法可求的通项； （2）利用分组求和法可求； （3）利用错位相减法可求. 【详解】（1）因为，故， 故，所以为常数列， 而，故，故即. 故，所以， 由累加法可得，而， 故，而，故. （2）, 当为偶数时，. 当为奇数时，. 故. （3）当为奇数时，，当为偶数时，， 而， 令， 则， 故， 故 ， 故. 而，则， 故， 故， 故. 1. 分组求和法 - 适用场景：通项为多个基础数列的和/差（如等差+等比、等比+常数列）； - 步骤：拆通项为（为等差/等比）→分别求→按符号合并得。 2. 并项求和法 · 适用场景：摆动数列、相邻几项和为定值/成规律（如含的数列、）； · 步骤：将相邻2项/3项为一组合并→计算每组和，判断新数列类型（等差/等比/常数列）→求新数列和；项数为奇数时单独保留最后一项。 3.关键抓手：拆分/合并时保证等价性，分组后分别核对各部分的求和公式与项数。 题型05 数列放缩问题 1．已知是单调递增的等差数列，其前n项和为，为等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若，记数列的前项和为． （i）求； （ii）求证：． 【答案】(1)， (2)（i） （ii）证明见解析. 【详解】（1）因为数列是单调递增的等差数列，故设的公差为. 设数列的公比为. 由，，， 得， 又，解得， 所以. （2）（i）由（1）知， 所以， ， 同理. , 所以； （ii）， . 设，① 则，② ①-②得， 所以 ， 则，所以. 2．已知数列满足． (1)证明：数列是等比数列，并求； (2)设，求数列的前项和； (3)设，证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）可化为，利用等比数列的定义即可证明，利用等比数列的通项公式即可求出； （2）利用错位相减法即可求出答案； （3）由题意知，先证明当时、当时，不等式成立，当时，，利用等比数列前项和公式求和即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 将上式变形为，                                       又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，           所以，所以. （2）由（1）知，所以， 所以     ①，                          ②，                        ①-②得 ，                           所以. （3）由题知，当时，； 当时，；                                       当时，，                               所以                        综上，得证. 3．已知函数为无理数且 (1)求在区间的最值； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)对于，证明：． 【答案】(1)． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）通过二次求导，确定在区间的单调性，即可求解； （2）通过讨论，说明使得 不符合题意，得到，再通过放缩，构造函数，通过二次求导确定单调性即可求解； （3）由（2）得到，推出，再结合，即可求证. 【详解】（1），可知， 令，则， 易得当时，，当时，， 即在单调递减，在上单调递增， ，则在单调递增， 所以． （2）构造函数， ， 易知，若， 则使得在上单调递减，，与题意矛盾， 则， 此时， 令，只需证在恒成立即可． ， 令，则， 恒成立，即在单调递增， 在单调递增，则恒成立， 所以的取值范围是. （3）由（2）可知在恒成立， 则有在恒成立， 令，则有恒成立， 所以， 又， 则. 4．已知数列中，． (1)设，证明是等比数列，并求其通项公式； (2)在数列中任取三项作为三条线段的长，这三条线段能否组成三角形？请说明理由； (3)证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)可以，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题设易得，可得，进而结合等比数列的定义求证即可，再根据等比数列的通项公式求解即可； （2）由（1）可得，易得，设，再根据三角形的成立条件求解即可； （3）结合（2）可得，进而求证即可. 【详解】（1）由， 可得，， 所以， 因为，所以，即， 又因为，可得，. 所以数列是首项为，公比为的等比数列，则. （2）由（1）知且， 可得， 因为，所以，所以， 即， 不妨设，有，所以可以组成三角形. （3）由（2）知，， 因为， 因为显然成立（当且仅当时等号成立）， 所以，即， 因此． 5．已知等差数列的前项和为，，对任意正整数，均有. (1)求和； (2)若数列满足，且，求数列的通项公式； (3)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）数列为等差数列，不妨设，再利用待定系数法解得，根据等差数列前项和公式求． （2）方法一：由题意得，再根据累乘法得到，方法二：构造数列，得到数列为常数列即可求解； （3）由题意得，先证，再累加即可证得． 【详解】（1）因为数列为等差数列，不妨设，由可得，故，解得， 所以， ，即，即， 所以，解得， 故，. （2）方法一：由（1）得：， 当且时，， ， 当时，满足， 综上所述：. 方法二：由（1）得：， ，，， ， 令，则数列为常数列， ， ； （3）由（1）知，，下面证明， 设，， 则，当时，，单调递增， 所以， 所以，即， 所以 ， 所以． 1. 常用放缩方向： - 放缩为裂项型：适用于分式通项，目标为裂项相消可求和（如、）； - 放缩为等比型：适用于含指数/高次通项，目标为等比数列求和（如、）； - 放缩为常数列/简单等差：适用于通项为根式/一次式，目标为简化求和（如）。 2. 核心原则： - 放缩贴合目标：根据最终要证的不等式结果，确定放缩方向（放大/缩小）； - 尺度适度：避免放缩过度（如多次放缩导致结果超出目标范围），可“局部放缩”（从开始放缩，保留首项）； - 放缩后可求和：放缩后的通项必须能通过裂项、等比、分组等方法求和。 3. 关键抓手：熟记常见放缩模型，放缩后验证前几项的合理性，调整系数/放缩起点。 1．已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，结合等比数列的定义可得，即可求解； （2）由（1），结合错位相减法计算即可求解. 【详解】（1）由，得， 即，得，又， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 则，所以. （2）由（1）知，， ， 两式相减得， 所以. 2．已知数列满足，，令． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)令数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）结合题设中的递推关系可转化为，从而可证数列为等比数列； （2）根据（1）中的结果可求的通项公式，从而可求的通项公式，进而由可求的通项公式； （3）由（2）的结论得：，利用放缩法得当时，，对分类讨论，结合等比数列的前项和公式即可证明成立. 【详解】（1）证明：已知，所以， 由递推式，代入得： ， 故， 又，得，从而得 因此数列是首项为3，公比为的等比数列; （2）由（1）的结论得：， 所以， 又因为， 故 , 即数列的通项公式为； （3）由（2）的结论得， 因为对恒成立，所以； 所以， 故当时，成立； 当时， 由于，即， 综上所述，成立. 3．若数列的前项积为，满足且. (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据已知条件得到与的关系，进而求出数列的通项公式，从而求出的通项公式； （2）先根据的通项公式求出的表达式，然后利用裂项相消法求出，最后证明. 【详解】（1）当时，， 当时，，，所以， 所以数列从第2项开始是以为首项、2为公比的等比数列. 所以，即； 当时，不符合上式. 所以数列的通项公式. （2）由（1）知，， 所以. 所以得证. 4．在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若数列满足，为数列的前项和，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题可知，数列是首项为，公差为的等差数列.由此求得其通项公式，进而求得的通项公式； （2）由（1）求得的通项公式，分为偶数和为奇数两种情况进行分析 ，求得数列的前项和； （3）根据和与项的关系求得的通项公式，从而求得数列的通项公式，求得数列的通项公式，根据裂项相消求和法求得，根据不等式的性质，即可证明. 【详解】（1）由，得. 因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以，所以. 即的通项公式为； （2）由（1）知， 当为偶数时，， 所以……①， ……②， ①②，得， 所以； 当为奇数时，， 所以， 令，则， 两式作差，得， 所以， 所以. 综上，. （3）因为， 当时，. 所以当时，， 所以当时，， 当时，，满足上式，所以. 因为，所以. 所以， 所以. 因为，所以，所以， 所以，即. 5．已知数列满足，． (1)若，求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，通过取倒数可证明数列为公差是2的等差数列，再结合求出其首项为1； （2）求出数列的通项公式即可求解； （3）利用裂项相消即可求解. 【详解】（1）证明：因为，，所以． 所以，所以，即． 又因为，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）得，，即，所以． （3）由（2）得，所以． 所以 . 6．在数列中，已知，. (1)证明是等差数列，并求出的通项公式． (2)若数列满足，设数列的前n项和为. ①求，并证明； ②证明：． 【答案】(1)证明见解析，； (2)①，证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）利用赋值法，结合等差数列定义推理得证，进而求出通项公式. （2）①利用（1）的结论求出，作差即可得证；②利用裂项相消法求和，借助基本不等式推理得证. 【详解】（1）在数列中，由，成立，取，得， 而，则，，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列， 数列的通项公式为. （2）①由（1）得，而，所以； 由，得，所以. ②由①得，，当时，， 当时，， 因此当时， ，， 所以. 7．在数列中，已知，. (1)求证数列是等比数列； (2)设，，记数列的前项和为，若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）可得 故 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可知， 由单调递增，可知， 故，解得， 即的取值范围为. 8．已知数列是等差数列，且，，数列满足，. (1)求的通项公式，并证明数列是等比数列； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意求出等差数列的公差，即可得到其通项公式；由数列满足，.根据等比数列的定义可证明数列是等比数列； （2）由分组求和法，结合等差数列、等比数列的前项和公式可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得，解得. 所以. 由得，即， 又， 所以是一个以4为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以. 所以. 所以. 9．已知数列的首项，前项和为，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知分别求得时的值，当时，由即可证明； （2）由分组求和及错位相减法即可求解． 【详解】（1）由，① 当时，，由，解得， 当时，，② ①-②得：，即， 从而， 又因为，且也满足上式， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）得，则， 从而， 所以， ， 令，① 则，② ①-②得：， 所以， 又， 所以． 10．（1）已知，证明：； （2）设，若恒成立，求正整数的最大值； （3）求证：. 【答案】（1）证明见解析（2）2（3）证明见解析 【分析】（1）记，，求导，根据导数即可证明； （2）由（1）结合特殊值可知，结合题意验证是否满足即可求解； （3）由（2）可得，记，求导，根据导数可证得，进而可得，计算即可得证. 【详解】（1）一方面，记，. 则，故在上单调递增，即. 另一方面，记，. 所以，故在上单调递增，即. 综上，，成立. （2）当时，由（1）知，故恒成立. 一方面，取，则； 另一方面，当时，记，则. 由知， 所以，故单调递增.进而. 综上，正整数的最大值为2. （3）当时，由（2）， 即. 则，① 下证，， ， 则， 故单调递增.进而，即. 所以结合①可得，即， 所以. 11．设数列的前项和为，已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)令，数列的前项和为，证明：对一切正整数，恒成立. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系求解即可. （2）根据裂项相消法求和即可. （3）结合放缩法得到，再求和证明即可. 【详解】（1）当时，； 当时，， 也满足上式； 故. 当时，； 当时，， 也满足上式； 综上，. （2）， 故数列的前项和. （3）， 又对任意的：， 所以， 故. 12．已知数列满足：，其前项和为． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件化简，再应用等比数列定义计算证明，最后应用等比数列的通项公式计算求解； （2）应用不等式关系及等比数列求和公式计算证明. 【详解】（1）由题意每一项都不为零．由得， 又， 因此是首项为，公比为的等比数列， 所以，故； （2）对于任意的正整数，因为，所以， 求和得到． 13．已知函数． (1)若在区间上单调，求实数a的取值范围； (2)设，证明： （i）； （ii）． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析. 【分析】（1）应用分类讨论，结合导数研究在区间上的单调性，从而确定参数范围； （2）（i）由已知及（1）得时，从而得到，再应用累加法证明结论；（ii）由（1）知时，进而有，结合（i）的结论得，即可证. 【详解】（1）令是的导函数，是的导函数， 所以，且， 当时，时在上单调递减，故， 在区间上单调递减，符合题意； 当时，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 时，在上单调递减， 又，则存在，使得， 时在上单调递增，不符合题意； 当时，时在上单调递增，， 在上单调递增，符合题意． 综上，实数a的取值范围是； （2）（i）若，则，又，故． 由（1）知，时在上单调递增，故， 即，变形得， 故，则， 又，故，得证； （ii）由（1）知，时在上单调递减，故， 即，变形得， 由（i）得，故， 故. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 数列中求通项、求和与不等式证明的综合问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 已知递推关系求通项公式 题型02 裂项相消法求数列前n项和 题型03 错位相减法求数列前n项和 题型04 分组（并项）求和法求数列前n项和 题型05 数列放缩问题与数列不等式的证明 模块三、综合实战演练 一、已知递推关系求通项公式的解题策略： 已知递推关系求通项公式的核心解题策略是先判断递推式结构，通过变形、配凑、换元将陌生递推转化为等差/等比这两种基础数列模型，再用对应公式求解，所有推导均需验证首项，不一致则分段表示，具体按递推式类型精准选法，步骤清晰且优先级明确，具体如下： 1. 若为差型递推（，可求和），用累加法：列相邻项差值等式，连加消去中间项，结合首项化简得通项； 2. 若为商型递推（，可求积），用累乘法：列相邻项比值等式，连乘消去中间项，结合首项化简得通项； 3. 若为一阶线性递推（，为常数且），用配凑构造等比法：设，求待定系数，将数列转化为等比数列，先求新数列通项再回代得原通项；拓展型含或指数式时，可通过同除指数式再构造； 4. 若递推式含与前项和，用消和留项法：利用时消去，转化为纯的递推关系，求解后验证是否成立； 5. 若为分式线性递推（，），用取倒数法：对递推式两边取倒数，化简为的线性递推关系，换元后按一阶线性递推求解，再回代取倒数得原通项； 6. 若为含一次/二次多项式的复杂线性递推（如），用待定系数法：按多项式次数设配凑式，求待定系数后构造等比数列，再求解通项； 7. 若为二阶线性递推（，为常数），用特征方程法：列对应特征方程求根，根据根的相异/重根情况，代入首项求系数，直接写出通项； 所有方法求解时，若推导过程从开始，必须验证时通项是否成立：成立则直接写统一通项，不成立则分和两段表示；变形过程中注意符号、系数的准确性，换元后勿忘回代原变量。 二、求数列前n项和的解题策略： 1. 公式法（基础首选）：若数列为纯等差数列/纯等比数列，或可直接化为常数列、正整数列/平方列等已知求和公式的数列，直接套用对应公式。 - 等差数列：； - 等比数列：时，时； 2. 裂项相消法（高频必考）：若数列通项为分式形式，且能拆分为相邻两项的差值（拆后消去中间项仅剩首尾），用裂项相消法。 - 核心步骤：将通项（或）精准拆分，列出前项和的各项表达式，逐项抵消后化简首尾剩余项； - 常见模型：、。 3. 错位相减法（高频必考）：若数列通项为“等差数列×等比数列”的乘积型（如，），用错位相减法。 - 核心步骤：设，两边同乘等比数列的公比得，将两式错位相减，消去中间等比项，剩余部分化为等比数列求和，再整理求解； - 关键注意：相减时项数对齐，最后一项的符号易出错，需仔细验证，化简后注意约分。 4. 分组求和法（通用适配）：若数列通项为多个基础可求和数列的和/差形式（如等差+等比、等差+常数列），用分组求和法。 - 核心步骤：将通项拆分为，其中均为等差/等比/可直接求和的数列，分别求各部分的前项和，再按符号合并结果。 5. 倒序相加法（特征适配）：若数列满足首末等距两项的和为定值（如对称型数列、含三角函数/组合数的特征数列），用倒序相加法。 - 核心步骤：设，再倒序写为，将两式相加，每一组等距项的和为定值，统计组数后化简求解。 6. 并项求和法（特殊适配）：若数列为摆动数列、相邻几项和为定值/成规律数列（如含的数列），用并项求和法。 - 核心步骤：将相邻2项/3项合并为一组，计算每组的和，判断合并后的新数列是否为等差/等比数列，再求新数列的和，注意项数为奇数时需单独保留最后一项。 题型01 已知递推关系求通项公式 1．已知数列和满足：，，且． (1)求和的通项公式； (2)①求数列的前n项和； ②求集合． 2．已知在数列中， (1)求数列的通项公式. (2)记，在数列中，是否存在三项能构成等差数列?若存在，求出该三项;若不存在，请说明理由. 3．已知数列的首项，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式及前10项的和． 4．已知数列满足， (1)证明：数列为等比数列并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 5．已知数列的前n项和，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 1. 判类型定方法： - 差型（）→累加法，商型（）→累乘法，连加/连乘消中间项； - 一阶线性（）→配凑构造等比，求待定系数，转化为； - 与共存→消和留项，利用时消，转化为纯递推； - 分式递推（）→取倒数，换元后转化为线性递推； - 复杂线性（含）→待定系数法，按多项式次数配凑构造等比； - 二阶线性（）→特征方程法，求根后按根的异同写通项。 2. 通用步骤：变形转化→求新数列通项→回代得原通项→验证，不一致则分段表示。 题型02 裂项相消法求数列前n项和 1．设为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 2．已知首项为2的数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前n项和为Tn，若，求. 3．已知数列、的前n项和分别为、，，，为等比数列且，. (1)求、； (2)求数列的前n项和. 4．已知数列满足，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 5．已知数列的前n项和为，且，. (1)求 (2)若，求数列的前n项和. 1. 适用场景：通项为分式/根式形式，可拆成（或）的形式。 2. 核心步骤： - 精准裂项：按常见模型拆通项，补全系数（如、）； - 列项抵消：写出的各项表达式，逐项消去中间重复项，保留首尾剩余项； - 化简收尾：合并剩余项，整理得最终和式。 3. 关键抓手：裂项后验证拆分等价性，注意消项后剩余项的项数与符号，避免漏项/多项。 题型03 错位相减法求数列前n项和 1．已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 2．已知数列的前n项和为，且，数列为递增的等比数列，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求. 3．已知等差数列满足　　　　． 从中任选一个填在题中的横线上，并解答下列问题． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 注:如果选择两个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 4．已知数列，，． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 5．已知正项数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 1. 适用场景：通项为（为常数，），即等差数列×等比数列形式。 2. 标准化步骤： - 写原式：设； - 乘公比：两边同乘等比数列公比，得； - 错位相减：将两式错位对齐（同类项对齐），相减得，消去中间等比项； - 化简求和：剩余部分为“首项+等比数列和+末项”，套用等比求和公式化简，解出； - 验证约分：整理后约去系数，代入验证结果。 3. 关键抓手：相减时注意末项符号，项数较多时标注项数，避免对齐错误。 题型04 分组（并项）求和法求数列前n项和 1．已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 2．已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 3．已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 4．已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)求. 5．若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 1. 分组求和法 - 适用场景：通项为多个基础数列的和/差（如等差+等比、等比+常数列）； - 步骤：拆通项为（为等差/等比）→分别求→按符号合并得。 2. 并项求和法 · 适用场景：摆动数列、相邻几项和为定值/成规律（如含的数列、）； · 步骤：将相邻2项/3项为一组合并→计算每组和，判断新数列类型（等差/等比/常数列）→求新数列和；项数为奇数时单独保留最后一项。 3.关键抓手：拆分/合并时保证等价性，分组后分别核对各部分的求和公式与项数。 题型05 数列放缩问题 1．已知是单调递增的等差数列，其前n项和为，为等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若，记数列的前项和为． （i）求； （ii）求证：． 2．已知数列满足． (1)证明：数列是等比数列，并求； (2)设，求数列的前项和； (3)设，证明：． 3．已知函数为无理数且 (1)求在区间的最值； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)对于，证明：． 4．已知数列中，． (1)设，证明是等比数列，并求其通项公式； (2)在数列中任取三项作为三条线段的长，这三条线段能否组成三角形？请说明理由； (3)证明：． 5．已知等差数列的前项和为，，对任意正整数，均有. (1)求和； (2)若数列满足，且，求数列的通项公式； (3)记数列的前项和为，证明：. 1. 常用放缩方向： - 放缩为裂项型：适用于分式通项，目标为裂项相消可求和（如、）； - 放缩为等比型：适用于含指数/高次通项，目标为等比数列求和（如、）； - 放缩为常数列/简单等差：适用于通项为根式/一次式，目标为简化求和（如）。 2. 核心原则： - 放缩贴合目标：根据最终要证的不等式结果，确定放缩方向（放大/缩小）； - 尺度适度：避免放缩过度（如多次放缩导致结果超出目标范围），可“局部放缩”（从开始放缩，保留首项）； - 放缩后可求和：放缩后的通项必须能通过裂项、等比、分组等方法求和。 3. 关键抓手：熟记常见放缩模型，放缩后验证前几项的合理性，调整系数/放缩起点。 1．已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 2．已知数列满足，，令． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)令数列的前n项和为，证明：． 3．若数列的前项积为，满足且. (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，证明：. 4．在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若数列满足，为数列的前项和，证明：. 5．已知数列满足，． (1)若，求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 6．在数列中，已知，. (1)证明是等差数列，并求出的通项公式． (2)若数列满足，设数列的前n项和为. ①求，并证明； ②证明：． 7．在数列中，已知，. (1)求证数列是等比数列； (2)设，，记数列的前项和为，若对于恒成立，求的取值范围. 8．已知数列是等差数列，且，，数列满足，. (1)求的通项公式，并证明数列是等比数列； (2)若数列满足，求的前项和. 9．已知数列的首项，前项和为，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 10．（1）已知，证明：； （2）设，若恒成立，求正整数的最大值； （3）求证：. 11．设数列的前项和为，已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)令，数列的前项和为，证明：对一切正整数，恒成立. 12．已知数列满足：，其前项和为． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)证明：． 13．已知函数． (1)若在区间上单调，求实数a的取值范围； (2)设，证明： （i）； （ii）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $